线性空间的定义与性质(精)

线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。

本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。

一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。

具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。

即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。

2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。

3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。

4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。

线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。

零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。

线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。

二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。

具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。

2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。

线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。

零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。

恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。

可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。

三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。

线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。

§2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质引例1在第三章§2中，我们讨论了数域P 上的n 维向量 空间P n ，定义了两个向量的加法和数量乘法：而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例2数域P 上的一元多顶式环P[x ]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 同样满足上述这些重要的规律，即(),(),()[],,f x g x h x P x k l P∀∈∀∈()()()()f xg x g x f x +=+(()())()()(()())f x g xh x f x g x h x ++=++()()()()k l f x kl f x =1()()f x f x =()(())0f x f x +-=()0()f x f x +=()()()()k l f x kf x lf x +=+(()())()()k f x g x kf x kg x +=+12121122(,,,)(,,,)(,,,)n n n n a a a b b b a b a b a b +=+++1212(,,,,,)(,,)n n k a a a ka k ka ka P =∈αββα+=+()()αβγαβγ++=++0αα+=()0αα+-=,,,,n P k l P αβγ∀∈∀∈1αα=()()k l kl αα=()k l k l ααα+=+()k k k αβαβ+=+一.线性空间的定义设V 是一个非空集合，P 是一个数域，在集合V 中定义了一种代数运算，叫做加法：即对在V 中 都存在唯一的一个元素r 与它们对应，称r 为αβ与的和，记为r αβ=+；在P 与V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即,,V k P α∀∈∀∈在V 中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k α与的数量乘积，记为.k δα=如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V 为数域P 上的线性空间：加法满足下列四条规则：,,V αβγ∀∈ ①αββα+=+②()()αβγαβγ++=++③在V 中有一个元素0，对,0V ααα∀∈+=有（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）④ 对,V α∀∈都有V 中的一个元素β，使得0αβ+=;(β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则 :⑤ 1αα= ⑥()()k l kl αα= 数量乘法与加法满足下列两条规则：注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间．例1 引例1, 2中的 P n , P[x ] 均为数域 P 上的线性空间．例2 数域 P 上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域 P 上的一个线性空间，常用 P[x ]n 表示．,,V k P α∀∈∀∈⑦()k l k l ααα+=+⑧()k k k αβαβ+=+11111[]{(),,,}n nn n P x f x a x a x a a a a P ---==+++∈例3 数域 P 上m n ⨯ 矩阵的全体作成的集合,按矩阵的加法和数量乘法，构成数域 P 上的一个线性空间，用m n P ⨯表示．例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个数域P 上的线性空间．例5 全体正实数R ＋，1) 加法与数量乘法定义为：,,a b R k R +∀∈∀∈ log a a b b +=kk a a=2) 加法与数量乘法定义为： ,,a b R k R +∀∈∀∈a b ab +=k k a a = 判断 R +是否构成实数域 R 上的线性空间 . 解：1）R +不构成实数域R 上的线性空间.⊕不封闭，如2112log 122⊕==-∉R ＋．2) R +构成实数域R 上的线性空间．首先，R +≠∅，且加法和数量乘法对R ＋是封闭的. 事实上,,,a b R a b ab R ++∀∈⊕=∈ ,且 ab 唯一确定；,,k a R k R k a a R ++∀∈∀∈=∈ ,且 a k唯一确定． 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a b ab ba b a ⊕===⊕② ()()()()()()a b c ab c ab c a bc a bc a b c ⊕⊕=⊕===⊕=⊕⊕ ③ 1∈R ＋，11,a a a ⊕==a ∀∈ R ＋，即1是零元； ④ a ∀∈ R ＋，1a ∈R ＋，且111a a a a ⊕==即a 的负元素是1a；⑤11a a a ==a ∀∈R ＋；⑥⑦ ⑧()()()k k k k kk a b k ab ab a b a b ⊕====⊕; ∴R +构成实数域 R 上的线性空间．()()()l l k l k kl k l a k a a a a kl a=====()()()k l k l k l k l a a a a a a k a l a ++===⊕=⊕()()k a k b =⊕例6令 {}()()[],n n V f A f x R x A R ⨯=∈∈即n 阶方阵A 的实系数多项式的全体，则V 关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R 上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知 ()()(),()()f A g A h A kf A d A +== 其中，,(),()[]k R h x d x R x ∈∈又V 中含有A 的零多项式，即零矩阵0，为V 的零元素. 以 ()f x 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－()f x ，则 f (A)有负元素－f (A). 由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V 为实数域R 上的线性空间.二、线性空间的简单性质 1、零元素是唯一的.证明：假设线性空间V 有两个零元素12,o o ，则有 01＝01＋02＝02．2、V α∀∈，α的负元素是唯一的，记为-α. 证明：假设α有两个负元素 β、γ ，则有0,0αβαγ+=+=0()()()0βββαγβαγαβγγγ=+=++=++=++=+=◇ 利用负元素，我们定义减法：()αβαβ-=+- 3、00,00,(1),()k k k k ααααβαβ==-=--=-证明：0(01),αααα+=+=∴两边加上α-即得 0α＝0； ∴两边加上k α-；即得k 0＝0 ;∵(1)1(1)(11)00αααααα+-=+-=-== ∴两边加上－α即得(1);αα-=- ∵()()k k k k αββαββα-+=-+=∴两边加上k β-即得().k k k αβαβ-=- 4、如果k α＝0，那么k ＝0或α＝0.证明：假若0,k ≠则111()()00.k k k k k ααα---==== 练习：1、P273：习题3 1）2）4）2、证明：数域P 上的线性空间V 若含有一个非零向量，则V 一定含有无穷多个向量. 证：设,0V αα∈≠且121212,,,,有k k P k k k k V αα∀∈≠∈1212()0k k k k ααα=-≠又－ 12.k k αα∴≠而数域P 中有无限多个不同的数，所以V 中有无限多个不同的向量 注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间. 作业P273 习题3：5）6）7）。

§6-2线性空间的定义和性质一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：① α+β=β+α；② α+（β+γ）=（α+β）+γ；③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：⑤αα=∙1;⑥()()ααkl l k =;⑦()αααl k l k +=+;⑧()βαβαk k k +=+;满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。

例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。

如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。

例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。

例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。

)()()(x af x g x f +例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：V b a ab b a ∈=⊕,,定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为p R v a a a k k ∈∈=,,下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：1 a b ba ab b a ⊕===⊕；2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；3 a a a =⋅=⊕11；4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;5 a lk a a k a l k lk l ===)(;6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(=)()(b k a k ⊕;8 a a a ='= 1;所以V 是实数域上的向量空间。

线性空间与线性变换解析线性空间和线性变换是线性代数中重要的概念。

线性空间是指具备了特定性质的向量集合，而线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射关系。

通过分析线性空间与线性变换的特点和性质，可以深入理解线性代数的基本概念与应用。

一、线性空间的定义与性质1.1 线性空间的定义线性空间，也称为向量空间，是指一个非空集合V及其上的两种运算：加法和标量乘法，满足以下八个条件：（1）加法交换律：对于任意的u和v，u+v=v+u；（2）加法结合律：对于任意的u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)；（3）零向量存在：存在一个向量0，使得对于任意的u，u+0=u；（4）负向量存在：对于任意的u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；（5）标量乘法结合律：对于任意的标量a和b，以及向量u，(ab)u=a(bu)；（6）分配律1：对于任意的标量a和向量u、v，a(u+v)=au+av；（7）分配律2：对于任意的标量a和b，以及向量u，(a+b)u=au+bu；（8）单位元存在：对于任意的向量u，1u=u。

1.2 线性空间的基本性质（1）线性空间中的向量可以进行加法和标量乘法运算；（2）线性空间中的向量满足向量加法的封闭性和标量乘法的封闭性；（3）线性空间中的向量满足加法交换律、加法结合律和分配律；（4）线性空间中存在唯一的零向量和负向量；（5）线性空间中存在多个基向量，它们可以线性组合得到任意向量；（6）线性空间中的向量存在唯一的零向量和唯一的负向量。

二、线性变换的定义与性质2.1 线性变换的定义线性变换，也称为线性映射，是指将一个向量空间V映射为另一个向量空间W的一种映射关系。

若对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，满足以下两个条件，则称该映射关系为线性变换：（1）保持加法运算：T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）保持标量乘法：T(au) = aT(u)。

2.2 线性变换的基本性质（1）线性变换保持零向量：T(0) = 0；（2）线性变换保持向量的加法和标量乘法运算；（3）线性变换保持向量的线性组合关系；（4）线性变换将线性无关向量映射为线性无关向量；（5）线性变换的核和像是向量空间。

线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。

它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。

本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。

一、线性空间的基本定义线性空间是一种包含数个元素的空间，其内部具有向量加法运算和数乘运算。

具体来说，设V为一个非空集合，其中的元素称为向量。

若V上有两种运算，一种为向量加法运算，用+表示，另一种为数乘运算，用·表示，则称(V, +, ·)为一个线性空间，满足以下条件：1.加法交换律：对任意u,v∈V，有u+v=v+u；2.加法结合律：对任意u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)；3.存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对任意u∈V，有u+0=u；4.对任意向量u∈V，存在相反元素：对任意u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0；5.数乘结合律：对任意α,α∈R，u∈V，有(αα)u=α(αu)；6.分配律：对任意α∈R，u,v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+α)u=αu+αu；7.标量乘法：对任意u∈V，有1u=u。

在以上定义中，R表示实数集合上的乘法运算。

二、线性空间的性质线性空间的定义虽然简单，但它带来了许多重要的性质。

以下是几个典型的例子：1. 零向量唯一性：线性空间中仅存在一个零向量，任何向量加上该零向量等于其本身。

2. 相反元素唯一性：线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。

3. 线性组合性质：设{u1,u2,...,un}为V中的向量。

{a1,a2,...,an}为任意实数，则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。

其中，每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。

4. 子空间的定义：设V为一个线性空间，如果它的子集W满足：（1）对于任意向量u,v∈W，u+v∈W；（2）对于任意α∈R，u∈W，有αu∈W；则称W是V的一个子空间。

5. 线性无关性：设V为一个线性空间，{u1,u2,...,un}为其中的向量。

线性空间与子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有线性运算和封闭性的向量集合。

在线性空间中，有一个与之相关的概念，那就是子空间。

子空间是线性空间的一个非空子集，且在同样的线性运算下也构成了一个线性空间。

本文将重点讨论线性空间和子空间的相关概念以及它们之间的关系。

一、线性空间的定义与性质线性空间可以定义为一个非空集合V，上面定义了两种运算：“加法”和“数乘”。

具体而言，对于V中的任意两个元素u和v，其和u+v也属于V，并且对于任意的α∈R（实数域）或C（复数域），定义了数乘运算，即αu也属于V。

这样的集合V称为线性空间，也称为向量空间。

对于线性空间V，具有以下性质：1. 零向量：存在一个元素0∈V，对于V中的任意元素v，有0+v=v+0=v。

2. 加法逆元：对于V中任意的元素v，存在一个元素-v∈V，使得v+(-v)=-v+v=0。

3. 数乘分配律：对于α，β∈R（或C）和v∈V，有(α+β)v=αv+βv，α(βv)=(αβ)v。

4. 数乘结合律：对于α∈R（或C）和u，v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+β)v=αv+βv。

二、子空间的定义与判定条件在线性空间V中，如果非空集合W满足以下条件，则W称为V的一个子空间：1. 零向量：零向量0∈W。

2. 加法封闭性：对于W中任意的元素u和v，有u+v∈W。

3. 数乘封闭性：对于W中任意的元素u和任意的α∈R（或C），有αu∈W。

判定一个集合是否为线性空间V的子空间，可以应用以下方法：1. 非空性：判断该集合是否为空集，如果为空集，则不是V的子空间。

2. 加法封闭性：取集合中的任意两个元素，进行加法运算，看结果是否属于该集合。

3. 数乘封闭性：取集合中的一个元素，进行数乘运算，看结果是否属于该集合。

三、线性空间与子空间的关系子空间是线性空间的一个重要概念，它可以理解为线性空间的一个子集，且在同样的线性运算下也成为了一个线性空间。

子空间与线性空间之间有以下关系：1. 子空间是线性空间的一个子集，即子空间的元素也是线性空间的元素。