因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法

初中因式分解的常见方法因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。

2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。

如另有要求，在要求的范围内分解。

因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”因式分解的常用方法因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。

因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。

在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。

下面通过例题一一介绍。

一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

代数专题11 因式分解常用方法技巧一、 知识导航因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解.总结：看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

二、 典型例题题型一 用“提公因式法”分解因式例1 分解因式：（1）282m n mn +=（2）3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）＝变式训练1 因式分解：（1）()()39a x y y x -+-（2）2(23)23m n m n --+题型二 用“公式法”分解因式例2 因式分解：22x x -=__________；2449x -=__________；2288x x -+=_________．变式训练2 把下列各式分解因式：（1）244x x -+ （2）224()()-+-a x y b y x （3）4224817216a a b b -+（4）()()314x x -++题型三 用“十字相乘法”分解因式“提公因式法”分解因式归纳总结：1. 先确定公因式，一次把公因式全部提干净；2. 提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；3. 提取的公因式带“—”号时，多项式的各项要变号.“公式法”分解因式归纳总结：分解因式与整式的乘法互为逆变形，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。

常用公式如下：平方差公式：完全平方公式：立方差公式：立方和公式：()()22a b a b a b -=+-()2222a b a ab b ±=±+()()3322a b a b a ab b -=-++()()3322a b a b a ab b +=+-+例3 因式分解：（1）3242024x x x -+-（2）226x x +-（3）ab 2﹣3ab ﹣10a（4）2314x x +-（5）2344x x --+（6）2631105x x +- 变式训练3 将下列各式分解因式：（1）261915y y ++（2）214327x x +- （3）256x x --（4）21016x x -+（5）2103x x -- “十字相乘法”分解因式归纳总结：1. 形如的二次三项式，如果有，，且，则可把多项式分解为：2. 二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化：3. 对于齐次多项式，将一个字母当成常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行因式分解2ax bx c ++mn a =pq c =mq np b +=()()2ax bx c mx p nx q ++=++()()()2x p q x pq x p x q +++=++22ax bxy cy ++题型四 用“分组分解法”分解因式例4 因式分解：（1）2221x y y ---（2）x 3＋x 2―x ―1变式训练4 （1）22929-+-=-x xy y （______）=（______）2-（______）2=（______）（______）；（2）2223-+-=x y x z y z y （______）-（______）=（______）（______）=（______）（______）（______）；（3）在多项式①2222+-+x xy y z ；②2221--+x y x ；③224441-++x y x ；④2221-++-x xy y 中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．题型五 用“拆项法”分解因式例5 分解因式（1）44x + （2）356x x +- （3）21636x x +- （4）444x y+变式训练5 分解因式（1）ax by bx ay +++ （2）2221xy y x +-+ （3）223x x +-（4）22x n x n -+-（5）243a a ++ “分组分解法”分解因式归纳总结：多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公式可提，也不能用公式法分解，但从局部看，能够提取公因式或是利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。

因式分解知识点一：因式分解的概念及注意事项因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识点二：因式分解基本方法方法一·提公因式法1、提公因式法分解因式的一般形式，如:ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的整式.2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3、找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4、注意事项：多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。

但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。

公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。

题型展示：1、将下列各式分解因式： （1）y)2b(x -y)3a(x ++;（2）32)(18)(12n m n m -+-;（3）3)2(6)2(3x y y x ---;（4）22222)(83)(41p q ab q p b a ---; 2、下列分解因式结果正确的是( )A.)6)(2()2()2(6x x x x x +-=-+-B.)2(2223x x x x x x +=++C.)()()(2b a a b a ab b a a -=-+- D.)2(3632+=+x xn xn n x提高练习1、如果b －a =－6，ab =7，那么22ab b a -的值是( )A.42B.－42C.13D.－132、若4x 3－6x 2=2x 2(2x +k )，则k =________.3、2(a －b )3－4(b －a )2=2(a －b )2(________).4、36×29－12×33=________.5、分解因式(1)2)())((y x y x y x +--+(2))(4)(82x y b y x a ---6.计算与求值29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.7、.先化简，再求值a (8－a )+b (a －8)－c (8－a )，其中a =1，b =21，c =21.8、已知812=-y x ，2=xy ，求43342y x y x -的值.方法二·公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

因式分解掌握方法与技巧因式分解是将一个多项式表达式写成更简单的乘积形式的过程。

它是代数学中的基础知识，无论是在学习高等数学、线性代数还是在解决实际问题中，都需要掌握因式分解的方法与技巧。

一、因式分解的基本原则1.提取公因子：将多项式中的公因子提取出来，使得剩余部分成为一个更简单的表达式。

2. 二次因式分解：对于二次多项式，可以使用因式分解公式进行分解。

（比如(a+b)² = a²+2ab+b²）3.组合因式分解：当多项式中含有因子的次数较高时，可以使用组合因式分解，即将多项式分解成几个较低次数的因子相乘的形式。

1.提取公因子：多项式中常常会有公因子，可以通过提取公因子来简化多项式。

例如，对于多项式2a+4b，可以提取公因子2，得到2(a+2b)，这样就将多项式简化成了更简单的形式。

2.分解差的平方：当多项式为a²-b²形式时，可以使用差的平方公式进行分解。

差的平方公式为a²-b²=(a+b)(a-b)。

例如，多项式x²-9可以分解为(x+3)(x-3)。

3. 分解完全平方差：当多项式为a²+2ab+b² 或者a²-2ab+b² 形式时，可以使用完全平方公式进行分解。

完全平方公式为a²+2ab+b²=(a+b)² 和a²-2ab+b²=(a-b)²。

例如，多项式x²+2x+1 可以分解为(x+1)²。

4. 分解三角公式：当多项式为a²±b² 形式时，可以使用三角公式进行分解。

三角公式为a²±b²=(a±b)(a²∓ab±b²)。

例如，多项式x²+1 可以分解为 (x-i)(x+i)。

5. 分解二次多项式：对于二次多项式ax²+bx+c，可以使用二次因式分解公式进行分解，即将多项式分解成两个一次因式相乘的形式。

初二数学分解因式的方法知识点初二数学分解因式的方法知识点在现实学习生活中，大家都背过各种知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺整理的初二数学分解因式的方法知识点，欢迎阅读与收藏。

初二数学分解因式的方法知识点篇1注意四原则1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式)2.最后结果只有小括号3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))4.最后结果每一项都为最简因式归纳方法：1.提公因式法。

2.公式法。

3.分组分解法。

4.凑数法。

[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]5.组合分解法。

6.十字相乘法。

7.双十字相乘法。

8.配方法。

9.拆项补项法。

10.换元法。

11.长除法。

12.求根法。

13.图象法。

14.主元法。

15.待定系数法。

16.特殊值法。

17.因式定理法。

我们在竞赛上，又有待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，短除法，除法等。

初二数学分解因式的方法知识点篇2因式分解的一般步骤如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。

因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

初中数学知识点：因式分解下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

因式分解因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必须是整式；②结果必须是积的形式；③结果是等式；④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

因式分解的八种方法一、提公因式法。

这就好比是从一群小伙伴里找出那个大家都有的东西。

比如说多项式3x + 6，3就是公因式呀，提出来就变成3(x + 2)啦。

有时候公因式可能不太好找，像是4x²y - 8xy²，这里的公因式就是4xy，提出来就成了4xy(x - 2y)。

提公因式法是最基础的方法，就像盖房子的地基一样重要。

二、公式法。

这里面有好几个小公式呢。

像平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，超级好用。

比如说9x² - 25，9x²就是(3x)²，25就是5²，那按照公式就可以分解成(3x + 5)(3x - 5)啦。

还有完全平方公式，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。

像x² + 6x + 9，这里的x相当于公式里的a，3相当于b，因为2ab = 2×x×3 = 6x，所以就可以分解成(x + 3)²。

三、分组分解法。

这个方法就像是给多项式里的项分组，让每一组都能找到分解的办法。

比如说ax + ay + bx + by，咱们可以把前面两项ax + ay看成一组，提出公因式a就得到a(x + y)，后面两项bx + by看成一组，提出公因式b就得到b(x + y)，这样整个式子就变成了(a + b)(x + y)。

有时候分组可能要试几次才能找到最合适的分组方法，不过没关系呀，就当是玩拼图游戏啦。

四、十字相乘法。

这个方法很神奇呢。

对于二次三项式ax²+bx + c（a≠0），咱们要把a分解成两个因数，把c也分解成两个因数，然后交叉相乘再相加等于b。

就像x²+5x + 6，把1分解成1×1，6分解成2×3，1×3+1×2 = 5，那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)。

因式分解的方法和技巧一、引言因式分解是数学中十分重要的一项技巧，可以帮助我们将复杂的数学表达式简化为更简洁的形式。

它对于解方程、求导函数以及研究数学模型等都有着广泛的应用。

本文将介绍因式分解的基本概念、常见的因式分解方法和一些技巧，以及一些实例来帮助读者更好地理解这一技巧。

二、基本概念在进行因式分解之前，我们需要了解一些基本概念。

1. 因式因式是指能够整除给定表达式的一个因子。

通常情况下，因式是指一个多项式的因子。

2. 因式分解因式分解是指将一个给定的表达式表示为多个因式的乘积的过程。

通过因式分解，我们可以将一个复杂的表达式简化为更简洁的形式。

三、常见的因式分解方法和技巧下面将介绍一些常见的因式分解方法和技巧。

1. 提公因式法提公因式法也称为公因式法，是最基本也是最常见的因式分解方法之一。

它适用于多项式的第一项系数不为1的情况。

通过观察多项式的各项的公共因子，并将其提出来作为一个因式，然后用提出来的因式除以原来的多项式，即可完成因式分解。

例如，对于多项式2x2+4x，我们可以观察到其中的公共因子为2和x，因此可以用2x提出来，得到2x(x+2)。

2. 完全平方差公式完全平方差公式是指一个二次三项式的平方可以表示为两个一次三项式的平方之差。

它的形式为a2−b2=(a+b)(a−b)。

例如，对于多项式x2−4，我们可以将其写成(x+2)(x−2)。

3. 立方差公式立方差公式是指一个三次三项式的平方可以表示为一个二次三项式和一个一次三项式的乘积。

它的形式为a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)。

例如，对于多项式x3−8，我们可以将其写成(x−2)(x2+2x+4)。

4. 分组法分组法适用于多项式中存在分组的情况。

通过将多项式中的一些相邻项进行分组，并寻找共同的因子，可以进行因式分解。

例如，对于多项式x3−3x2+2x−6，我们可以将其分组为(x3−3x2)+(2x−6)，然后分别进行因式分解。

四、实例分析为了更好地理解因式分解的方法和技巧，我们来看几个具体的例子。

因式分解最全方法归纳一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。

2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。

如另有要求，在要求的范围内分解。

3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

公因式可以是单项式，也可以是多项式。

确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。

注意事项：（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉；（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。

例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab解：原式=3ab (2a-3c+1 )例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

因式分解一、因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。

2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。

（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a ＋b）（a－b）］。

（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。

（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。

a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。

b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。

3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。

二. 因式分解的方法：（一）提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。

解：（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。

例2.分析：此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。

解：例3.分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。

解：（三）分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。

下面介绍八种常见的思路：1. 按公因式分组：例4.分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。

解：2. 按系数特点分组：例5.分析：由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。

解：3. 按字母次数特点分组：例6.分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。

因式分解的方法与技巧有什么因式分解的方法与技巧有什么?同学们还有印象吗，如果没有快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“因式分解的方法与技巧有什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

因式分解的方法与技巧有什么一、分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注意：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：(1)找出公因式;二、因式分解方法分类把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等。

(1)提公因式法几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式(1)公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。