线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是

线性代数笔记11——向量空间 向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。

在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

线性组合 线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v2…v n是n维向量，即v i∈R n，那么t1v1 + t2v2 + … + t n v n就是v1,v2…v n的线性组合，t i∈R。

从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。

如果有两个⼆维向量： 下⾯是可能存在的线性组合： 最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。

此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。

单个向量同样存在线性组合。

下⾯是a可能存在的线性组合：向量空间 概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间R n，这些就是向量空间。

以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R2空间内。

这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。

下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。

向量张成的空间 如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张成的空间。

简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。

以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2表⽰。

如果是两个平⾏的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直线： 同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是⼀条直线。

大一线代重点知识点线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

在大一线性代数课程中，有一些知识点被认为是非常重要的。

本文将重点介绍大一线性代数课程中的重要知识点，帮助你更好地理解和掌握线性代数。

1. 向量与矩阵向量是线性代数中最基本的概念之一。

在二维情况下，向量可以表示为一个具有两个元素的有序数组，而在三维情况下，向量可以表示为一个具有三个元素的有序数组。

向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算，这些运算满足一定的性质，如交换律、结合律等。

矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

矩阵可以看作是一个由m行n列元素组成的二维数组。

矩阵可以进行加法、减法、数量乘法等基本运算。

矩阵还具有转置、逆矩阵等重要性质，这些性质在解线性方程组和矩阵变换等问题中起着重要的作用。

2. 行列式行列式是由矩阵表示的一个特征数值。

行列式在线性代数中扮演着重要的角色，它可以用来判断矩阵的奇偶性、可逆性以及计算矩阵的逆等。

行列式的计算方法有多种，如按行展开法、按列展开法和拉普拉斯展开法等。

掌握这些计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用行列式的性质。

3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要话题。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程都是一个关于未知数的线性方程。

解线性方程组的问题可以转化为求解矩阵方程的问题。

通过矩阵的消元、求逆矩阵等方法，我们可以求解线性方程组的解，并且可以判断方程组的解的情况。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。

对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx成立，那么λ被称为A的特征值，x被称为A的对应于特征值λ的特征向量。

特征值与特征向量在矩阵对角化、矩阵相似和矩阵变换等问题中起着重要的作用。

掌握求解特征值与特征向量的方法，对于理解矩阵的性质和解决实际问题非常重要。

5. 线性空间与基线性空间是线性代数中的一个重要概念。

线性空间是一个向量集合，其中的元素可以进行加法和数量乘法运算，并且满足一定的性质。

线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。

它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。

线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。

线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。

一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。

即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。

2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。

3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。

4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。

5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。

6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。

7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。

8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。

二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换也被称为线性映射或线性算子。

线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。

2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。

3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。

基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。

在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。

基的概念基是线性空间的一个基本概念。

在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。

而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。

具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。

基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。

2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。

3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。

4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。

维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。

在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。

具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。

维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。

基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。

以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。

具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。

而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。

2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。

高等代数学习心得高等代数是大学数学课程中的一门重要课程，主要内容包括线性代数、矩阵理论、向量空间理论、特征值理论等等。

我在学习这门课程期间，遇到了一些困难，但也取得了一些成果。

以下是我的高等代数学习心得，共____字。

高等代数学习心得（二）一、线性代数的学习线性代数是高等代数的核心内容，也是最基础的内容。

在学习线性代数时，我发现有几个重点需要特别注意。

1.矩阵的运算矩阵是线性代数中最重要的概念之一，学习矩阵的运算是线性代数的基础。

在学习矩阵乘法、矩阵的逆等运算时，需要特别注意运算规则和运算性质。

掌握了这些规则和性质之后，就能够灵活地运用矩阵来解决各种问题。

2.向量的运算向量是线性代数中另一个重要的概念，也是矩阵的特殊情况。

在学习向量的运算时，需要注意向量的性质和运算法则。

学会使用向量来表示物理量和解决几何问题，对于理解线性代数的概念和方法非常有帮助。

3.线性空间的性质线性空间是线性代数中的核心概念之一，掌握线性空间的性质对于理解和应用线性代数非常重要。

在学习线性空间时，需要特别注意线性空间的定义和性质，以及线性空间的子空间、基与维数等概念。

二、矩阵理论的学习矩阵理论是高等代数的重要组成部分，学习矩阵理论需要掌握以下几个关键点。

1.特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中最重要的概念之一，掌握了特征值与特征向量的求解方法和性质，就能够解决很多与矩阵相关的问题。

在学习特征值与特征向量时，需要特别注意特征值与特征向量的定义和性质，以及特征方程的求解方法。

2.矩阵的相似与对角化矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的重要概念，掌握了矩阵的相似与对角化的定义和性质，就能够将矩阵化为对角形式，简化计算过程。

在学习矩阵的相似与对角化时，需要特别注意相似矩阵的定义和性质，以及矩阵的对角化条件和方法。

三、向量空间理论的学习向量空间理论是高等代数的重要内容之一，学习向量空间理论需要特别注意以下几个关键点。

1.向量空间的定义和性质向量空间的定义和性质是学习向量空间理论的基础，掌握了向量空间的定义和性质，就能够理解和应用向量空间理论。

矩阵论讲义主讲: 邓光明使用教材: 《矩阵论》（第3版）西北工业大学出版社程云鹏主编参考书：《矩阵分析引论》罗家洪编《矩阵论》同步学习辅导张凯院编《矩阵论简明教程》徐仲等编著课时分配：第一章 12学时第二章 4学时第三章 6学时第四章 6学时第五章 4学时第六章 4学时成绩考核：平时成绩（考勤）30%，考试成绩（闭卷）70%为什么要学习矩阵理论？怎么来学习、掌握？★向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具——其“有力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上。

★学习基础知识→专业课程中进一步认知→科学研究中应用线性空间与线性变换§1.1 线性空间一、（预备知识）所有数域都包含有理数域，特别地，每个数域都包含整数0和1线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习矩阵理论的重要基础。

研究“范围”→数域→线性空间**2.线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似.于是: 线性空间中的抽象元素 具体数组向量一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。

但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。

基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。

四、基变换与坐标变换据例7知#（小结）定理：如下四种表述等价（1）12V V +成为直和12V V ⊕（2）{}120V V =（3）dim(V 1+V 2)=dimV 1+ dimV 2（4）x 1、x 2、···、x s 为V 1的基，y 1、y 2、···、y t 为V 2的基，则x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 为12V V +的基作业：P25 3，7， P26 9、11E nd of the first part .。

大学数学线性代数及应用线性代数是一门基础而又重要的数学课程，它的研究对象是线性空间及其上的线性变换。

线性代数是数学领域中最常用的工具之一，它在物理、工程、计算机科学等领域发挥着重要作用。

首先，线性代数的一个基本概念是线性空间。

线性空间是指一个非空集合V，其中存在两种运算，即加法和数乘，满足如下性质：（1）加法的闭性：对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v也在V中。

（2）加法的结合律：对于任意三个向量u、v、w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。

（3）加法的交换律：对于任意两个向量u、v∈V，有u+v=v+u。

（4）加法的有零元素：存在一个0∈V，对于任意向量u∈V，有u+0=u。

（5）加法的有负元素：对于任意向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+v=0。

（6）数乘的结合律：对于任意标量a、b∈F和向量u∈V，有(a+b)u=au+bu；（7）数乘的分配律1：对于任意标量a∈F和向量u、v∈V，有a(u+v)=au+av；（8）数乘的分配律2：对于任意标量a、b∈F和向量u∈V，有(ab)u=a(bu)；（9）数乘的单位元：对于任意向量u∈V，有1u=u。

这些性质构成了线性空间的基本性质，可以看出，线性空间具有很强的结构性。

事实上，很多抽象的概念都可以用线性空间来描述。

其次，线性变换是线性代数中的重要概念之一。

线性变换是指一个线性空间到另一个线性空间的映射，它保持加法和数乘运算，即对于任意向量u、v∈V和标量a∈F，有：T(u+v)=T(u)+T(v)T(au)=aT(u)其中，T表示线性变换，也可以称为线性映射。

线性变换具有很多基本性质，例如：（1）零空间：线性变换T的零空间是指所有被T映射为0向量的向量所组成的空间，记为ker(T)。

显然，零空间是线性子空间。

（2）像空间：线性变换T的像空间是指T作用于来源空间的所有向量所组成的空间，记为Im(T)。

显然，像空间是线性子空间。

（3）可逆性：线性变换T如果存在逆变换T-1，即对于任意向量u∈V，有T-1(T(u))=u，那么称T是可逆的。

线性空间与子空间的定义与性质线性空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组元素及其对应的运算所构成的数学结构。

本文将介绍线性空间的定义和性质，并讨论其子空间的特点。

一、线性空间的定义线性空间也称为向量空间，它由定义在一个域上的元素所组成，这些元素称为向量。

一个线性空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量a和b，其线性组合a+b也是线性空间中的向量。

2. 可加性：对于任意向量a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)的结合律。

3. 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。

4. 负向量：对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a+b=0。

5. 数乘性：对于任意向量a和标量k，其标量倍数ka也是线性空间中的向量。

6. 数乘分法：对于任意标量k和l，以及向量a，满足(kl)a=k(la)的结合律。

7. 数乘加法混合性：对于任意向量a和标量k、l，满足(k+l)a=ka+la 的分配律。

8. 数加分法混合性：对于任意向量a、b和标量k，满足k(a+b)=ka+kb的分配律。

二、线性子空间的定义线性子空间是指线性空间中的一个子集，它也是一个线性空间。

对于给定的线性空间V，如果集合W是V的子集，并且满足以下条件：1. 零向量：零向量0属于W。

2. 封闭性：对于任意向量a和b，若a和b都属于W，则其线性组合a+b也属于W。

3. 数乘性：对于任意向量a和标量k，若a属于W，则其标量倍数ka也属于W。

三、子空间的性质线性子空间具有如下性质：1. 非空性：线性子空间不能是空集。

2. 零向量唯一性：线性子空间中的零向量是唯一的。

3. 维数性质：设V是一个线性空间，W是V的一个有限维子空间，如果W的一组基包含n个向量，则W的任意一组线性无关的向量组也包含不超过n个向量。

4. 直和性质：设V是一个线性空间，W是V的一个子空间。

如果存在一个子空间U，使得V是U和W的直和，即任意向量v∈V都可以唯一地表示成v=u+w，其中u∈U，w∈W，则称V是子空间U和W 的直和。