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对称性在结构力学中的应用土木工程系土木5班徐亚飞20080420529 在工程实际中，有很多结构具有对称性，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
现在业已学完了结构力学，现就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
所谓结构的对称性，需要满足以下两个方面的要求：（1）结构的几何形状和支撑情况对某一轴线对称；（2）杆件截面和材料的性质也对此轴对称。
结构上力的对称性有正对称和反对称两种类型，非对称的力都可以化为正对称力与反对称力的叠加。
一、对称性在求解结构内力中的应用因为对称结构在对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
二、对称性在体系自由振动中的应用我们知道，结构的频率、主振型及主振型的正交性是结构本身的固有特性，与外界因素无关。
只要结构本身和质量分布都是对称的，其振型或为正对称，或为反对称，因此，我们可以选取半边结构计算其相应的自振频率。
但其只能应用于两个自由度的振动体系，且自振频率小的为第一振型，较大的为第二振型。
运用对称性求解结构的自振频率，避免了求解复杂的频率方程，使得计算大大简化。
三、对称性在结构稳定性分析中的应用结构的稳定性分析，就是为了确定在新的平衡形式的荷载，即临界荷载。
通常的解法是假设新的平衡形式，运用静力平衡法或能量法通过稳定方程求的临界荷载，进而确定新的平衡形式。
但，对于对称的体系，其新的平衡形式不是正对称的就是反对称的。
因此，我们就可以利用对称性，取半边结构进行分析。
但此法只能应用于只有两个自由度的体系的结构稳定性分析。
7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。
截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。
EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。
2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。
可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。
因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。
对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。
在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。
1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。
（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。
1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。
