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抽象函数题的解法及技巧随着高考改革的不但深入，对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高，其题型包括抽象函数的定义域值域问题，抽象函数的单调性和奇偶性问题，求解析式及对称性问题，现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下，供备考同学们参考使用。
类型一：求抽象函数的定义域。
例题1．（2013高考大纲版数学（理））已知函数f(x ）的定义域为（-1,0）,则函数f （2x-1）的定义域为 (A)（-1,1） (B)（-1，21） (C)（-1,0） (D)（21，1） 解析：因为原函数的定义域为（﹣1，0），所以﹣1＜2x ﹣1＜0，解得﹣1＜x ＜．所以则函数f （2x ﹣1）的定义域为（-1，21）．故选B ． 变式1：已知f （2x-1）定义域是[]2,1，则函数)(x f 的定义域为 答案：[1,3]变式2：已知已知f(2x-1)定义域是[]2,1，则函数)12(+x f 的定义域为 答案：[0,1] 解题技巧：抽象函数是没有解析式的函数，解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质，像例题1这种题型的本质是解不等式，变式1题型的本质就是求函数的值域，变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。
解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来，是解决的技巧所在。
类型二：抽象函数的求值问题：例2.对任意实数x,y ，均满足f(2x +y)=2[f 2)(x ]+f(y)且f （1）≠0，则f2014）=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=1，y=n ，得f （n+1）=f （n ）+22)]1([f , 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,即f （n+1）-f （n ）=21，f （n ）=2n，所以，f(2014)=22014=1007. 解题技巧：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。
打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。
如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解 设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12， 所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))， 所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0， 解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（ ）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解 由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解 由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0）， 所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组 有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。
专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .16．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .17．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x y f x f y =++−=，则()8f = .18．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f = ．19．（2024届厦门一中校考）若定义域为R 的奇函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =++−，且(1)2f =，则(2024)f = ．20．函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R ，恒有()()222x y x y f x f y f f +−⎛⎫⎛⎫+=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()112f =，则()1f −= ，()20221n f n ==∑ ．深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题21．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +−=−，()13f =，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()23f = C ．()()33f x f x +=−−D ．()202313k f k ==∑专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xyf x f y ()=af x x所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误. 方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=， 令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+， 故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'， 令()0f x '<，得120e x −<<；令0fx，得12e x −>；故()f x 在120,e −⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e −⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e −⎛⎫ ⎪⎝∞⎭−上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .2023·山东青岛·统考三模1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．重点题型·归类精讲【答案】1−【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f −，令1y =和y x =−可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =−，则()()()()22212111f f f f =+−=−=，又()10f −<，()11f ∴−=−；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+−=−，f x 关于直线1x =对称；令y x =−，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++−−=+−+=⎡⎤⎣⎦， ()10f x +=不恒成立，()()0f x f x ∴+−=恒成立，f x 为奇函数，()()()2f x f x f x +=−=−，()()()42f x f x f x ∴+=−+=，f x 是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯−=−=−.故答案为：1−.2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =−，可得(0)()()0f f x f x =+−=，所以()()f x f x =−−，所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x −=+−=−， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x −<，即()()0f y f x −<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞−∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f −=；令1y =，可得()()12f x f x +=− ()24f =−，()36f =−；()3(3)6f f =−−=，()f x ∴在[3−，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x −<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =−，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++−，则2(3)(52)f x f x <−，2352x x ∴>−，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ． 安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数， 所以，再令，得， 即，则， 即，故， 所以函数的周期为，所以， 故选：D.4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f = B ．()12f −= C ．()()2f x f x −= D ．()()f x f x −=【答案】ABD【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =−−+，令0x y ==，得()()()20[0]202f f f =−+，而()02f <，则()01f =，A 正确；令x y ==1，得()()()21[1]212f f f =−+，而()()01f f ≠，则()12f =， 令1x y ==−，得()()()21[1]212f f f =−−−+，即()()2[1]21f f −=−，而()0f x >，即()10f −>，则()12f −=，B 正确；令1y =−，得()()()()()112f x f f x f f x −=−−−−+，即有()()()222f x f x f x −=−−+，因此()()f x f x −=，C 错误，D 正确. 故选：ABD5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）0b =()02f =1b =()()2f a f a +=−()y f x =40b =()()()20f a f a f =()y f x =()02f =1b =()()()()111f a f a f a f ++−=()()110f a f a ++−=()()2f a f a +=−()()2f a f a −=−()()4f a f a =+()y f x =4()()()()202624506202f f f f −=+⨯==−=−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，②正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故③正确； 对于D ，若，令 ，则，则， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，，()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑y x =()()200f x f +≥()f n 20231()n f n =∑0x y ==()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()()22020f f =(0)0f =()01f =(0)0f =0y =()()2()(0)0f x f x f x f +==()0f x =()0f x '=()f x '(0)1f =0x =()()2(0)()f y f y f f y +−=()()−=f y f y ()()f y f y −''−=()()f y f y −='−'()f x '()f x 'y x =()()()2202f x f f x +=()()200f x f +≥x ∈R 2,R t x t =∈()()00f t f +≥()()00f x f +≥()112f =1,0x y ==()()()()11210+=f f f f (0)1f =1x y ==()()()22021f f f +=()()1121,222f f +=∴=−2,1x y ==()()()()31212f f f f =+()113,(3)122f f +=−∴=−3,1x y ==()()()()42231f f f f +=()1141,(4)22f f −=−∴=−4,1x y ==()()()()53241f f f f +=()1151,(5)22f f −=−∴=5,1x y ==()()()()64251f f f f +=()116,(6)122f f −=∴=6,1x y ==()()()()75261f f f f +=()1171,(7)22f f +=∴=7,1x y ==()()()()86271f f f f +=()1181,(8)22f f +=∴=−由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，故，故④正确， 即正确的是②③④， 故选：C.2023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则． 故选：D2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】C【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.【详解】令，，则，所以；令，，则，所以；令，则，所以，(),N f n n *∈(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f ()00f =()1f ()1f −()()()2f x f y xy f x y ++=+0x y ==()00f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x =1y =−()()()11200f f f +−−==()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1x −()10f −=()12f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x y ==()()22126f f =+=1x =2y =()()()312426412f f f =++=++=()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x 2x =1y =()()()()223121f f f f =−()32f =−3x =2y =()()()()2251324f f f f =−=()52f =2y =()()()222f x f x f x +−=()72f =−()92f =.令，，则①，令，，则②，令，，则③，假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，.同理可得当x 为偶数时，. 所以原式=.故选：C.8．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A ，令，代入已知等式得，得，故A 错误；对于B ，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B 错误；对于C ，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，，()()()2112kf k k Z +=−⋅∈3x =1y =()()420f f =4x =2y =()()()2624f f f =5x =1y =()()640f f =()40f ≠()60f =()20f =()60f =()40f ≠()40f ≠()40f =()0f x =()()()()138925f f f f ++++=()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()f x ()()()(),f x g y g x f y 1y =−1y =()()()11f x f x f x ++−=−()f x ()20231n f n =∑0x y ==()()()()()000000f f g g f =−=()00f =()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()3cos 2π10g ==≠()g x ()3,0()21g x +()1,00y =1x =()()()()()11010f f g g f =−()()()()110100f g g f ⎡⎤−=−=⎣⎦()10f ≠()100g −=()01g =再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，故C 错误；对于D ，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有， 即：，有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D 正确.故选：D.【点评】：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） 0x =()()()()()00f y f g y g f y −=−()00f =()01g =()()f y f y −=−()f x 1x =1y =−()()()()()21111f f g g f =−−−()()11f f −=−()()()()2111f f g g =−+⎡⎤⎣⎦()()()221f f f =−−=−()()()()1111f f g g −=−+⎡⎤⎣⎦()10f ≠()()111g g +−=−1y =−1y =()()()()()111f x f x g g x f +=−−−()()()()()111f x f x g g x f −=−()()()11f x f x f x ++−=−()()()21f x f x f x ++=−+()()()12f x f x f x =−+−+()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=()()12f x f x −=+()f x ()11f =()21f −=()()221f f =−−=−()()300f f ==()()()1230f f f ++=()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑,x y ,x y ()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑A ．B ．C ．0D ．【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则， 所以，，周期为4，所以.由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以，所以，，所以函数关于点对称， 所以，. 令，则.令可得，，所以，所以， 所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，，，，. 所以，，所以，. 11−12−212()()()28f x f x f ++=()f x ()20f =()21f x +()y f x =()1,03122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()00f =()80f =5122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2721f ⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()135741442443444402222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211132122222k kf k f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()28f x f x f ++=()()()428f x f x f +++=()()4f x f x +=()f x ()()()840f f f ==()()()28f x f x f ++=0x =()()()()2080f f f f +==()20f =()21f x +()()2121f x f x −+=−+()()11f x f x −+=−+()y f x =()1,0()()2f x f x −=−12x =311222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x =()()200f f =−=()00f =()80f =()()()280f x f x f ++==()()2f x f x +=−12x =511222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32x =731222f f ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1114222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3314222fm f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5514222f m f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7714222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()13574144244344442222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11114142434402222m m m m ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯−++⨯−++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211111321212222212222222k kf k fff f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1112122222⎛⎫=⨯+⨯−=− ⎪⎝⎭故选：B.10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点 D ．若()11f =,则()20232023f =【答案】ABD【分析】利用赋值法,令0x y ==判断A 得正误;令y x =−,结合奇函数的定义判断B 的正误;举例判断C 的正误;令1y =,则()()11f x f x +=+,再利用累加法即可判断D 的正误. 【详解】令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确; 令y x =−，则()()()0f x x f x f x −=+−=，所以()f x 是奇函数，故B 正确;令()f x x =，其定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+满足题意，因为函数()f x x =为R 上的增函数,所以0x =不是()f x 的极小值点,故C 错误;令1y =,则()()11f x f x +=+,即()()11f x f x +−=,()()()()()()()2023202320222022202120212020f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+−+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()21111112023f f f ++−+=++++=⎡⎤⎣⎦,故D 正确.故选:ABD.11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=− D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=【答案】ACD【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可. 【详解】A ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x y ==，则有()()20220f f =⇒=，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x =，则有()()()()()()2200f y f y f f y f x f x −−=+=⇒−−=， 因此本选项正确；B ：若()()40f x f x +−=成立，即有()()04f f =， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2x y ==，则有()()()()()24044000f f f f f −=⇒=⇒=，这与()00f ≠相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确； C ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中， 以x −代y ，得()()()()0222f f x f x f x −=+−+，以x 代y ，得()()()2202f x f f x −=+，上面两个等式相加，得()()()()()()222202220f x f x f x f x f x f x ⎡⎤+++−+=⇒+++−+=⎣⎦()20f x ⇒+=，或()()220f x f x ++−+=，当()20f x +=时，则有()00f =，显然与()00f ≠矛盾，因此()()220f x f x ++−+=，于是有()()()()()()44()8f x f x f x f x f x f x f x =−−⇒+=−−=−⇒+=， 因此函数()f x 的周期为8，由()()()202060f f f =⇒−=⇒=， 由()()()()440f x f x f f =−−⇒=−， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2,1x y ==，得()()()()()()()()31433103f f f f f f f f −=⇒−=−，令1x y ==，得()()()()()2220330f f f f f −=⇒=−，由()()()()22031f x f x f f ++−+=⇒=−，于是有()()()()()()()()()()2331033023331f f f f f f f f f f ⎧−=−⎪=−⇒=⎨⎪=−⎩， 因为()()2300f f =−≠，所以由()()()3223332f f f =⇒=，于是()02f =−，因此()()()()02460f f f f +++=，()()()()()()02420242530202402f f f f f f ++++=⨯+==−，因此本选项正确；D ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令()2N x y n n *==−∈，所以有()()()2240f n f f n −−=，因此有：()()()()22221232024f f f f ++++()()()()()()()()()()2000204040440f f f f f f f f f f =−−+−+−+−++−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为()02f =−，()()220f f −==，()()()()02460f f f f +++=， 函数()f x 的周期为8，所以()()()()22221232024f f f f ++++()050620240f ⎡⎤=⨯+⋅−⎣⎦020*******=+⨯=，因此本选项正确， 故选：ACD.12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑【答案】BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C ；利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++−=可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B ，当(0)0f =时，令0y =，则()()2()(0)0f x f x f x f +==，则()0f x =， 故()0f x '=，函数()f x '既是奇函数又是偶函数；当(0)1f =时，令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +−=，所以()()−=f y f y ， 则()()f y f y −''−=，即()()f y f y −='−'，则()f x '为奇函数， 综合以上可知()f x '必为奇函数，B 正确；对于C ，令y x = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥.由于x ∈R ,令2,R t x t =∈,即()()00f t f +≥，即有()()00f x f +≥，故C 正确；对于D ，若()112f =，令1,0x y == ，则()()()()11210+=f f f f ，则(0)1f = ，令1x y ==，则()()()22021f f f +=，即()()1121,222f f +=∴=−，令2,1x y ==，则()()()()31212f f f f =+，即()113,(3)122f f +=−∴=−， 令3,1x y ==，则()()()()42231f f f f +=，即()1141,(4)22f f −=−∴=−， 令4,1x y ==，则()()()()53241f f f f +=，即()1151,(5)22f f −=−∴=，令5,1x y ==，则()()()()64251f f f f +=，即()116,(6)122f f −=∴=， 令6,1x y ==，则()()()()75261f f f f +=，即()1171,(7)22f f +=∴=，由此可得(),N f n n *∈的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++= ， 故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑，故D 正确， 故选：BCD.13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤【答案】ACD【分析】A.通过赋值，求()0f 的值；B.赋值0x =，即可判断函数的奇偶性；C.赋值1y =，利用函数()()()1f x f x g x −+=的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明()24f x ≤，即可判断.【详解】A.令1,0x y ==，有()()()()1110f f f f +=⋅，得()02f =，A 正确；B.令0x =，得()()()()0f y f y f f y +−=⋅，()02f =，则()()−=f y f y ，函数的定义域为R ，所以函数为偶函数，故B 错误；C.令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++−=⋅，即()()()()110f x f x f x f x +++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 设()()()1f x f x g x −+=，则()()10g x g x ++=，所以()()()21g x g x g x +=−+=，所以函数()g x 的周期为2，()()()101220g f f =+=−=，()()()3230g f f =+=，…，()()()2023202220230g f f =+=，所以()()()()()0123...20230f f f f f +++++=，()02f =， 所以()()()()123...20232f f f f ++++=−，故C 正确， D.由()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，()02f =，12f ，令12x y ==，得()()211002f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 将y 换成x ，得()()()220f x f f x +=，①，将,x y 换成12x +，得()()212102f x f f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，②，将x 换成122x +，y 换成12，得()()112122022f x f x f x f ⎛⎫⎛⎫++=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③, ①+②-③,得()()2212042f f x f x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则()24f x ≤，得()22f x −≤≤，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D 选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断()01f =或()00f =，进而判断A ，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C ，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令0x y ==，则()()()()()0020000f f f f f +=⇒=或()01f =，故A 错误， 若()01f =时，令0x =，则=20=f y fy f y f fy f y ，此时()f x 是偶函数，若()00f =时，令0y =，则=20=0f x f x f x f f x ，此时()f x 既是偶函数又是奇函数；因此B 正确，令12x =，则()111112=0=022222f y f y f f y f y f y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=⇒++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确，由()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称可得=1f x f x，结合()f x 是偶函数，所以=1=1=2=2f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为2，令12x y ==，则()()11102=022f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12=10=0f f f f ，进而()()()()()122022101112=0f f f f f ⎡⎤+++=⨯+⎣⎦，而()2023(1)(0)f f f ==−，由A 选项知()00f =或()01f =，所以()()()1220230f f f +++=或1−，故D 错误.故选：BC15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再结合()()2f x f x =−求出(1),(2),(3)f f f 即可求解作答. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，由()()()21f x f x f x +=−+−，得(3)(2)(1)(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=，因此函数()f x 是以3为周期的周期函数，且()(1)(2)0f x f x f x ++++=，即(1)(2)(3)0f f f ++=， 由()3651f =−，得(2)1f =−，又()()2f x f x =−，(3)(0)(2)1f f f ===−，从而(1)(2)(3)2f f f =−−=，所以20231()674(2(1)(2)3[((1]1)))k f f k f f f f =+=⨯=++=∑.故答案为：216．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .【答案】14【分析】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，构造函数()1cos 23xf x π=求解. 【详解】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=， 注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数()1cos 23x f x π=，则()111cos 234f π==， ()()()()11cos cos 23323311cos cos 4cos cos 4,332323x y x y f x y f x y x y x y f x f y ππππ⎛⎫⎛⎫++−=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ==⋅⋅=故函数()1cos 23xf x π=满足题意，而函数()f x 是周期2π6π3T ==的函数，()()()120233376114f f f ∴=⨯+==. 故答案为：14.【点睛】：抽象函数可以选择构造函数（特例构造法），此题主要是联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，并且还要根据1(1)4f =构造出合适的函数()1cos 23x f x π=，再由周期性解决问题，达到富有创造力的解题效果。
第8讲抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一：具体函数抽象化解不等式题型二：构造幂函数型解不等式题型三：构造指数函数型解不等式题型四：构造对数函数型解不等式题型五：构造三角函数型解不等式题型六：构造()kx x f +型函数解不等式题型七：复杂型：二次构造【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围.【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可.【详解】解：因为()ln e x x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e (4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=-又,()0x ∈+∞时，21111,(24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增；又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41>所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>.故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________.【答案】2x ≥-【解析】【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增，所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-.故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（）A ．（0，2022）B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x'-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】设()()2f x g x x=，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =，则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数，所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >；当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<；所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞ .故答案为：()()2,02,-+∞ .【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-，即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----，构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->，所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----，由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足；（3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>.综上，,()0x ∈+∞.故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D 【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解.【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-，即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-.故选：D .【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（）A ．()()2e 24ef f >B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得.【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解.【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=，所以()()221g g -==．对于不等式()1f x x>，当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<，所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞ ．故答案为：()()2,02,-+∞ 【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（）A ．()20192017--，B ． 20211()209--，C ．()20192018--，D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案.【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()23 2'xf x x f x x +<，即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =，则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()() 242F f -=-，即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x Q 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-.故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞ 上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<，∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞ 上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数，∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ，∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞- .故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案.【详解】设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x'-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g xg >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令()()xf xg x =e ，R x ∈，则()()()e xf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<，所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e e f g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eexf x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-.故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R上单调递减，再求出()01202e g =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可.【详解】设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2e ex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =，所以()()122020e 1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．()3,-+∞B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C【解析】【分析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解.【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=.令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-.令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+.所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()xf xg x =e，所以()()()exf x f xg x '-'=.因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e在R 上单调递减.不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <.所以0x >.故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e xf x <的解集为（）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可.【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【解析】【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时,()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞.故答案为:()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>e e【答案】D 【解析】【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x x g x f x =-，则()()()e 10xg x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>.故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决.【详解】设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=，由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->>则()()()10e xf x f xg x '-'=->，所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >．故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()1e x f x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.【详解】构造函数()()1e xf x F x +=，则()()()()()2e 1e1e ex xx xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e x f x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022exf x +>，又()02021f =，所以()()00102022ef F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-.故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________【答案】()0,∞+【解析】【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+.故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】【分析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x xF x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+，令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0x f x -<的解集为（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式.【详解】设()()ln F x f x x =-，0x >则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'，所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=，且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0x f x -<得：()()e 1xF F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >，故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0xf x +>的解集为___________.【答案】(ln 2,)+∞【解析】【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+>所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln 2,)+∞.故答案为：(ln 2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案.【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称．令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x '，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111(()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且 1e 1e >>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1(0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】由题意，设()()cosf xg xx=，利用导数求得()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()(4g x gπ<，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设()()cosf xg xx=，则2()cos()sin()cosf x x f x xg xx'+'=，当02xπ<<时，因为()cos()sin0f x x f x x'+<，则有()0g x'<，所以()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cosf x f xg x g xx x--===-，所以()g x是偶函数，由()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos4f xxπ<，即()()4cos cos4ππ<ff xx，即()(4g x gπ<又由()g x为偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4xπ>，解得24xππ-<<-或42xππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x.有()cos()sin0f x x f x x'+<，则关于x的不()2cos6x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．,63ππ⎛⎫--⎪⎝⎭D．,26ππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】令()()cos f x F x x =，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x =，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x +=<函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数．不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-U ，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '->，则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为A ．(,0)(,)66πππ-B ．(,0)(0,)66ππ-⋃C ．(,)(,)66ππππ--⋃D ．(,)(0,)66πππ--⋃【答案】D 【解析】【详解】根据题意，可构造函数()f x g x sinx=（），其导数()()2f x sinx f x cosxg x sin x'-'=（）当0x π∈（，）时，有’0f x sinx f x x -（）（）＞，其导数0g x g x '（）＞，（）在0π（，）上为增函数，又由f x （）为奇函数，即f x f x -=-（）（），则()()()()f x f xg x g x sin x sin x --===-（）（），即函数g x （）为偶函数，当0x π∈（，）时，0sinx ＞，不等式()12()6626f x f x f sinx fg x g sinx πππ⇒⇒（）＜（）＜（）＜（），又由函数g x （）为偶函数且在0π（，）上激增，则66g x g x ππ⇒（）＜（）＜，解得 66x ππ-＜＜此时x 的取值范围为06（，）π；当0x π∈-（，）时，0sinx ＜，不等式()()62162f f x f x f sinx sinx ππ⇒（）＜（＞6g x g π⇒（）＞（），同理解得此时x 的取值范围为6ππ--（，）；综合可得：不等式的解集为,0,66πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数()f x g x sinx=（），，并利用导数分析g x （）的单调性．题型六：构造()kx x f +型函数解不等式【例1】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A 【解析】【详解】构造函数法令2()()2F x f x x =-，则1()()402F x f x x ''=-<-<，函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，因为2()()()()40F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(,)-∞+∞上为减函数，而不等式3(1)()32f m f m m +≤-++可化为(1)()F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-.选A.【例2】设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增，∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数()f x 满足：R x ∀∈，()()2cos f x f x x +-=，且()sin 0f x x '+<．若角α满足不等式()()0f f παα++，则α的取值范围是（）A ．,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A。
