抽象函数问题的求解策略探究完整版

抽象函数问题的解题策略固镇二中陈学军2012-5-15抽象函数问题的解题策略抽象函数问题是高考中的热点、难点问题，处理这类问题往往需要深厚的数学知识的积淀。

同时掌握必要的解题技巧，对解决这类问题也有很大帮助。

下面通过实例来分析一下。

一、合理赋值对于求值问题，要善于通过对已知条件和结论的观察、比较，大胆尝试。

通过对变量合理赋值，使问题得到解决。

例1.已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x,y∈R， f(x＋y)=f(x)+f(y)-1,则f(0)=______解：令x=y=0，得f(0)=1二、合理变形通过合理变形，使条件和结论更接近。

常见的变形有：和差互化、积商互化等。

例 2.对于任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y),且对任意x>0有f(x)>0,求证:f(x)是R上的增函数。

分析：根据函数单调性的定义，要证f(x)在R上是增函数，即证对任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0，也就是说，结论中出现的是函数值的差。

而条件中出现的是函数值的和，两者不“融合”，这就需要对条件进行“和差”互换，以使条件能和结论“融合”。

证：∵对任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y)∴f(x)=f(x+y)-f(y)而x=x+y-y即f(x+y-y)=f(x+y)-f(y),设x>0,则f(x)= f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)>0,令x+y= x2y= x1则x+y>y,即x2> x1 ,f(x2)>f( x1),由于x,y的任意性，∴x1,x2也是任意的。

由函数单调性的定义知f(x)是R上的增函数。

例3.已知f(x)是定义域为R的函数，且对任意x∈R,f(x)>0,对任意x,y∈R，f(x＋y)=f(x)〃f(y)，x>0时，f(x)>1.(1)求f(0)的值；（2）求证：f(x)是R上的增函数解：（1）通过合理赋值，令x=y=0,则由f(x＋y)=f(x)〃f(y)得f(0)=f2(0),又∵f(x)>0,∴f(0)=1.(2)分析：证明f(x)在R上单调递增，常用以下两种方法：一、证任意x1, x2∈R，且x1 <x2,证明f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.二、当f(x)>0时，证明对任意x1, x2∈R且x1 <x2 ，f(x2)/ f(x1)>1.从本题的条件来看，可以看出它和方法二所需结果较为接近，而要把已知条件转化为所需结论，就需要实现两个转化：1.和差转化。

抽象函数问题的求解策略425300　湖南省道县一中　李晓华1　抽象函数问题抽象函数专指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出函数所满足的部分性质、运算法则或特殊条件的一类函数1由于此类函数问题既能考查学生对函数概念、性质的全面掌握情况,又能考查学生的代数推理、论证能力,还能考查学生对数学符号语言的阅读理解和综合运用能力以及对“一般”与“特殊”的辩证关系的认识能力,对发展学生思维能力,进行数学思维方法的渗透有较好的作用,因此而成为高考的一大命题热点,在近几年的高考中频频出现12　求解策略抽象函数问题,由于其本身所具有的模型抽象和给出的性质的隐蔽性,使得它的求解没有常规方法1这类问题的解法常常涉及到函数的概念和各种性质,因而具有抽象性、综合性和技巧性等特点1解题时需要通过对题目的信息作出具体分析与研究,根据不同的性质条件采用不同的方法和手段,可用的方法与手段有1211　赋值代换法在许多情况下,抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式,因此在解决此类抽象问题时,赋值代换是一个最基本、最重要的策略:在所给函数式中,对所要证明或求解的式子作结构上分析,在函数的定义域内对自变量采取对应的代换赋值,使所要证明或求解式子的结构与已知式的结构趋于相同,以帮助我们达到变形化简的目的1例1　设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于A10 B11 C152 D15分析　用赋值代换法,先设法求出f(2)的值,再利用f(5)=f(1+2+3)达到求值目的;解答　令x=,则f()=f()+f(),∴f()=f()f()=f()=,∴f(5)=f(3+)=f(3)+f()=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2)=52,故正确选项为C1例2　设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且同时满足条件:(ⅰ)f(-1)=f(1)=0;(ⅱ)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|;证明:(1)对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;(2)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤11分析　注意对所需证明或求解的式子作结构上的变化,使所要证明或求解的问题的结构与已知的结构相同,(1)即要证|f(x)-f(1)|≤|x-1|;(2)中会优先考虑证|u-v|≤1,当发现不能直接推证出这一结论时,可以分类得出结论1解答　(1)由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x;(2)对任意的u,v∈[-1,1],当|u-v|≤1时,显然有|f(u)-f(v)|≤1,当|u-v|>1时,必有uv<0,不妨设u<0,v>0,则v-u>1,其中v∈(0,1],u∈[-1,0),此时|f(u)-f(v)|=|f(u)-f(-1)-(f(v)-f(1))|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v -1|=1+u+1-v=2-(v-u)<1,综上可知,对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤11212　背景函数法一般地,考题中出现的大量抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得,现行中学教材中学过的基本函数有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数,我们称这些初等函数为背景函数1给出此类命题时,会同时给出一些对应的抽象性质,解题时,虽然这些背景函数不能代替具体的证明和解答,若能根据条件从所给的性质特征出发,由研究抽象函数的“背景”入手,通过类比、联想,去猜想它所对应的“背景”函数,然后根据这种背景函数的相关结论和22　(2009年第6期高中版) 解题研究-11-1221--121122性质来预测、猜想出抽象函数可能具有的性质和结论或者得到某一结论的证明思路,也就是说利用背景函数作为指路灯往往能够寻觅到解题的切入点1常见的性质与对应的背景函数如下:(1)正比例函数型的抽象函数f(x)=kx(k≠0)→f(x±y)=f(x)±f(y)1(2)幂函数型的抽象函数f(x)=x a→f(xy)=f(x)f(y);f(xy)=f(x)f(y)1(3)指数函数型的抽象函数f(x)=a x→f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=f(x) f(y)1(4)对数函数型的抽象函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)→f(x y)=f(x)+f(y);f(xy)=f(x)-f(y)1(5)三角函数型的抽象函数f(x)=tan x→f(x+y)=f(x)+f(y) 1-f(x)f(y);f(x)=c o tx→f(x+y)=f (x)f(y)-1f(x)+f(y)1例3　函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2,都有f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2)成立,判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论1提示　背景函数为f(x)=tanx,可以判断f(x)为奇函数,证明如下:f(x)=f(x-0)=f(x)-f(0) 1+f(x)f(0),f(-x)=f(0-x)=f(0)-f(x) 1+f(x)f(0),显然f(x)=-f(-x),故f(x)为奇函数1313　定义分析法抽象函数问题一般以单调性、奇偶性和周期性为主要研究对象和考查对象,若能注意利用相关定义对所给的条件进行定向分析,有利于发现解决问题的思路与方法1另外,解决抽象函数问题时,整体思维、特殊化方法、数形结合思想都可以派上用场1例4　已知定义域为正实数集,值域为实数集R的函数f(x),对于任意正实数x,y总有f(xy)=f(x)+ f(y),且当x>时恒有f(x)>1()求证函数f(x)必有反函数;(2)设f(x)的反函数为f-1(x),若不等式f-1(-4x +k2x-1)<1对于任意实数x恒成立,求实数k的取值范围1分析　若一个函数是定义域上的单调函数,则这一函数必有反函数,而解抽象函数不等式时往往也离不开利用函数的单调性性质,因此求解两问的关键就是要判断出函数的单调性来,这可以从定义出发,利用已知的函数关系式1解　(1)依题意,f(xy)-f(x)=f(y),令x1=xy,x2=x,则y=x1x2,设x1>x2>0,则x1x2>1,∴fx1x2>0,故得f(x1)-f(x2)=fx1x2>0,即证得f(x)是单调增函数,所以函数f(x)必有反函数1(2)令x=y=1,则有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故f-1(0)=1,原不等式化为f-1(-4x+k2x-1)<f-1(0),由于函数与其反函数有相同单调性,故f-1(x)也是增函数,则-4x+k2x-1<0恒成立,即k<4x+12k恒成立,所以g(x)=4x+12x=2x+12x≥2,当且仅当x=0时取等号1故k<2为所求的取值范围1例5　定义在(-1,1)上的函数f(x)同时满足下列两个条件:(1)对于任意实数x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y) =f(x+y1+xy)成立;(2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0成立1试判断f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)与f(12)的大小,并证明你的结论1分析　这是一道与不等式和数列相综合的抽象函数问题,审题后,可以从如下三个方面作出思考1首先,问题涉及到函数值之间的大小比较,一般要研究函数的单调性;其次,注意到第二个条件给出的仅是部分区间上函数的局部性质,还应该研究函数的奇偶性,以确定32解题研究 (2009年第6期高中版)10 1:它的整体性质;再有和式f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)与自然数有关,可以考虑对其化简求和,在求和的过程中要加强对条件1的理解运用,合理运用裂项相消方法1解　令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,则f(x)+f(-x)=0,∴函数在(-1,1)上是奇函数,设-1<x1<x2<0,则x1-x2<0,1-x1x2>0,x 1-x21-x1x2<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,∴f(x1)>f(x2),即函数在(-1,0)上是单调减函数,由奇函数的对称性可以证得函数在(-1,1)上都是单调递减的,且在(0,1)上f(x)<0;由f(1n2+3n+1)=f[1(n+1)(n+2)-1]=f[1(n+1)(n+2)1-1(n+1)(n+2)]=f[1n+1-1n+21-1n+1×1n+2]=f(1n+1)+f(-1n+2)=f(1n+1)-f(1n+2),∴f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)=f12-f13+f13-f14+…+f1n+1-f1n+2=f12-f1n+2>f121故得f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)>f(12)1抽象函数是考试中经常考查的问题,考生面对此问题会本能地产生恐惧,其实抽象函数的面纱并不神秘,只需多留心观察平时学过的函数,借助这些基本函数,抓住其特征结构,打开思维的闸门,问题是能解决的1从前面的分析可以看出,从特征结构式联系原型函数,其作用是显然的,一旦类比对路,那它就属于一捅就破的东西1因此在学习时,一方面要掌握基础,另一方面要触类旁通,这样才能进一步优化思维品质1虽然抽象函数问题有一定的难度,但只要在平时学习中注意认真归纳总结,牢固掌握基本初等函数的性质积极进行联想对比,就不难获得解决问题的思路,并且能够在提高学生的解题能力、培养学生思维的灵活性和创新意识方面收到良好的效果1(收稿日期:20090408)一道数学问题的简单证明350007　福建省福州市第十六中学　侯雪花 文[1]给出如下一个不等式证明问题.△A BC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.证明:sin A2+sinB2+sinC2≥3rR1本文将给出此问题的一个简单证明.证明　记△A BC的面积和半周长为Δ,s,三边长为a,b,c,则rR =ΔRs=bcsin A2Rs=bcsin AR(a+b+c)=2sinAsinB sinCsinA+sinB+sinC=2sinA sinB sinCA B C=B,从而可知sin A2sinB2sinC2=r4R,又欧拉(Euler)不等式R≥2r可得12≥rR,所以sin A2sinB2sinC2=r4R=122rR≥rR3,显然sin A2,sinB2,sinC2>0,故由均值不等式可知sinA2+sinB2+sinC2≥33sinA2sinB2sinC2≥3rR,证毕.参考文献邹守义数学问题数学通报,(收稿日期)42　(2009年第6期高中版) 解题研究4co s2cos2cos24sin A2sin2sinC2.1779..20092:20090401。

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一：定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题，其求解的一般思路是：紧扣有关概念，充分利用定义来解决问题。

例1： 已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．变式：设f(x)对任意x,y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，f(x)<0，f(1)=－2．（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.策略之二：特殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征，从满足题设条件的特殊函数（或特殊值）入手分析、研究，寻求问题的解题思路或结论。

例2、定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间（0，+∞）的图象与f(x)的图象重合。

设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ） A 、①与④B 、②与③C 、①与③D 、②与④策略之三：整体思想运用整体思想进行求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。

例3、已知f(x)、g(x)为奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+3（a,b 为常数），若F(4)=-4，则F(-4)=。

策略之四：巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系，经过推理或计算来解决问题。

例4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（ ）A 、增函数且最小值为-5B 、增函数且最大值为-5C 、减函数且最小值为-5D 、减函数且最大值为-5策略之五：数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息，运用数形结合思想方法来解决问题。

抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数 的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中 数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养 学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近 几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文 根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求 解抽象函数问题的策略。

一、 利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有:例1、若函数/（兀）具有性质：1. 为偶函数；2、对任意都有足条件的f ⑴的一个解析式即可） 分析：看到已知条件中有关于龙的不等式，所以联想到三角函数，结合 几兀）为偶函数，得满足条件的函数几兀）的解析式是f （x ）= cos4^或/(x) = |sin 2x| o例 2、 若函数/（x ）和g （x ）在 R 上有定义，且f(^-y) = f(^)g(y)-f(^)g(y)9f(-2) = f(i)^o 9 则 g(i) g(i)+g(_i) = _。

(用数字作答)。

分析与解：v/(x-y) = /(x)g (y)-/(x)g(y),则函数的解析式可以是 （只须写出满・•・联想到三角公式，可取/(x) = sin%,则/(兀)是奇函数，于是有：sin(-2)= sin(-1-1) = sin(-l)cc?c(l)-cos(-l)sin(l) = sinl cos 1 +cos(-1) =sinlcosl + cos(-l) =-1,即g(l) + g(-l) = _l例3、设函数/(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有/(n + m) = /(/??)/(/?)且x>0,时0</(x)<l,⑴证明:/(0) = 1,且当xvO时,/(兀)>1(2)证明:/(兀)在R上单调第减.⑶设 A = /{(x,y)|/(x2)/(/)>/(l)},B = {(x,y)|/(ax-y + 2) = l,ae/?} … 若4门3 = 0,确定。

浅谈抽象函数的几种问题求解策略摘要：抽象函数问题是近年来高考考查的热点之一，其中关于周期性、对称性是考查的重难点.本论文以高考常考题型为背景，较详细地归纳了各类题型及其解法点拨，并给出了历年高考题作为例题说明，对以周期性问题与对称性问题本文归纳了一些常考性质并给出了部分证明.关键词：抽象函数换元周期性奇偶性一、引言函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点内容.近几年来，以抽象函数为背景或载体的函数问题成为高考函数命题的新亮点[1].所谓抽象函数是指没有给出具体的函数解析式和函数图象，只给出的的一些性质，并且它所涉及的知识较广泛，处理方法也不唯一，因此抽象函数是高中数学的一个难点.二、几种抽象函数问题的求解1、定义域问题在高中数学中，关于抽象函数的定义域问题一般会出现2种题型：对于已知或的定义域，求函数或的定义域的题型解法可表示为：若已知的定义域为，相当于已知的定义域为，据此求出的值域就是的定义域；若已知的定义域为，相当于已知的值域为，据此只要求出函数关于的定义域就是的定义域.对于已知函数的定义域，求函数的定义域(其中，均为关于的函数)，可利用的定义域作为过渡，也就是若已知的定义域，则先求出的定义域，然后由的定义域再求出的定义域.例1若函数的定义域是[0,2]，求函数的定义域.解：∵的定义域是[0,2]，则对于函数有，即.∴函数的定义域为[0,1].而分母不能为0，故.∴函数的定义域为[0,1).2、奇偶性、对称性问题在高中数学中，函数的对称问题是个难点也是重点，学生在学习的过程中感觉难以理解，而且易混淆.其实函数的对称性质只有两类：一类是函数自身对称；另一类是函数与函数的对称.其中对称又分为关于点对称、关于直线对称.另外，抽象函数的对称问题也可以转化为函数图象变化来考虑，通过函数图象按照题设的变化来找出其中的对称点或对称直线.下面将其几条对称性质加以归纳：性质1.对于函数，若为奇函数，则成立，那么函数的图象关于点对称[2].性质2.对于函数，若为偶函数，则成立，那么函数的图象关于直线对称[2].性质3.函数与函数的图象关于点对称[2].性质4.函数与函数的图象关于直线对称[2].例2设函数是定义在实数集上的偶函数，则函数与的图象关于（）1.直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称解：若熟悉上述几种对称情况时不难知道选D.函数与函数关于y轴对称，函数是由函数向右平移了2个单位，函数是由向右平移了2个单位，故对称轴也向右平移了2个单位，由变为，故选D.3、周期性问题在高中数学中，函数的周期性考查较多，其中抽象函数的周期性问题常常与奇偶性、数列等知识结合考查，难度适中.要解决此类问题首先就要从题设中找到函数的周期，再结合其它知识那么这类问题就能够顺利解决.1.型如[3].令，则,即成立，即函数是以为周期.2.型如.，即函数是以为周期.3.型如.用代换,得到,即，即函数是以为周期.4.型如.用代换，则，即，即函数是以为周期.例3 已知函数的定义域为R，且满足，求证：是周期函数.证明：∵∴，即函数是以4为周期的周期函数.4、单调性问题在高中数学中，函数的基本性质是非常重要的，特别是函数的单调性是必考的内容之一，其中抽象函数的单调性问题主要会从三方面来考察：一是用定义证明函数的单调性；二是利用函数单调性求函数的最值；三是用函数的单调性求解不等式与证明不等式[4].下面对上述问题结合实例作简要说明：当抽象函数与不等式结合考查时一般就是求解不等式与证明不等式，此类问题的综合性较强而且比较繁琐，但是只要能够巧妙地利用赋值转化、反证、递推等特殊方法再结合不等式的性质，此类问题就迎刃而解了.例4 函数的定义域为，，对任意，，求的解集.解：设，则，即在时为增函数，由，即也就是的解为(-1,∞).所以的解为(-1,∞).5、函数值问题在高中数学中，关于抽象函数值得问题考查频率较高，一般会从值域、函数值、最大值、最小值、比较函数值大小等方面考查，值域、最大值、最小值问题一般考查会涉及单调性、奇偶性等内容.对于求函数值的方法一般是采用赋值法求解，也就是结合题设中的已知条件，取特定的值代入求解即可，其中在迭代的过程中容易出错.例 5 设函数的定义域为,且为偶函数，为奇函数，则（）解：因为函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即.又为奇函数，所以.设，则，所以，所以.又易得到函数的周期为4，所以不一定为0.故选.小结本文主要对高中数学中经常出现的抽象函数问题进行归纳并给出解法及点拨，其中包括定义域问题、函数值问题、奇偶性问题、单调性问题、对称性问题、周期性问题等.通过历年高考数学题发现，高考涉及到的抽象函数问题难易程度一般都会偏难，其综合性较强，对学生的综合素养要求较高.本文尚有不足之处还望各位老师批评指正.参考文献[1] 袁建民，熊群，刘南山.应重视以抽象函数为背景的高考函数命题趋势[J].中学数学研究，2007，2：19-22.[2] 黄以民.抽象函数对称性的证明与辩证[J].考试（高考版），2003，04：47-48.[3] 郑艳.从抽象函数形式看函数性质[J].教育教学论坛，2011，15：200.[4] 张国栋.例谈抽象函数单调性问题的求解[J].中学数学研究，2006，7：31-32.。

抽象函数的解题策略1．理解抽象函数：首先，应该了解抽象函数的定义，它是指一个函数不涉及具体的参数值，而是做出一般性的抽象，表达一般行为的形式。

2．掌握函数的概念：除了理解抽象函数的定义外，还需要掌握函数的概念，它被定义为一个参数变量到另一个输出值的关系，一般分为变量和参数，参数是可以改变的。

3．熟悉函数的几种类型：熟悉函数的几种类型，有一元函数、双元函数、多元函数以及化简函数，以及还有抽象函数等，仔细分析各种函数，理解抽象函数的特点，并利用这些特点解决问题。

4．理解函数运算：函数运算是关于函数关系的常见解决方案，其中包括函数的求值、常见函数的图像因素、单调及其他运算，要想解决抽象函数的问题，需要理解这些函数的运算，充分利用数学知识找出最佳的解决方案。

5．利用特殊工具解决特殊问题：特殊工具包括特定编程语言，如C 语言或Matlab，还有函数图像分析等，然后利用这些特殊工具来解决抽象函数的问题。

6．通过图像因素处理：利用图像因素处理的方法，可以解决抽象函数的复杂性及其他问题，因此，当需要解决抽象函数问题时，可采用图像因素处理的方法进行解决。

7．建立抽象模型：抽象模型是指通过不涉及具体数字的方法来描述函数，可以利用单位跳变模型、皮克定理以及关于解析函数分析的常见方法，结合抽象模型，可以很好的解决抽象函数问题。

8．利用算法工具：在解决抽象函数的问题时，可以采取算法的方式来解决，在算法方面，包括基本的数学归纳法、分式法、牛顿迭代法、区间分割法、差值拟合法等，可以利用算法工具求解抽象函数的问题。

9．结合实际：最后，解决抽象函数的问题时，还可以结合实际情况，借鉴或者组合已有方法，根据实际情况及需求来抽象通用解决方案，使得解决问题更加简单、高效。

的形式，二是要判断函数的单调性，再根据函数 的单调性，将抽象函数不等式的符号 去掉，得到具体的不 等式再求解。
五、结束语 解决抽象函数问题的策略还有很多，本文只是给出了几种 常见的方法，在解题时选择恰当的方法对解决抽象函数问题会 有意想不到的效果。在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑 如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质， 如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能 利用数形结合的方法，则抽象问题又会变得更加具体形象，更 有利于问题的解决。对常见方法的理解、分析和灵活运用，需 要学生在平常的学习中认真领悟、主动思考和探索，不断突破 难点，提高分析问题和解决问题的能力。 参考文献： [1] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教 材研究开发中心.数学1必修[M].A版.北京:人民教育出版社， 2004. [2] 舒忠田.抽象函数问题解题方法选粹[J].江西教育学 院学报(综合)，2012，6.
浅谈抽象函数问题的解决策略
刘传星
(广东省佛山市高明区第一中学)
摘 要：抽象函数是高中数学的一个重点和难点。现行高 考对学生数学思维能力的要求越来越高。近年来，抽象函数成 为了高考的热点。抽象函数能比较全面的考查学生对函数的基 本概念、基本性质、函数图像和数形结合思想的掌握情况，综 合考查学生数学推理和转化能力。
关键字：抽象函数 能力 性质 引言 函数是高中数学的核心内容，它对于学生掌握双基和思维 能力的发展具有十分重要的意义。通常所说的函数[1]，一般都 具有解析式、图像、表格等某种具体的表现形式。而抽象函数 是指不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或某些特征的 函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现 数学的本质特征，又能体现新课标、新高考对数学知识和技能 的考查，突出高考的能力立意。然而，由于抽象函数本身的抽 象性及其性质的隐蔽性，很多学生碰到此类问题时感到束手无 策。本文介绍几种解决抽象函数问题的基本方法，力求使抽象 函数问题的解法有“章”可循。 一、赋值法 赋值法的基本思路是：根据函数的概念和性质，通过观察 与分析，将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对 变量赋予一些具体的、特殊的值，构造出所需条件或发现某些

抽象函数是数学中一个重要的概念，它用于表达抽象问题。

抽象函数可以帮助我们解决各种复杂问题，但如何正确地使用它们来解题是一个棘手的问题。

在本文中，我们将探讨抽象函数的解题策略，以帮助读者正确地解决抽象函数问题。

首先要明白，抽象函数是一种推理。

它们帮助我们找出一个函数的一组可能的值，这些值可以满足给定约束条件。

因此，使用抽象函数解决问题的关键是，要确定函数的可能值范围，只有这样，你才能选择一个最优解。

具体来说，要解决一个抽象函数问题，可以按以下步骤：
1. 首先，对函数的参数进行推断：它们是何种参数，可以取的范围是多大？比如说，整数型参数是否有范围限制？
2. 确定函数的参数大致范围，以限定函数的范围。

3. 测试函数取值。

试着进行一些取值测试，观察函数的输出，以期找到函数的最优解。

4. 通过观察函数的取值，识别它的模式。

5. 作出结论，确定函数的最优解。

此外，在解决抽象函数问题时，你还可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。

只有理解了这些工具，你才能更好地探索和解决抽象函数问题。

总之，抽象函数是一种有力的推理工具，可以用来描述问题的解决过程。

解决抽象函数问题的核心是确定函数的可能值范围，这可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。

当你掌握了这些技能，就可以更好地研究并解决抽象函数问题。

例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学 贺明荣 （200940）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。

一般地，抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。

这类1000561．评注： 当f(x)是定义在自然数集N 上的函数时，可根据题中所给函数方程，通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系，然后根据递推关系进一步求解 ．2、适当赋值例2、设函数y=f(x)（x ∈R 且x ≠ 0），对任意实数x 1 、x 2 满足f(x 1)+ f(x 2)= f(x 1·x 2) ．(1) 求证：f(1)=f(-1)=0；(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3) 已知y=f(x)在（0，+∞）上为增函数，解不等式f(x)+f( x -12)＜0．． -12)〕或 -1解得1-17 4 ＜x ＜ 1+17 4 且 x ≠0 , 12． 评注： 对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的 ．3、巧妙换元例3、设f(x)的定义域为｛x∣x≠0,且x≠1｝，满足f(x)+f(x-1x)=1+x ， (1)求f(x) ．解：令x =y-1y(y≠0，y≠1)，并将y 换成x，得f(x-1x)+f(11-x)=1+x-1x， (2)，即求f(x)在〔-3 ， 3〕上的最大值和最小值．解：任取-3≤x1＜x2≤3 ，由条件（1）得f(x2)=f〔(x2-x1)+x1〕= f(x2-x1)+f(x1)，∴ f(x2)- f(x1) = f(x2-x1) ，∵ x2- x1＞0 ，由条件（2）得 f(x2-x1) ＜0 ，∴ f(x 2) ＜f(x 1) ， ∴ f(x)在〔-3 ， 3〕上 单调递减．在（1）中令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0) ， ∴ f(0)=0再令x=-y ， 得f(x-x)=f(x)+f(-x) ， ∴ f(-x)= -f(x) ， 从而f(x)为奇函数，比如，证明： 由（1）得， f(x+c)+f(x)=2f(x+c 2)f(c 2)=2f(x+c2)×0=0 ，∴ f(x+c)+f(x)=0 ，∴ f(x+c)= - f(x) ， ∴ f(x+2c)=f 〔(x+c)+c 〕= - f(x+c)= f(x) ， 又因为c ＞0，所以f(x)是周期函数，2c 是它的一个周期．评注：通过对题目所给条件与结论的比较并联想已学过的知识，开拓思路，即可找到解题的关键．对于本题，我们若联想公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosx×cosy ，再类比余弦函数y=cosx的性质：cos ?2= 0，又其周期为2? =?2×4，故，从中得到启示，并进一步探求f(x)的周期是否为，即．此逆命题为真命题．现证明如下：（用反证法）假设a+b≥0不成立，即有a+b＜0，则 a＜-b， b＜-a，根据单调性，得 f(a)＜f(-b)， f(b)＜f(-a)，从而f(a)+f(b)＜f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，这与已知f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 相矛盾．故a+b＜0不成立，即a+b≥0成立，因此（1）中命题的逆命题是真命题．评注：当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略．以上通过实例介绍了求解抽象函数问题的几种常用策略，只有深刻理解概念，掌．试3、已知函数f(x) 满足 af(x)+f( 1x)=cx ，其中a 、b 、c是不为零的常数，且a≠b，求f(x) ．( 答： f(x)=c(ax2-b)(a2-b2)x)4、函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)×? 1-f(x)?=1+f(x)，又知f(1)=2 + 2 ，试求f(2002) 的值． ( 答： f(2002) = 1-2 2 )5、是否存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：①f(n)＞0 ，n∈N；(Ⅲ) 记an =f( 2n +2n) ，求 limn??(lnan) ．（答：(Ⅰ) 求f( 12) = a ， f(14)=4a ；(Ⅱ) f(x)的一个周期为2；(Ⅲ) an =2na 、 limn??(lnan)=0 ）通讯地址：上海市吴淞中学贺明荣上海市泰和路99号（同泰北路99号）邮编：200940。

关于 的方程 ｍ［ｆ（ ）］ ＋ ）＋Ｐ＝０的解 集 不可 能是
（ ）． Ａ．｛１，２｝ Ｂ．｛１，４｝ Ｃ．｛１，２，３，４｝ Ｄ．｛１，４，１６，６４｝ 解 析 方程 ）］ ＋ｎｆ（ｘ）＋ｐ＝０若 有 四个 根 。，
２ ， ， ， ，则这 四个根必 可以分 成两组 ，且 每组关 于直０１８．１１
由中点坐标公式可得 出这 ６个零点 的和为 １８．故选 Ａ．
以上 列举了几类 抽象 函数 的解 题 策略 ，但 在 实际解 题
过程 中往 往结合几种策略 ，不断地 转换思维 角度 ，和优化 解 题策 略 ，尽可能使 问题 达到 最优 化 、最 简洁 ，通 过对 抽象 函
数 的探究 ，深化 函数 思想 的应用 ，增 强学 生分析 问题 和解 决
出了函数满 足的一 些特 征．抽象 函数 问题 涉及 函数 的定 义
域 、值域 、单调性 、奇偶性 、周期性等 诸多性 质．高考 中 ，抽 象
函数 出现的频率逐渐加大 ，难 度亦逐 渐加强 ，由于抽象 函数
特点 的隐蔽性 ，学 生往 往感 到茫然 ，束 手 无策 ．本 文 以近 年
来高考 中出现的抽 象 函数问题 为 载体 ，归纳 总结 抽 象 函数
’ ． ．
＋２）＝ 一，（ 一１），
即，（ ＋３）＝一，（ ），
．。 ． ，（ ＋６）＝一 ＋３）＝ ），
所 以，（ ）的周期 为 ６，故，（２ ０１０）＝，（０）＝ １．
（四）方程思想类 问题 例 ４ 函数 ，（ ）＝似 ＋ ＋ｃ（ａ≠０）的 图像 关 于 ：
一
对称 ，据此可推 测 ，对任 意 的 非零 实数 ｎ，ｂ，ｃ，ｍ，ｎ，Ｐ，
（二 ）奇偶性问题

为 实 施 创 新 教 育 的 支 持 条 件 。 也 就 是
变传 统 的 、 一 的“ 单 传授——接 受 ” 的教
学 模 式 ，在 课 堂 教 学 中 ，首 先 要 营 造 平
就 需要教师本 身要善于 发现 问题 、综合
运 用 知 识 解 决 新 问 题 的 能 力 。 此 外 教 师
的一 数。 试题 性较强， 类函 这类 抽象 需要
较 强 的 理 性 思 维 ，特 别 是 在 数 学 高 考 强 调考查“ 理性思维 ” 的今天 更应引 起我们 的重视 。
重视运用“ 赋值法’ ’ 例 １ 定 义在 实 数集 Ｒ 上 的 函数
一
、
点 拨 ： 题 无法 直接 求 出厂 ， 本 （ 若 ） 将 已知等式左边 看成两个 函数 ，利 用换
（） Ｉ 分别用 争 ， ｃ ０替 ３（ ） ＋ 争（ ＞ ）
． ） ． ）Ｉ ）【 ） ． 望 ； ＋ 丝 。 ． 触 触 ， ，
例５ 已知 ） 是定义在Ｒ上的奇
偶函数
・
．
＋ ） 争Ｌ ｃ ） ） 、 墨 ｃ
… ． ．
．
又 、 … Ｉ Ｘ ．， ，时 Ｓ ｌ Ｇ
思维价 值 ， 为创新做 出示范 。其次 ， 并 教
要掌握一点常用的探索、 探究的方法 和
技巧才行 。 ・ 要改变教育观 念 ， 意接受继 续教育 ， 注 比 如学 习现 代教 学理 论 ， 构 主义 的认 知 建
理 论 ， 元 智 力 理 论 等 ， 解 我 国 一 级 多 了
厂 ｙ ）广 （ ） Ｏ （ ｔ ＝ 。 己的思维过程 ，敏 锐捕捉 学生 的思维 闪 光点 ， 给予 支持 、 并 鼓励 ： 并在 解题 后不

— ｙ ）＝ Ａｙ ） Ｊ
） ） ［ 手） ＝ ） － ／ （ ｒ ） ３
正、 余弦函数 ＿ 厂 （ ）＝ｓ ｉ ｎ ｘ ， （ ｘ ）＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ 正切 函数 ＿ 厂 （ ） ＝ｆ ｍ
＿ 厂 （ ＋Ｔ ）＝， （ ）
， （ ＋ ＝ ｆ
Ｏ
例１ ． 已知 函数 厂 （ ） 对于任意 的正实数 、 Ｙ ， 都有， （ ・ Ｙ ） ）＋ Ｙ ）， 若， （ ２ ）＜０ ， 则下列结论 中不正 确的是 （ ）
Ａ ．， （ １ ） ＝０
１
解析 ： 因为＿ 厂 （ ）是定义域上的奇函数 ， 所 以， （ ）的图像 关于原点对称 。 根据题设条件可以作出函数， （ ） 在 Ｒ上的大
致 图象 ＜０ 盟 ＜０得 ： 与 Nhomakorabea ）异号 由 图
。
Ｂ ．
３ ）＜ ４ ）
１
ｅ
２ ）＋ ， （ ÷ ）＝０
二
， （ ４ ） ＋ ÷ ）：０
Ｊ
解析： 对 于选择题 ， 我们不难发现满足， （ ・ ） ， ）＝ 八 ）＋ ， （ ， ， ）， 对 一切 正实数 、 Ｙ 都 成立的函数模 型是对数 函数 Ｙ＝ 细 。 由， （ ２ ）＜０ ， 可知 ０＜０＜１ ， 从 而可知 ３ ）＞， （ ４ ） 是 减函数 ， 所以 ， 应选 。 事实上 ， 高 中阶段 ， 我们 可以 了解 下面 常见 的特殊 函数 模型 ， 这对 我们解决选择题 、 填空题 是大有益处的 。
一
Ｓ
Ｊ
５ ．
／
。 ７
Ｏ．
－
７
－ ３
３
） ＝ ｍ 【 寺） ： ］
ｙ ）＝

探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

抽象函数的解法探究【摘要】 由于抽象函数表现形式的抽象性，其隐含的信息深藏不露，很多学生难以掀开其“神秘的面纱”,解题时感到无从下手，使得这类问题是函数教学的难点之一.本文从五方面探究解抽象函数的方法和技巧.【关键词】 抽象函数；赋值：具体模型；图象；构造抽象函数的背景是学生熟悉的指数函数、对数函数、幂函数等.抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜想，逻辑推理能力、抽象思维能力、探究能力和创新精神，故是高考命题青睐的题型，常在考题中出现.对于抽象函数题，虽然“抽象”，有摸不着的感觉,但是，根据题目所给的条件特征,还是有一定的对应解法准则可循.这是破解这类题的关键,下面举例说明.1 根据函数奇偶性、单调性、周期例1.1 设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足()3f x f ()4x x ++＝的所有x 之和为 .解：∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=f(|x|).()33f x f (),f (|x |)f()44x x x x ++=++由＝可得，()3x 0f x 4x x x +>=+又当时,是连续单调函数，故. ∴x 2+3x-3=0或x 2+5x+3=0.由韦达定理,可得满足条件的所有x 之和为-3-5=-8.例1.2 设偶函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，求不等式f(x-1)>f(2x+1)的解集.解：∵f(x)是偶函数，∴f(x-1)>f(2x+1)化为f(︱x-1︱)>f(︱2x+1︱).∵f(x)在[0,+∞)上为减函数，∴︱x-1︱<︱2x+1︱，∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).评析：在两个例题的解答中，利用了偶函数的定义f(-x)=f(x)=f(︱x ︱)，避免了对34x x ++x 与，x-1与2x+1符号的讨论.同时也利用函数的单调性定义，去掉表示函数对应法则的符号f,继而解方程或不等式.例1.3 已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(2)=2，求f(2012)的值.解：若f(x)=1,则已知等式左边等于0，右边等于2，故f(x)≠1.1()1(2)1(2).(4),(8)().1()1(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x f x +++∴+=+==-∴+=--+故函数f(x)的周期为8，从而()1(2)(2012)(25184)431(2)f f f f f +=⨯+===--. 评析：已知x=2的函数值，求x=2012的函数值，从2到2012差距可大，显然应从函数周期方面思考，找出f(2012)与f(2)关系.2 赋值法例2.1 已知函数f(x)的定义域为(-1,1)，且对任意x,y ∈(-1,1),都有()()()1x y f x f y f xy--=- , 判断函数f(x)的奇偶性.()()()1x y f x f y f xy--=-解：在中，令x=y=0，得f(0)=0；令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y).且函数f(x)的定义域为(-1,1)是关于原点对称，故函数f(x)是奇函数.例2.2 已知函数f(x)的定义域是x ∈R 且x ≠0，对任意不等于零的实数x,y,都有f(x ·y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解：在f(x ·y)=f(x)+f(y)中，赋值x=-1,y=1,则f(-1×1)=f(-1)+f(1),∴f(1)=0.赋值x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0.赋值y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.评析：根据已知条件以及所要达到的目标，对变量恰当赋值.3 根据函数的具体模型3.1 一次函数模型例3.1 已知函数f(x)对任意实数x ，y ，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x ＜0时，f(x)＜0，f(1)=2，求f(x)在区间[-1,3]上的取值范围.分析：依题设可知，函数f(x)的具体模型是一次函数y=2x.根据一次函数的性质可得到解题思路：判断函数f(x)的单调性和奇偶性.解：设x 1,x 2∈R,且x 1＜x 2 ,则x 1- x 2＜0，∵当x ＜0时，f(x)＜0，∴f(x 1-x 2)＜0.∴f(x 1)=f[x 2+(x 1-x 2)]=f(x 2)+f(x 1-x 2)＜f(x 2).∴ y =f(x)在R 上为递增函数.在条件f(x+y)=f(x)+f(y)中，赋值x=y=0,则f(0)=2f(0)∴f(0)=0.再令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x), 故f(x)为奇函数.∴ f(-1)=-f(1)=-2，又f(3)＝f(1)+f(2)=3f(1)=6.∵y =f(x)在R 上为递增函数，∴f(-1)≤f(x)≤f(3),故f(x)在区间[-1,3]上的取值范围是[-2,6].3.2 对数函数模型例3.2 设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数，满足f(x ·y ）=f(x)+f(y),f(3)=1.（1）求f(1)；（2）若f(x)+f(10-x)≤2,求x 的取值范围.分析：依题意可推测f(x)的3log y x =具体模型是对数函数,利用这一具体函数的性质寻找解题突破口. 如:(1)猜测f(1)=0.事实上，令x=y=1,得f(1)=0.（2）猜测2=f(9).事实上，令x=y=3,得f(9)=2.将f(x)+f(10-x)≤2化为f （10x-x 2）≤f(9),再根据函数的定义域和单调性，可求得x ∈(0,1]∪[9,10).3．3 指数函数模型例3.3 设f(x)定义在实数集R 上，当x ＞0时，f(x)＞1,且对任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)·f(y)都成立，且f(1)=2.(2)(3)(4)(2012)(1)(1)(2)(3)(2011)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+求和式的值； (2)解不等式f(3x-x 2)＞4.分析：由题设可知，抽象函数f(x)2x =的具体模型是指数函数y .因为f(x)具有y=2x 的一些性质，所以受y=2x一些性质的启发，可得到解题思路.（1）利用函数具体模型，令x=1,2,3…2011,2012代入f(x)=2x ,可得所求和式的值.当然，作为解答题要写出推理演算过程.事实上，在f(x+y)=f(x)·f(y)中，赋值y=1可得f(x+1)=f(x)f(1)， (1)(1)2()f x f f x +==即，由此所求和式的值为2×2011=4022.（2）由函数具体模型，猜测4=f(2).事实上，令x=y=1,可得f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=4，故原不等式化为f(3x-x 2)＞f(2).同样，可猜测函数f(x)是单调递增函数.至此，解题思路已清晰.可见，根据题中所给的条件，寻觅到抽象函数的具体模型，往往也就让我们找到了打开解题之门的金钥匙.下面证明函数f(x)在R 上单调递增.在f(x+y)=f (x)·f(y)中，赋值x=y=0，得f(0)=f 2（0），若f(0)=0，则在f(x+y)=f (x)·f(y)中，令x ＞0，y=0,可得f(x)=0,与f(x)＞1矛盾．所以f (0)≠0，故f(0)=1.当x ＞0时，f(x)＞1＞0；当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＞1＞0 ，∵f (x)·f(－x)=f(x-x)=f(0)=1，∴ 1()0()f x f x =>-.当x=0时，f(0)=1＞0，∴对任意x ∈R ，都有f(x)＞0．设x 1,x 2∈R,且x 1＜x 2 ,则x 2-x 1＞0，根据已知条件，得f(x 2-x 1)＞1， 又f(x 1)＞0，∴f(x 2)=f[x 1+(x 2-x 1)]=f(x 1)·f(x 2-x 1)＞f(x 1)，∴ y =f(x)在R 上为递增函数.3.4 幂函数模型例3.4 已知函数f(x)对任意实数x 、y 都有f(xy)=f(x)·f(y)，且f(-1)=1,f(27)=9,．当0≤x ＜1时，0≤f(x)＜1.（1）判断f(x)的奇偶性；（2）判断f(x)在[0,+∞)的单调性,并给出证明；（3）解不等式()f x 2+≥分析：根据题设可推测f(x)的具体模型是幂函数y = x 32,利用这一具体函数的性质找到解题思路:证明f(x)是偶函数，在[0,+∞)上是增函数.解：（1）在f(xy)=f(x)·f(y)中，令y=-1，则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数．（2）设0≤x 1＜x 2，1201x x ≤<则, ∵当x≥0时f(x)≥0，且当0≤x＜1时，0≤f(x)＜1．120()1x f x ∴≤<, ∵f(xy)=f(x)·f(y), ∴11122222()()()()()x x f x f x f x f f x x x =⋅=⋅<, ∴故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.（3(3)f =，仿照例2方法可解．评析：高中阶段遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能根据题设中抽象函数的性质，通过类比，猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路．4 利用函数图象例4.1 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为 . 分析：∵奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，f(1)=0,∴f(x)的图象关于原点对称（如图）.∵f(-x)=-f(x),∴原不等式化为2()0f x x<，可知f(x)与x 异号.由图象可得不等式解集(-1,0)∪(0,1).评析：函数图象是函数性质最直观的体现，利用图象可以将抽象函数所隐含的信息表现无遗. 5 构造法5.1 积商式构造例5.1 已知定义域为R 的函数f(x)同时满足以下两个条件：①当x=0时，f(x)=0；当x ＞0时，f(x)＜0；当x ＜0时，f(x)＞0.②对任意实数x 、y,都有f(x ·y)=-f(x)·f(y)成立.（1）证明：对任意不等于零的实数x 与任意实数y ，()()()y f y f x f x =-都成立；（2）若函数f(x)除了满足条件①②之外，还满足条件③：当0＜x ＜1时，f(x)＜-1. 判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义进行证明.解：（1）设x ∈R,且x ≠0，则f(x)≠0，由f(x ·y)=-f(x)·f(y)，得()()()((),()()y y y f y f y f x f f x f x x x f x =⋅=-⋅∴=- . （2）设x 1＞x 2＞0,2101x x <<则， 根据条件③以及(1)的结论，得222111(()()1,1()()f x x f x f f x x f x -=<->）即,根据条件①可知f(x 1)＜0, ∴f(x 1)＞f(x 2).因此，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.评析：解(1)小题时，结合条件②中的积式等式与要证结论中的商式等式，巧妙地构造出积的形式：()()y f y f x x=⋅　，这样一来就可以利用已知条件，同时出现了所要证明的商式等式,一举两得. 5.2 和差式构造例5.2 已知函数f(x)对任意的a 、b ∈R ，满足：f(a+b)=f(a)+f(b)-6；当a ＞0时，f(a)＜6；f(-2)=12.（1）求f(2)的值；（2）求证：f(x)是R 上的减函数；（3）若f(k-2)＜f(2k)-3,求实数k 的取值范围.解：(1) 在f(a+b)=f(a)+f(b)-6中，令a=0,得f(b)=f(0)+f(b)-6，故f(0)=6.令a=2,b=-2，得f(0)=f(2)+f(-2)-6,∵f(-2)=12，∴f(2)=0.(2)设x1＞x2,由条件f(a+b)=f(a)+f(b)-6，得f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)-6,即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-6，∵当a＞0时，f(a)＜6，而x1-x2＞0，∴f(x1-x2)＜6，∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-6＜0 ，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)是R上的减函数.（3）令a=b=1,代入f(a+b)=f(a)+f(b)-6，得f(2)=2f(1)-6，∴f(1)=3，∴不等式f(k-2)＜f(2k)-3转化为f(k-2)＜f(2k)+f(1)-6=f(2k+1)，由(2)知f(x)是R上的减函数，故得k-2>＞2k+1，所以k＜-3.评析：由于题设条件是一个和差形式的等式，解第(2)、(3)小题进行了和差式构造.尤其第(3)小题的解答，精彩之处在于将“f(2k)-3”构造成“f(2k)+f(1)-6”，这样就可以利用上题设条件，即进一步将它化成f(2k+1)，故原不等式变为f(k-2)＜f(2k+1)，最后利用函数的单调性即可解决问题.设法构造出与已知关系式以及所求的结果相关的式子，是解这类题的关键所在，也是解题的切入点.【参考文献】[1] 康宇. 高考中的抽象函数.中学生数学，2010，1[2] 李汉云. 浅谈抽象函数问题的破解.高中数学教与学，2011，4[3] 2012高考数学复习指导·理科(上册).新世纪出版社，2011，5。

抽象函数问题的解题策略
作者：周根武
来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第15期
摘要：抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式（相对于给出具体解析式的函数），但会给出一些特殊关系式的函数。

因为抽象，故学生解题时思维常常受阻。

抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查学生类比猜测、合情推理的探究能力。

抽象函数题在高考中属于难题，学生不易得分，因为学生感觉无从下手。

入手点一是合理运用函数的图象与性质；二是抽象函数具体化，即用客观、生动、直观的“具体”来描述抽象函数，使它成为具体函数（是指有具体的函数表达式且定义域和值域明确的函数）；三是抽象函数模型化使解题明朗化，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法。

关键词：函数模型；具体化；模型化；明朗化
中图分类号：G633.62文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）15-015-2。

抽象函数问题的解题策略一、利用特殊模型有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,又f(-2)=f(1)≠0,则可取x x f 32sin)(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 .解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,又 f(-3)=8,则可取∵f(x)f(x-2)<∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)21(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5,∴ 不等式的解集为 {x|x>5}.二、利用函数性质函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路转、化难为易.1. 利用单调性例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8<x ≤9}.2. 利用奇偶性x>0, x-8>0,x(x-8)≤9,8<x ≤9,例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.分析 f(x)的解析式含有两个参数a 、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a 、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3).解 设g(x)=ax 5+bsinx,显然g(x)是奇函数,∵ f(-3)=7,∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.3. 利用周期性例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)(1)(1x f x f -+,则 f(2007)= . 解 ∵∴ f(x)是以4为周期的周期函数,4. 利用对称性例7已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x的取值区间是 .解依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）.例8定义在（-,且函数y=f(x+2)为偶函数,则解设∵ F(x)为偶函数,∴ F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴ f(-1)=f(5),∵ f(x)在（-∞,2）上是增函数,∴ f(x)在（2,+∞）上是减函数,∴ f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).三、利用特殊方法有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.图11. 利用赋值法例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x 、y ∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.（1）求证:f(0)=1;（2）求证:f(x)是偶函数;（3） ① 求证:对任意x ∈R,有f(x+c)=-f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.解 （1）令x=y=0,则有2f(0)=2f 2(0),∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.（2）令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),∵ f(0)=1,∴ f(-y)=f(y),∴ f(x)是偶函数.（3）① 分别用22c 、c x + (c ≠0)替换x 、y, 有f(x+c)+f(x)=2f(2c x +)f(2c ). ∵ f(2c )=0,∴ f(x+c)= -f(x) .②由①知 f(x+c)=-f(x),用x+c替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),∴ f(x)是以2c为周期的周期函数.2. 利用递推法例10设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.解∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),∴ f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),将以上两式相加,得 f(x+3)=-f(x),∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.(x,y∈N+解令y=1,∵ f(1)=1,∴ f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,则 f （2)-f(1)=2,f （3)-f(2)=3,……f(x)-f(x-1)=x.将以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ (x)∴ f(x)=1+2+3+4+ (x)21x(x+1) (x ∈N +). 3. 利用反证法例12 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b ∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b ≥0.证明 假设a+b<0,则a<-b,b<-a,∵ 函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,∴ f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),∴ f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,∴ a+b<0不成立,即a+b ≥0.例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.证明 假设在定义域内存在x 0,使f(x 0)≤ 0,∵∴ f(x0) >0,这与假设的f(x)≤ 0矛盾,所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0.以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.。