线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是

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对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间

A sin x B S [ x ].
s1 A1 sin x B1 A1 sin x B1 S [ x ]
S x 是一个线性空间.
一般地例５在区间 [a , b] 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
例４正弦函数的集合
S x s Asin x B A, B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．
s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x

若对于任一数 R与任一元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为与的积，记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设 , , V ; , R
(1) ;
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[ x]n

线性空间的定义与性质

s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.

线性空间的基本内容

(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变
(3)线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组
注意：线性无关的向量组经过线性变换后可能会变成线性相关的向量组，如零变换
3、线性变换的矩阵
(1) 定义教材P133定义3.11
(2) 求线性变换一组基下的矩阵教材P134例8---例11。
（2）正交基与标准正交基教材P145定义3.17
对一组正交基进行单位化，就得到一组标准正交基
（3）在标准正交基下，向量坐标可用内积简单表示：见教材P145 定理3.11
在标准正交基下，内积也有特别简单的表达式：设，在的标准正交基下，有，，则
（4）第二章中施密特正交化方法可以推广到一般的欧氏空间教材P146定理3.12
② 两个等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。
(4)基教材P122定义3.5
(5)坐标教材P122定义3.6
注意：
① 若是为维线性空间的一组基，则它们线性无关，并且对于任意，线性相关。
② 向量在一组基下的坐标唯一。
4、基变换与坐标变换教材P125定理 3.4
本章小结
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。在线性空间中，元素之间的联系是通过映射来实现的，而通常将线性空间到自身的映射称为变换。线性变换是其中最基本也是最重要的变换，它是线性代数的主要研究对象之一。本章重点介绍了两方面的内容：线性空间的概念、性质，线性空间的基与坐标；线性变换的定义,线性变换的矩阵。最后简要介绍了欧氏空间。
(3) 线性变换的像与的坐标之间的关系教材P137定理3.7
4、线性变换与矩阵的一一对应关系

线性代数笔记11——向量空间

线性代数笔记11——向量空间向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。

在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

线性组合线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v2…v n是n维向量，即v i∈R n，那么t1v1 + t2v2 + … + t n v n就是v1,v2…v n的线性组合，t i∈R。

从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。

如果有两个⼆维向量：下⾯是可能存在的线性组合：最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。

此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。

单个向量同样存在线性组合。

下⾯是a可能存在的线性组合：向量空间概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间R n，这些就是向量空间。

以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R2空间内。

这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。

下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。

向量张成的空间如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张成的空间。

简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。

以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2表⽰。

如果是两个平⾏的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直线：同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是⼀条直线。

第一章线性空间2011

是唯一的．负元素是唯一的．
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线性空间是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
说明
1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．
一.线性空间的定义
设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中定义了一种代数运算，叫做加法: 即对 , V , 在V 中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为
mn
是一个线性空间 .
例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法 , 数乘多项式的乘法构成向量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[ x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[ x]n . P[ x]n 对运算封闭

大一线代重点知识点

大一线代重点知识点线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

在大一线性代数课程中，有一些知识点被认为是非常重要的。

本文将重点介绍大一线性代数课程中的重要知识点，帮助你更好地理解和掌握线性代数。

1. 向量与矩阵向量是线性代数中最基本的概念之一。

在二维情况下，向量可以表示为一个具有两个元素的有序数组，而在三维情况下，向量可以表示为一个具有三个元素的有序数组。

向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算，这些运算满足一定的性质，如交换律、结合律等。

矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

矩阵可以看作是一个由m行n列元素组成的二维数组。

矩阵可以进行加法、减法、数量乘法等基本运算。

矩阵还具有转置、逆矩阵等重要性质，这些性质在解线性方程组和矩阵变换等问题中起着重要的作用。

2. 行列式行列式是由矩阵表示的一个特征数值。

行列式在线性代数中扮演着重要的角色，它可以用来判断矩阵的奇偶性、可逆性以及计算矩阵的逆等。

行列式的计算方法有多种，如按行展开法、按列展开法和拉普拉斯展开法等。

掌握这些计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用行列式的性质。

3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要话题。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程都是一个关于未知数的线性方程。

解线性方程组的问题可以转化为求解矩阵方程的问题。

通过矩阵的消元、求逆矩阵等方法，我们可以求解线性方程组的解，并且可以判断方程组的解的情况。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。

对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx成立，那么λ被称为A的特征值，x被称为A的对应于特征值λ的特征向量。

特征值与特征向量在矩阵对角化、矩阵相似和矩阵变换等问题中起着重要的作用。

掌握求解特征值与特征向量的方法，对于理解矩阵的性质和解决实际问题非常重要。

5. 线性空间与基线性空间是线性代数中的一个重要概念。

线性空间是一个向量集合，其中的元素可以进行加法和数量乘法运算，并且满足一定的性质。

线性空间

注: 这是对第四章中子空间定义的修正.
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定义2 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子集, 如果L对于V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称L 为V的子空间. 定理1 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线性运算封闭. 这是因为: L是V的一部分, V中的运算对于L而言, 规律(i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii)显然是满足的, 因此只要L对运算封闭且满足规律即(iii)、(iv)可. 但由线性空间的性质知, 或L对运算封闭, 则即能满足干规律(iii)、(iv).
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例3 正弦函数的集合 S[x]={s=Asin(x+B)|A, B∈R} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间. 说明: 检验一个集合是否构成向量空间, 当然不能只检验对运算的封闭性(如上面二例). 若所定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算, 则就应仔向量检验是否满足八条线性运算规律.
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例1 次不超过n的多项式的全体, 记作P[x]n , 即 P[x]n={p=anxn+an−1xn−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a1x+a0|an, ⋅ ⋅ ⋅, a1, a0∈R}, 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间. 这是因为: 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故只要验证P[x]n对运算封闭: (anxn+ ⋅ ⋅ ⋅ +a1x+a0)+(bnxn+ ⋅ ⋅ ⋅ +b1x+b0) =(an+bn)xn+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a1+b1)x+(a0+b0)∈P[x]n;

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。

它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。

线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。

线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。

一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。

即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。

2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。

3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。

4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。

5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。

6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。

7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。

8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。

二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换也被称为线性映射或线性算子。

线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。

2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。

3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。

基与维数的基本概念与应用

基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。

在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。

基的概念基是线性空间的一个基本概念。

在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。

而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。

具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。

基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。

2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。

3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。

4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。

维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。

在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。

具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。

维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。

基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。

以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。

具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。

而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。

2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。

高等代数学习心得

高等代数学习心得高等代数是大学数学课程中的一门重要课程，主要内容包括线性代数、矩阵理论、向量空间理论、特征值理论等等。

我在学习这门课程期间，遇到了一些困难，但也取得了一些成果。

以下是我的高等代数学习心得，共____字。

高等代数学习心得（二）一、线性代数的学习线性代数是高等代数的核心内容，也是最基础的内容。

在学习线性代数时，我发现有几个重点需要特别注意。

1.矩阵的运算矩阵是线性代数中最重要的概念之一，学习矩阵的运算是线性代数的基础。

在学习矩阵乘法、矩阵的逆等运算时，需要特别注意运算规则和运算性质。

掌握了这些规则和性质之后，就能够灵活地运用矩阵来解决各种问题。

2.向量的运算向量是线性代数中另一个重要的概念，也是矩阵的特殊情况。

在学习向量的运算时，需要注意向量的性质和运算法则。

学会使用向量来表示物理量和解决几何问题，对于理解线性代数的概念和方法非常有帮助。

3.线性空间的性质线性空间是线性代数中的核心概念之一，掌握线性空间的性质对于理解和应用线性代数非常重要。

在学习线性空间时，需要特别注意线性空间的定义和性质，以及线性空间的子空间、基与维数等概念。

二、矩阵理论的学习矩阵理论是高等代数的重要组成部分，学习矩阵理论需要掌握以下几个关键点。

1.特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中最重要的概念之一，掌握了特征值与特征向量的求解方法和性质，就能够解决很多与矩阵相关的问题。

在学习特征值与特征向量时，需要特别注意特征值与特征向量的定义和性质，以及特征方程的求解方法。

2.矩阵的相似与对角化矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的重要概念，掌握了矩阵的相似与对角化的定义和性质，就能够将矩阵化为对角形式，简化计算过程。

在学习矩阵的相似与对角化时，需要特别注意相似矩阵的定义和性质，以及矩阵的对角化条件和方法。

三、向量空间理论的学习向量空间理论是高等代数的重要内容之一，学习向量空间理论需要特别注意以下几个关键点。

1.向量空间的定义和性质向量空间的定义和性质是学习向量空间理论的基础，掌握了向量空间的定义和性质，就能够理解和应用向量空间理论。

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例４
正弦函数的集合
S [ x ] = {s = A sin( x + B ) A, B ∈ R}. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．
Q s1 + s2 = A1 sin( x + B1 ) + A2 sin( x + B2 ) = (a1 cos x + b1 sin x ) + (a2 cos x + b2 sin x ) = (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x
(7)(λ + μ )α = λα + μα ;
(8)λ (α + β ) = λα + λβ .
说明
1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
∴ R m ×n是一个线性空间 .
例2 次数不超过 n的多项式的全体 , 记作 P[ x ]n ,即
P[ x ]n = { p = a n x n + L + a 1 x + a 0 a n ,L , a 1 , a 0 ∈ R},
对于通常的多项式加法 , 数乘多项式的乘法构成向量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律． ( a n x n + L + a 1 x + a 0 ) + ( b n x n + L + b1 x + b 0 ) = (a n + b n ) x n + L + (a 1 + b1) x + (a 0 + b 0 )∈ P[ x ]n λ (a n x n + L + a 1 x + a 0 ) = (λ a n ) x n + L + (λ a 1) x + (λ a 0 ) ∈ P[ x ]n P[ x ]n 对运算封闭.
2×3
解 (1)不构成子空间. 因为对 ⎛ 1 0 0⎞ A= B=⎜ ⎟ ∈ W1 ⎝ 0 0 0⎠ ⎛ 2 0 0⎞ 有 A+ B = ⎜ ⎟ ∉ W1 , ⎝ 0 0 0⎠
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. ⎛ 0 0 0⎞ ( 2) 因 ⎜ ⎟ ∈ W2 , 即W2非空. ⎝ 0 0 0⎠ 对任意 ⎛ a1 b1 0 ⎞ ⎛ a2 b2 0 ⎞ ⎟ ∈ W2 ⎟, B = ⎜ A=⎜ ⎝ 0 0 c1 ⎠ ⎝ 0 0 c2 ⎠ 有于是
3. 0α = 0;
(− 1)α = −α ; λ 0 = 0.
证明 Qα + 0α = 1α + 0α = (1 + 0 )α = 1α = α ,
∴ 0α = 0.
Qα + (− 1)α = 1α + (− 1)α = [1 + (− 1)]α = 0α = 0,
∴ (− 1)α = −α .
且
ka1 + kb1 + kc1 = 0,
即 kA ∈ W2 , 故W 2是R 2×3的子空间.
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 是一个集合 ⎧ ⎪ ⎨ 对所定义的加法及数乘运算封闭 ⎪ ⎩ 所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．
定义１设 V 是一个非空集合，R 为实数域．如果对于任意两个元素 α , β ∈ V ，总有唯一的一个元素γ ∈ V与之对应，称为 α 与 β 的和，记作
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．例６正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法及乘数运算为 λ + ( a ⊕ b = ab, λ o a = a , λ ∈ R, a , b ∈ R ). 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间．证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
γ =α + β
若对于任一数 λ ∈ R与任一元素α ∈ V ，总有唯一的一个元素δ ∈ V 与之对应，称为 λ 与 α 的积，记作 δ = λα
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , μ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 α ∈ V , 都有 α + 0 = α;
(4)对任何α ∈V , 都有α的负元素β ∈V , 使 α + β = 0;
(5) 1α = α ;
(6) λ ( μα ) = (λμ )α ;
思考题
实数域 R上的n元非齐次线性方程组 AX = B 的所有解向量 , 对于通常的向量加法和数量乘法 , 是否构成 R上的一个线性空间 ? 为什么 ?
思考题解答
答不能构成 R上的一个线性空间 . 事实上 , 设 X 1 , X 2 都是 n元非齐次线性方程组
AX = B的解向量 , 则 A X 1 = B, AX2= B 但 A( X 1 + X 2 ) = A X 1 + A X 2 = B + B = 2 B ≠ B 即 X 1 + X 2 不是AX = B的解向量 , 也就是说所有解向量的集合对加法运算不封闭. 因此不能构成一个线性空间.
∀λ ∈ R , a ∈ R + , ⇒ λ o a = a λ ∈ R + . 所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a;
( 2)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a ⊕ (b ⊕ c );
a1 + b1 + c1 = 0,
⎛ a1 + a2 A+ B = ⎜ ⎝ 0
a2 + b2 + c2 = 0,
b1 + b2 0 0 ⎞ ⎟ c1 + c2 ⎠
满足
即
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) + (c1 + c2 ) = 0,
A + B ∈ W2 , 对任意 k ∈ R有 ⎛ ka1 kA = ⎜ ⎝ 0 kb1 0 0 ⎞ ⎟ kc1 ⎠
⇒ 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02.
2．负元素是唯一的．证明假设 α 有两个负元素 β 与 γ ，那么
α + β = 0 , α + γ = 0. 则有 β = β + 0 = β + (α + γ ) = (β + α ) + γ
= 0+γ =γ.
向量 α 的负元素记为 − α .
Байду номын сангаас
所以 R + 对所定义的运算构成线性空间．
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,L, xn ) x1 , x2 ,L , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ o ( x1 ,L, xn )T = (0,L ,0 ) 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 o x = o, 不满足第五条运算规律 .
λ 0 = λ [α + (− 1)α ] = λα + (− λ )α
= [λ + (− λ )]α = 0α
= 0.
4．如果 λα = 0，则 λ = 0 或 α = 0 .
证明又
1
假设 λ ≠ 0 , 那么
1
λ
(λα ) = ⋅ 0 = 0.
λ
1
λ
(λα ) = ⋅ λ ⋅ α = α .
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n = { p = a n x n + L + a 1 x + a 0 a n ,L , a 1 , a 0 ∈ R, 且 a n ≠ 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间.
0 p = 0 x n + L + 0 x + 0 ∉ Q[ x ]n Q[ x ]n 对运算不封闭 .
线性空间.
{
T
}
由于所定义的运算不是线性运算 , 所以 S n 不是
P153 T1
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．证明假设 01 ,02 是线性空间V中的两个零元有素，则对任何 α ∈ V ，
α + 01 = α , α + 02 = α .
由于 01 ,02 ∈ V , 所以 02 + 01 = 02 ,01 + 02 = 01.
μ μ λ
)
= a λμ = (λμ ) o a;
( 7 ) (λ + μ ) o a = a λ + μ = a λ a μ = a λ ⊕ a μ = λ o a ⊕ μ o a;