实数指数幂及运算

张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1．整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于 ，即 (2)正整数指数幂的运算法则：=n m a a .① ；=÷n m a a ② );0,(=/>a n m =nm a )(③ ；=n ab )(④ ；=n ba)(⑤ ).0(=/b(3)整数指数幂：规定：=0a ==/- na a ),0( ⋅∈=/*),0(N n a 2．根式(l)n 次方根：一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中 ． (2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即：=n n a )(② ⋅∈>*),1(N n n③当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a3．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：=nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数）． 正数的负分数指数幂的意义是：=-nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数） (2)运算性质：,)(,)(,.r r r r rs s r s r s b a ab a a a a a ⋅===+其中要点核心解读1．关于分数指数幂的概念n n n n a a 与))(1(这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别．(2)关于分数指数幂需要注意：①在条件*,,,0N n m a ∈>1>n 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，③分数指数幂不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法．2．关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位．(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， ②除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算．(4)根式的运算应该注意的几点： ①注意根式的符号：a ．n 为奇数时，n n a R a ,∈与a 的符号一致；b ．n 为偶数时，.0,0,0≤-≥≥n n n n a a a ②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m 、n 都是正整数，且性质②中限定m>n ，为了取消m>n 的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a>0及6>0.典例分类剖析考点1 整数指数幂的运算[例1] 化简下列各式：;)()())(1(23425232b a b a b a ÷⋅-- ⋅--4301.01.0)2([解析] (1)由题目可获取以下主要信息： 两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。

3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =⋅⋅⋅⋅个叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③am a n ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m＝a m b m .其中m ，n ∈N ＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6) ＝a －12b －12.2．根式如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算． 当na 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n ＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1】已知＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：|a ＋1|，∴|a ＋1|＝－a －1＝－(a ＋1)．∴a ＋1≤0，即a ≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：；.解：(1)原式＝(－2)＋2|＋2)＝－2＋(2＋2)＝－2.(2)＝(1＋1)＝辨误区 根式运算应注意的问题利用na n 的性质求值运算时，要注意n 的奇偶性．特别地，当n 为偶数时，要注意a 的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义 正分数指数幂可定义为：①1na＝na (a ＞0)；②m na ＝(na )m＝na m⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=m nm na a-⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数. 提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数． 感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．m na 与na m 表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但要注意在像14()a -＝4－a中的a ，则需要a ≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β；②(a α)β＝a αβ；(3)(ab )α＝a αb α(其中a ＞0，b ＞0，α，β∈Q )．析规律 有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b +⋅-＝a －b (a ＞0，b ＞0)；111122222()2a b a b a b ±=+±(a ＞0，b ＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭. 解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯---⎪-⎝⎭. (2)333443444=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)2. 解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a aa a a --⋅4．无理指数幂 (1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即： ①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)． 【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+⋅解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅. (2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a 化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可．析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)1012234122254--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式：(1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x y xyx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xyx y x y x y x yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122a aa a----.显然，从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.再将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.由于3311332222=()()a a a a----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a aa a a a--------++⋅--＝a＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律 平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)．【例6－2】已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，的值． 分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab 和a ＋b 的形式．又a ，b 为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab +⎧⎨⎩∵a ＞b ＞0，>又∵221=105⎛.。

一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则；（3）运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的推导和理解；（2）运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

三、教学准备1. 教师准备：（1）实数指数幂的相关知识；（2）实数指数幂的运算法则的例题和练习题；（3）实数指数幂的实际问题。

2. 学生准备：（1）掌握实数的基本概念；（2）具备一定的数学运算能力。

四、教学过程1. 导入：（1）复习实数的基本概念；（2）引导学生思考实数指数幂的概念。

2. 知识讲解：（1）讲解实数指数幂的概念；（2）推导和讲解实数指数幂的运算法则；（3）运用实际例子解释实数指数幂及运算法则的应用。

3. 课堂练习：（1）让学生独立完成练习题；（2）讲解练习题的解题思路和方法。

4. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调实数指数幂及运算法则的重要性和应用。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容；2. 完成课后练习题；3. 思考和解决实际问题。

六、教学评估1. 课堂讲解评估：（1）观察学生对实数指数幂概念的理解程度；（2）评估学生对实数指数幂运算法则的掌握情况；（3）评价学生的课堂参与度和提问回答情况。

2. 课堂练习评估：（1）检查学生练习题的完成情况；（2）分析学生解题思路和方法的正确性；（3）针对学生易错点进行讲解和辅导。

七、教学反思1. 反思教学内容：（1）是否全面讲解了实数指数幂的概念和运算法则；（2）是否结合实际例子让学生更好地理解实数指数幂的应用；（3）是否注重了学生的课堂参与和思维能力的培养。

实数指数幂及其运算法则实数指数幂是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍实数指数幂的定义、性质以及运算法则。

一、实数指数幂的定义。

实数指数幂指的是形如a^b的数，其中a为实数，b为实数。

其中a称为底数，b称为指数。

当指数为正整数时，实数指数幂可以用连乘的形式表示，即a^b=aa...a，其中a出现了b次。

当指数为零时，实数指数幂定义为1。

当指数为负整数时，实数指数幂可以用连除的形式表示，即a^(-b)=1/(a^b)。

当底数为正数且指数为实数时，实数指数幂可以用连续开方的形式表示，即a^b=sqrt(sqrt(...(sqrt(a))...)，其中开方的次数为b。

二、实数指数幂的性质。

1.相同底数的实数指数幂相乘，指数相加。

即a^m a^n =a^(m+n)。

2.相同底数的实数指数幂相除，指数相减。

即a^m / a^n =a^(m-n)。

3.不同底数的实数指数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m b^m = (ab)^m。

4.不同底数的实数指数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m / b^m = (a/b)^m。

5.实数指数幂的乘方，指数相乘。

即(a^m)^n = a^(mn)。

6.实数指数幂的除法，指数相除。

即(a^m)^n = a^(m/n)。

7.任何数的零次幂都等于1。

即a^0 = 1。

8.任何数的一次幂都等于它本身。

即a^1 = a。

以上性质是实数指数幂运算的基本法则，可以帮助我们简化实数指数幂的运算，并且也可以推广到复数指数幂的运算中。

三、实数指数幂的运算法则。

实数指数幂的运算法则包括加减、乘除、乘方和开方等运算。

1.加减法。

对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加减运算。

例如，2^3 + 2^4 = 2^7，2^5 2^3 = 2^2。

2.乘法。

对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加法运算。

例如，2^3 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。

2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。

3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。

2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。

2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。

3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。

四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。

2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。

3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。

4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。

5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。

七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。

八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。

2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。

3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。

九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。

2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。

实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例引入实数指数幂的概念；（2）引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；（3）运用运算法则进行变形和求解。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生主动探索、合作学习的意识；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 实数指数幂的概念：（1）引入平方根、立方根的概念；（2）引导学生理解实数指数幂的概念，即a^n 表示n 个a 相乘。

2. 实数指数幂的运算法则：（1）同底数幂的乘法：a^m a^n = a^(m+n)；（2）同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)；（3）幂的乘方：a^m^n = a^(mn)；（4）积的乘方：(ab)^n = a^n b^n；（5）零指数幂：a^0 = 1（a ≠0）；（6）负指数幂：a^-n = 1 / a^n（a ≠0）。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。

2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的应用；（2）解决实际问题中指数幂的运用。

四、教学方法1. 实例引入：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 引导发现：引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；3. 练习巩固：运用运算法则进行变形和求解；4. 实际应用：解决实际问题，巩固知识。

五、教学步骤1. 导入新课：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 讲解与演示：讲解实数指数幂的概念，演示运算法则的运用；3. 练习与讨论：学生独立练习，小组讨论，共同解决问题；4. 总结与拓展：总结实数指数幂的运算法则，拓展相关知识；5. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度；2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握运算法则的情况；3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力；4. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握和运用能力。