初中数学人教版八年级上册：第12章《全等三角形》全章教案

第十二章《全等三角形》单元备课一、教课剖析1、内容剖析：本章主要内容是学习全等三角形的观点、性质以及判断方法，应用全等三角形的性质和判断研究角均分线的性质，能够应用全等三等三角形的性质和判断以及角均分线的性质解决简单的几何老是，初步掌握推理证明的方法。

2、教材剖析：学生已经学过线段、角、订交线、平行线、相关三角形的一些知识，经过本章的学习能够丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其余图形打好基础，教材力争创建与生活场景邻近的、风趣的问题情境引入，使学生经历了从现实生活研究并抽象出几何模型，并应用几何模型解决实质问题的过程，在内容上重点研究三角形全等的判断方法经及应用，至于角均分线的改天换地的两上互逆定理，只需修业生认识其条件与结论之间的关系，不用介绍互逆定理的观点，经过联合详细问题，使学生理解证明的基本过程，初步掌握推理、证明的正确的方法是本章的难点，初步培育学生的推理能力。

二、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图：（二）本章的学习目标：1．认识全等三角形的观点和性质，能够正确地辨识全等三角形中的对应元素。

2．研究三角形全等的判断方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

3．利用尺规作图作一个角等于已知角、作一个角的角均分线。

4、经历角均分线的性质和判断方法的研究过程，灵巧应用角均分线的性质和判断解决问题 .三、本章教课建议（一）着重研究结论（二）着重推理能力的培育1．注意减缓坡度，顺序渐进。

2．在不一样的阶段，安排不一样的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。

3．着重剖析思路，让学生学会思虑问题，着重书写格式，让学生学会清楚地表达思虑的过程。

（三）着重联系实质三、几个值得关注的问题（一）对于内容之间的联系（二）对于证明一般状况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：（1 ）明确命题中的已知和求证；（2 ）依据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3 ）经过剖析，找出由已知推出求证的门路，写出证明过程。

全等三角形的判定复题课教学目标：熟练运用适当的方法判定两三角形全等通过探究与交流培养学生几何逻辑思维能力让学生感受和发现数学中的几何图形直观美教学重点：能够判定两个三角形的全等教学难点：能够利用条件熟练的应用适当的方法迅速的解题教学过程：教学环节、内容、步骤师生互动策划备注（活动目的）教师活动学生活动引入展导知识梳理：引导学生复习全等三角形的判定方法1、通常用于判定两三角形全等的一般方法有方法有种,分别简记为____，______，____ ，____2、对于直角三角形(即Rt△),除了一般方法外：当两直角三角形有一组斜边和直角边分别相等时，两三角形______，简记______。

3、全等三角形的______相等，______相等。

回顾旧知，为后面的学习埋下伏笔主题展导1.合作探究2.学生展评证明全等三角形全等的基本思路：一、挖掘“隐含条件”判全等引导学生总结：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件思考：（1）已知两边：SSS, SAS, HL（2）已知两角：ASA, AAS（3）已知一边一角：SAS, ASA,AAS, HL1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= ＿＿,BE=＿＿，说说理由.3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= ＿＿. 说说理由.学生通过自己探讨获得新知，使学生成为学习的主体，使学生学会学习，交流与合作。

3. 教师指导4. 反馈练习5.拓展延伸二、熟练转化“间接条件”判全等引导学生总结：等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接找边和角相等的方法！5,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.能力提升：如图,在△ABC中, AC=BC,∠ACB=90°, ∠CAB的角平分线AE交边CB于E点，过E点作EF⊥AB于F,已知AB等于10㎝，求△EFB的周长？课后闯关: 略4.如图在△ABC、△ADE中∠B=∠D，AC=AE, 且∠CAE=∠BAD，1.独立思考2.小组讨论3.展示成果1.独立思考2.小组讨论3.展示成果略在教师的指导下主动构建知识的过程。

第12章：全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．(重点)2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重点)3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)一、情境导入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、合作探究探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素【类型一】全等形的认识2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(4)解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项D是正确的．方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．【类型二】全等三角形的对应元素如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．C E；ADO与△AEO的对应解：BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与△△角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．探究点二：全等三角形的性质【类型一】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠D EF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．【类型二】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB 的度数．解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．解：∵ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD △＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠C AB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．三、板书设计全等三角形1．全等形与全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．“首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后 总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例 熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．12．2三角形全等的判定第 1 课时 “边边边”1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．(重点)2．经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程．(重点)3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)一、情境导入问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪 些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．学生活动：观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块 完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．如果△ABC ≌ △A ′B ′△C ′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果 ABC 与 △A ′B ′C ′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即 AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，CA ＝ C ′A ′，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠△C ′这六个条件，就能保证 ABC ≌ △A ′B ′C ′. 从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全 等．这种说法对吗？二、合作探究探究点：三角形全等的判定方法——“边边边”【类型一】 利用 SSS ”判定两个三角形全等 如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点 E 、C 在直线 BF 上，且 BE ＝CF △.求证： ABC ≌△DEF .“解析：已知△ABC与△DEF有两边对应相等，通过BE＝CF可得BC＝EF，即可判定△ABC≌△DEF.⎧⎪BC＝EF，证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF△.在ABC和△DEF中，∵⎨AB＝DE，∴⎪⎩AC＝DF，△ABC≌△DEF(SSS)．方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【类型二】SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2△可由ABD≌△ACD证得．⎧⎪AB＝AC，证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD△.在ABD和△ACD中，∵⎨BD＝△C D，∴ABD≌△⎪⎩AD＝AD，ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)．方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．【类型三】利用“边边边”进行尺规作图已知：如图，线段a、b、c△.求作：ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法)解析：首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC.△解：如图所示， ABC 就是所求的三角形．方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【类型四】 利用“SSS ”解决探究性问题如图，AD ＝CB ，E 、F 是 AC 上两动点，且有 DE ＝BF .(1)若 E 、F 运动至图①所示的位置，且有 AF ＝△C E ，求证： ADE ≌△CBF . (2)若 E 、F 运动至图②所示的位置，仍有 AF ＝△C E ，那么 ADE ≌△CBF 还成立吗？为什 么？(3)若 E 、F 不重合，AD 和 CB 平行吗？说明理由．解析：(1)因为 AF ＝CE ，可推出 AE ＝CF ，所以可利用 SSS 来证明三角形全等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出 AD ∥CB .⎧⎪AD ＝CB ，解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵⎨DE ＝BF ，∴⎪⎩AE ＝CF ，△ADE ≌△CBF .⎧⎪AD ＝CB ，(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵⎨DE ＝BF ，⎪⎩AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(3)平行．∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC .方法总结：解决本题要明确无论 E 、F 如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中 要分清．三、板书设计边边边1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS ”． 2．“边边边”判定方法可用几何语言表示为：⎧⎪AB ＝A 1B 1，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵⎨BC ＝B 1C 1，∴△ABC ≌ △A 1B 1C 1(SSS)． ⎪⎩AC ＝A C ，1 1“A D F B本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第2课时“边角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．(重点)2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．(难点)一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等【类型一】利用SAS”判定三角形全等如图，、、、在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC△.求证：AEF≌△BCD.解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE ＝BC，根据SAS，即可证得△AEF≌△BCD.⎧⎪AE＝BC，证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD△.在AEF和△BCD中，∵⎨∠A＝∠B，⎪⎩AF＝BD，∴△AEF≌△BCD(SAS)．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】“边边角”不能证明三角形全等下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用【类型一】利用全等三角形进行证明或计算已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．解析：利用已知条定方法可证明件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数．⎧⎪BC＝BE，解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE△.在ABC和△FBE中，∵⎨∠ABC＝∠FBE，∴△ABC⎪⎩AB＝FB，≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．【类型二】全等三角形与其他图形的综合如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，所以△ADE△和CDG全等；(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG.证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，⎧⎪AD ＝CD ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，∴∠CDG ＝∠ADE △.在 ADE 和△CDG 中，∵⎨∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE⎪⎩DE ＝GD ，≌△CDG (SAS)，∴AE ＝CG ；(2)设 AE 与 DG 相交于 M ，AE 与 CG 相交于 △N ，在 GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED ， 又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°，∴∠GNM ＝90°，∴AE ⊥CG .三、板书设计边角边1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS ”． 2．“边角边”判定方法可用几何语言表示为：⎧⎪AB ＝A 1B 1，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵⎨∠B ＝∠B △1，∴ ABC ≌ △A 1B 1C 1(SAS)． ⎪⎩BC ＝B C ，1 13．“SSA ”不能判定两个三角形全等．本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认 识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生 对新知识的理解和掌握．第 3 课时 “角边角”“角角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”， 角角边”．(重点) 2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找．(难点)一、情境导入如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、合作探究探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝△C F，求证：ADF≌△CBE.解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∠A＝∠C，⎧⎪即AF＝CE△.在ADF和△CBE中，∵⎨AF＝CE，∴△ADF≌△CBE(ASA)．⎪⎩∠DFA＝∠BEC，方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF△.在ADC和△BDF∠DAC＝∠DBF，⎧⎪中，∵⎨∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△BDF(AAS)．⎪⎩AC＝BF，方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．【类型三】灵活选用不同的方法证明三角形全等如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．解析：由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠EAD，加上AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；当添加AC＝AD时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：运用全等三角形解决有关问题已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E△.求证：(1)BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)△由BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，⎧⎪∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE△.在BDA和△AEC中，∵⎨∠ABD＝∠CAE，⎪⎩AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．三、板书设计“角边角”“角角边”1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”．3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定⎧⎪BF ＝CE ，⎩方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预 期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练．第 4 课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O ，且 AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：△R t ABF ≌△R t DCE .解析：由题意可得△ABF △与 DCE 都为直角三角形，由 BE ＝CF 可得 BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定 △R t ABF 与 △R t DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即 BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝△90°，∴ ABF 与△DCE都为直角三角形．在 △R tABF 和 Rt △DCE 中，∵⎨⎪AB ＝CD ，∴△R t ABF ≌△R t DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后 找出对应的斜边和直角边相等即可．⎧⎪AB＝AD，AC＝AC，⎩探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL”判定线段相等如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证△R t ADC≌△R t AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证△R t ABD≌△R t ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴△R t ADC ≌△R t AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴△R t ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD －CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证△R t ABC≌△R t ADC，进而得出角相等．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝△90°，∴ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和△R t ADC中，∵⎨∴△R t ABC≌△R t ADC(HL)，∴∠1＝∠2.⎪方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】利用“HL”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌△R t CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的⎪⎩PQ＝AB，∴Rt△ABC≌△Rt QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；⎧⎪AP＝AC，⎧⎪⎩“位置．(2)Rt△QAP≌△R t BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在△R t ABC与△R t QPA中，∵⎨AP＝BC，(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在△R t ABC与△R t QPA中，∵⎨∴△R t QAP⎪PQ＝AB，≌△R t BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS△证得AOD≌△AOE，根据ASA△证得BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，⎧⎪∠ADC＝∠AEB，∴∠△1＝∠2.在AOD和△AOE中，∵⎨∠1＝∠2，⎪⎩OA＝OA，⎧⎪∠BDC＝∠CEB，∴△AOD≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE△.在BOD和△COE中，∵⎨OD＝OE，∴△BOD≌⎪⎩∠BOD＝∠COE，△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”ASA”．两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD “AAS”以及“SSS”(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．12．3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F12于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°.⎧⎪DF＝BD，⎧⎪CD＝DE，⎩DE⎩解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法12方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌△R t EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC△和ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△R t DCF和△R tDEB中，∵⎨∴△R t CDF≌△R t EDB(HL)．∴CF＝EB；⎪DC＝DE，(2)∵AD是∠BAC的平分线，⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE△.在ADC与△ADE中，∵⎨⎪AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△SABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD△是ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴△S ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.⎧⎪CD＝CD，DE＝DF，“⎩1122方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用HL”证明Rt△CDE和△R t CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和△R t CDF中，∵⎨∴△R t CDE≌△R t CDF(HL)，∴CE＝CF.⎪方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．三、板书设计角平分线的性质1．角平分线的作法；2．角平分线的性质；3．角平分线性质的应用．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．第2课时角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入⎧⎪中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定△R t BDE和△R t CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF 是直角三角形．在△R t BDE和△R t CDF中，∵⎨BE＝CF，⎪⎩BD＝CD，∴△R t BDE≌△R t CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝ ∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝ ∠ACB ，∠ABC ＋故③正确；∴④到 AE 、AF 距离相等的点，到 DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接 得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ， DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理 DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点 D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是 ∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利 用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，1 12 2∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选 A.。

一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“全等三角形”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.三角形的全等在初中几何中占有重要地位,是研究四边形、圆的基础模型.本单元的学习内容经历尺规作图的过程,通过所得三角形的唯一性确定全等判定的基本事实,并基于基本事实进行推理,让学生感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观和推理能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十二章“全等三角形”,本章包括三个小节:12.1全等三角形;12.2三角形全等的判定;12.3角的平分线的性质.“全等三角形”主题的主要内容是:认识全等三角形——研究全等三角形的判定方法——应用全等三角形得到角平分线的性质和判定.本单元通过对全等三角形概念的理解,基于概念对全等三角形性质的理解,以及在概念的依据下,通过减少条件探索全等三角形判定方法的过程中,培养学生的抽象能力,发展几何直观,体会数学的严谨性,培养推理能力.研究的逻辑主线是对图形形状、大小的直观感悟到用数量关系刻画图形特征.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十二章全等三角形,学生在前面学习了三角形的基础上,初步积累了关于三角形基本知识的认知经验,因此,在实际教学中应充分引导学生运用几何直观,培养学生的几何思维能力,在几何直观的基础上发展抽象能力和推理能力.四、单元学习目标1.经历全等形、全等三角形概念的形成过程,理解全等三角形的概念,培养初步的抽象能力.2.能识别全等三角形中的对应边与对应角,理解全等三角形的性质,形成几何直观,发展推理能力.3.经历探索三角形全等的判定过程,掌握基本事实SSS,SAS,ASA,并证明定理AAS,形成几何直观,发展抽象能力、推理能力.4.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边、两边及夹角、两角及夹边等作三角形;作已知角的平分线.理解尺规作图的基本原理.5.经历探索角平分线性质定理和判定定理的过程,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,提升几何直观,发展推理能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

一、课前导学：（学生自学课本３１-３２页内容，并完成下列问题）（一）全等有关定义： 1、能够______________的两个图形叫做全等形, 能够______________的两个三角形叫做全等三角形，两个全等图形的______和_____ 完全相同．2、一个图形经过平移、______、_________后所得的图形与原图形全等．3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．“全等”用“ ”表示，读作 ．４．若△ABC 与△DEF 全等，记作：_________________，(对应顶点的字母写在对应位置上)对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___；对应角有：____和____，_____和_____，_____和_____； 对应边有：____和____，______和____，_____和_____.（二）全等三角形的性质：１.思考：全等三角形的对应边、对应角有什么关系？为什么？２.归纳：全等三角形的_________；全等三角形的___________．３.几何语言描述：∵△ABC ≌ △DEF （已知）∴ AB=DE,_____ ,______ (全等三角形的对应边相等) ∠ A=∠ D, _______ ,________ (________________ ) （三）找全等三角形的对应元素１. 若△ABC ≌△DBC ， ２ 若△ABC ≌△CDA ，对应边是_____________ ， 对应边是_____________ ，对应角是_____________ ； 对应角是_____________ ；教 学 过 程 设 计B C E F A B CDBAB C E F【思考】：找全等三角形的对应元素时有什么规律呢？二、合作、交流、展示：（一） 交流展示1：找全等三角形对应元素１.如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点， ２.如图，△ABN ≌△ACM ，∠B和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边．写出这两个三角形中的对应边和对应角． 写出其他对应边及对应角．【归纳】：寻找全等三角形的对应元素的一般规律．（二）.交流展示2： 全等三角形性质及其应用1.如图△EFG ≌△NMH,∠F 和∠M 是对应角.在△EFG 中，FG 是最长边. 在△NMH 中，MH 是最长边.EF=2.1㎝,EH=1.1㎝,HN=3.3㎝. （1）写出其他对应边及对应角.（2）求线段MN 及线段HG 的长.2.如图，△ABC ≌△DEC,CA 和CD,CB 和CE 是对应边.∠ACD 和∠BCE 相等吗？为什么？三、巩固与应用1. 课本第３３页第３题；2. 课本第３４页第６题；3. 如图，若△ABC ≌△DEF ，回答下列问题：（1）若△ABC 的周长为17 cm ，BC=6 cm ，DE=5 cm ，则DF = cm ； （2）若∠A =50°，∠E=75°，则∠ACB= 度．四、小结：1．知识： 2.思想方法： 五、作业：《作业本》第８页. 六、课后反思：N M CB ANMGH FEDCBEAF EDCB A DC B O一、课前导学：（学生自学课本３５-３７页内容，并完成下列问题）１.三角形全等条件的探究：两个三角形满足三边分别相等，三个角分别相等，则这两个三角形全等． 思考：判定两个三角形全等是否一定要六个条件？条件能否尽可能少呢？（动手画一画并回答下列问题） （1）．只给一个条件：一组对应边相等（或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？ （2）．给出两个条件画三角形,有____种情形．按下面给出的两个条件，画出的两个三角形一定全等吗？①一组对应边相等和一组对应角相等 ②两组对应边相等 ③两组对应角相等 （3）、给出三个条件画三角形,有____种情形．按下面给出三个条件，画出的两个三角形一定全等吗？①三组对应角相等②三组对应边相等（按课本３５页探究２画图实验）２.归纳三角形全等判定方法（１）归纳：三边对应相等的两个三角形 ，简写为“ ”或“ ”． 用数学语言表述： 在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌ ( )教 学 过 程 设 计C 'B 'A 'C B AAB O３.运用“边边边”证明两个三角形全等：已知：如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架． 求证：△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC∴ =∴在△ 和△ 中 AB= BD= AD=∴△ABD △ACD( )【温馨提示】：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；②证明三角形全等过程三步骤：A 、写出在哪两个三角形中，B 、摆出三个条件用大括号括起来，C 、写出全等结论． 二、合作、交流、展示：１.如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，且AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，请将下面说明ΔABC ≌ΔDEF 的过程和理由补充完整． 解：∵BE=CF （_____________） ∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF在ΔABC 和ΔDEF 中 AB=________ （________________）__________=DF （_______________） BC=__________∴ΔABC ≌ΔDEF （_____________）变式１：你能证明∠ A=∠ D 吗？ 变式２；请你能提出几个要证明的结论？２．如图，已知AB=DE ，BC=EF ，AF=DC ，求证： EF ∥BC ．３.已知：∠AOB. 求作：∠A ′O ′B ′ ，使∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法：1)以点___为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，____于点C ，D ； 2)画一条射线O ′A ′，以点___为圆心，___长为半径画弧，交__于点C ′； 3)以点C ′为圆心，____长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′； 4)过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 三、巩固与应用：课本第３7页第1、2题；四、小结：1．全等判定方法： ２.证明全等格式： ３.思想方法： 五、作业：《作业本》第９页. 六、课后反思：A B C D EF A B D EFC 'B 'A 'C B A一、课前导学：（学生自学课本37-39页内容，并完成下列问题） １. 探究新知 探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？ (1)动手试一试（请在右方空白处作图） 已知：△ABC求作：'''A B C ∆，使''A B AB =，''A C AC =，'A A ∠=∠ 作法：①画∠DA ’E=∠A ；②在射线AD ’上截取A ’B ’=AB,在射线A ’E 上截取A ’C ’=AC ； ③连接B ’C ’.(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完重合？ (3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述全等三角形判定（二） 在△ABC 和'''A B C ∆中,''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌ （ ）2．探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？通过画图或实验可以得出： 3 .运用“边角边”证明两个三角形全等：教 学 过 程 设 计证明：在△ABC 和△DEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=CB CA 1 ∴ △ABC ≌ ( )∴ AB= . 【温馨提示】：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；②证明三角形全等过程三步骤：A 、写出在哪两个三角形中，B 、摆出三个条件用大括号括起来（按边-角—边）C 、写出全等结论．二、合作、交流、展示：1.如图1，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，求证：△ABC ≌△CDA 。

12．1全等三角形教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念；2 理解全等三角形的性质3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角教学过程：观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用≅表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC ∆∆和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ∆≅∆把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角思考：如上图，12。

1-1DEF ABC ∆≅∆，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。

思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角DADBD（2）将ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆，说出你得到的结论，说明理由？B（3）如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。

BC小结：作业：P33—1，2，312．2 三角形全等的判定(1)教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点三角形全等条件的探索过程．一、复习过程，引入新知多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．二、创设情境，提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．三、建立模型，探索发现出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是30°、50°．(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．四、应用新知，体验成功实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．鼓励学生举出生活中的实例．给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D 的支架，求证△ABD≌△ACD．ADB C让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；③画射线AD．AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?例3 如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．ADB C五、巩固练习教科书第37页的思考及练习．六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．七、布置作业1．必做题：教科书第43页习题12．2中的第1、2题．2．选做题：教科书第44页第9题．12.2 三角形全等的判定(2)教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．教学过程（师生活动）一、创设情境，引入课题多媒体出示探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．ABCDE二、交流对话，探求新知根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．三、 应用新知，体验成功出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据． (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证AB ＝DE ， 只需证△ABC ≌△DEC△ABC 与△DEC 全等的条件现有……还需要……)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决． 补充例题：1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD ≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE （已知）ABCDEFM∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACE AB=AC （已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE （已知） ∴△ABD ≌△ACE （SAS) 思考： 求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC变式1：已知：如图，AB ⊥AC,AD ⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求证：⑴ △DAC ≌△EAB 1. BE=DC 2. ∠B= ∠ C 3. ∠ D= ∠ E 4. BE ⊥CD四、再次探究，释解疑惑出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．教师演示：方法(一)教科书39页图12.2-7．方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．五、巩固练习教科书第39页，练习(1)(2)．六、小结提高1．判定三角形全等的方法；2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．七、布置作业1．必做题：教科书第43页，习题12．2第3、4题．2．选做题：教科书第44页第10题．3．备选题：(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?并说明理由．(2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．12.2 三角形全等的判定(3)教学目标①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．教学难点探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．教学过程（师生活动）创设情境复习：师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?生：“SSS”“SAS”师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

12. 1 全等三角形一、 学习目标1、 知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。

2、 知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形 全等。

3、 能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

二、 重点难点教学重点：全等三角形的性质。

教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。

三、 合作探究1. 观察P 2图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形2 •学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上， 画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 _______ 、 _______ 完全一样.3.获取概念形状与大小都完全相同的两个图形就是 ________________ .（要是把两个图形放在一起， 能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同. ）即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.推得出全等三角形的概念： __________________________________ 对应顶点： _____________________________ 、对应角： ________________________________________ 、对应边： _________________________________ 。

“全等”符号： __________________________________________ 读作“全等于” 导入新课将厶ABC 沿直线BC 平移得△ DEF 将厶ABC 沿 BC 翻折180。

得到△DBC 将厶ABC 旋转180 ° 得厶AED议一议：各图中的两个三角形全等吗？得出： _____ ◎△ DEF, △ ABC^ ______ , △ ABC^ ____ . （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，？但 ______ 、 _____ 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 __________ ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略. 观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： _____________________ , ________________________ 。

第十二章全等三角形12.2.三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.二、课型新授课三、课时第4课时，共4课时。

四、教学重难点【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程（一）导入新课小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?（出示课件2-4）（二）探索新知1.师生互动，探究直角三角形全等的判定方法教师问1：判定两个三角形全等的条件有哪些？（出示课件6）学生回答：SSS、SAS、AAS、ASA教师提出问题：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？（出示课件7）教师问2：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？（出示课件8）(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答：分析：1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了.2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了.教师问3：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？学生不能作肯定回答，经过小组讨论，只能作出猜测：可能全等.教师讲解：现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.教师问4：如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？（出示课件9）学生讨论并回答：证明三角形全等不存在SSA定理.所以一般的三角形不一定全等.教师问5：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？（出示课件10）我们完成下边的问题：思考：任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC 上，看看它们是否全等.(课件出示11-14，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图)分析：画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.教师问6：Rt△ABC就是所求作的三角形吗？学生回答：是要求作的三角形.教师问7：画好后，把Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗？学生动手做后回答：全等.教师问8：这样你发现了什么结论？学生回答：有一条斜边和直角边相等的两个直角三角形全等》教师板书：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边，直角边”或“HL”).总结点拨：（出示课件15）“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，AB=A′B′，BC=B′C′,∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).警示注意：（1）一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法；二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个三角形是Rt△的条件.（2）“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD.求证：BC﹦AD.（出示课件17）师生共同解答如下：证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D 都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，AC=BD .∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.（出示课件22）师生共同解答如下：证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC ＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.总结点拨：（出示课件23）证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？师生共同解答如下：解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF .∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.（三）课堂练习（出示课件29-34）1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC________（填“全等”或“不全等”），根据_______________（用简写法）.4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.5. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.6. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案：1.D2.A3. 全等HL4. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90 °.在Rt△EBC 和Rt△DCB 中，CE=BD,BC=CB .∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).5. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.6. 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.直角三角形“HL”判定方法2.灵活选择三角形全等的判定方法来解决问题（五）课前预习预习下节课（12.3）教材48页到49页的相关内容。