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1 1
4)k k k
k k k k k k
同理可验证⑥⑦⑧也成立，故V作成K上的一个 向量空间.
注：①由例6知向量空间的加法与数乘是 一种抽象的运算，并不是我们通常意义下的 加法与数乘，比如例6中的加法实质为数的普 通乘法，而数乘实质为普通数的乘方运算.
下面，我们给出了一个非空集合是否是子空间的判别 法则. 定理6.2.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是的
一个子空间，必要且只要对于 a,b F和任意, W
都有a b W
证 如果W是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法 是封闭的，所以对于 a,b F,, W 都有
3.1, 2, n AB 1, 2, n AB
§6.2子空间
授课方式：课堂讲授 教学目的：
①理解子空间的定义 ②会判断一个非空集合是否是子空间 ③理解子空间的和与交 教学重点与难点： ①子空间的定义 ②子空间的一些等价刻划 ③子空间的和与交
1.子空间的定义：设V是数域F上的一个向量空间，W是 V的一个非空子集，若W对于V的加法与数乘作成一 个向量空间，则W称是V的一个子空间（注：给出了 W是V的一个子空间的判别方法）
在与中定义数乘如下k：a,b ka,0
二．向量空间的性质
性质1：零向量是唯一的
证明：设0和 0' 都是向量空间V的零向量，那么根据零
向量的定义，对于 V 中任意向量 都有 0
0 ,于是0 0 0 0
性质2: 每个向量的负向量是唯一的，且把向量
矩阵 1 , 2 , n
2．设 A aij 是数域F上一个 n m 矩阵，我们定
义 1, 2 , n A 1, 2 , m
（实质可看成矩阵的乘法）
n
这里 j iaij 1a1 j 2a2 j anj n ,1 j n i 1
的子空间，则 W1 W2 Wn i | i Wi
仍是V的子空间，称为子空间 W1,W2 , Wn的和
注：1o 子空间的并，不一定是子空间.
例如在R2中令W1 a,0 | a R W2 0,b | b R
显然与都是的子空间，但 W1 W2 却不是 R 2的子空间。
7)(ab) a(b)
8) 1
这里 , , 是V 中任意向量,而a,b 是 F 中任意数.
注：向量空间的定义中的两种运算必须满足规定
的条件 即1 8
2.举例：
例2 数域 F 上一切 m n 矩阵所成的集合对于矩阵的
加法和矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间.
证明：首先要说明这两种运算的封闭性.
1o 因为V中任意两个元素的乘积仍在V中
2o k K, V , k k V 3o 下验证上述定义的两种运算满足8条
1)
2)( ) ( )
3)V中的零向量为1（而不是通常理解的0），因为
2.定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如 果W对于F的加法以及标量与向量的乘法是封闭的，那 么W本身也作成F上一个向量空间.
注：由1，2知①V的子空间W也是F上的一个向量空间， 并且一定含有V中的零向量.
②由定理6.2.1知，要判断 W V是否是V的子空间 只须验证加法与数乘封闭即可.
②要验证一个非空集合是否作成一个数域 上的向量空间，只须对所给的两种运算首 先判断其是否封闭.其次，再判断它们是否 满足8条运算即可.
⑤（习题8）向量空间定义中条件中的8） 不能由其余条件推出，即条件
1 不是显然的，也不是多
余的
例如，令W a,b | a,b F 在V中定义加法如下，a1,b1 a2 b2 a1 a2 ,b1 b2
即：设 W i 是向量空间V的一组子空间（个数
可以有限，也可以无限）.令 Wi
i
表示这些子空间的交，则 Wi 仍是V的子空间. i
②和：若是 W1 ,W2 是向量空间的子空间
则W1 W2 1 2 | 1 W1,2 W2
仍是V的子空间叫做W1与 W2 的和
推广到任意有限个的情形：设 W1 ,W2 , Wn 是V
2.W1,W2 是向量空间V的子空间，则 W1 W2是V的子空间
W1 W2或W1 W2 [课堂练习]
5.例题讲解 P225 习题4 证明：（分两种情况讨论）
（ⅰ）若 W1,W2 是V的真子空间，且
W1 W2或W2 W1 结论显然成立.
（ⅱ）若 W1,W2 互不包含，用反证法，
V W1 W2 V 0 由于 W1,W2 互不包含，
的唯一的负向量记作
证明：设 和 都是 的负向量，那么
0 0 于是
0 0
定义向量的差： ()
第六章 向量空间 §6.1定义和例子
教学目的与要求：①理解向量空间的定义
②掌握向量空间的性质
讲授方式：讲授
重点：向量空间的定义与性质 难点：向量空间的定义 关键：向量空间定义中的两种运算
一．定义和例子
1.定义 令 F 是一个数域. F 中的元素用小写拉丁 字母 a,b, c, 来表示.令 V是一个非空集合. V 中元 素用小写黑体希腊字母 , , , 来表示.我们把 V中 的元素叫做向量而把 F中的元素叫做标量.如果下列 条件被满足,就称 V是 F上一个向量空间： 1在V 中定义了一个加法。对于 V 中任意两个向量, 有V 中一个唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的和,并且记作 .
性质4（命题6.1.2）：0 0，0 0, a a a
特别的1 , a 0 a 0或 0
证明（略）
三、一些记法
1．设 1, 2 , , n 是 F上向量空间V的n个向量，我
们把它们排成一行，写成了一个以向量为元素 1 n的
即证 V 不能表成W1 W2
P225 习题5
证明：① W 1 W2（显然）
② W2 W1 ，对x2 W2，让x2 W1
x2 W2 W W2又 W W2 W W1
x W，x1 W1 st.x2 x x1
又 W1 W 2, x1 W2, x x2 x1 W2
故必有 W1但 W2，
.若不然，若 W1 W2 ，则有 W1或 W2 不妨假设 W1,则 W1 ，这与 W2但 W1
矛盾，所以 不能属于 V
例4 任意数域C总可以看成它自身上的向量空间.
例5 数域F上一元多项式环F x对于多项式的加法
和数与多项式的乘法来说作成上一个向量空间.
例6（补充）（此例的目的是进一步帮助学生理解向量
空间的加法与数乘运算）.令 K 是实数域，V是全体正实
数作成的集合，在V中定义加法为： （实际为 数的普通乘法），再规定数乘为k k (k K, V ) ，则 V作成K上的一个线性空间.
特别,F上一切 1 n矩阵所成的集合和一切n 1 矩阵所
成的集合分别作成F上向量空间.前者成为F上n元行空 间，后者称为F上n元列空间.我们用同一个符号F n来表 示这两个向量空间 .
例3 复数域C可以看成实数域R上的向量空间.
事实上，两个复数的和还是一个复数；一个实数与 一个复数的乘积还是一个复数.条件3o，1） 8）显然都 被满足.
性质3：普通移项规则成立，即
证明：“
”设
则
0
“ ”设 则 0
k1 k2 W1, W1与 W1矛盾
作业：P225 1，2，3
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 amn x n 0
的全体解向量作成F上的一个线性空间，称为这个齐
次线性方程组的解空间，它是 F n的一个子空间.
3.例子
例1：零空间，平凡子空间，真子空间
F 例3： n 中一切形如 a1, a2 , an1,0 , ai F 的向量作成 F n 的一个子空间
例4：Fx 中次数不超过一个给定的整数n的多项式
全体连同零多项式一起作成 Fx 的一个子空间.
例5：（补充）数域F上齐次线性方程组
x W W2 W W1 x W1
x2 W1
习题6：（ⅰ）用反证法，若 k F 都有
k W2 , W2
k W2 , k k W2即 W2
与 W2 矛盾 （ⅱ）用反证法，若至少有两个 k F
st k W1 k1 W1, k2 W1
3)在 V 中存在一个零向量,记做0,它具有以下性质：
对于 中每V一个向量 ,都有 0
4) 对于V 中每一个向
量 ,使得
量 ,在 V
0 .这样的
中存在一个向
叫做的 的负
向量.
5) a( ) a b
6)(a b) a b
2 有一个标量与向量的乘法.对于F 中每一个数 a 和V 中每一个向量 ,有 V 中唯一确定的向量
与它们对应,这个向量叫做 a 与 的积,并且
记作 a .
3向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律：
1)
2) ( )
a W ,b W .又因为W对于F的加法是封闭的，所以
a b W
反过来，如果对于任意 a,b F,, W
