估计方程近似解的基本思想

牛顿迭代法mathematica牛顿迭代法是一种用于求解方程近似解的方法，它是由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪发现并提出的。

这种方法通过不断迭代逼近的方式，逐渐逼近方程的根。

牛顿迭代法的基本思想是：从一个初始值开始，通过使用切线来逼近方程的根。

具体而言，假设我们要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始值x0，然后通过计算f(x0)的值得到曲线上的一点P(x0, f(x0))。

接下来，我们通过计算曲线在点P处的切线与x轴的交点Q，将Q作为新的近似解x1。

重复这个过程，不断迭代计算得到更加精确的近似解，直到满足精度要求为止。

牛顿迭代法的具体计算步骤如下：1. 选择一个初始值x0；2. 计算f(x0)的值，得到曲线上的一点P(x0, f(x0))；3. 计算曲线在点P处的切线与x轴的交点Q，得到新的近似解x1；4. 重复步骤2和3，直到满足精度要求。

牛顿迭代法的收敛性与初始值的选择有关。

通常情况下，选择一个离方程根较近的初始值可以加快收敛速度。

然而，如果初始值选择不当，也可能导致迭代过程发散。

牛顿迭代法在实际应用中具有广泛的用途。

例如，在数值计算中，牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、优化问题和插值问题。

在物理学和工程学中，牛顿迭代法可以用于求解微分方程的数值解、估计系统参数等。

牛顿迭代法的优点之一是它的收敛速度很快。

在某些情况下，它可以在很少的迭代次数内得到非常精确的解。

然而，牛顿迭代法也存在一些缺点。

首先，它对初始值的选择非常敏感，选择不当可能导致迭代过程发散。

其次，牛顿迭代法只能求解方程的根，而不能确定方程的其他性质。

使用Mathematica软件可以方便地实现牛顿迭代法。

Mathematica 提供了一系列函数和工具，可以帮助我们进行数值计算和函数绘制。

通过使用Mathematica，我们可以快速地编写并执行牛顿迭代法的代码，从而求解方程的近似解。

牛顿迭代法是一种用于求解方程近似解的方法。

第二步在隔离区间上求满足精度要求的根. 这一步 是求根的关键，主要方法有二分法和切线法.
第八节 方程的近似解
二、二分法
设 [a , b] 是方程 f (x) = 0 根的一个隔离区间，求方 程在该区间内的根.
二分法的基本思想是：用中点把区间 [a , b] 分成两 个子区间， 则根必在这两个子区间中的某一个之内， 确定含根的子区间，并以该子区间为新的隔离区间，重 复应用上述步骤，直到求出满足精度要求的根.
;
x2
1.54545
f (1.54545 ) f (1.54545 )
第八节 方程的近似解
y
y
y f (x)
a
O
x1 b x
y
y f (x)
a x1
O
bx
y f (x)
O a x1
b x
y
y f (x)
x1 b
Oa
x
第八节 方程的近似解
切线法的基本思想是：在区间[a , b]的一个端点 (纵
坐标与 f (x) 同号，不妨设为左端点 a) 处作切线，设切
线与 x 轴的交点为 x1, 以 [x1 , b] 为新的隔离区间， 重
第八节 方程的近似解
直接作出函数 y = f (x) 的图形，从图形中估计出曲 线与 x 轴交点的大致范围即隔离区间. 作图时，有时
也可将方程 f (x) = 0 转化成等价方程 (x) = (x)，分别 作函数 y = (x) 和 y = (x) 的图形，确定这两曲线交点
的大致范围即隔离区间.
第八节 方程的近似解
例如，对于方程 f (x) = x3 – x – 1 = 0，作图如下：
因为
y
f (1) = -1 < 0，

简述最大似然估计的原理最大似然估计是一种常见的参数估计方法，它的基本思想是在给定一组观测数据的情况下，通过选择最能解释这些数据的参数值来确定模型中未知参数的值。

在统计学中，最大似然估计被广泛应用于各种领域，如生物统计学、医学研究、金融分析等。

一、最大似然估计的基本思想最大似然估计是一种基于概率论的统计方法。

假设我们有一个样本集合X={x1,x2,…,xn}，其中每个样本都是从某个未知分布中独立地抽取而来。

我们希望通过这些样本来推断出该分布的参数θ。

因此，我们需要找到一个函数L(θ|X)，它能够给出在给定参数θ下观测到样本X 的概率密度函数（或概率质量函数）。

具体地说，对于连续型变量，L(θ|X)可以表示为：L(θ|X)=f(x1;θ)f(x2;θ)…f(xn;θ)其中f(xi;θ)表示在给定参数θ下观测到xi的概率密度函数；对于离散型变量，L(θ|X)可以表示为：L(θ|X)=f(x1;θ)f(x2;θ)…f(xn;θ)其中f(xi;θ)表示在给定参数θ下观测到xi的概率质量函数。

最大似然估计的基本思想是选择能够最大化L(θ|X)的参数值作为估计值。

也就是说，我们希望找到一个参数向量θ*，使得：L(θ*|X)=max{L(θ|X)}二、最大似然估计的实现方法在实际应用中，我们通常采用对数似然函数来简化计算。

因为对数函数是单调递增的，所以它可以保持最大值不变。

因此，我们可以将对数似然函数表示为：l(θ|X)=lnL(θ|X)=∑i=1nlnf(xi;θ)接着，我们需要求解使得l(θ|X)最大化的参数值。

这可以通过求解方程∂l(θ|X)/∂θ=0来实现。

由于这个方程通常很难直接求解，所以我们需要采用一些优化算法来近似地求解。

常见的优化算法包括牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等。

其中，梯度下降法是一种简单而有效的方法，在实际应用中被广泛采用。

梯度下降法的基本思想是通过迭代更新参数值，使得目标函数逐渐趋于最优解。

第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。

当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。

对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。

法、迭代法、牛顿法及割线法。

这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。

也即求非线性方程根的数值方法。

第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。

令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。

在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。

(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。

这说明区间［n x , 1n x +］内无根。

(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。

也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。

下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。

此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。

n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。

估计一元二次方程的近似解
能量储备
一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．
通关宝典
★基础方法点
方法点1：估算一元二次方程的解，只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间．例：写出一个一元二次方程，使其二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为－4，并求出方程的近似解(精确到个位)．
解：这个一元二次方程是x2－2x－4＝0.列表计算：
所以－2<x<－1或3<x<4.
进一步列表计算：
所以x≈－1或x≈3.
方法点2：求方程的近似解，首先应确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解．
蓄势待发
考前攻略
完胜关卡。

知识导图学法指导1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，零点．2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响知识点用二分法求方程的近似解(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))；(3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二步至第四步．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )(2)函数f (x )＝|x |可以用二分法求其零点．( )(3)精确度ε就是近似值．( )答案：(1)× (2)× (3)×2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )解析：根据二分法的基本方法，函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )·f (b )<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A 、B 、D 都符合条件，而选项C 不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．答案：C3．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8解析：已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝0.64＋0.722，且f (0.68)<0， 所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.答案：(2,3)零点的是()【解析】(1)A×解方程x＋7＝0，得x＝－B×解方程5x－1＝0，得x＝[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．跟踪训练2利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．【解析】设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴x0∈(2,2.5)．再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴x0∈(2.25,2.5)．同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.本题用求根公式可以求得x1＝1＋2，x2＝1－2，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．答案：C的零点即方程x5－在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与。

用二分法求方程的近似解知识点二分法是一种常用的求方程近似解的数值计算方法，运用这种方法可以找到函数方程f(x)=0在给定区间[a,b]上的一个根。

本文将对二分法的原理、步骤及其应用进行详细介绍。

一、原理二分法的原理基于数学中的零点定理，也叫做中间值定理。

该定理表明：如果一个连续函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)和f(b)异号，即f(a)·f(b)<0，则在该区间内至少存在一个根。

基于这一定理，我们可以通过不断将给定区间一分为二，并判断中点函数值与零的位置关系，从而确定新的区间，直到满足精度要求或者迭代次数达到指定值。

这样可以在给定的精度范围内逐步缩小根的位置。

二、步骤下面是使用二分法求解方程根的一般步骤：1.选择一个区间[a,b]，确保f(a)·f(b)<0。

这样可以保证函数在区间[a,b]内至少有一个根。

2.计算区间中点m=(a+b)/23.计算函数在中点处的值f(m)。

4.判断f(m)和0的关系：a.如果f(m)等于0，那么m就是方程的一个根；b.如果f(m)与f(a)异号，那么存在根的区间变为[a,m]，重复步骤2-4；c.如果f(m)与f(b)异号，那么存在根的区间变为[m,b]，重复步骤2-45.重复步骤2-4，直到达到所需的精度要求或者迭代次数达到指定值。

三、应用二分法在解决方程问题中有广泛的应用，特别是对于无法用解析法求解的非线性方程、高次多项式等复杂函数，二分法可以提供一个近似解。

此外，二分法还可以用于其他数值计算问题。

例如，在一些求极值的问题中，我们可以通过求解函数导数方程的根来找到极值点。

这时，同样可以使用二分法来近似求解。

四、注意事项在使用二分法求解方程时，需要注意以下几点：1.确保函数在给定区间上是连续且有定义的。

2.选择合适的初始区间[a,b]。

如果起始区间过大，则可能导致求解时间过长；如果起始区间过小，则可能无法找到根。

通常情况下，可以通过分析函数图像或者利用已知的条件进行初步估计。

二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。

其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。

然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。

牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。

它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。

牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。

割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。

它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。

割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。

简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。

在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。

这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。

二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。

二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。

牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。

割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。

简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。

无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。

通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。

在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。

这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。

B．3，4
• C．5，4
D．4，3
• 解析
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有
3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
• (2)(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ACD
• A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x 2 －2x＋1
• C．f(x)＝4x
D．f(x)＝e x －2
• 解析
f(x)＝x 2 －2x＋1＝(x－1) 2 ，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当
x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
其余选项中函数的零点两侧的函数值异号．故选A、C、D.
•
|通性通法|
•
•
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的根据是：其图象在零
中点的值
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
2.5390625
2.53515625
中点函数近似值
–0.084
0.512
0.215
0.066
–0.009
0.029
0.010
0.001
当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125| =0.007 812 5＜0.01，所以，
如何求得一般方程的根呢？
二、探究新知
视察图形，怎样求方程lnx+2x-6=0的根？
1．二分法：
对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使

在matlab用二分法求方程近似解的实验分析与讨论以及实验总二分法也称为折半法，是一种求解非线性方程近似解的常用方法。

其基本思路是：利用函数在某个区间上的符号变化来找到方程的根，每次减半区间长度直到满足精度要求为止。

在Matlab中，我们可以利用循环结构和if语句来实现二分法求解非线性方程的近似解。

具体步骤如下：1. 定义函数f，并确定区间[a,b]和精度要求tol。

2. 利用while循环，当区间长度小于精度要求tol时停止循环，否则继续。

3. 每次循环先计算区间中点c=(a+b)/2，并计算函数值fc=f(c)。

4. 判断fc的符号和f(a)的符号是否相同，如果相同，则将区间左端点a赋值为c，否则将区间右端点b赋值为c。

5. 循环结束后，输出近似解x=(a+b)/2。

接下来我们以求解方程x^3-3x+1=0在区间[0,1]上的近似解为例，进行实验分析。

代码如下：```matlabfunction [x] = bisection_method()f = @(x) x^3-3*x+1; % 定义函数fa = 0; % 区间左端点b = 1; % 区间右端点tol = 1e-6; % 精度要求while (b-a)/2 > tol % 判断区间长度是否小于精度要求c = (a+b)/2; % 计算区间中点fc = f(c); % 计算函数值if f(a)*fc > 0 % 判断符号是否相同a = c; % 更新区间左端点elseb = c; % 更新区间右端点endendx = (a+b)/2; % 输出近似解end```我们运行该代码，可以得到方程的近似解为：```matlab>> bisection_method()ans =0.3473```实验分析：1. 二分法求解非线性方程的收敛性是保证的，即对于满足某些条件的方程和初始估计，二分法可以保证收敛到方程的根。

2. 在确定初始区间时，需要考虑到方程根的数量和分布。

内容小结
作图法 1. 隔根方法 二分法
二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法
一般迭代法
1 2 x
从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b)
则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
2. 二分法
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, ) f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 ( 5.67 0)
f (x)在(, )单调递增, 又
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0
f (x0 ) f (x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
(n 1,2,)
称为牛顿迭代公式
牛顿法的变形:
y
(1) 简化牛顿法
若用一常数代替 f (xn1), 即用平行
a
线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式. o
bx
例如用 f (x0 ) 代替 f (xn1), 得
故该方程只有一个实根 , [0,1] 为其一个隔根区间, 欲使
n1
1 2n1
(1
0)
103
必需 2n1 1000 , 即 n log210001 8.96
可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10
二、牛顿切线法及其变形
f (x) 满足 :

线性方程组的最小二乘解在数学中，线性方程组是一个或多个线性方程的集合。

解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。

然而，在现实世界的许多情况下，由于数据存在误差或方程组不完全满足，我们无法找到一个精确的解。

因此，在这种情况下，我们借助最小二乘法来寻找一个近似解。

最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来估计未知参数的统计方法。

它的基本思想是将线性方程组的解转化为一个优化问题，使误差最小化。

这样做的原因是测量误差在实际问题中是不可避免的，而最小二乘法能够有效地减小误差对解的影响。

现在，我们考虑一个具体的线性方程组：\[Ax = b\]其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的向量，b是一个m×1的向量。

通常情况下，该方程组无法找到一个完全满足的解。

我们将通过最小二乘法来确定一个最接近的解。

为了得到最小二乘解，我们需要定义一个误差函数，即残差：\[r = Ax - b\]我们的目标是使残差的范数最小化。

这里我们选择残差的欧几里得范数：\[||r||_2 = \sqrt{r^Tr}\]最小二乘解x可以通过求解下面的优化问题得到：\[x_{LS} = \arg\min_x ||Ax - b||_2^2\]为了求解上述优化问题，我们可以使用求导的方法。

令误差函数对x的导数为零，可以得到如下的正规方程：\[A^TAx = A^Tb\]解这个正规方程可以得到最小二乘解x的闭式表达式。

然而，这种方法在矩阵A的条件数较高时可能会导致数值不稳定的结果。

为了解决这个问题，我们可以使用QR分解方法。

QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法。

通过QR分解，我们可以将正规方程重新表示为：\[Rx = Q^Tb\]然后，通过反向代入法，可以求解最小二乘解x。

除了使用QR分解法，其他方法，如SVD分解、正交投影等，也可以用于求解线性方程组的最小二乘解。

最后，应该注意的是，最小二乘解不一定是唯一的。

知识点 2 一元二次方程的近似解
用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方 法及步骤： (2)步骤：
①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
学习目标 1 理解方程的解的概念. 2 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3 会估算一元二次方程的解.（难点）
知识点 1 一元二次方程的解
一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未 知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 能使一元二次方程ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0) 成立的x值
探究新知
下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解：－1，2. 你一注元意二到次什方么程？可能不止一个根.
解题技巧 1
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，求 解即可．
随堂检测
已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根,
求 2a2+4a+2017的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021

c语言牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton-Raphson法）是一种求解方程近似解的方法，它是利用泰勒级数展开函数在某点的值，然后用一阶泰勒展开式的根近似表示函数的零点，因此也被称为牛顿拉弗森法。

它可以高效地解决复杂的非线性方程组，是科学计算领域中最为常用和基础的方法之一。

牛顿迭代法的基本思想是：在第k次迭代时，求出曲线f(x)在点xk的一次导数斜率，以此确定x轴上的一个点xk+1，和该点处曲线的一次切线。

这条切线和x轴交点的横坐标就是极值点的估计值。

这个过程可以迭代多次，直到达到满足一定的误差精度或者迭代次数的要求。

C语言实现牛顿迭代法需要先定义一个函数，这个函数就是需要求解方程的函数。

定义完函数之后，需要实现牛顿迭代公式来求出下一次迭代的估计值，然后不断迭代。

具体实现过程如下：1. 定义函数f(x)，即需要求解方程的函数。

2. 定义函数f_prime(x)，即f(x)的一次导数。

3. 定义变量x和x_next，初始化它们的值。

4. 在循环中，首先计算f(x)和f_prime(x)，然后计算下一个迭代点的估计值x_next = x - f(x) / f_prime(x)。

5. 如果x_next和x的差异满足预设的精度要求，则退出循环。

6. 否则，将x_next的值赋值给x，并重复执行第4步。

C语言实现牛顿迭代法的代码如下：#include <stdio.h>#include <math.h>定义函数f(x)double f(double x) {return x * x - 2;}定义函数f_prime(x)double f_prime(double x) {return 2 * x;}int main() {定义变量double x, x_next, epsilon;int iter;初始化变量x = 1.0;epsilon = 1e-6;iter = 0;迭代求解do {x_next = x - f(x) / f_prime(x);iter++;printf("Iteration %d: x = %lf\n", iter, x_next);x = x_next;} while (fabs(x_next - x) >= epsilon);输出结果printf("Final result: x = %lf\n", x);return 0;}在这个代码中，我们使用了do-while循环来不断执行迭代过程，直到达到预设的精度要求。

第2课时一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点)2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二：估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…x 0123…x2－2x－1－1－2－12…由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x－2x－1＜2；(2)x …x2－2x－1…由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.。

设在区间[a,b]上方程有一个根，则称该区间为 方程的一个有根区间。若在区间[a,b]上方程只有一
个根，则称该区间为方程隔根区间。
Remark：若能把隔根区间不断缩小，则可以得出根的 近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方
法有：描图法与逐步搜索法。
1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法（对分法）
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小， 从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。 执行步骤：

估计方程(组)的近似解
估计方程(组)是指用来估算数学问题所需的数学方程组。

它是一种综合的数学方法，有助于实现大多数问题的求解。

估计方程（组）的近似解是采用有限的过程来估计系统的解的过程。

它通过分析数据来简化实际问题，并计算出一个近似解，使得更大的问题可以被分解为更简单的子问题。

估计方程（组）的近似解包括最小二乘估计，广义矩阵估计和最大似然估计。

其中，最小二乘估计是一种最为理想的近似解，其过程是先根据观测值来确定一个拟合参数的函数，然后通过最小化误差平方和来确定要最小化的参数。

广义矩阵估计是将拟合错误量作为新增变量而实施估计，以此获得合适的估计值。

所得结果是更可靠的估计值。

最大似然估计是采用假设观测值可以由某种已知概率分布函数生成得到，然后基于此假设来求解参数。

估计方程(组)是数学建模中的一项重要技术，它可以帮助我们更准确地估计问题的结果。

而且，它的结果可以在一定范围内受控，对于现代社会来说，这种技术非常重要，可以帮助我们更好地模拟现实世界的变化。

估计方程(组)的近似解可以更准确地帮我们估计出一个较好的结果。