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第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
第六章线性空间(Linear Space)引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广。
我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论。
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论，可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Îa M表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用a MÏ表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}=.M a a|具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作j .如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即a M Î当且仅当a N Î，那么它们就称为相等，记为M N =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由a M Î可以推出a N Î，那么M 就称为N 的子集合，记为M N Ì或N M É.两个集合M 和N 如果同时满足M N Ì和N M Ì.，则M 和N 相等.设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N的交，记为M N I .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为M N U .二、映射设M 和M ¢是两个集合，所谓集合M 到集合M ¢的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M ¢中一个确定的元素a ¢与之对应.如果映射s 使元素a M ⅱÎ与元素a M Î对应，那么就记为()a a s ¢=,a ¢就为a 在映射s 下的像，而a 称为a ¢在映射s 下的一个原像.M到M 自身的映射，有时也称为M 到自身的变换.关于M 到M ¢的映射s 应注意： 1）M 与M ¢可以相同，也可以不同；2）对于M 中每个元素a ，需要有M ¢中一个唯一确定的元素a ¢与它对应； 3）一般，M ¢中元素不一定都是M 中元素的像； 4）M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M 到集合M ¢的两个映射s 及t ，若对M 的每个元素a 都有()()a a s t =则称它们相等，记作s t =..例1 M 是全体整数的集合，M ¢是全体偶数的集合，定义()2,n n n Ms =?,这是M 到M ¢的一个映射.例2 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义1()||,A A A M s =?.这是M 到P 的一个映射.例3 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义2(),a aE a P s =?.E是n 级单位矩阵，这是P 到M 的一个映射. 例4 对于()[]f x P x Î,定义(())()f x f x s ¢=这是[]P x 到自身的一个映射.例5 设M ，M ¢是两个非空的集合，0a 是M ¢中一个固定的元素，定义0(),a a a M s =?.这是M 到M ¢的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义(),a a a M s =?.即s 把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为1M .例7 任意一个定义在全体实数上的函数()y f x =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设s 及t 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的映射，乘积t s 定义为()()(()),a a a Mt s t s =?,即相继施行s 和t 的结果，t s 是M 到M ⅱ的一个映射.对于集合M 到M ¢的任何一个映射s 显然都有11M M s s s¢==.映射的乘法适合结合律.设,,s t y 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ，M ⅱ到M ⅱ?的映射，映射乘法的结合律就是()()y t s y t s =.设s 是集合M 到M ¢的一个映射，用()M s代表M 在映射s 下像的全体，称为M 在映射s 下的像集合.显然()M M s ¢Ì.如果()M M s ¢=，映射s 称为映上的或满射.如果在映射s 下，M 中不同元素的像也一定不同，即由12a a ¹一定有12()()a a s s ¹,那么映射s就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M ¢的双射s 可以自然地定义它的逆映射，记为1s -.因为s 为满射，所以M ¢中每个元素都有原像，又因为s 是单射，所以每个元素只有一个原像，定义当1(),()a a a a s s -ⅱ==.显然，1s -是M ¢到M 的一个双射，并且111,1M M s s s s --¢==.不难证明，如果,s t 分别是M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的双射，那么乘积t s 就是M 到M ⅱ的一个双射.§2 线性空间(Linear Space )的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上m n ´矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法addition ；这就是说给出了一个法则，对于V 中任意两个元素a 与b ,在V 中都有唯一的一个元素g 与它们对应,称为a 与b 的和sum ,记为g a b =+.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法scalar multiplication ；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素a ,在V 中都有唯一的一个元素d 与它们对应,称为k 与a 的数量乘积scalar multiple ,记为k d a=.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) a b b a +=+；Commutative law2) ()()a b g a b g ++=++；Associative law3) 在V 中有一个元素0,V a "?,都有0a a +=（具有这个性质的元素0称为V的零元素a zero vector ）； 4) ,,0V V sta b ab "??=(b称为a 的负元素additive inverse ).数量乘法满足下面两条规则： 5) 1a a =; 6) ()()k l kl a a =;数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ()k l k l a a a +=+; 8) ）(;k k k a b a b +=+在以上规则中，,k l 等表示数域P 中任意数；,,a b g 等表示集合V 中任意元素. 注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算(linear operation)．2．线性空间的元素也称为向量(vector )，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间也称为向量空间(vector space )．但这里的向量不一定是有序数组．以下用黑体的小写希腊字母,,,a b g L代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,,,a b c L代表数域P中的数.3.由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法。
线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3．n维向量空间K是线性空间。
n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。
三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
§6-2线性空间的定义和性质
一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域
1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：
① α+β=β+α；
② α+（β+γ）=（α+β）+γ；
③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；
2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯
一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：
⑤αα=∙1;
⑥()()ααkl l k =;
⑦()αααl k l k +=+;
⑧()βαβαk k k +=+;
满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。
例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。
如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。
例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。
例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。
)()()(x af x g x f +
例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：
V b a ab b a ∈=⊕,,
定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为
p R v a a a k k ∈∈=,,
下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：
1 a b ba ab b a ⊕===⊕；
2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；
3 a a a =⋅=⊕11；
4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;
5 a lk a a k a l k lk l ===)(;
6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;
7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(
=)()(b k a k ⊕;
8 a a a ='= 1;
所以V 是实数域上的向量空间。
由以上例子可以看出，线性空间的元素可以是任意的形式，为了叙述方便，我们也称其为向量，但这里所指的向量比几何中的向量的涵义要广泛得多。
线性空间有时也称为向量空间。
问题： 只含一个零向量的集合能否形成线性空间。
二、性质 从定义可直接得到线性空间的一些简单性质
性质1 ：零元素是唯一的。
反证：设21,θθ是线性空间V 中的两个零元
∵1θ是零元，∴221θθθ=+
又∵2θ是零元，∴112θθθ=+
⇒ 2211θθθθ=+=
性质2：负元素是唯一的。
反证：设γβ,都是α的负元，于是0=+βα，0=+γα
所以 ()()γγγαβγαβββ=+=++=++=+=00。
既然α的负元是唯一的，可记为α-，这样可定义减法如下：()βαβα-+=-。
性质3：00=∙α，θθ=∙k ，()αα-=-1。
性质4：如果θα=k ，则0=k 或者θα=。
证明：若0≠k ，∵θα=k ，两边同乘1-k ，有()ααα===-101k k
三、 小结
线性空间是高等代数中一个极其重要的概念。
从本节起高等代数进入研究代数系统的新阶段。
在新阶段里，研究问题的方法同过去相比有很大不同，公理化方法和结构化方法将成为研究问题的主要方法。
让我们师生共同努力，很好地完成认识上的这次飞跃。
