构造函数法解不等式问题(学生版)

构造函数解不等式构造函数是数学中常用的一种方法，用于解不等式。

不等式是数学中常见的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系。

构造函数解不等式的过程可以帮助我们找到不等式的解集，从而求解各种实际问题。

本文将介绍构造函数解不等式的方法，并通过具体例子来说明其应用。

我们来了解一下构造函数的概念。

构造函数是一种将数学关系转化为函数关系的方法。

通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，并通过函数的性质来求解不等式。

构造函数的基本思路是将不等式中的未知数表示为函数的自变量，并通过对函数的性质进行分析，来确定不等式的解集。

接下来，我们来看一个简单的例子来说明构造函数解不等式的方法。

假设我们要求解不等式2x-3<5。

首先，我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=2x-3。

然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。

由于2x-3是一个线性函数，其图像是一条直线，斜率为2，截距为-3。

我们知道直线的上方表示函数值大于直线上的点，直线的下方表示函数值小于直线上的点。

因此，不等式2x-3<5的解集是x的取值范围使得函数值小于5的区间。

根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为x<4。

上述例子展示了构造函数解不等式的基本思路和方法。

下面，我们来看一些更复杂的例子，以进一步说明构造函数解不等式的应用。

例子1：解不等式x^2-4<0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=x^2-4。

然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。

由于x^2-4是一个二次函数，其图像是一个抛物线，开口向上，顶点为(0,-4)。

我们知道抛物线的上方表示函数值大于抛物线上的点，抛物线的下方表示函数值小于抛物线上的点。

因此，不等式x^2-4<0的解集是x的取值范围使得函数值小于0的区间。

根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为-2<x<2。

例子2：解不等式1/(x-1)>0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=1/(x-1)。

构造函数解决不等式
一、构造函数的定义
构造函数是为了解决不等式而建立的数学方法，它可以在给定的条件
下求解某个未知变量。

通常情况下，它将许多不等式组成，并使用这
些不等式来构建一个不等式组，以最优方法解决不等式。

构造函数的
最终目的是求得最优值。

二、解决不等式的步骤
1. 确定问题的目标函数、约束条件和自变量。

2. 将约束条件表示为函数不等式。

3. 根据损失函数的特性，采用适当的方法解决函数不等式组的解决方案，如极小化技术和最大化技术等。

4. 将最终解决方案用极大最小法定义，解出最优值。

三、构造函数的优缺点
1. 优点：构造函数具有很强的适应性，可以根据实际情况求解不等式；构造函数能有效地求解出约束条件下的最优解；构造函数可以获得可
行解，有助于快速求解问题空间的计算；构造函数的求解能力不受实
例大小的限制，能够自动迭代实现更优化的解，以获得较优的解。

2. 缺点：构造函数的计算复杂，容易受到数学假设的影响，同时也易
于忽略数据间的关联，影响构造函数的全局最优化；如果约束条件过
于复杂，计算量和内部矩阵同时增大，相关求解难度极大增加，这就
加大了解决不等式的难度。

构造函数证明不等式的八种方法一、移项法构造函数1例：1、已知函数 f (x) ln( x 1) x ，求证：当x 1时，但有x x1 ln( 1)1 x2、已知函数f1x 2(x) ae x2（1）若 f (x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围。

（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x二、作差法构造函数证明12例：1、已知函数 f x x ln x( )223g( x) x 的图象下方。

3，求证：在区间(1,) 上，函数 f (x) 的图象在函数思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题- 1 -2、已 知 函 数 f (x) n ln x 的 图 象 在 点 P( m , f ( x)) 处 的 切 线 方 程 为 y=x ， 设ng( x) mx2ln x ，（1）求证：当 x 1时， g(x) 0恒成立；（2）试讨论关于 x的方x n32 2程g xxex txmx( )根的个数。

x3、换元法构造函数证明例：1、证明：对任意的正整数n ，不等式ln( 1 n1) 1 2n1 3n，都成立。

2、证明：对任意的正整 n ，不等式 ln( 1 n1)1 2n1 3n都成立。

3 23、已知函数 f (x) ln( ax 1) x x ax ，（1）若2 3为 yf ( x) 的极值点，求实数a的值；（2）若 y f (x) 在[1, ) 上增函数，求实数 a 的取值范围。

（3）若 a=-1 时，方程fb3(1 x) (1 x)有实根，求实数 b 的取值范围。

x- 2 -4、从条件特征入手构造函数证明例 1 若函数y f (x) 在R 上可导且满足不等式xf '(x) f ( x) 恒成立，且常数a,b 满足a b，求证：af (a) bf (b)5、主元法构造函数例 1.已知函数 f (x) ln(1 x) x ，g(x) xln x ，（1）求函数 f (x) 的最大值；（2）设a b0 a b，证明：0 g(a) g( b) 2g( ) (b a) ln 226、构造二阶导数函数证明导数的单调性例1：已知函数 f1x 2( x) ae x2，（1）若 f ( x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围；（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）1 x1 1例1：证明当x 0 时，x e 2(1 x)- 3 -8、构造形似函数例1：证明当b a e，证明 b b aa2、已知m、n 都是正整数，且 1 m n ，证明：(1 n n mm) (1 ) 思维挑战21、设a 0 ，f ( x) x 1 ln x 2a ln x ，求证：当x 1时，恒有x ln 2 ln1 2 x a x2 x a x122、已知定义在正实数数集上的函数 f ( x) x 2ax2 2 ，其中a 0，，g (x) 3a ln x b5 2 2且b a 3a ln a2，求证： f (x) g(x)3、已知函数 fx(x) ln(1 x) ，求证：对任意的正数a、b恒有1 xln a ln b 1ba4、f (x) 是定义在(0, ) 上的非负可导数，且满足xf ( ) ( ) 0，对任意正数a、b ，' x f x若a b，则必有（）A. af (x) bf (a)B. bf (a) af (b)C. af (a) f (b)D. bf (b) f (a)- 4 -。

构造函数法解不等式问题首先，我们来考虑一道简单的例题：求解不等式：x^2-4x+3>0解题思路：1.首先，我们将不等式转化成方程：x^2-4x+3=02.求出方程的根：x1=1，x2=33.通过观察，我们知道函数f(x)=x^2-4x+3在x<1和x>3时是负值，在1<x<3时是正值。

4.根据函数的性质，我们可以得出结论：不等式x^2-4x+3>0的解集为x∈(1,3)。

通过这个例题，我们可以看出，构造函数法的基本思路就是将不等式转化为方程，并找出方程的根，然后利用函数的性质来确定不等式的解集。

接下来，我们来考虑一个稍微复杂一些的例题：求解不等式：x^3-5x^2+4x+20>0解题思路：1.首先，我们将不等式转化成方程：x^3-5x^2+4x+20=02.求出方程的根：x1≈-2.77，x2≈3.39，x3≈4.393.通过观察，我们知道函数f(x)=x^3-5x^2+4x+20在x<-2.77和3.39<x<4.39时是负值，在-2.77<x<3.39时是正值。

4.根据函数的性质，我们可以得出结论：不等式x^3-5x^2+4x+20>0的解集为x∈(-2.77,3.39)∪(4.39,+∞)。

通过这个例题，我们可以看出，在求解不等式时，我们首先将不等式转化成方程，然后求出方程的根。

最后，通过观察函数的性质，确定不等式的解集。

除了上述的例题，构造函数法还可以用于求解复杂的不等式问题。

下面，我将通过一个具体的例题来进一步说明。

例题：求解不等式：2x^3-11x^2+17x-6>0解题思路：1.首先，我们将不等式转化成方程：2x^3-11x^2+17x-6=02.求出方程的根：x1=1，x2≈2.24，x3≈2.763.通过观察，我们知道函数f(x)=2x^3-11x^2+17x-6在x<1和2.24<x<2.76时是负值，在1<x<2.24和2.76<x时是正值。

构造函数解不等式我们需要明确什么是构造函数。

构造函数是一种特殊的函数，它的定义域和值域都是实数集。

通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，从而更加直观地进行分析和解决问题。

在解不等式时，我们常常需要考虑不等式的根、极值点和函数的变化趋势。

构造函数可以帮助我们清晰地展示这些信息，从而更好地理解不等式的解集。

接下来，我们将通过几个具体的例子来说明构造函数解不等式的过程和方法。

例1：解不等式x^2-3x<2我们可以构造函数f(x)=x^2-3x-2。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和2，且在-1和2之间的区间内函数值都小于0。

因此，不等式的解集为(-1,2)。

例2：解不等式x^2-4x>5我们可以构造函数g(x)=x^2-4x-5。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和5，且在-1和5之外的区间内函数值都大于0。

因此，不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,∞)。

通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法可以帮助我们直观地分析不等式的解集。

不仅如此，构造函数还可以帮助我们解决更加复杂的不等式问题。

例3：解不等式x^3-3x^2+2x>0我们可以构造函数h(x)=x^3-3x^2+2x。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为0、1和2，且在0和1之间的区间内函数值都小于0，在1和2之间的区间内函数值都大于0。

因此，不等式的解集为(0,1)∪(2,∞)。

通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法在解决高次不等式时也同样有效。

通过构造函数，我们可以更加清晰地理解不等式的解集。

除了以上的例子，构造函数还可以应用于更加复杂的不等式问题，如绝对值不等式、分式不等式等。

通过构造函数，我们可以将这些复杂的不等式转化为函数的形式，从而更好地解决问题。

构造函数是解不等式的一种有效方法。

通过构造一个特定的函数，我们可以直观地分析不等式的解集。

构造函数不仅适用于简单的一元不等式，还适用于高次不等式和复杂的不等式问题。

重难点之构造函数1.对于不等式f x >k k≠0，构造函数g x =f x -kx+b2.对于不等式xf x +f x >0，构造函数g x =xf x3.对于不等式xf x -f x >0，构造函数g x =f xxx≠04.对于不等式xf x +nf x >0，构造函数g x =x n f(x)5.对于不等式xf x -nf x >0，构造函数g x =f(x) x n6.对于不等式f x -f x >0，构造函数g x =f(x) e x7.对于不等式f x +f x >0，构造函数g x =e x f(x)8.对于不等式f x +kf x >0，构造函数g x =e kx f(x)9.对于不等式f x sin x+f x cos x>0，构造函数g x =sin xf(x)10.对于不等式f x sin x-f x cos x>0，构造函数g x =f(x)sin x 11.对于不等式f x cos x-f x sin x>0，构造函数g x =cos xf(x)12.对于不等式f x cos x+f x sin x>0，构造函数g x =f(x) cos x重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数1.(23-24高三下·重庆)已知函数f x 的定义域为-∞,0，f-1=-1，其导函数f x 满足xf x -2f x >0，则不等式f x+2025+x+20252<0的解集为()A.-2026,0B.-2026,-2025C.-∞,-2026D.-∞,-20252.(2021·安徽高三月考(理))设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x >xf 'x ，则不等式4f x -2021 >x -2021 2f 2 的解集为()A.2021,2023B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞3.(2022·四川省眉山第一中学模拟预测(理))已知可导函数f (x )的定义域为(0,+∞)，满足xf (x )-2f (x )<0，且f (2)=4，则不等式f (x )>x 2的解集是．4.(23-24高三上·云南昆明)已知定义域为R 的函数f x ，对任意的x ∈R 都有f x >2x ，且f 1 =2，则不等式f 2x -4x 2-1>0的解集为()A.0,+∞B.12,+∞C.1,+∞D.2,+∞1.(22-23高三下·广东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，有xf (x )+2f (x )<0恒成立，则()A.4f (1)>f 12B.f (2)9<f (3)4C.9f 12>4f -13D.9f (-1)<f -132.(22-23高三下·广东东莞)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ,其导函数f x 满足xf x -2f x >0,则不等式f x +2023 -x +2023 2f -1 <0的解集为()A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)C.(-∞,-2023)D.(-∞,-2024)3.(22-23高三上·山东泰安·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的偶函数，f x 是f x 的导函数，当x ≥0时，f x -2x >0，且f 1 =2，则f x >x 2+1的解集是()A.-1,0 ∪(1,+∞)B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-1,0 ∪0,1D.-∞,-1 ∪0,14.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知函数f x =2x ln x -ax 2，若对任意的x 1,x 2∈0,+∞ ，当x 1>x 2时，都有2x 1+f x 2 >2x 2+f x 1 ，则实数a 的取值范围为()A.12e,+∞ B.1,+∞C.1e,+∞ D.2,+∞重难点题型(二)、与指数函数或对数函数有关的构造函数5.(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知f x 是函数y =f x x ∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有f x +f x >1，且f 0 =2023，则不等式e x f x >e x +2022的解集是()A.2022,+∞B.-∞,0 ∪2023,+∞C.-∞,0 ∪0,+∞D.0,+∞6.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为R 的函数f x ，其导函数为f (x )，且满足f (x )-2f x <0，f 0 =1，则()A.e 2f -1 <1B.f 1 >e 2C.f 12<e D.f 1 >ef 1e7.(22-23高三下·天津)已知可导函数f x 的导函数为f x ,f 0 =2023，若对任意的x ∈R ，都有f x <f x ，则不等式f x <2023e x 的解集为()A.0,+∞B.2023e 2,+∞C.-∞,2023e 2D.-∞,08.(22-23高三下·全国)定义域为R 的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x -f x <0，且f 0 =1，则不等式f xex <1的解集为()A.0,+∞B.2,+∞C.-∞,0D.-∞,21.(2023·山东烟台·二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,eC.-1,1D.-1,e2.(2022·青海西宁·二模(理))已知定义在R 上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x <f x ，且f x +3 为偶函数，f 6 =1，则不等式f x >e x 的解集为．3.(23-24高三下·广东佛山)已知函数f x 的定义域为0，+∞ ，且f x >-f x ln2恒成立，则不等式f ln x 4<f 22ln x 的解集为()A.1,e 2B.0,e 2C.1,e 3D.0,e 34.(23-24高三下·福建)设f (x )在R 上存在导数f (x )，满足f (x )+f (x )>0，且有f (2)=2,e x -2f (x )>2的解集为( )．A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)重难点题型(三)、与三角函数有关的构造函数1.(22-23高三上·重庆沙坪坝)已知f x 是函数f x 的导函数，f x -f -x =0，且对于任意的x ∈0,π2有f x cos x >f -x sin -x ．则下列不等式一定成立的是()A.32f -12 <f -π6 cos 12B.f -π6 >62f -π4C.f -1 <2f π4cos1 D.22f π4 >f -π32.(2023秋·陕西西安)已知函数f x 的定义域为-π2,π2 ，其导函数是f x .有f x x cos +f x xsin <0，则关于x 的不等式f x <2f π3x cos 的解集为()A.π3,π2B.π6,π2 C.-π6,-π3D.-π2,π63.(22-23高三上·全国·阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π34.(2021·甘肃省武威第二中学高三期中(理))对任意x ∈0,π2，不等式sin x ⋅f x <cos x ⋅f x 恒成立，则下列不等式错误的是()A.f π3>2f π4 B.f π3 >2cos1⋅f 1 C.f π4<2cos1⋅f 1 D.f π4<62f π65.(2020高三·全国·专题练习)已知偶函数y =f (x )对于任意的x ∈0,π2满足f (x )⋅cos x +f (x )⋅sin x >0(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中不成立的是()A.2f -π3 <f π4B.2f -π3 >f π4C.f (0)<2f -π4D.f π6<3f π31.(21-22高三上·江西南昌·期末)设函数f x 是定义在0，π 上的函数f x 的导函数，有f (x )cos x -f (x )sin x >0，若a =0，b =12f π3 ，c =-22f 3π4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a2.(2021·东莞市东华高级中学高二期末)已知函数y =f (x )为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈0,π2满足f '(x )cos x +f (x )sin x <0，则下列不等式成立的是()A.3f π3>f π6 B.f (0)>2f -π4C.f π4<2f -π3 D.-3f -π3>f -π6 3.(2022·安徽·合肥一中模拟)已知函数y =f x -1 图象关于点1,0 对称，且当x >0时，f x sin x +f x cos x >0则下列说法正确的是()A.f 5π6<-f 7π6 <-f -π6 B.-f 7π6<f 5π6 <-f -π6 C.-f -π6<-f 7π6 <f 5π6 D.-f -π6<f 5π6 <-f 7π6 4.(2024·重庆·模拟预测)若函数f x 的导函数为f x ，对任意x ∈-π,0 ,f x sin x <f x cos x 恒成立，则()A.2f -5π6 >f -3π4 B.f -5π6>2f -3π4 C.2f -5π6<f -3π4 D.f -5π6<2f -3π4 5.(21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习)已知函数y =f (x )对任意的x ∈(0,π)满足f x cos x >f (x )sin x (其中f x 为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f π6>3f π3 B.f π6<3f π3 C.3f π6>f π3 D.3f π6<f π3。

专题：构造函数解决问题 ——函数单调性与导数1：设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()'()f x g x 、分别为()()f x g x 、的导函数，且满足'()()()'()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ ）.()()()()A f x g b f b g x > .()()()(B f x g a f a g x > .()()()()C f x g x f b g b > .()()()(D f x g x f b g a> 变式1：设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集.变式2：：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()f x g x f x g x +>，(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集.2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则关于x 的不等式log 1a x >的解集 . 3：已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，若)2(ln 21ln ,)2(2,)21(21f c f b f a =--==，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> a c b D >>.4已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（ ）2013.(1)(0)(2013)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2013.(1)(0)(2013)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、2013.(1)(0)(2013)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2013.(1)(0)(2013)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e =.则(1)f 的值 . 5：（09天津）设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ） .()0A f x > .()0B f x < .()C f x x > .()D f x x< 变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，则x 的值.【模型总结】关系式为“加”型（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e--== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -= （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--==。

3.构造函数证明不等式选择问题（1）()()0f x g x ′′+>⇔(()())0f x g x ′+>,即构造函数()()()h x f x g x =+.（2）()()f x g x ′′>⇔(()())0f x g x ′−>,即构造函数()()()h x f x g x =−.（3）''()()()()0(()())0f x g x f x g x f x g x ′⋅+⋅>⇔⋅>，即构造函数()()()h x f x g x =⋅.（4）''()()()()()0(0()f x f xg x f x g x g x ′⋅−⋅>⇔>，即构造函数()()()f xh x g x =.（5）'()()0(())0f x xf x xf x ′+>⇔>，即构造函数()()h x xf x =.（6）'()()()()0f x f x xf x x ′>⇔<，即构造函数()()f x h x x =.（7）'()()f x f x >，可以构造函数()()x f x h x e =.（8）已知0>x 时，'22312()()(())03f x xf x x x f x x ′+>⇔−>，即构造函数231()()3h x x f x x =−.应用举例：构造函数的导数证明不等式1.设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()()f x g x ′′>，则当a x b <<时有（）A.()()f xg x > B.()()f x g x <C.()()()()f xg a g x f a +>+ D.()()()()f x g b g x f b +>+构造函数()()()h x f x g x =−，则()0h x ′>，()h x 递增，从而有()()()h a h x h b <<，选C2.设(),()f x g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且''()()()()0f x g x f x g x ⋅−⋅<，则当a x b <<时，下列结论中正确的是（）A.()()()()f x g x f b g b ⋅>⋅B.()()()()f xg a f a g x ⋅>⋅C.()()()()f x g b f b g x ⋅>⋅ D.()()()()f x g x f a g a ⋅>⋅构造函数()()()f x h x g x =，则2()()()()()0()f xg x f x g xh x g x ′′−′=<，即()h x 递减，从而()()()h b h x h a <<.选C3.设函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，''()()()()0f x g x f x g x ⋅+⋅>，且(3)0g −=，则不等式()()0f x g x <的解集是（）A.(3,0)(3,)−+∞∪ B.(3,0)(0,3)−∪C.(,3)(3,)−∞−+∞∪ D.(,3)(0,3)−∞−∪构造函数()()()h x f x g x =⋅，则''()()()()()0h x f x g x f x g x ′=⋅+⋅>故函数()h x 在(,0)−∞上递增，由已知得()()()h x f x g x =⋅是奇函数，又(3)0g −=，从而(3)(3)0h h =−=，结合图形即可得到答案：B.4.已知函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且'()()0f x xf x +≤，若a b <，则有（）A.()()af a bf b ≥B.()()af a bf b ≤C.()()af b bf a ≥ D.()()af b bf a ≤构造函数()()h x xf x =，则()0h x ′≤，()h x 递减，所以()()h a h b ≥，从而有答案A.5.()f x 是(0,+∞)上的非负可导函数,且0)()(≤+′x f x f x ,对任意正数a,b,若a<b,则()..()()..()().()().()()A bf a af bB af b bf aC af a f bD bf b f a ≤≤≤≤构造函数()()h x xf x =，则()0h x ′≤，()h x 递减，所以()()h a h b ≥，这时你可能发现没有答案了，其实可以再放缩一下，由上一题得到()()af a bf b ≥，而a b <，所以()()))((b af a bf b f a af b ≥≥≥.或者根据条件知道，()0f x ′≥，从而知道()f x 单调递增，所以0()()f a f b ≤≤，又0a b <<，两个式子相乘即可得到答案：B6.对于R 上的可导函数()f x ，若满足(1)()0x f x ′−≥，则必有（）A.(0)(2)2(1)f f f +<B.(0)(2)2(1)f f f +>C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D.(0)(2)2(1)f f f +≤这个题目学生都能会，选C 7.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)2(=f ，当0>x 时，有'()()f x xf x >恒成立，则不等式x x f >)(的解集是（）A.),2()0,2(+∞−∪B.)2,0()0,2(∪−C.),2()2,(+∞−−∞∪ D.)2,0()2,(∪−−∞构造函数()()f x h x x =，则2()()()0f x x f x h x x ′−=<，从而()()f x h x x =单调递减，又因为()f x 是奇函数，所以()h x 是偶函数，所以结合图形得到答案D8.定义在),0(+∞上单调减函数)(x f 满足x x f x f >′)()(，则下列不等式成立的是（）A.)1(2)2(f f < B.)3(4)4(3f f <C.)4(3)3(2f f < D.)3(2)2(3f f <类似上面的题目，答案D9.设)(x f 是R 上的可导函数，且满足)()(x f x f >′，对任意正实数a ，下列不等式恒成立的是（）A.)0()(f e a f a > B.)0()(f e a f a <C.)0()(a e f a f < D.0()(a ef a f >构造函数()()x f x h x e =，容易知道()h x 递增，从而()(0)h a h >，答案A10.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且'22()()f x xf x x +>，则下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．0)(>x f B．0)(<x f C．x x f >)(D．xx f <)(这道题是2009年天津高考题的12题，先分大于零很小于零把上式两边同时乘x ，当0x >时，'22312()()(())03f x xf x x x f x x ′+>⇔−>，即构造函数231()()3h x x f x x =−，从而()(0)0h x h >=，从而有()0f x >。

构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。

例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。

例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。

例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。

7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。

例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。

第七讲构造函数法解决导数不等式思维导图——知识梳理脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一加减法模型构造函数思维导图-----方法梳理1.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()bkx x f x g +-=2.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值.，且为且当A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b>>围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·四川广元市·高三三模）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A．(,3)(0,3)-∞- B．()3,3-C．(3,0)(0,3)-⋃D．(,3)(3,)-∞-⋃+∞例2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(,1)(0,1)-∞-⋃D ．(1,0)(1,+)-⋃∞例3．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数()f x 是定义在−∞，∪，+∞的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A ．()()33-∞-⋃+∞，，B ．()()3003-⋃，，C ．()()3007-⋃，，D ．−∞，−∪，套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2021·安徽高二月考（理））设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()2'f x xf x >，则不等式()()()24202120212f x x f ->-的解集为（）A ．()2021,2023B ．()0,2022C ．()0,2020D ．()2022,+∞2．（2020·广州市育才中学高二月考）函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（）A ．()()9243f f >B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定3.（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞ 题型二：构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型思维导图-----方法梳理类型一：构造可导积函数1])([)]()(['=+'x f e x nf x f e nx nx 高频考点1：])([)]()(['=+'x f e x f x f e x x 类型二：构造可商函数①])([)()('=-'nxnx ex f e x nf x f 高频考点1：])([)()('=-'xx ex f e x f x f 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2021·内蒙古锡林郭勒盟）设函数()'f x 是函数()f x 的导函数，x R ∀∈，()()0f x f x '+>，且(1)2f =，则不等式12()x f x e ->的解集为（）A．(1,)+∞B．(2,)+∞C．(,1)-∞D．(,2)-∞例2.（2022·陕西榆林·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>e eD ．1(2)f +>e e例3．（2021·赤峰二中高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x >-'，()06f =，则不等式()51x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A．()0,∞+B．()5,+∞C．()(),05,-∞⋃+∞D．(),0-∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2020·贵州贵阳·高三月考（理））已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()sin sin sin sin e eB A f A f B <B ．()()sin sin sin sin e e B A f A f B >C ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B <D ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B >2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()e e 2017x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(),0∞-B ．()(),02017,-∞⋃+∞C ．()2017,+∞D ．()0,∞+3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意R x ∈满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·全国高三）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2022f x +为奇函数，则不等式()20220xf x e +<的解集是（）A．(),0-∞B．−∞,l BC．()0,∞+D．()2022,+∞例2．（2020·吉林高三月考（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞例3．（河南省多校联盟2022）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞例4．（2021·全国高三）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()0f x f x '->，2021(2021)f e =，则不等式31(ln )3f x x <的解集为（）A．6063(,)e +∞B．2021(0,)e C．2021(,)e +∞D．6063(0,)e 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e x f x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->3．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '为，且满足()()f x f x '>，则(2017)f 与e (2016)f ⋅的大小关系为（）A ．(2017)f ＜e (2016)f ⋅B ．(2017)f =e (2016)f ⋅C ．(2017)f ＞e (2016)f ⋅D ．不能确定4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且(1)e f =，则不等式()2525e 0x f x --->的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()3,+∞5．（2021·江苏高二月考）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '->，若()()2211x ax e f ax ef x +>-恒成立，则实数a 的取值范围为___________.2．（2022·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是'()f x ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin ()cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,0,266πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,,2662ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,662πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π）B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（）A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞C ．()2cos114f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜D ．6426f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜op上的奇函数，且套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫。

专题9：构造函数解不等式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(1--⋃，0) B ．(0，1)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(1-，0)(1⋃，)+∞【解析】由题意设()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'= 当0x >时，有()()0xf x f x '->，∴当0x >时，()0g x '>， ∴函数()()f x g x x=在(0,)+∞上为增函数， 函数()f x 是奇函数，()()g x g x ∴-=，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，()g x 在(,0)-∞上递减，由(1)0f -=得，(1)0g -=， 不等式()0()0f x x g x >⇔>，∴0()(1)x g x g >⎧⎨>⎩或0()(1)x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有1x >或10x -<<，∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：(1-，0)(1⋃，)+∞，故选：D ．2．函数()f x 的定义域是R ，(0)2f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+<，则不等式()1x x e f x e >+的解集为( )A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1x x <-，或1}x >D ．{|1x x <-，或01}x <<【解析】令()()1x x g x e f x e =--，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()()1f x f x +'<， ()()10f x f x ∴+'-<，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上单调递减，又(0)2f =，00(0)(0)12110g e f e ∴=--=--=，故当0x <时，()(0)g x g >，即()10x x e f x e -->，整理得()1x x e f x e >+，()1x x e f x e ∴>+的解集为(,0)-∞．故选：B ．3．已知定义在R 上的函数()f x 满足f （2）1=，且()f x 的导函数()1f x x '>-，则不等式21()12f x x x <-+的解集为( )A ．{|22}x x -<<B ．{|2}x x >C ．{|2}x x <D ．{|2x x <-或2}x >【解析】令21()()2g x f x x x =-+，对()g x 求导，得()()1g x f x x '='-+，()1f x x '>-，()0g x ∴'>，即()g x 在R 上为增函数．不等式21()12f x x x <-+可化为21()12f x x x -+<，即()g x g <（2），由()g x 单调递增得2x <，所以不等式的解集为{|2}x x <． 故选：C ．4．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，f （4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( ) A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(e ，)+∞【解析】设()()()()()()()2x xx e f x f x f x h x h x e e '-='=则，()()f x f x '<，()0h x ∴'<．所以函数()h x 是R 上的减函数， 函数(2)f x +是偶函数，∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数关于2x =对称，(0)f f∴=（4）1=，原不等式等价为()1h x <，∴不等式()x f x e <等价()1()(0)h x h x h <⇔<，()(0)1x f x f e e <=．()h x 在R 上单调递减， 0x ∴>．故选：B ．5．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)(2)f x f x +=-，f（4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(4,)+∞D ．(2,)-+∞【解析】可设函数()()x f x g x e=， ()()()xf x f xg x e'-'=， 由()()f x f x '<，可得()0g x '<，即有()g x 在R 上递减，(2)(2)f x f x +=-，f（4）1=，可得(0)f f =（4）1=，0(0)(0)1f g e ==，由()x f x e <即为()1xf x e <， 可得()(0)g x g <， 由()g x 在R 上递减， 可得0x >．则所求不等式的解集为(0,)+∞． 故选：A ．6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +'>，(0)4f =，则不等式3()1(xf x e e >+为自然对数的底数）的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(-∞，0)(3⋃，)+∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(3,)+∞【解析】不等式3()1xf x e >+可化为 ()30x x e f x e -->；令()()3x x F x e f x e =--， 则()()()x x x F x e f x e f x e '=+'-(()()1)x e f x f x =+'-；()()1f x f x +'>， (()()1)0x e f x f x ∴+'->；故()()3x x F x e f x e =--在R 上是增函数， 又(0)14130F =⨯--=；故当0x >时，()(0)0F x F >=； 故()30x x e f x e -->的解集为(0,)+∞； 即不等式3()1(xf x e e >+为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞；故选：A ．7．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()xf x f x '>'若24a <<则( ) A ．(2)a f f <（3）2(log )f a <B ．2(log )(3)(2)a f a f f f<<<（3）(2)a f <C ．f （3）2()(2)a f log a f <<D ．2(log )(2)a a f f f<<（3）【解析】函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，()f x ∴关于直线2x =对称；又当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()()(2)0xf x f x f x x '>'⇔'->，∴当2x >时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；同理可得，当2x <时，()f x 在(,2)-∞单调递减；24a <<，21log 2a ∴<<，224log 3a ∴<-<，又4216a <<，22(log )(4log )f a f a =-，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；2(log )f a f∴<（3）(2)a f <．故选：B ．8．已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是( ) A()()34f ππ<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π<D ．(0)2()3f f π<【解析】构造函数()()cos f x g x x=，则22()cos ()cos ()1()[(()cos ()sin ]cos cos f x x f x x g x f x x f x x x x'-''=='+， 对任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>，()0g x ∴'>，即函数()g x 在(2x π∈-，)2π单调递增，则②()()34g g ππ-<-，即()()34cos()cos()34f f ππππ--<--，∴()()312f f ππ--<())()34f ππ-<-，故B 正确； ②(0)()4g g π<，即()(0)4cos0cos 4f f ππ<，(0)()4f π∴，故②正确；②(0)()3g g π<，即()(0)3cos0cos 3f f ππ<， (0)2()3f f π∴<，故②正确；由排除法， 故选：A ．9．已知函数()y f x =对于任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( ) A ．2()(0)3f f π->B．(0)()4f π>C ．(1)f f ->（1）D ．f （1）(0)cos1f >【解析】函数()y f x =对于任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>∴令()()cos f x h x x=，则2()cos ()sin ()0(cos )f x x f x x h x x '+'=>，()h x ∴在(2π∈-，)2π上单调递增，h （1）(0)h >，即(1)(0)cos1cos0f f >，cos10∴> f∴（1）(0)cos1f >，故D 正确同理可检验A ，B ，C 三个选项是错误的 故选：D ． 10．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有2()()f x f x '>成立，若(4)2f ln =，则不等式2()x f x e >的解是( )A ．1x >B ．01x <<C ．4x ln >D ．04x ln <<【解析】x R ∀∈，都有2()()f x f x '>成立，1()()02f x f x ∴'->，于是有2()()0x f x e '>， 令2()()x f x g x e=，则有()g x 在R 上单调递增，不等式2()x f x e >，()1g x ∴>， (4)2f ln =， (4)1g ln ∴=，4x ln ∴>，故选：C ．11．函数()f x 的导函数()f x '，对x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，若f （2）2e =，则不等式()x f x e >的解是() A ．(2,)+∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)ln【解析】x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，()()0f x f x ∴'->，于是有(())0x f x e'>， 令()()x f x g x e=，则有()g x 在R 上单调递增， 不等式()x f x e >，()1g x ∴>， f（2）2e =，g ∴（2）2(2)1f e ==， 2x ∴>，故选：A ． 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且f（2）0=，当0x >时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(2-，0)(2⋃，)+∞B ．(2-，0)(0⋃，2)C ．(-∞，2)(0-⋃，2)D ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞【解析】()f x 是R 上的奇函数，则()f x x为偶函数；2()()()()f x xf x f x x x '-'=； 0x >时，2()()0xf x f x x '-<恒成立； 0x ∴>时，()()0f x x'<恒成立； ∴()f x x在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增；由()0xf x >得：()0f x x>； f（2）0=，(2)0f ∴-=；∴②0x >时，()(2)2f x f x >；02x ∴<<；②0x <时，()(2)2f x f x ->-； 20x ∴-<<；综上得，不等式()0xf x >的解集为(2-，0)(0⋃，2)． 故选：B ．13．已知一函数满足0x >时，有2()()2g x g x x x'=>，则下列结论一定成立的是( ) A ．(2)2g g -（1）3B ．(2)2g g -（1）2 C ．(2)2g g-（1）4<D ．(2)2g g -（1）4【解析】0x >时，有2()()2g x g x x x'=>， 32()3g x x c ∴=+， 33223x x c ∴>+， 343c x ∴<， 0x >，0c ∴ g ∴（2）163c =+，g （1）23c =+， ∴16(2)832232cg c +==+， ∴(2)2g g -（1）62232c ==- 故选：B ．14．定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 使不等式2()()3()f x xf x f x <'<恒成立，其中()f x '为()f x 的导数，则( ) A ．(2)816(1)f f << B ．(2)48(1)f f <<C ．(2)34(1)f f << D ．(2)23(1)f f << 【解析】令3()()f x g x x=， 则3264()3()()3()()f x x x f x xf x f x g x x x '-'-'==，()3()xf x f x '<，即()3()0xf x f x '-<， ()0g x ∴'<在(0,)+∞恒成立，即有()g x 在(0,)+∞递减，可得 g （2）g <（1），即(2)(1)81f f <，由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <； 令2()()f x h x x =，243()2()()2()()f x x xf x xf x f x h x x x '-'-'==， ()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->， ()0h x ∴'>在(0,)+∞恒成立，即有()h x 在(0,)+∞递增，可得 h （2）h >（1），即(2)4f f >（1），则(2)4(1)f f >． 即有(2)48(1)f f <<． 故选：B ．15．已知函数()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x '>恒成立，设1a >，则4(1)1af a a ++，，4(1)()1aa f a ++的大小关系为( )A ．4(1)4(1)()11af a a a f a a +>>+++ B ．4(1)4(1)()11af a a a f a a +<<+++ C ．4(1)4(1)()11af a aa f a a +>>+++D ．4(1)4(1)()11af a aa f a a +<<+++ 【解析】当0x <时，()()f x f x x'>恒成立， ()()xf x f x ∴'<，令()()f x g x x=， 2()()()xf x f x g x x'-∴'=， ()0g x ∴'<，()g x ∴在(,0)-∞上单调递减， ()()f x f x -=， ()()g x g x ∴-=-，()g x ∴为奇函数，在(0,)+∞上单调递减．比较4(1)1af a a ++，，4(1)()1aa f a ++的大小， ∴4(1)4(1)1af a ag a a +=++，4ag =，44(1)()4()11a a a f ag a a +=++， 1a >，211)0a ∴+-=>，1a ∴+>，411aa a +>+，且41a a <+411aa a ∴+>+， 4(1)()1ag a g g a ∴+<<+， 44(1)44()1aag a ag ag a ∴+<<+， 即4(1)4(1)()11af a aa f a a +<<+++． 故选：B ．16．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若(0,)x ∀∈+∞，都有()2()xf x f x '<成立，则( ) A ．23f f >B ．2f （1）3f <C ．43f f<（2） D ．4f （1）f>（2） 【解析】令2()()f x g x x =， 则3()2()()xf x f x g x x'-'=，()2()xf x f x '<， (0,)x ∴∀∈+∞， ()0g x ∴'<恒成立()g x ∴是在(0,)+∞单调递减，g ∴（1）g >（2），即4f （1）f >（2）故选：D ．17．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．(2)132f f +<（1）(2)2f <B ．(2)142f f +<（1）(2)2f <C ．3(2)8f f <（1）(2)132f <+ D ．(2)142f f +<（1）3(2)8f <【解析】设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞， 则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x xg x x x '---'-+'==， 2()()()xf x f x h x x '-'=， 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立， 所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增， 则g （1）g >（2），h （1）h <（2）， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <，即(2)142f f+<（1）(2)2f <， 故选：B ．18．若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则f （a ），f （b ），f（c ）的大小顺序为( )A ．f （b ）f <（a ）f <（c ）B ．f （c ）f >（b ）f >（a ）C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）【解析】根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由()f x 为定义在R 上的奇函数，则函数()f x 在(-∞，0]上为减函数， 则函数()f x 在R 上为减函数，27log 08c =<，14467()()76a -==，而157()6b =，则0a b >>，故f （c ）f >（b ）f >（a ）． 故选：B ．19．设定义在R 上的奇函数()f x 满足，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()1f x f x x x -<-，且f（3）3=，则不等式()1f x x>的解集为( )A ．(3-，0)(0⋃，3)B ．(-∞，3)(0-⋃，3)C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(3-，0)(3⋃，)+∞【解析】设21x x >，且1x ，2(0,)x ∈+∞，由题意2121()()1f x f x x x -<-，可得函数()()F x f x x =-在(0,)+∞单调性递减，f（3）3=，可得F （3）0=，那么不等式()1f x x>，即求()0F x x >的解集， ()f x 是R 上的奇函数，()()(())()F x f x x f x x F x ∴-=-+=--=-， (3)0F ∴-=，当30x -<<时，()0F x <， 可得()0F x x>成立；当03x <<时，()0F x >， 可得()0F x x>成立；综上可得不等式()1f x x>的解集为(3-，0)(0⋃，3)． 故选：A ．20．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有3()()0f x xf x +'>，则不等式3(2015)(2015)27(3)0x f x f +++->的解集是 (2018,2015)--．【解析】根据题意，令3()()g x x f x =，其导函数为232()3()()[3()()]g x x f x x f x x f x xf x '=+'=+'，(,0)x ∈-∞时，3()()0f x xf x +'>， ()0g x ∴>，()g x ∴在(,0)-∞上单调递增；又不等式3(2015)(2015)27(3)0x f x f +++->可化为33(2015)(2015)(3)(3)x f x f ++>--，即(2015)(3)g x g +>-，020153x ∴>+>-；解得20152018x ->>-，∴该不等式的解集是为(2018,2015)--．故答案为：(2018,2015)--．21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m ---，则实数m的取值范围是 [2，)+∞ ．【解析】令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='-<，故函数()g x 在(0,)+∞上是减函数， 故函数()g x 在(,0)-∞上也是减函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是减函数，2211(4)()(4)(4)()(4)()848422f m f m g m m g m m g m g m m m ∴--=-+---=--+--，(4)()g m g m ∴-，4m m ∴-，解得：2m ，故答案为：[2，)+∞22．已知定义在R 上函数()f x 满足f （2）1=，且()f x 的导函数()2f x '<-，则不等式()52f lnx lnx >-的解集为 2(0,)e ．【解析】设t lnx =，则不等式()52f lnx lnx >-等价为()52f t t >-， 设()()25g x f x x =+-， 则()()2g x f x '='+，()f x 的导函数()2f x '<-，()()20g x f x ∴'='+<，此时函数单调递减， f（2）1=，g ∴（2）f=（2）45550+-=-=，则当02x <<时，()g x g >（2）0=， 即()0g x >，则此时()()250g x f x x =+->， 即不等式()25f x x >-+的解为2x <， 即()52f t t >-的解为2t <， 由2lnx <，解得20x e <<，即不等式()52f lnx lnx >-的解集为2(0,)e ， 故答案为：2(0,)e ． 23．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+<，(0)4f =，则不等式[()1]3(x e f x e ->为自然对数的底数）的解集为 (,0)-∞ ．【解析】设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈， 则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()()1f x f x +'<， ()()10f x f x ∴+'-<，()0g x ∴'<，()y g x ∴=在定义域上单调递减， ()3x x e f x e >+，()3g x ∴>，又00(0)(0)413g e f e ==-=-=，()(0)g x g ∴<，0x ∴<故答案为：(,0)-∞．24．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x >-'，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞．【解析】设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈； 则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-；()1()f x f x '>-； ()()10f x f x ∴+'->； ()0g x ∴'>；()y g x ∴=在定义域上单调递增； ()1x x e f x e >-；()1g x ∴>-；又00(0)(0)1g e f e =-=-；()(0)g x g ∴>；0x ∴>；∴不等式的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．25．函数()f x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x '<'，(3)0f -=，则不等式()0()f xg x <的解集为 (3-，0)(3⋃，)+∞．【解析】②令()()()f x F xg x =．当0x <时，()()()()f x g x f x g x '<'，∴2()()()()()0()f xg x f x g x F x g x '''-=<，∴函数()F x 在0x <时单调递减；(3)0f -=，(3)0F ∴-=． ()0F x ∴<的解集为(3,0)-．②()f x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x F x F xg x g x -∴-==-=--， ()F x ∴是R 上的奇函数，∴当0x >时，()0F x <的解集为(3,)+∞．综上可得：不等式()0()f xg x <的解集为(3-，0)(3⋃，)+∞． 故答案为：(3-，0)(3⋃，)+∞． 26．设()f x 是定义在R上的奇函数，且(1)0f -=，若不等式112212()()0x f x x f x x x -<-对区间(,0)-∞内任意两个不相等的实数1x ，2x 都成立，则不等式(2)0xf x <解集是 1(2-，0)(0⋃，1)2．【解析】112212()()0x f x x f x x x -<-对区间(,0)-∞内任意两个不相等的实数1x ，2x 都成立，∴函数()()g x xf x =在(,0)-∞上单调递减，又()f x 为奇函数，()()g x xf x ∴=为偶函数，()g x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)g g -=（1）0=，作出()g x 的草图如图所示：(2)0xf x <即2(2)0xf x <，(2)0g x <，由图象得，120x -<<或021x <<，解得102x -<<或102x <<，∴不等式(2)0xf x <解集是1(2-，0)(0⋃，1)2， 故答案为：1(2-，0)(0⋃，1)2．。

构造函数巧解不等式湖南 黄爱民函数与方程，不等式等联系比较紧密，如果从方程，不等式等问题中所提供的信息得知其本质与函数有关，该题就可考虑运用构造函数的方法求解。

构造函数，直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种制造性的思维活动。

因此要求同学们多分析数学题中的条件和结论的结构特征及内在联系，能合理准确地构建相关函数模型。

一、构造函数解不等式例1、解不等式 3381050(1)1x x x x +-->++ 分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。

但注意到)12(5)12(110)1(833+++=+++x x x x 且题中出现x x 53+ , 启示我们构造函数f(x)=x 3+5x 去投石问路。

解：将原不等式化为3322()5()511x x x x +>+++，令f(x)=x 3+5x ，则不等式变为2()()1f f x x >+，∵f(x)=x 3+5x 在R 上为增函数∴原不等式等价于21x x >+，解之得：－1＜x ＜2或x ＜－2。

例2、解不等式22101x x -+>+ 分析：由x R ∈及2211x x +-的特征联想到万能公式ααα2cos tan 1tan 122=+-于是可构造三角函数，令x=tan α()22ππα-<<求解。

解：令x=tan α()22ππα-<<221tan 0tan 1αα->+，从而212sin sin 10sin 12ααα-->⇒-<<∴62ππα-<<∴tan α＞33-,∴x ＞33-。

二、构造函数求解含参不等式问题。

例3已知不等式(1)11112log 122123a a n n n -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>+++对大于1的一切自然数n 恒成立，试确定参数a 的取值范围。

解：设n n n n f 212111)(+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++=， ∵f(n+1)-f(n) 1111021221(21)(22)n n n n n +-=>+++++,∴f(n) 是关于n 的增函数。

构造函数法求解不等式问题步骤一：根据不等式的形式，构造函数。

根据不等式的形式，我们可以构造一个合适的函数，该函数满足不等式的性质。

根据不等式的类型，我们可以构造线性函数、二次函数、指数函数等。

构造的函数应当包含不等式的解集，因此我们需要考虑函数值的正负、函数的增减性质等。

步骤二：找出函数的零点和关键点。

找到函数的零点和关键点对于确定函数的性质和解集至关重要。

函数的零点是指函数等于零的点，而关键点是函数的最值点和拐点。

步骤三：利用函数的性质来确定不等式的解集。

根据函数的图像和性质，利用函数的增减性质和函数值的正负来确定不等式的解集。

通过观察函数的图像，我们可以确定不等式的解集是一个区间，或者是两个区间的并集。

以下为几个实例，展示了如何使用构造函数法求解不等式问题。

实例一：$x^2-3x-4<0$首先，我们构造函数$f(x) = x^2 - 3x - 4$。

然后，我们需要找出函数$f(x)$的零点和关键点。

通过求解方程$f(x) = 0$，我们可以得到$x = -1$和$x = 4$是函数的零点，而$x = \frac{3}{2}$是函数的关键点。

接下来，我们观察函数的图像。

通过求导函数$f'(x)$，我们可以确定函数$f(x)$在$x < -1$时是递减的，在$-1 < x < \frac{3}{2}$时是递增的，而在$x > \frac{3}{2}$时又是递减的。

根据函数$f(x)$的性质和函数值的正负，我们可以得出不等式的解集是$x \in (-1, \frac{3}{2})$。

实例二：$2^x-8<0$首先，我们构造函数$f(x)=2^x-8$。

然后，我们需要找出函数$f(x)$的零点和关键点。

通过求解方程$f(x)=0$，我们可以得到$x=3$是函数的零点，而$x=0$是函数的关键点。

接下来，我们观察函数的图像。

由于指数函数$2^x$是递增的，函数$f(x)$在$x>0$时是递增的，而在$x<0$时是递减的。

构造函数解不等式高考常以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，然在导数小题中常以压轴形式出现，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，怎样合理构造函数，就尤为重要！本文教你如何用“四则运算”轻松搞定！！！（声明：F(x)‒构造函数，f（x）‒原函数，f'(x)‒导函数；g（x）‒原函数，g'(x)‒导函数;）常见的构造函数模型:模型一“加减法”：题设中给出“导函数± 常数”时，往往需要构造以下两个抽象函数。

(b为常数可忽略，原因读者自己考证)1.f′(x)+a⇒ F(x)=f(x)+ax+b2.f′(x)−a⇒ F(x)=f(x)−ax+b例题1. 已知f(x)定义域为 R，若x < 0时，f( ‒ 1) = 2，且对任意x∈ R，f'(x)>2,则 f（x）>2x+4 的解集为（）A．（-1,1） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，+∞）模型二“乘法”：题设中给出“ U′V+U V′”时，往往需要构造以下抽象函数。

3.f′(x)g(x)+f(x)g′(x)⇒ F(x)=f(x)g(x)+b特别地：xf′(x)+f(x)⇒ F(x)=xf(x)+bf′(x)+f(x)⇒F(x)=e x f(x)+例题2.已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数，偶函数，若x < 0时，f'(x)g(x) + f(x)g' (x) > 0，且g( ‒ 3) = 0，则不等式f(x)g(x) < 0的解集是。

例题3.已知函数f(x)是定义在(0, + ∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x) + f(x) ≤ 0，对任意正数a, b，若a < b，则必有（）A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af (b)C. af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f (a)模型三“除法”：题设中给出“U V′−U′V时，往往需要构造以下抽象函数。

导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有【解】1111)(+-=-+='x xx x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则xx x x F 12)(2--='=x x x x )12)(1(2++-当1>x 时，)(x F '=xx x x )12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。

专题5 构造函数证明不等式函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．(一) 把证明()f x k >转化为证明()min f x k>此类问题一般简单的题目可以直接求出()f x 的最小值,复杂一点的题目是()f x 有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把()f x 的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围【例1】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中学校高三下学期第五次模拟）已知函数()()21ln f x a x x x =+--（a ÎR ）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当102a <£时,求证：()1212f x a a³-+.【解析】（1）由题意可知,函数2()(1)ln f x a x x x =+--的定义域为(0,)+¥,导数1(1)(21)()2(1)1x ax f x a x x x+-¢=+--=,当0a £时,,()0x Î+¥,()0f x ¢<；当0a >时,1(0,)2x a Î,()0f x ¢<；1(,),()02x f x a¢Î+¥>；综上,当0a £时,函数()f x 在区间(0,)+¥上单调递减；当0a >时,函数()f x 在区间1(0,2a 上单调递减,在区间1(,)2a+¥上单调递增.（2）由（1）可知,当102a <£时,函数()f x 在区间1(0,)2a 上单调递减,在区间1(,)2a+¥上单调递增.所以函数211111()()(1)ln()1ln(2)22224f x f a a a a a a a a³=+--=+-+,要证1()212f x a a ³-+,需证111ln(2)2142a a a a a+-+³-+,即需证11ln(2)0,(0,]42a a a a +-³Î恒成立.令1()ln(2)4g a a a a =+-,则()2222111()1044a g a a aa -=--+=-£¢,所以函数()g a 在区间1(0,2单调递减,故111()()00222g a g ³=+-=,所以11ln(2)0,(0,]42a a a a +-³Î恒成立,所以当102a <£时,1()212f x a a³-+.【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+.(1)求证：当π1,2x æöÎ-ç÷èø时,()0f x ³；(2)求证：()()111111ln 1sin sin sin sinln ln 2224622n n n n *+<++++<+ÎN L .【解析】（1）证明：因为()()sin ln 1f x x x =-+,则()0sin 0ln10f =-=,()1cos 1f x x x =-+¢,当(]1,0x Î-时,cos 1x £,111x ³+,()0f x ¢£,函数()f x 单调递减,则()()00f x f ³=成立；当π0,2x æöÎç÷èø时,令()1cos 1p x x x =-+,则()()21sin 1p x x x ¢=-+,因为函数()211y x =+、sin y x =-在π0,2æöç÷èø上均为减函数,所以,函数()p x ¢在π0,2æöç÷èø上为减函数,因为()010p ¢=>,2π1102π12p æö¢=-<ç÷èøæö+ç÷èø,所以存在π0,2x æöÎç÷èø,使得()00p x ¢=,且当00x x <<时,()0p x ¢>,此时函数()f x ¢单调递增,当0π2x x <<时,()0p x ¢<,此时函数()f x ¢单调递减,而()00f ¢=,所以()00f x ¢>,又因为π02f æö¢<ç÷èø,所以存在10π,2x x æöÎç÷èø,使得()10f x ¢=,当10x x <<时,()0f x ¢>,此时函数()f x 单调递增,当1π2x x <<时,()0f x ¢<,此时函数()f x 单调递减,因为π1e 2+<,所以,ππ1ln 11ln e 022f æöæö=-+>-=ç÷ç÷èøèø,所以,对任意的π0,2x æöÎç÷èø时,()0f x >成立,综上,()0f x ³对任意的π1,2x æöÎ-ç÷èø恒成立.（2）证明：由（1）,对任意的n *ÎN ,11022n <£,则111sin ln 10222f n n n æöæö=-+>ç÷ç÷èøèø,即1121sinln 1ln 222n n n n +æö>+=ç÷èø,对任意的n *ÎN ,()()()()22122221221022*******n n n n n n n n n n n +-+++-==>+++,所以,2122221n n n n ++>+,则2122ln ln 221n n n n ++>+,所以111135721sin sin sin sinln ln ln ln 24622462n n n +++++>+++L ,从而可得111146822sin sin sin sinln ln ln ln 246235721n n n +++++>++++L ,上述两个不等式相加可得11112sin sin sin sin 2462n æö++++ç÷èøL ()3456782122ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1234567221n n n n n ++>++++++++=++L ,所以,()11111sin sin sin sinln 124622n n ++++>+L ,又由（1）,因为1102n -<-<,则111121sin ln 1sin ln022222n f n n n n n -æöæöæö-=---=-->ç÷ç÷ç÷èøèøèø,可得1212sinln ln 2221n nn n n -<-=-,当2n ³且n *ÎN 时,()()()()()()22222122110212221222122n n n n n n n n n n n -----==-<------,所以,2212122n n n n -<--,即221ln ln 2122n n n n -<--,所以,当2n ³时,1111462sin sin sin sinln 2ln ln ln 24623521nn n ++++<++++-L L ,从而有11113521sin sin sin sinln 2ln ln ln 24622422n n n -++++<++++-L L ,上述两个不等式相加得：11112sin sin sin sin 2462n æö++++ç÷èøL 3456782122ln 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2ln 2ln 2345672221n nn n n -<+++++++++=+--L ,所以,11111sin sin sin sinln 2ln 24622n n ++++<+L ,当1n =时,1111sin ln ln 2sin 02222f æöæö-=--=->ç÷ç÷èøèø,即1sin ln 22<,所以,对任意的n *ÎN ,11111sin sin sin sinln ln 224622n n ++++<+L ,因此,()()111111ln 1sin sin sin sinln ln 2224622n n n n *+<++++<+ÎN L . (二) 把证明()()f x g x > 转化为证明()()0f xg x ->此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.【例3】（2024届西省榆林市第十中学高三下学期一模）已知函数()()e 11xf x a x =+--,其中a ÎR ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =时,证明：()ln cos f x x x x >-．【解析】（1）()()e 11x f x a x =+--Q ,()e 1x f x a \=¢+-,当1a ³时,()e 10xf x a =+->¢,函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时,由()e 10xf x a =+->¢,得()ln 1x a >-,函数()f x 在区间()()ln 1,a ¥-+上单调递增,由()e 10xf x a =+-<¢,得()ln 1x a <-,函数()f x 在区间()(),ln 1a -¥-上单调递减．综上,当1a ³时,()f x 在R 上单调递增,无减区间.当1a <时,()f x 在()()ln 1,a ¥-+上单调递增,在()(),ln 1a -¥-上单调递减.（2）Q 当2a =时,()e 1xf x x =+-,\要证()ln cos f x x x x >-,即证()e cos 1ln 0,0,x x x x x x ++-->Î+¥,①当01x <£时,e cos 10x x x ++->Q ,ln 0x x £,e cos 1ln 0x x x x x \++-->；②当1x >时,令()e cos 1ln xg x x x x x =++--,则()e sin ln x g x x x =--¢,设()()h x g x ¢=,则()1e cos xh x x x=¢--,1x >Q ,e e 2x \>>,110x-<-<,1cos 1x -£-£,()0h x ¢\>,()h x \在()1,+¥上单调递增,()()1e sin100h x h \>=-->,即()0g x ¢>,()g x \在()1,+¥上单调递增,()()1e cos10g x g \>=+>,即e cos 1ln 0x x x x x ++-->．综上,当2a =时,()ln cos f x x x x >-． (三) 把证明()()f x g x > 转化为证明()()min maxf xg x >有时候把证明()()f x g x > 转化为证明()()0f x g x ->后,可能会出现()()f x g x -的导函数很复杂,很难根据导函数研究()()f x g x -的最值,而()f x 的最小值及()g x 的最大值都比较容易求,可考虑利用证明()()min max f x g x >的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为()()f x g x >未必有()()min max f x g x >.【例4】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数()()e 0xf x ax a =¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当24e a ³时,证明：()()1ln 01f x x x x -+>+.【解析】（1）由题意可得()()1e xf x a x +¢=.则0a >时,由()0f x ¢>,得1x >-,由()0f x ¢<,得1x <-,则()f x 在(),1-¥-上单调递减,在()1,-+¥上单调递增；当a<0时,由()0f x ¢<,得1x >-,由()0f x ¢>,得1x <-,则()f x 在(),1-¥-上单调递增,在()1,-+¥上单调递减.（2）因为0x >,所以e 01x x x >+.因为24e a ³,所以()()2e 4e 1ln 1ln 11xx ax x x x x x x x --+³-+++.要证()()1ln 01f x x x x -+>+,即证()24e 1ln 01x x x x x --+>+,即证()224e ln 1x x x x ->+.设()()224e 1x g x x -=+,则()()()234e 11x x g x x --¢=+.当()0,1x Î时,()0g x ¢<,当()1,x Î+¥时,()0g x ¢>,则()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+¥上单调递增.故()()min 11eg x g ==.设()ln x h x x =,则()21ln xh x x-¢=.当()0,e x Î时,()0h x ¢>,当()e,x Î+¥时,()0h x ¢<,则()h x 在()0,e 上单调递增,在()e,+¥上单调递减.故()()max 1e eh x h ==.因为()()min max g x h x =,且两个最值的取等条件不同,所以()224e ln 1x x x x ->+,即当24e a ³时,()()1ln 01f x x x x -+>+.(四) 把证明()()f xg x >转化为证明()()()(),f xh x h x g x >>若直接证明()()f x g x >比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如ln 1,e +1x x x x £-³构造一个中间函数()h x ,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数()h x ,再通过证明()()()(),f x h x h x g x >>来证明原不等式.【例5】已知函数()sin 2cos xf x x=+在区间()0,a 上单调．(1)求a 的最大值；(2)证明：当0x >时,()31e xf x +<．【解析】 (1)由已知得,22cos (2cos )sin sin 2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +++¢==++,要使函数()f x 在区间(0,)a 上单调,可知在区间(0,)a 上单调递增,令()0f x ¢>,得2cos 10x +>,即1cos 2x >-,解得22(2,2)33x k k p pp p Î-++,（k Z Î）,当0k =时满足题意,此时,在区间2(0,3p 上是单调递增的,故a 的最在值为23p.(2)当0x >时,要证明()31e xf x +<,即证明e 1()3x f x -<,而1xe x ->,故需要证明e 1()33x xf x -<<.先证：e 133x x -<,（0x >）记()e 1x F x x =--,()e 1x F x ¢=-Q ,,()0x Î+¥时,()0F x ¢>,所以()F x 在(0,)+¥上递增,\()e 1xF x x =--(0)0F >=,故1xe x ->,即e133xx -<.再证：()3x f x <,（0x >）令1()()3G x f x x =-,则sin 1(),2cos 3x G x x x =-+则()()()()222cos 12cos 1132cos 32cos x x G x x x ¢--+=-=++,故对于0x ">,都有()0¢<G x ,因而()G x 在(0,)¥+上递减,对于0x ">,都有()(0)0G x G <=,因此对于0x ">,都有()3xf x <.所以e 1()33x x f x -<<成立,即e 1()3x f x -<成立,故原不等式成立.(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；③不等式为()()()()f x h x g x h x >类型,且()()0h x >或<0的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以()h x ；④不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以x ；⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.【例6】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数1e 1()ln x af x x x x-=--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当52a ³时,证明：()11()ln e 1ln x f x x x x x -++->-.【解析】（1）函数1e 1()ln x af x x x x -=--的定义域为(0,)+¥,求导得11222e (1)11(1)(e 1)()x x a x x a f x x x x x -----=-+=¢,若0a £,则1e 10x a --<,且当()0,1x Î时,()0f x ¢>,当()1,x ¥Î+时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1)上递增,在(1,)+¥上递减；若0a >,令1e 10x a --=,解得1ln x a =-,若1ln 0a -£,即e a ³,则1e 10x a --³恒成立,当()0,1x Î时,()0f x ¢<,当()1,x ¥Î+时,()0f x ¢>,即函数()f x 在(0,1)上递减,在(1,)+¥上递增；若01ln 1a <-<,即1e a <<,则当()()0,1ln 1,x a ¥Î-È+时,()0f x ¢>,当()1ln ,1x a Î-时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1ln ),(1,)a -+¥上递增,在(1ln ,1)a -上递减；ln x x若1ln 1a -=,即1a =,则()0f x ¢³在()0,¥+上恒成立,函数()f x 在(0,)+¥上递增；若1ln 1a ->,即01a <<,则当()()0,11ln ,x a ¥ÎÈ-+时,()0f x ¢>,当(1,1ln )x a Î-时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1),(1ln ,)a -+¥上递增,在(1,1ln )a -上递减,所以当0a £时,()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,¥+；当01a <<时,()f x 的递增区间为()0,1和()1ln ,a ¥-+,递减区间为()1,1ln a -；当1a =时,()f x 的递增区间为()0,¥+,无递减区间；当1e a <<时,()f x 的递增区间为()0,1ln a -和()1,¥+,递减区间为()1ln ,1a -；当e a ³时,()f x 的递增区间为()1,¥+,递减区间为()0,1.（2）要证()()11ln e 1ln x f x x x x x -++->-,需证()11e e ln 10x x a x x x --+-->,而15e ,02x a x -³>,即有()()1111e 5e e ln 1e ln 12x x x x a x x x x x x----+--³+--,则只需证明()115e e ln 102x x x x x --+-->,即证15e ln 12x x x x -æö+->ç÷èø,即证()215ln 12e x x x x -+->,令()()5ln 12h x x x =+-,则()ln h x x ¢=,当()0,1x Î时,()0h x ¢<,当()1,x ¥Î+时,()0h x ¢>,即函数()h x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+¥上单调递增,则()min 3()12h x h ==,令()21(0)e x x x x j -=>,则()()12ex x x x j --¢=,当()0,2x Î时,()0x j ¢>,当()2,x ¥Î+时,()0x j ¢<,函数()j x 在(0,2)上单调递增,在(2,)+¥上单调递减,则()max min 43()2()e 2x h x j j ==<=,从而()215ln 12e x x x x -+->,即()11()ln e 1ln x f x x x x x -++->-成立.(六) 通过减元法构造函数证明不等式对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.【例7】（2024届江西省南昌市高三三模）定义：若变量,0x y >,且满足：1mmx y a b æöæö+=ç÷ç÷èøèø,其中,0,Z a b m >Î,称y 是关于的“m 型函数”.(1)当2,1a b ==时,求y 关于x 的“2型函数”在点æççè处的切线方程；(2)若y 是关于x 的“1-型函数”,（i ）求x y +的最小值：（ii ）求证：()1111n n n nn n n n nx ya b+++æö+³+ç÷èø,()N n *Î.【解析】（1）解：当2,1a b ==时,可得12214x y æö=-ç÷èø,则122111242x y x -æöæö=-×-ç÷¢ç÷èøèø,所以1x y =¢=,所求切线方程为1)y x =-,即40x +-=.（2）解：由y 是关于x 的“1-型函数”,可得111x y a b --æöæö+=ç÷ç÷èøèø,即1a b x y +=,（i）因为2()()a b ay bx x y x y a b a b x y x y æö+=++=+++³++=ç÷èø,当且仅当2ay x x y ì=ïíï+î即x a y b ì=ïí=ïî时取得最小值.（ii ）由111x y a b --æöæö+=ç÷ç÷èøèø,即1a b x y +=,则()()x a y b ab --=,且x a >,y b >,可设x a at -=,by b t-=,其中(0,)t Î+¥,于是11[(1)]1(1)1nnnnnn n n x y a t b a t b t t éùæöæö+=+++=+++ç÷ç÷êúèøèøëû,记1()(1)1nnnnh t a t b t æö=+++ç÷èø,可得()()()11112111111n n n nn nn n n na t b h t na t nb t t t t a ---++éù+æöæöæö=+++-=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêëû¢ú,由()0h t ¢=,得1n n b t a +æö=ç÷èø,记10n n b t a +æö=ç÷èø,当00t t <<时()0h t ¢<,当0t t >时,()0h t ¢>,则()()11min0001()1111nnn nnn n n n n n n b a h t h t a t b a b t a b ++éùéùæöæöæöêúêú==+++=+++ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëû111111111111n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n a b a b a b a a b b b a ++++++++++æöæöæöæö=+×++×=+++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø111n n n nn n a b+++æö=+ç÷èø,所以()1111n n n nn n n n nx ya b+++æö+³+ç÷èø.(七) 与极值点或零点有关的多变量不等式的证明此类问题通常是给出函数的零点或极值点12,x x 或123,,x x x ,与证明与12,x x 或123,,x x x 有关的不等式,求解时要有意识的利用方程思想代入消元（若i x 是()f x 的零点,则()0i f x =,若i x 是()f x 的极值点,则()0i f x ¢=,）,减少变量个数.【例8】（2024届湖南娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知函数()2e 2ln x af x a x x x =--.(1)当1a =时,讨论函数()f x 的单调性；(2)若22e a >,（i ）证明：函数()f x 有三个不同的极值点；（ii ）记函数()f x 三个极值点分别为123,,x x x ,且123x x x <<,证明：()()()23131e a f x f x a x x æö-<--ç÷èø.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+¥,当1a =时,()2e 2ln xf x x x x=--,则()422323e e 21e 2(2)(e 2(2))x xx x x x x x x f x x x x x x x x -----¢=+-=+=,令e (0)x y x x =->,则e 10(0)x y x ¢=->>,所以e x y x =-在(0,)+¥上递增,所以0e e 01x y x =->-=,所以当2x >时,()0f x ¢>,当02x <<时,()0f x ¢<,所以()f x 在(0,2)上递减,在(2,)+¥上递增；（2）（i ）因为,()0x Î+¥,且()233(2e 2(2)(e ))x xa a x f x x x x a x x x -¢=+--=-,(2)0f ¢=,由e 0xax -=,得e xa x=（,()0x Î+¥）,令()(0)x e g x x x =>,则2(e 1)()(0)x x g x x x-¢=>,当01x <<时,()0g x ¢<,当1x >时,()0g x ¢>,所以()g x 在(0,1)上递减,在(1,)+¥上递增,所以min ()(1)e g x g ==,当2e (2)e 2a g >=>时,e xa x=在(0,1)和(2,)+¥上各有一个实数根,分别记为13,x x ,则1301,2x x <<>,设22x =,当10x x <<或23x x x <<时,()0f x ¢<,当12x x x <<或3x x >时,()0f x ¢>,所以()f x 在()10,x 和()23,x x 上递减,在()12,x x 和3(,)x +¥上递增,所以函数()f x 在(0,)+¥上有三个不同的极值点,（ii ）由（i ）1301,2x x <<>,所以13,x x 是方程e x ax =的两个不相等的实数根,即11e x ax =,33e xax =,所以11111211111e 221()ln ln ln x a a af x a x a x a x x x x x x æö=--=--=-+ç÷èø,同理3331()ln f x a x x æö=-+ç÷èø,所以()()313131313111ln ln a x a x f x f x x x x x x x æöæö-+++ç÷ç÷-èøèø=--31313111ln ln a x x x x x x æö-+--ç÷èø=-13331131ln x x x a x x x x x æö--+ç÷èø=-,由11e x ax =,33e x ax =,得3331113311e e ln ln ln ln e e e x x x x x x x a x x x a-====-,所以()()1331331313113131313131ln 11x x x x x a a x x f x f x x x x x x a x x x x x x x x æöæö---+-+-ç÷ç÷-æöèøèø===-ç÷---èø,因为2e ,2a æöÎ+¥ç÷èø,所以要证()()()23131e a f x f x a x x æö-<--ç÷èø,只要证()()23131e f x f x a a x x -<--,即证23111e a a a x x æö-<-ç÷èø,即证31111e a x x -<-,即证311e a x x <,只需证13e ax x <,即31e e xx <×,即311ex x -<,由（i ）可得1301,2x x <<>,所以3110e e 1x --<<<,根据（i ）中结论可知函数e ()=xg x x在(0,1)上递减,所以要证311ex x -<,即证311()(e )x g x g -<,因为3113e e x x a x x ==,所以13()()g x g x =,所以只要证313()(e )x g x g -<,即1333e 13e e e xx x x --<,得13e 3e e x x -<,即3131e ln x x --<,得313e 01ln xx ---<,令1()1ln e(2)xh x x x -=-->,则111e 1()e (2)x x x h x x x x---¢=-+=>,令1()e 1(2)x u x x x -=->,则1()(1)e 0(2)x u x x x -¢=-<>,所以()u x 在(2,)+¥上递减,所以2()(2)10eu x u <=-<,所以()0h x ¢<,所以()h x 在(2,)+¥上递减,所以1()(2)1ln 20e h x h <=--<,所以得证.(八) 与数列前n 项和有关的不等式的证明此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,L ,n 代换,然后用叠加法证明.【例9】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月质量抽测）已知函数()213ln 22f x x x ax =+-+,()0a >.(1)当[)1,x ¥Î+时,函数()0f x ³恒成立,求实数a 的最大值；(2)当2a =时,若()()120f x f x +=,且12x x ¹,求证：122x x +>；(3)求证：对任意*N n Î,都有()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.【解析】（1）当1x ³时,()213ln 022f x x x ax =+-+³恒成立,即ln 1322x a x x x £++恒成立,只需min ln 1322x a x xx æö£++ç÷èø即可,令()ln 1322x g x x x x =++,1x ³,则()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x ---=-¢+=,令()22ln 1h x x x =--,1x ³,则()22222x h x x x x=¢-=-,当1x ³时,()0h x ¢³恒成立,()h x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()10h x h ³=,所以()0g x ¢³在[)1,x ¥Î+恒成立,()g x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()min 12g x g ==,所以2a £,即实数a 的最大值为2.（2）当2a =时,()213ln 222f x x x x =+-+,0x >,所以()()21120x f x x x x-=+=¢-³,()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,又()10f =,()()120f x f x +=且12x x ¹,不妨设1201x x <<<,要证122x x +>,即证明212x x >-,因为()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,即证()()212f x f x >-,因为()()120f x f x +=,即证()()1120f x f x +-<,设()()()()()()2213132ln 2ln 22222222F x f x f x x x x x x x =+-=+-++-+---+()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x éùéù=-+-+=---+ëûëû,01x <<,令()2t x x =-,则01t <<,则()ln 1t t t j =-+,()111tt t t j -=-=¢,由01t <<可得()0t j ¢>,()t j 在()0,1单调递增,所以()()10t j j <=,即()()()20F x f x f x =+-<,所以()()1120f x f x +-<成立,所以122x x +>.（3）由（2）可知当2a =时,()f x 在()1,¥+单调递增,且()()10f x f >=,由213ln 2022x x x +-+>得22ln 430x x x +-+>,即()22ln 21x x +->,令1n x n +=,则2112ln 21n n n n ++æö+->ç÷èø,即2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,所以22112ln 111-æö+>ç÷èø,23122ln 122-æö+>ç÷èø,24132ln 133-æö+>ç÷èø,…,2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,相加得()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.（九）通过同构函数把复杂不等式化为简单不等式此类问题通常是构造一个函数()f x ,把所证不等式转化为()()()()f g x f h x >,再根据()f x 的单调性转化为证明一个较简单的不等式.【例10】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数()e axf x x =（0a >）.(1)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(2)当1a ³时,求证：()ln 1f x x x ³++.【解析】（1）解：()()e 1axf x ax =+¢（0x >）（0a >）,令()0f x ¢=,则1x a =-,当01a <£时,11a-£-,所以()0f x ¢³在区间[]1,1-上恒成立,()f x 在区间[]1,1-上单调递增,所以()()min 1e a f x f -=-=-,()()max 1e af x f ==.当1a >时,111a -<-<,则当11,x a éöÎ--÷êëø时,()0f x ¢<,()f x 在区间11,a éö--÷êëø上单调递减；当1,1x a æùÎ-çúèû时,()0f x ¢>,()f x 在区间1,1a æù-çúèû上单调递增,所以()min 11e f x f a a æö=-=-ç÷èø,而()1e 0a f --=-<,()1e 0a f =>.所以()()max 1e af x f ==综上所述,当01a <£时,()min e a f x -=-,()max e af x =；当1a >时,所以()min 1ef x a =-,()max e af x =.（2）因为0x >,1a ³,所以e e ax x x x ³,欲证e ln 1ax x x x ³++,只需证明e ln 1x x x x ³++,只需证明ln ln e e e e ln 1x x x x x x x x x +==³++,因此构造函数()e 1x h x x =--（x ÎR ）,()e 1xh x ¢=-,当(),0x Î-¥时,()0h x ¢<,()h x 在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时,()0h x ¢>,()h x 在()0,¥+上单调递增：所以()()00h x h ³=,所以e 1x x ³+,所以e ln 1x x x x ³++,因此()ln 1f x x x ³++.【例1】（2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量监测）对于函数()f x ,若实数0x 满足()00f x x =,则0x 称为()f x 的不动点．已知函数()()e 2e 0x xf x x a x -=-+³．(1)当1a =-时,求证()0f x ³；(2)当0a =时,求函数()f x 的不动点的个数；(3)设*N n Î,()ln 1n +>+L ．【解析】（1）当1a =-时,有()()e 2e 0x xf x x x -=--³,所以()1e 2e x x f x =+-¢()0x ³,所以()1e 220e x x f x =+-³=¢当且仅当1e e xx=,e 1x=,即0x =时,等号成立,所以当[)0,x Î+¥时,()0f x ¢³,()f x 单调递增,所以()()()min 00f x f x f ³==,所以()0f x ³得证.（2）当0a =时,()()e 20xf x x x =-³,根据题意可知：方程e 2x x x -=()0x ³解的个数即为函数()f x 的不动点的个数,化e 2x x x -=()0x ³为e 30x x -=()0x ³,令()e 3xg x x =-()0x ³,所以函数()g x 的零点个数,即为函数()f x 的不动点的个数,()e 3x g x ¢=-()0x ³,令()0g x ¢=,即e 3x =,解得ln 3x =,x[)0,ln 3ln 3()ln 3,¥+()g x ¢-+()g x 单调递减33ln 3-单调递增因为()010g =>,()ln 333ln 30g =-<,所以()g x 在[)0,ln 3上有唯一一个零点,又()555e 15215170g =->-=>,所以()g x 在()ln 3,¥+上有唯一一个零点,综上所述,函数()f x 有两个不动点.（3）由（1）知,()e 2e 0,0,x xx x ¥--->Î+,令ln ,1x s s =>,则12ln 0s s s --->,即12ln ,1s s s s->>,设*N s n =Î,则满足1s >,>1ln 1n æö>+ç÷èø,()1ln ln 1ln n n n n +æö>=+-ç÷èø,()ln 2ln1ln 3ln 2ln(1)ln ln 1n n n >-+-+++-=+L L ,即()ln 1n >+L .【例2】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断性考试）已知函数1()1ln (0)f x a x a x=++>(1)求函数()f x 的单调区间；(2)函数()f x 有唯一零点1x ,函数2()sin e ag x x x =--在R 上的零点为2x ．证明：12x x <．【解析】（1）函数1()1ln (0)f x a x a x=++>的定义域为()0,¥+,且2211()a ax f x x x x -¢=-+=,所以当10x a<<时()0f x ¢<,当1x a >时()0f x ¢>,所以()f x 的单调递减区间为10,a æöç÷èø,单调递增区间为1,a æö+¥ç÷èø；（2）法一：由（1）可知若函数()f x 有唯一零点1x ,则11x a=,即1ln 10f a a a a æö=-++=ç÷èø,令()ln 1x x x x j =-++,则()ln x x j ¢=-,当1x >时,()()0,x x j j ¢<单调递减,当01x <<时,()()0,x x j j ¢>单调递增,因为44e 2.753.144127>=>,55e 3243256<=<,所以()433ln 344ln 27ln e ln 270j =-+=-=->,()544ln 455ln 256ln e ln 2560j =-+=-=-<,当01x <<时()()1ln 10x x x j =-+>,当x ®+¥时()x j ®-¥,所以()x j 在()3,4上存在唯一零点,所以33a <<,即11143a <<,令()2e sin h x x x x -=+-,则()22e cos 10h x x x -=-+-<¢,所以()h x 在()0,¥+上单调递减,故22113113111sin sin sin 03e333333h h a æöæö>=+->+-=>ç÷ç÷èøèø,所以211e sin a a a->-,又()2222sin e 0g x x x a -=--=,所以2221111sin e sin sin x x a x x a a--=>-=-,令()sin F x x x =-,则()1cos 0F x x =-³¢,所以()F x 在()0,¥+上单调递增,又()()21>F x F x ,所以21x x >.法二：因为0a >,由（1）可知若函数()f x 有唯一零点1x ,则11x a=,即()()1111111111ln 1ln 10ln 10f x a x x x x x x x =++=++=Þ++=,设211()ln 1,0,0e e h x x x h h æöæö=++><ç÷ç÷èøèø,而()h x 在()0,¥+上单调递增,所以1211,e e x æöÎç÷èø,()1cos 0g x x ¢=-≥,所以()g x 在R 上单调递增,又12(0)0,0e ag x =-<\>,令22211()sin ,()1cos 0e e x x x x x x x j j ¢=--=-+>,所以()j x 在()0,¥+上单调递增,所以()111sin 0e e x j j æö\<=-<ç÷èø,而()222212211sin sin 0e e a g x x x x x x =--=--=,()()11122211221111sin sin e e g x x x g x x x x x x x \=--<=--\<.【例3】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =,()lng x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---,a ÎR ,讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»,12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-,所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-,当0a =时,()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时,令()0h x ¢=得21x a=-,所以若0a >时,211a-<,所以()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数,若0<a 时,211a->,且211x a <<-时,()0h x ¢>,21x a >-时,()0h x ¢<,所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数,综上：当0a ³时,()h x 在()1,+¥上为增函数,当0<a 时,()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>,设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+,则()()()222e 2e 12e e 2e e x xx x xxx x x x F x x x x x-+--¢=--==,因为0x >,所以e 10x x +>,设()e 2x x x j =-,则()()10e xx x j ¢=+>,则()x j 在()0,¥+上单调递增,而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø,所以存在04,15x æöÎç÷èø,使()00x j =,即00e 2xx =,所以00ln ln 2x x +=,即00ln ln 2x x =-,当00x x <<时,()0F x ¢<,则()F x 在()00,x 上单调递减,当0x x >时,()0F x ¢>,则()F x 在()0,x +¥上单调递增,所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+,设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø,则()3220m t t ¢=+>,则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增,42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø,则()min 0F x >,则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立,即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例4】（2024届天津市滨海新区高考模拟检测）已知函数()ln a xf x x+=,其中a 为实数．(1)当1a =时,①求函数()f x 的图象在e x =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；②若对任意的x D Î,均有()()m x n x £,则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数,()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数．若()1kg x x =+,且()g x 为()f x 在[)1,+¥上的下界函数,求实数k 的取值范围．。