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第14章 超静定结构

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第十四章：超静定结构

第十四章：超静定结构

Fl3 8EI
0

l3 2EI
X1

l3 3EI
X2

l2 2EI
X3

5Fl3 48EI

0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1

2EI
X2

EI
X3
8EI

0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11

1 EI

1 2
l
l

2l 3

l3 3EI
1 ql 2 2
1F


1 EI

1 3
ql2 2
l

3l 4

ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图

X1
1F
11
ql4

8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。

材料力学第十四章__超静定结构

材料力学第十四章__超静定结构

§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16

整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16

材料力学 第14章 超静定结构

材料力学 第14章 超静定结构

39
目录
例题 14-4
M1 图
M F图
1 a 2 2a a3 ⋅ = δ11 = EI 2 3 3EI ∆1F 1 a 2 qa 2 qa 4 ⋅ =− 2 8 = − 16EI EI
40
目录
例题 14-4
由力法正则方程δ11 X1 + ∆1F = 0得： 3qa X1 = 16 3qa ∴X C = ，YC = 0，M C = 0 16 qa 3qa X A (→) = X B (←) = ,YA = YB = (↑) 16 2 qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16
25
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
26
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
27
目录
对 称 结 构 对称结构的对称变形
28
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
29
目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
判断载荷反对称的方法： 判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 将对称面（ 一侧的载荷反向， 对称的，则原来的载荷便是反对称的。 对称的，则原来的载荷便是反对称的。
24
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形－ 对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下: 荷作用下:
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。 某些对称分量也可等于零或变为已知
34
目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，

超静定结构

超静定结构

l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A

14超静定结构

14超静定结构

F
B
a
C
11 X1 1F 0
求解 1 F 积分法 F AB： M 1 ( x ) Fx
M 1(x) a
a
A
X1
B
C
x
x
F 1
BC：M 2 ( x ) 0
M 2 (x) x
A
1F
EI
1
a
0
M 1M 1dx
EI
1
a
0
M 2 M 2 dx
Fa
3
2
(拉 )
FN 3 FN 2
F cos 1 2 cos
3
(拉 )
例3 求图示钢架C处反力。
解：视C处为多余约束，用X1代替 q
B
a
C
11 X1 1F 0
求解 1 F 积分法
qx 2
2
a
X1
AB： M 1 ( x )
M 1(x) a
A B
C
x q
x
F 1
3 qa 8

第十四章 超静定结构
§14-1 超静定结构概述
一、静定结构与超静定结构 静定结构：全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。
F
A B B A
FCBiblioteka 超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和 内力的结构。
B A
F
A B
F
C
外力超静定问题 F
A
B
内力超静定问题
四、 静定基和相当系统
B A B A B A
BC：M 2 ( x ) 0
M 2 (x) x
1F
EI

材料力学第十四章-超静定结构

材料力学第十四章-超静定结构
材料力学第十四章-超静 定结构
欢迎来到材料力学第十四章的学习！本章将介绍超静定结构，我们将一起探 索它的特点、设计方法、力学分析以及应用领域。让我们开始学习吧！
超静定结构的定义
1 什么是超静定结构?
超静定结构是指具有多余约束的结构，其构件由多于所需的约束连接。
超静定结构的特点
1 多余约束的好处
超静定结构具有更高的稳定性和刚度，能够承受更大的荷载。
2 调整性能
通过改变约束条件，可以调整超静定结构的性能。
超静定结构的设计方法
1
力学方法
利用材料力学的知识和结构理论进行设计和分析。
2
优化设计
采用优化算法寻找最佳的结构设计。
3
经验和直觉
通过经验和直觉进行设计和改进。
超静定结构的力学分析
受力分析
通过受力分析了解超静定结构中力的传递和分布。
应力分析
通过应力分析研究超静定结构中的应力分布和变形。
超静定结构的应用领域
桥梁工程
超静定结构可以提高桥梁的稳定性和承载能力。
航空航天
超静定结构可以减轻飞行器的重量，提高性能。
建筑设计
超静定结构可以实现更大跨度和更复杂的建筑形 态。
机械设计
超静定结构可以提高机械设备的稳定性和准确性。
超静定结构的挑战与解决方案
1
挑战
超静定结构的设计和分析复杂，需要考虑多个因素。
2
解决方案
借助计算机辅助设计和模拟技术，提高设计和分析的效率。
3
创新思维
采用创新的方法和理念，寻找超静定结构的新应用。
总结与展望
通过本章的学习，我们了解了超静定结构的定义、特点、设计方法、力学分 析、应用领域以及面临的挑战。希望这些知识能够帮助您深入了解这一领域， 并为未来的设计和研究提供启示。

第十四章 超静定结构

则：
Mi Mi ii dx EI l
ij
l
Mi M j EI
dx
i F
Mi M F dx EI l
[例5] 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。 解：①刚架有两个多余约束。 ②选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力。 ③建立力法正则方程 q B q B
2 3
a
C
a
D
X1
B
a
A
q a
D
Δ1F
1 qa3 qa 4 a EI 2 2 EI
1
a
C
a A
由δ11 X 1 Δ1F
FBX
FAX 0, FAY
3qa 0 得 X1 8
a
2
qa 2 2
3qa 0, FBY 8
11qa 8 qa , M A 8 逆
三、超静定次数
结构的多余约束的数目。 判断超静定次数的另一方法：
一次超静定 三次超静定
解除几个约束后结构成为静定，就是称为几次超静定。 解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个固
定铰或中间铰相当于解除两个约束，解除一个刚性连接相 当于解除三个约束。
四、超静定分类
1、外力超静定； 2、内力超静定； 3、既有内力超静定，又有外力超静定。
4a 3 a3 qa4 X 1 X 2 0 3EI 2 EI 6 EI a3 a3 qa4 X 1 X 2 0 2 EI 3EI 8 EI
⑥求其它支反力 q 由平衡方程得其它支反力， 4 全部表示于图中。 qa 7
A
3 qa 7
B 3 qa 2 28 1 qa 28
1 qa 28

12第十四章-超静定结构资料


11

1 EI
l 1

l EI
M10 图
1P


1 EI

Pl 2 8
1


Pl 2 8EI
由 11 X1
1P

0得X 1

Pl 8
MP图
vC

Pl 3 48EI
Pl l 2 2 8
16EI
Pl 3 192EI

求图示刚架的支反力。
M10 图
上面我们讲的是只有一个 多余约束的情况
那么多余约束不止一个 时，力法方程什么样的
呢？
变形协调条件：1 2 3 0 i 表示X i 作用点沿着X i 方向的位移。
由叠加原理： 1 1X1 1X2 1X3 1P 0
1 11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 同理 2 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 静不定系统的静定基本系统，或相当系统。
（本章主要用力法解超静定结构）
§14-2 力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再 根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条
件为基本方程的方法，称为力法。
X1

4m 9a
RA

RC

4m 9a
mA

mB

m 逆时针
3
等截面平面框架的受力情况如图所示。试 求最大弯矩及其作用位置。
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。

14第十四章 超静定结构


例8：已知刚架 的抗弯刚度为E I。 试求支座 B 处的反
力。 解： M ( x1 ) x1
M ( x2 ) a
qx M ( x1 ) 6a
3 0 1
q0 a 2 M ( x2 ) 6
3 a MM 1 a 2 4 a 2 11 dx 0 x1 d x1 0 a d x2 3EI EI EI l
另解：
qa2 X1 q 2a cos45 2 qa , M A 2
例12：已知桁架各杆的拉压刚度为 EA， 求各杆的轴力。
解：
11
i 1 3
3
FNi FNi li EA EA
l 1 cos3 sin 3 EA cos Fl sin 2 EA cos
EAi
7 a 4 2 2 EA
Δ1F
i
FN i FN , i li
Fa 3 2 2 EA
由 11 X1 Δ1F 0 得
解：
例3：图示刚架 EI 为常 量，画出刚架的弯矩图。
解：
7a 3 Fa3 11 , Δ1F 24EI 4 EI
由力法正则方程 11 X1 Δ1F 0 得X 1
6F 7
M图
例4：试求图示平面刚架的支座反力。 已知各杆 EI =常数。
解：
3 1 a 2 2a 4 a 2 11 a a EI 2 3 3EI
一、外力超静定系统 由于外部的多余约束而构成的超静定系统，一般称为
外力超静定系统。 求解外力超静定系统的基本方法，是解除多余约束，
代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建 立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统 的相当系统。

刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第14~15章【圣才出品】

22KN·m。
梁内最大正应力：σ′max＝|Mmax|/W＝22×103/（141×10－6）Pa＝156MPa。
14.2 用力法解题 6.35 和 6.41。 解：（1）用力法解题 6.35 解除支座 C，代之以支反力为 X1，其相当系统如图 14-2-4 所示。
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故由莫尔定理可得
11=
FN FN l EA
M Mdx 5l 2a3 EI EA 3EI
1F =
FN F N l EA
M Mdx 2Fl
EI
EA
将以上两式代入力法方程可得：X1＝－Δ1F/δ11＝6FlI/（15Il＋2a3A）。
故各杆内力：FN1＝[（3Il＋2a3A）/（15Il＋2a3A）]·F，FN2＝[6lI/（15Il＋2a3A）]·F。
由静力平衡条件可得，在力 F 单独作用下：FN1＝F，FN2＝0，M1＝M2＝0。
当在 B 点单独作用一单位力时，有
＿
＿
FN1＝－2，FN2＝1
＿
AC 段：M1＝x（0≤x＜a）。
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＿
＿
BC 段：M2＝x＋FN1（x－a）＝2a－x（a≤x≤2a）。
（3）用力法解题 6.40
图 14-2-3 解除拉杆内力，代之以反力 X1，其相当系统如图 14-2-3 所示。 其力法方程：δ11X1＋Δ1F＝0。 其中，q 单独作用下，拉杆内力 FN＝0。 AB 的弯矩方程：M（x）＝－qx2/2，（0≤x≤4）。
＿
在 B 点单独作用一单位力时，拉杆内力FN1＝1。
1．解除多余约束，并代之以约束力 X1、X2、X3…，得到基本静定系统；
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21
22

23


X
2




2F

31 32 33 X 3 3F
影响系数 ij (i 1,2,3; j 1,2,3)
在Xj处施加单位力，在Xi点处Xi方向的位移
ij ji
M iM j dx EI
iF
6
目录
用力法解超静定结构
解除
1 结构静定化 杆件或支座
静定基（不唯一，以 方便为准）
2 在未知力处
建立
变形协调条件
3 变形条件 4 力法方程
借助 补充方程（力法） Mohr积分
求解 线性方程
未知力
7
目录
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
位移协调条件 1 0, 2 0, 3 0
24
目录
对称结构，反对称载荷
对称结构的反对称变形 —— 对称结构 在反对称载荷作用下:
其约束力、内力分量、变形和位移等 必须是反对称的；
对称的内力分量、约束力必为零； 某些反对称约束力和反对称的内力分
量也可能为零。
25
目录
对称结构，反对称载荷
对称结构的反对称变形 F
F/2
F
F/2
26
FAy 16.56kN
14
目录
例题 14-1
由力法正则方程11X1 1F 0得：
X1

3qa 16
X C

3qa 16
，YC

0，M C

0
X
A ()

X B ()

3qa 16 ,YA

YB

qa 2

M
A
(顺时针)

M
B
(逆时针)

qa 2 16
15
目录
例题 14-2

x1dx1


qL4 8EI
11X1 1F 0
L3
qL4
3EI X1 8EI 0
X1

3qL 8
11
目录
例题14-1
试求图示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI，
不计剪力和轴力对刚架变形的影响。
解：结构为一次超静定， 支座B为多余约束，解 除后用多余反力X代替 （图（b）所示）。
M () 1
D

s
MM EI
ds

2
X3

P 2
R(1 cos) Rd
0
EI

R EI
M D

2

P 2
R

2

1

0
由此得
MD

PR
1 2

1


33
目录
例题14-4
X3
M ()

PR
1 2

1


0
e

qy 2 2
)ady


1 EI
11M8e a 2

qa 6
4

13
目录
例题14-1
由力法正则方程11X1 1F 0得：
X 1F 16.56kN
11
根据图（b）所示的静定系，通过平衡关系 求得A点的反力：
FAX 50kN， M A 92.2kN m

X A 0,
YA

11qa 8
,
M
A

qa 2 8
逆时针
17
对称及反对称性质的利用
求解超静定结构时，可以利用结构的对称性 和反对称性减少未知力的个数，简化计算。
18
目录
对称结构
对称结构 —— 几何形状、尺寸、材料、约束 等对称于某一对称轴。
19
目录
对称结构
对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下:
试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
16
目录
11

1 EI

a2 2

2a 3

a2
a

4a3 3EI
1F


1 EI

qa 2
3
a
qa4 2EI
由11X1 1F 0
得
X1

3qa 8
X B 0,
YB

3qa 8
第十四章
超静定结构
1
目录
超静定结构概述
超静定分类：
外力超静定 内力超静定 既有内力超静定，又有外力超静定
2
目录
超静定结构概述
q
12 3
外力超静定
内力超静定
既有内力超静定，又有外力超静定
3
目录
外力超静定
BD
C
αα
A
F
内力超静定
4
目录
求解外力超静定系统
超静定结构
静定结构
静定结构
5
目录
求解内力超静定系统
12
目录
例题14-1
BD段： M (x) 0，
M x
DC段：
M
(
x)

M
，
e
M x
CA段：
M
(
y)

M
e

qy 2 2
，
M a
11
1 EI

a x2dx
0
a 0
a
2dy


4a3 3EI
1F
1 EI

a
a M e xdx
2
（a M
目录
对称结构，反对称载荷
对称结构的反对称变形 M
27
目录
例题14-3
等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 其作用位置。
28
目录
例题 14-3
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。
由平衡条件可得： Q P cos45 2 P
2 Pa M max 2 M max 发生在外载荷P作用点处
M M i dx EI
10
目录
q
A
B
q
A 静定基
B
X1
M
(
x1
)
Байду номын сангаас

1 2
qx12
A
B
x1
M (x1) x1
A x1 X1 =1
11

1 EI
L 0
M
(x1) M
(x1)dx

L3 3EI
1F

1 EI
L 0
M (x1) M (x1)dx1

1 EI
L 0

1 2
qx12
29
目录
例题14-4
求A、B两点间的相对线位移 ΔAB。
30
目录
例题14-4
X2 X3 X1
X2
X1 X3
X3 X2
X1
X1
X3
X2
由对称性知:
X1

P 2
X2 0
31
目录
例题14-4
X3 X1
变形协调条件:
D 0
32
目录
例题14-4
X3
M
( )

X3

P 2
R(1
cos )
8
目录
力法方程
11X1 12 X 2 13 X 3 1F 21X1 22 X 2 23X 3 2F 31X1 32 X 2 33X 3 3F
9
目录
协调方程的矩阵形式 （力法正则方程）
11 12 13 X1 1F
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。
20
目录
对称结构
对称结构的对称变形
21
目录
对称结构 对称结构的对称变形
22
目录
对称结构 对称结构的对称变形
23
目录
对称结构，反对称载荷
判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 对称的，则原来的载荷便是反对称的。