八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)

初二因式分解练习题初中二年级的学生们在学习代数时常常会遇到因式分解的题目。

因式分解是将一个多项式写成若干个乘积的形式，它是代数学中的重要内容之一。

在这篇文章中，我们将为大家提供一些初二因式分解练习题，帮助大家巩固这一知识点。

练习题一：将多项式 x^2 + 8x + 16 进行因式分解。

解答：我们可以观察到，x^2 + 8x + 16 的三个项都是平方的形式。

而且，16 可以写成 4 的平方。

因此，我们猜测可能是一个完全平方的形式。

通过直接计算，我们可以将 (x + 4)(x + 4) 简化为 (x + 4)^2。

因此，x^2 + 8x + 16 的因式分解形式为 (x + 4)^2。

练习题二：将多项式 x^2 - 5x - 6 进行因式分解。

解答：观察 x^2 - 5x - 6 的三个项，我们可以猜测这可能是两个一次多项式的乘积形式。

我们考虑将 x^2 - 5x - 6 进行因式分解，得到 (x - 6)(x + 1)。

因此，x^2 - 5x - 6 的因式分解形式为 (x - 6)(x + 1)。

练习题三：将多项式 x^2 - 4 进行因式分解。

解答：我们观察到 x^2 - 4 的两个项是平方的形式，而且 4 可以写成 2 的平方。

通过直接计算，我们可以将 x^2 - 4 简化为 (x - 2)(x + 2)。

因此，x^2 - 4 的因式分解形式为 (x - 2)(x + 2)。

练习题四：将多项式 4x^2 - 25 进行因式分解。

解答：观察 4x^2 - 25 的两个项，我们可以猜测这可能是两个平方根的差的形式。

我们可以使用平方差公式来进行因式分解。

根据平方差公式，我们有 4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)。

因此，4x^2 - 25 的因式分解形式为 (2x - 5)(2x + 5)。

练习题五：将多项式 2x^3 + 10x^2 + 12x 进行因式分解。

西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

八年级因式分解练习题精选在初中数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点。

它不仅是数学中的一种基本运算，也是解决一些复杂问题的基础。

因此，掌握因式分解方法和技巧对于考试和日常生活都有很大的帮助。

下面，我将为大家精选一些八年级因式分解练习题，希望能够帮助大家在学习中更好地掌握这一知识点。

1. 将$x^2+8x+15$分解因式。

解析：$x^2+8x+15$可以写成$(x+5)(x+3)$的形式，因为$5\times 3=15$，$5+3=8$。

2. 将$8x^2-24x$分解因式。

解析：$8x^2-24x$可以写成$8x(x-3)$的形式，因为$8x\times (-3)=-24x$。

3. 将$x^2-6x+9$分解因式。

解析：$x^2-6x+9$可以写成$(x-3)^2$的形式，因为$(x-3)\times (x-3)=x^2-6x+9$。

4. 将$5x^2-7x-6$分解因式。

解析：$5x^2-7x-6$可以写成$(x-2)(5x+3)$的形式，因为$-2\times 5=-10$，$-2\times 3=-6$，$5\times 3=15$，$15-10=5$，$5x^2-7x-6=(x-2)(5x+3)$。

5. 将$4x^3+32x^2+72x$分解因式。

解析：$4x^3+32x^2+72x$可以写成$4x(x+3)(x+6)$的形式，因为$4\times 3=12$，$4\times 6=24$，$3\times 6=18$，$12+18=30$，$30+24=54$，$54x=72x$，$4x^3+32x^2+72x=4x(x+3)(x+6)$。

6. 将$2x^3-98x$分解因式。

解析：$2x^3-98x$可以写成$2x(x+7)(x-7)$的形式，因为$2\times 7=14$，$2\times (-7)=-14$，$14-(-14)=28$，$28x=98x$，$2x^3-98x=2x(x+7)(x-7)$。

因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定以下各多项式的公因式。

1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。

1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在以下各式左边的括号前填上“+〞或“－〞，使等式成立。

1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=-5、33()__()y x x y -=-6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把以下各式分解因式。

1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把以下各式分解因式。

初二下册因式分解练习题因式分解是初中数学学习的重要内容之一，它是进一步理解和应用代数运算的基础。

通过因式分解，我们可以将一个多项式拆解为更简洁的形式，从而更好地理解和解决数学问题。

下面是一些初二下册的因式分解练习题，帮助同学们巩固这一知识点。

练习题一：1. 将多项式 $2x^2 + 3x + 1$ 进行因式分解。

解析：首先看到这是一个三项式，我们可以先试着寻找是否存在公因式。

观察系数，发现它们都没有公因式，所以我们需要采用其他的因式分解方法。

2. 将多项式 $x^2 - 4y^2$ 进行因式分解。

解析：这是一个差的平方形式，我们可以使用差两平方公式进行因式分解。

差两平方公式是指：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。

根据差两平方公式，我们可以将多项式 $x^2 - 4y^2$ 分解为 $(x + 2y)(x - 2y)$。

练习题二：1. 将多项式 $x^2 + 3xy + 2y^2$ 进行因式分解。

解析：这是一个二次多项式，我们需要寻找是否存在公因式。

观察系数和变量的指数，可以发现它们都没有公因式。

2. 将多项式 $4x^3 + 8x^2y + 4xy^2$ 进行因式分解。

解析：这是一个三项式，我们需要寻找是否存在公因式。

观察系数和变量的指数，可以发现它们都有公因式 $4x$，所以我们可以因式分解为 $4x(x^2 + 2xy + y^2)$。

练习题三：1. 将多项式 $x^3 + 2x^2 - x - 2$ 进行因式分解。

解析：这是一个四项式，我们需要寻找是否存在公因式。

观察系数和变量的指数，可以发现它们都没有公因式。

这时我们需要采用其他的因式分解方法。

2. 将多项式 $x^4 - 16$ 进行因式分解。

解析：这是一个二次多项式，它是一个差两平方的形式。

利用差两平方公式，我们可以将多项式 $x^4 - 16$ 分解为 $(x^2 + 4)(x^2 - 4)$。

进一步分解得到 $(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$。

整式的乘除 练习题1.计算 (-3)2n+1+3•(-3)2n结果正确的是( )A. 32n+2B. -32n+2C. 0D. 12.若16n m n a a a ++= ，且21m n -= ，则n m 的值为（ ）A.1B. 2C.3D.4 3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )A.(-a-b )(-b+a)B.(xy+z) (xy-z)C.(-2a-b) (2a+b)D.(0.5x-y) (-y-0.5x)4.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+M,则M 的值是( )A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab 5.a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1D.1－2a 46.-a n 与(-a)n的关系是( )A. 相等B. 互为相反数C. 当n 为奇数时,它们相等; 当n 为偶数时,它们互为相反数D. 当n 为奇数时,它们互为相反数; 当n 为偶数时,它们相等7.若（x －3）（x+4）=x 2+px+q,那么p 、q 的值是( )A.p=1,q=－12B.p=－1,q=12C.p=7,q=12D.p=7,q=－12 8.下列各式中计算正确的是 ( )A.（2p+3q ）(－2p+3q)=4p 2－9q 2B.(12a 2b －b)2=14a 4b 2－12a 2b 2+b 2 C.（2p －3q ）(－2p －3q)=－4p 2+9q 2 D.( －12a 2b －b)2=－14a 4b 2－a 2b 2－b 29.已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2－6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ）A.4B.－4C.94D.－9410.已知：a m=2，b n =32，则n m 1032+=________11.(_____－4b)(_____+4b)=9a 2－16b 2;(_____－2x)(_____－2x)=4x 2－25y 2;(xy －z)(z+xy)=_____; (65x －0.7y)(65x+0.7y)=_____;(41x+y 2)(_____)=y 4－161x 2 12.多项式(mx+8)(2-3x)展开后不含x 项, 则m= 13.如果=-+=-k a a k a 则),21)(21(31214.正方形面积为)0,0(2212122>>++b a y xy x 则这个正方形的周长是 15.设4x 2+mx+121是一个完全平方式,则m=16.已知a+b=7,ab=12,则a 2+b 2=17.若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是18.已知：()()212-=---y x x x ，则xy y x -+222=19.24(21)(21)(21)+++的结果为20.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为___________ 21.若210,n n +-=则3222008_______.n n ++= 22.已知0258622=+--+b a b a ，则代数式baa b -的值是___________ 23.已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _________。

八年级因式分解练习题在八年级数学学习中，因式分解是一个重要的知识点。

掌握因式分解的方法对于解决数学问题和提高解题能力非常有帮助。

下面将为大家呈现一些八年级因式分解的练习题，希望能够帮助大家巩固这一知识点。

题目一：因式分解1. 将xy + 4y分解为两个因式的乘积。

解析：首先我们观察到xy和4y都有一个共同的因子y。

因此，我们可以将xy + 4y写为y(x + 4)。

2. 将4x^2 - 12x分解为两个因式的乘积。

解析：首先，我们可以找出4x^2和12x的最大公因数为4x。

将4x^2和12x同时除以4x，得到4x^2 ÷ 4x = x 和 12x ÷ 4x = 3。

因此，4x^2 - 12x可以分解为4x(x - 3)。

3. 将9a^2 - 25b^2分解为两个因式的乘积。

解析：观察到9a^2是一个完全平方数，可以写成(3a)^2。

类似地，25b^2也是一个完全平方数，可以写成(5b)^2。

因此，9a^2 - 25b^2可以分解为(3a + 5b)(3a - 5b)。

题目二：因式分解应用1. 一个长方形的长是2a + 3，宽是a - 1。

将其周长表示为一个因式的乘积。

解析：长方形的周长是将长和宽的两倍相加，即周长 = 2(2a + 3 + a - 1) = 2(3a + 2) = 6a + 4。

因此，周长可以表示为2(3a + 2)，即2(2a + 3+ a - 1)。

2. 化简表达式6x^2 - 9xy + 15x。

解析：观察到6x^2，-9xy和15x都有一个最大公因数为3x。

因此，可以将表达式化简为3x(2x - 3y + 5)。

3. 将4x^3y^2 + 6xy^2 + 9x^2y分解为两个因式的乘积。

解析：观察到4x^3y^2，6xy^2和9x^2y都有一个最大公因数为xy。

因此，可以将表达式分解为xy(4x^2y + 6y + 9x)。

这些练习题涵盖了八年级因式分解的基本概念和常见应用。

专题21.8 解一元二次方程—因式分解法（拓展提高）一、单选题1．下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )A ．（x-1）（x-2）=3B ．x 2 +4x=23C ．x 2+2x-1=0D ．（x-3）2=x 2-9【答案】D【分析】先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；B 、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；C 、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；D 、最适合用分解因式解方程，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．2．方程(1)(3)1x x x -+=-的根是（ ）A ．1x =B ．123,1x x =-=C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-= 【答案】C【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：∵（x -1）（x+3）=x -1，∴（x -1）（x+3）-（x -1）=0，∴（x -1）（x+2）=0，则x -1=0或x+2=0，解得：x 1=1，x 2=-2，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．一元二次方程（x +1）2﹣2（x ﹣1）2＝7的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根【分析】解方程，根据方程根的情况判断即可．【详解】解：∵（x +1）2﹣2（x ﹣1）2＝7，∴x 2+2x +1﹣2（x 2﹣2x +1）＝7，整理得：﹣x 2+6x ﹣8＝0，则x 2﹣6x +8＝0，（x ﹣4）（x ﹣2）＝0，解得：x 1＝4，x 2＝2，故方程有两个正根．答案：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．4．方程2450x x -=+的解是121,5x x ==-，现给出另一个方程2(21)4(21)50x x -+--=，它的解是（ ）A ．121,2x x ==B ．121,2x x ==-C ．121,2x x =-=D ．121,2x x =-=- 【答案】B【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．【详解】解：2(21)4(21)50x x -+--=，令21y x =-，则方程可转化为2450y y +-=，由题意得：121,5y y ==-，即12211,215x x -=-=-，解得121,2x x ==-，故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．5．已知1x ，2x 是一元二次方程22(21)10x m x m +++-=的两不相等的实数根，且221212170x x x x ++-=，则m 的值是（ ）A ．53或3-B ．3-C ．53D ．53-【分析】先利用判别式的意义得到m ＞−54，再根据根与系数的关系的12(21)x x m +=-+，2121x x m =-，则由221212170x x x x ++-=可得()()22211170m m ---+=，然后解关于m 的方程，最后确定满足条件的m 的值．【详解】解：根据题意得△＝222141m m --(+)()＞0，解得m ＞−54， 根据根与系数的关系的12(21)x x m +=-+，2121x x m =-，∵221212170x x x x ++-=，∴()21212170x x x x --+=，∴()()22211170m m ---+=， 整理得234150m m -+=，解得153m =，23m =-， ∵m ＞−54， ∴m 的值为53． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键．6．如图，已知等边△ABC 外有一点P ，P 落在∠BAC 内，设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为h 1，h 2，h 3，满足h 2+h 3﹣h 1＝6，那么等边△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】D 【分析】设等边三角形ABC 的边长为a ，可求S △ABC 23a ，连结PA 、PB 、PC ，可求S △ABP =212ah ，S △ACP =312ah ，S △BCP =112ah ，利用面积差可求S △ABC = S △ABP + S △ACP - S △BCP 3=a ，利用同一个三角形面积构造方程234a =3a ，解方程求出a 即可解决问题． 【详解】解：设等边三角形ABC 的边长为a ，∴S △ABC =23a ， 连结PA 、PB 、PC ，∵S △ABP =212ah ，S △ACP =312ah ，S △BCP =112ah ， ∴S △ABC = S △ABP + S △ACP - S △BCP =+312ah -112ah =()231132a h h h a +-=， ∴234a =3a ， 解得=430a a =，（舍去），S △ABC 3123a ==．故选择：D ．【点睛】本题考查等边三角形面积，掌握三角形面积公式，利用面积差求出△ABC 的面积，构造方程是解题关键．二、填空题7．若分式221x x x --+的值为零，则x 的值为_______． 【答案】2【分析】根据分式值为的条件：分子为0，分母不为0，列式即可．【详解】解：∵分式221x x x --+的值为零， ∴22x x --=0且10x +≠，解方程得，1212x x =-=，；解不等式得，1x ≠-，∴2x =故答案为：2．【点睛】本题考查了分式值为零的条件，包含一元二次方程和一元一次不等式，解题关键是明确分式值为0，分子为0分母不为0，列出方程和不等式求解．8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90,3,10A BD CF ∠=︒==，则OE 的长度是_________．【答案】2【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可，进而全等三角形的性质得出OE 的长．【详解】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE =BD =3，CE =CF =10，∴BC =BE +CE =BD +CF =13，在Rt △ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2，即（10+x ）2+（x +3）2=132，整理得，x 2+13x 30-=0，解得：x =2，或x =-15（舍去），即正方形ADOF 的边长是2，∴DO =FO =2，∵△BOD ≌△BOE ，∴2OE OD ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．9．已知关于x 的一元二次方程()2222230k x x k k -+--+=1有一个根是零，则k =______．【答案】3-【分析】由一元二次方程可知二次项系数不为0，得到关于k 的一个不等式，由它有一个根是0，将0代入后又得到关于k 的一个一元二次方程，综合这两个式子即可求解．【详解】解：由题可得 22102303k k k k ⎧-≠⎨--+=⎩∴=-故答案为3-．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元二次方程根的的概念，解题过程中涉及到了解不等式和一元二次方程，因此牢记相关定义和计算步骤是解题关键．10．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2－4x ＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________．【答案】8【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．【详解】解：由题可知：()()243130x x x x -+=--=121 3x x ∴==．123+>不成立，∴由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，∴三角形周长为2+3+3=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和解一元二次方程的内容，学生需要掌握三角形任意两边之和大于第三边的结论，题中方程用因式分解法解更为简便，该题考查了考生对三角形三边关系的理解与应用以及灵活运用恰当的方法解一元二次方程的能力．11．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．【答案】1或-9【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m 的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是两个方程相同的实数根．将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合题意，∴m=1；②若x=2是两个方程相同的实数根．将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合题意，∴m=-9．综上所述：m的值为1或-9．故答案为：1或-9．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．12．对于实数,a b，定义运算“*”：)()0a ba ba b≤<*=≥．例如92*，因为92≥，所以92*==．若12,x x是一元二次方程212270x x-+=的两个根，则12x x*=_________．3【分析】首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可．【详解】∵12,x x 是一元二次方程212270x x -+=的两个根，()()390x x ∴--=，∴123,9x x ==或129,3x x ==， 当123,9x x ==时，123933x x *=-=-；当129,3x x ==时，12936x x *=-=；综上所述，12x x *的值为33-或6，故答案为：33-或6．【点睛】本题主要考查定义新运算，分情况讨论是关键．13．已知等边ABC ，AE BD =，连接AD ，CE 交于点F ，连接BF ，19BF =，5CF =，若2AF >时，则AC =__________．【答案】7【分析】延长AD 至G 点，使得FG =FC ，连接BG ，CG ，作BH ⊥DG 于H 点，通过条件证明△ABD ≌△CAE ，得到△FGC 为等边三角形，再分别在Rt △BHG ，Rt △BFH ，和Rt △ABH 中运用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，延长AD 至G 点，使得FG =FC ，连接BG ，CG ，作BH ⊥DG 于H 点，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =CA ，∠ABD =∠CAE =60°，∵AE =BD ，∴△ABD ≌△CAE ，∴∠BAD =∠ACE ，∴∠DFC =∠CAF +∠ACE =∠CAF +∠BAD =∠BAC =60°，∴△FGC 为等边三角形，∴∠FCG =60°，FC =GC ，∵∠ACB =60°，AC =BC ，∴△ACF ≌△BCG ，∴AF =BG ，∠AFC =∠BGC =120°，∴∠BGH =60°，在Rt △BHG 中，设GH =x ，则BG =2x ，BH =3x ， ∴FH =FG -GH =5-x ，则在Rt △BFH 中，()221935x x =+-，解得：132x =，21x =（不符合题意，舍去） ∴GH =32，BG =AF =2GH =3，FH =72，BH =332， ∴AH =AF +FH =132， 在Rt △ABH 中，221333722AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴AC =AB =7，故答案为：7．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形等，灵活结合等边三角形的性质以及常见证明全等的模型构造出辅助线是解题关键．14．阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x === 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．三、解答题15．解方程：（1）x 2﹣7x ﹣18＝0（2）（2x ﹣3）2﹣2（2x ﹣3）﹣3＝0．【答案】（1）x 1＝9，x 2＝﹣2；（2）x 1＝3，x 2＝1【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）把（2x ﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）x 2﹣7x ﹣18＝0，（x ﹣9）（x +2）＝0，∴x ﹣9＝0或x +2＝0，∴x 1＝9，x 2＝﹣2；（2）（2x ﹣3）2﹣2（2x ﹣3）﹣3＝0，[（2x ﹣3）﹣3][（2x ﹣3）+1]＝0，∴（2x ﹣3）﹣3＝0或（2x ﹣3）+1＝0，∴x 1＝3，x 2＝1.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的关键． 16．先化简，再求值：213(2)211a a a a a +-÷+-+-，其中a 是方程x 2＋2x ﹣3＝0的一个根． 【答案】11a -；14- 【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到a 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：213(2)211a a a a a +-÷+-+- 21223(1)1a a a a a +-+-÷--＝ 211(1)1a a a a +-⋅-+＝ 11a -＝， ∵a 是方程x 2＋2x ﹣3＝0的一个根．∴3a =-或a =1，当a =1时，原式无意义，舍去；当a =-3时，原式11314==---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．已知关于x 的一元二次方程240x x a -+=有两个不相等的实数根（1）求a 的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）4a <；（2）此题答案不唯一，3a =，11x =，23x =【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）令3a =，利用因式分解法求解方程即可．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程一般式为240x x a -+=，∴224(4)41164b ac a a ∆=-=--⨯⨯=-，∵方程有两个不相等的实数根，0∴∆>．1640a ∴->，4a ∴<；（2）此题答案不唯一．如3a =，∴一元二次方程为2430x x -+=，因式分解得()()130x x --=，11x ∴=，23x =．∴当3a =时，方程的根为11x =，23x =．【点睛】本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．18．已知11x y =⎧⎨=-⎩是方程组28ax by bx ay +=-⎧⎨-=⎩的解． （1）求ab 的值；（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程2()0x a b x ab -++=的解，试判断这个三角形的形状并说明理由．【答案】（1）15ab =；（2）该三角形是直角三角形．理由见解析．【分析】（1）将x 与y 的值代入原方程组即可求出a 、b 的值；（2）将（1）中求得a ，b 值代入，列出方程x 2-8x +15=0，利用因式分解法求得该方程的两根．然后判断该三角形的形状．【详解】解：（1）把11x y =⎧⎨=-⎩代入方程组28ax by bx ay +=-⎧⎨-=⎩，得28a b b a -=-⎧⎨+=⎩，解得：35a b =⎧⎨=⎩． 所以3515=⨯=ab ；（2）该三角形是直角三角形．理由如下：由（1）知，35a b =⎧⎨=⎩，则8a b +=，15ab =． 由题意知，28150x x -+=．整理，得(3)(5)0x x --=．解得13x =，25x =，所以该三角形的三边长分别是3，4，5．因为222345+=．所以该三角形是直角三角形．【点睛】本题综合考查了二元一次方程组的解，三角形的三边关系，因式分解法解一元二次方程，还考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．对于实数m 、n ，定义一种运算：m n mn n =+△．（1）求2-（2）如果关于x 的方程()14x a x =-△△有两个相等的实数根，求实数a 的值．【答案】（1）-；（2）0a =【分析】（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算即可得出结论；（2）根据新运算“△”的运算公式将方程进行变形，再根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于a 的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解:（1）22-=-△2=-⨯=-42=- （2）()14x a x =-△△， ()14x ax x +=-△ ()()14x ax x ax x +++=- ()()211104a x a x ++++= 整理得：4（a +1）x 2+4（a +1）x +1＝0．∵关于x 的方程()14x a x =-△△有两个相等的实数根， ∴ ()()2101611610a a a +≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩， ∴a ＝0．【点睛】本题考查了实数的运算、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算；（2）由原方程有两个相等的实数根，找出关于a 的一元一次不等式及一元二次方程．20．阅读理解：对于线段MN 和点Q ，定义：若QM ＝QN ，则称点Q 为线段MN 的“等距点”；特别地，若∠MQN ＝90°，则称点Q 是线段MN 的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，0)，点P (m ，n )是直线y ＝﹣12x 上一动点．（1）已知4个点：B (2，﹣3)、C (2，﹣2)、D (﹣2，2)、E (23，则线段OA 的“等距点”是 ，线段OA 的“完美等距点”是 ．（2）若OP H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）B，C，E为等距点，C为完美等距点；（2）(0，112)或(0，﹣112)；（3）存在，(8，﹣4)或(83，﹣4 3 )【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．【详解】解：（1）∵OB=AB=∴OB＝AB．∴B为等距点．∵OC==，AC==∴OC＝AC．∴C为等距点．∵OD==AD=∴OD≠AD．∴D不为等距点．∵OE=AE=∴OE＝AE．∴E为等距点．∵OA＝4，∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2，∴C为完美等距点．故答案B，C，E．C为完美等距点．（2）∵P（m，n）在y＝﹣12x上，∴n＝﹣12 m．∴OP===∴m＝±2．∴n＝±1．∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）．设H的坐标为（0，t），∴PH．∵AHAH＝HP，==解得：t＝112或t＝﹣112．经检验，符合题意，∴H的坐标为（0，112）或（0，﹣112）．（3）存在．理由：设N点的坐标为（2，b），∵P（m，﹣12 m），∴ON PN∵点N是线段OA的“等距点”，∴ON＝PN．=解得：b＝4﹣54 m．∵N为线段OP的“完美等距点”，∴ON⊥PN．∴△OPN为等腰直角三角形．∴OP ON．∵OP，ON解得：m＝8或m＝83．经检验，符合题意，当m＝8时，﹣12m＝﹣4．当m＝83时，﹣12m＝﹣43．∴P点的坐标为（8，﹣4）或（83，﹣43）．【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质及勾股定理的应用．。

八年级数学经典练习题附答案因式分解因式分解练习题一、填空题：2．a－33－2a=_______3－a3－2a；12．若m2－3m＋2=m＋am＋b;则a=______;b=______；15．当m=______时;x2＋2m－3x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中;正确的是A．a2b＋7ab－b＝ba2＋7a B．3x2y－3xy－6y=3yx－2x＋1C．8xyz－6x2y2＝2xyz4－3xy D．－2a2＋4ab－6ac＝－2aa＋2b－3c 2．多项式mn－2－m22－n分解因式等于A．n－2m＋m2 B．n－2m－m2 C．mn－2m＋1 D．mn－2m－13．在下列等式中;属于因式分解的是A．ax－y＋bm＋n＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=a－b2＋1 C．－4a2＋9b2＝－2a＋3b2a＋3b D．x2－7x－8=xx－7－84．下列各式中;能用平方差公式分解因式的是A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－－a2＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式;那么m的值是A．－12 B．±24 C．12 D．±126．把多项式an+4－an+1分解得A．ana4－a B．an-1a3－1 C．an+1a－1a2－a＋1 D．an+1a－1a2＋a＋1 7．若a2＋a＝－1;则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0;那么x;y的值分别为A．x=1;y=3 B．x=1;y=－3 C．x=－1;y=3 D．x=1;y=－3 9．把m2＋3m4－8m2＋3m2＋16分解因式得A．m＋14m＋22 B．m－12m－22m2＋3m－2C．m＋42m－12 D．m＋12m＋22m2＋3m－2210．把x2－7x－60分解因式;得A．x－10x＋6 B．x＋5x－12 C．x＋3x－20 D．x－5x＋1211．把3x2－2xy－8y2分解因式;得A．3x＋4x－2 B．3x－4x＋2 C．3x＋4yx－2y D．3x－4yx＋2y 12．把a2＋8ab－33b2分解因式;得A．a＋11a－3 B．a－11ba－3b C．a＋11ba－3b D．a－11ba＋3b13．把x4－3x2＋2分解因式;得A．x2－2x2－1 B．x2－2x＋1x－1C．x2＋2x2＋1 D．x2＋2x＋1x－114．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为A．－x＋ax＋b B．x－ax＋b C．x－ax－b D．x＋ax＋b15．一个关于x的二次三项式;其x2项的系数是1;常数项是－12;且能分解因式;这样的二次三项式是A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1;x2＋y－xy－x;x2－2x－y2＋1;x2＋3x2－2x＋12中;不含有x－1因式的有A．1个 B．2个 C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为A．x－6y＋3x－6x－3 B．－x－6y＋3x－6y－3C．－x－6y＋3x＋6y－3 D．－x－6y＋3x－6y＋318．下列因式分解错误的是A．a2－bc＋ac－ab=a－ba＋c B．ab－5a＋3b－15=b－5a＋3C．x2＋3xy－2x－6y=x＋3yx－2 D．x2－6xy－1＋9y2=x＋3y＋1x＋3y－1 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式;且a;b都不为零;则a与b的关系为A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数C．相等的数 D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解;所得的正确结论是A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2 C．xy＋2xy－8 D．xy－2xy－8 21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为A．a2＋b2＋ab2 B．a2＋b2＋aba2＋b2－abC．a2－b2＋aba2－b2－ab D．a2＋b2－ab222．－3x－1x＋2y是下列哪个多项式的分解结果A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为A．64a4－ba4＋b B．16a2－b4a2＋bC．8a4－b8a4＋b D．8a2－b8a4＋b24．9x－y2＋12x2－y2＋4x＋y2因式分解为A．5x－y2 B．5x＋y2 C．3x－2y3x＋2y D．5x－2y225．2y－3x2－23x－2y＋1因式分解为A．3x－2y－12 B．3x＋2y＋12C．3x－2y＋12 D．2y－3x－1226．把a＋b2－4a2－b2＋4a－b2分解因式为A．3a－b2 B．3b＋a2 C．3b－a2 D．3a＋b227．把a2b＋c2－2aba－cb＋c＋b2a－c2分解因式为A．ca＋b2 B．ca－b2 C．c2a＋b2 D．c2a－b28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为1－2x＋y;则k的值为A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y;正确的是A．－a2＋b23x＋4y B．a－ba＋b3x＋4yC．a2＋b23x－4y D．a－ba＋b3x－4y30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2;正确的是A．2a＋b－2c B．2a＋b＋ca＋b－cC．2a＋b＋4c2a＋b－4c D．2a＋b＋2ca＋b－2c三、因式分解：1．m2p－q－p＋q； 2．aab＋bc＋ac－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abca2＋b2＋c2－a3bc＋2ab2c2；5．a2b－c＋b2c－a＋c2a－b； 6．x2－2x2＋2xx－2＋1；7．x－y2＋12y－xz＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．ax＋by2＋ay－bx2＋2ax＋byay－bx；10．1－a21－b2－a2－12b2－12；11．x＋12－9x－12； 12．4a2b2－a2＋b2－c22；13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n；15．x＋y3＋125； 16．3m－2n3＋3m＋2n3；17．x6x2－y2＋y6y2－x2； 18．8x＋y3＋1；19．a＋b＋c3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2； 26．x2－7x2＋10x2－7x－24；27．5＋7a＋1－6a＋12； 28．x2＋xx2＋x－1－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．x－1x－2x－3x－4－48；四、证明求值：1．已知a＋b=0;求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求证：四个连续自然数的积再加上1;一定是一个完全平方数．3．证明：ac－bd2＋bc＋ad2=a2＋b2c2＋d2．4．已知a=k＋3;b=2k＋2;c=3k－1;求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=x－3x＋4;求m＋n2的值．6．当a为何值时;多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．若x;y为任意有理数;比较6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．参考答案:一、填空题：7．9;3a－110．x－5y;x－5y;x－5y;2a－b11．＋5;－212．－1;－2或－2;－114．bc＋ac;a＋b;a－c15．8或－2二、选择题：1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C 13．B 14．C 15．D 16．B 17．B 18．D 19．A 20．B 21．B 22．D 23．C 24．A 25．A 26．C 27．C 28．C 29．D 30．D三、因式分解：1．p－qm－1m＋1．8．x－2bx－4a＋2b．11．42x－12－x．20．x＋3yx＋y．21．x－6x＋24．27．3＋2a2－3a．四、证明求值：2．提示：设四个连续自然数为n;n＋1;n＋2;n＋36．提示：a=－18．∴a=－18．。

2002 2004
14.利用分解因式计算:3 +6×3 －3 =_________ 2 4 2008 15.计算（2＋1） （2 ＋1） （2 ＋1） · ……· （2 ＋1）＋1＝______ 16.要使 16 x ＋1 成为完全平方式，应加上的式子是_______ 17.若 x mx n 是一个完全平方式，则 m、n 的关系是
（5）
20013 2 20012 1999 20013 20012 2002
（6）202 +198
2121 (a b) 2
（8） ( x 2 4 y 2 ) 2 16x 2 y 2
（9） (2x 2 5x) 2 2x 2 5x 6
2
2
2
2
19.已知 a、b、c 分别为△ABC 的三边，你能判断 a b c
2 2

2 2

4a 2b 2 的符号吗？
课堂小练-整式的乘除与因式分解 1.4(a-b) -4(b-a)+1 分解因式的结果是( 2 2 A.(2a-2b+1) B. (2a+2b+1) 2. 4 8 16 2 ，求 n ＝
8.把多项式 m ( a 2) m( 2 a ) 分解因式等于（ A. (a 2)(m 2 m)
2 2
B. (a 2)(m 2 m)
D.m(a-2)(m+1)
9.满足 m n 2m 6n 10 0 的是（ A. m 1, n 3 B. m 1, n 3
2 2
18.如果（2a＋2b＋1）(2a＋2b－1)=63，那么 a＋b 的值为___________ 19.已知 a 2 b 2 6a 8b 25 0 ，则代数式

北师大版数学八年级下册因式分解强化练习题第四章因式分解期末复题题型一：直接提公因式1、因式分解：xy－y＝y(x-1)2、分解因式：x^2+2x=x(x+2)3、分解因式：x^2-4=(x+2)(x-2)4、分解因式：2a^2－4a=2a(a-2)5、因式分解：2x^3－x^2=x^2(2x-1)6、分解因式：ax+ay=a(x+y)7、分解因式：7x^321x^2=7x^2(x-3)8、分解因式：x^23x=x(x+3)题型二：直接用公式平方差公式：a^2b^2(a b)(a b)a+b)^2=a^2+2ab+b^2a-b)^2=a^2-2ab+b^2完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2a-b)^2=a^2-2ab+b^21、分解因式：x^2-25=(x+5)(x-5)2、分解因式：x^2-4=(x+2)(x-2)3、因式分解：a^2+5a=a(a+5)4、分解因式：x^2-4=-1(x+2)(x-2)5、因式分解：2-4y^2=-2(2y+1)(y-1)6、分解因式：4x^2-1=(2x+1)(2x-1)7、分解因式：4x+2x+1=2(2x+1)^28、分解因式：16-8(x-y)+(x-y)=(4-x+y)^2题型三：先提公因式，再套平方差或者完全平方公式。

A：先提后套平方差1、分解因式：2x8=2(x-4)2、因式分解：x^3－x=x(x+1)(x-1)3、分解因式：x^3-4x=x(x^2-4)=(x+2)(x-2)x4、分解因式：2x^2-18=2(x^2-9)=2(x+3)(x-3)5、分解因式：9a-ab^2=a(9-b^2)=a(3+b)(3-b)6、因式分解：a^3-a=a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)7、因式分解：x^3-9x=x(x^2-9)=(x+3)(x-3)x8、分解因式：8a^2-2=2(4a^2-1)=2(2a+1)(2a-1)9、因式分解：x^3y^2-x^5=x^3(y^2-x^2)=x^3(y+x)(y-x)B：先提后套完全平方1、分解因式：x^2y2xy y=(x-y)^22、因式分解：x^32x^2y xy^2=x(x-y)^23、因式分解：a^2b+2ab+b=(a+b)^24、分解因式：8xy8xy2y=2y(1-4xy)5、把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提公因式(m-1)后，余下的部分是（）Ａ．m+1.B．2m。

一、选择题1．从边长为 2a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形纸片()1a >，则剩余部分的面积是（ ）A ．41a +B ．43a +C ．63a +D ．2+1a C解析：C【分析】根据题意列出关系式，化简即可得到结果；【详解】根据题意可得： ()()()()()2221212132163a a a a a a a a +--=++-+-+=+=+；故答案选C ．【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确分析计算是解题的关键．2．当代数式2()2020x y ++的值取到最小．．时，代数式222||2||x y x y -+-=……（ ） A ．0B ．2-C ．0或2-D ．以上答案都不对A解析：A【分析】 由题意，当0x y +=时，代数式取到最小值，则有x y =-，根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵2()0x y +≥，∴当0x y +=时，代数式2()2020x y ++的值取到最小值2020，∴x y =-， ∴x y =-， ∴0x y --=， ∴22,x y x y ==，∴222||2||0x y x y -+-=；故选：A ．【点睛】本题考查了乘方的定义，绝对值的意义，以及求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确得到0x y +=和x y =-．3．下列运算正确的是（ ）．A ．()2326ab a b =B ．()325a a =C ．236a a a ⋅=D ．347a a a += A 解析：A【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则进行逐一计算即可．【详解】A 选项：()2326ab a b =，正确，符合题意；B 选项：()326a a =，错误，不符合题意； C 选项：235a a a ⋅=，错误，不符合题意；D 选项：347a a a +≠，错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键．4．数151025N =⨯是（ ）A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数C解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】 ()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，∴N 是12位数，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．5．下列运算正确的是（ ）A ．3m ·4m =12mB ．m 6÷m 2= m 3（m≠0）C ．236(3)27m m -=D ．（2m+1）（m-1）=2m 2-m-1D 解析：D【分析】利用同底数幂的乘法和除法，积的乘方、幂的乘方，多项式乘多项式的运算法则计算即可判断．【详解】A 、 347·m m m =，该选项错误；B 、624m m m ÷=，该选项错误；C 、236(3)27m m -=-，该选项错误；D 、(()221)121m m m m +-=--，该选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方、幂的乘方，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．已知1x =，1y =，则代数式222x xy y ++的值为（ ）．A ．20B ．10C ．D ．解析：A【分析】利用完全平方公式计算即可得到答案．【详解】 ∵1x =，1y =，∴x+y=∴222x xy y ++=2()x y +=2=20，故选：A ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并运用解决问题是解题的关键．7．长和宽分别为a ，b 的长方形的周长为16，面积为12，则22 a b ab +的值为（ ） A ．24B ．48C ．96D ．192C解析：C【分析】根据已知条件长方形的长与宽之和为8，长与宽之积为12，然后分解因式代入即可．【详解】∵长方形的周长为16，∴8a b +=，∵面积为12，∴12ab =，∴()22 12896a b ab ab a b +=+=⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查的是因式分解的应用，以及长方形周长和面积的计算，熟练掌握长方形的周长和面积的计算公式是解答本题的关键．8．若|m ﹣3n ﹣2019|＝1，则（2020﹣m +3n ）2的值为（ ）A ．1B ．0C ．1或2D ．0或4D解析：D【分析】 依据绝对值的性质，即可得到m ﹣3n ＝2020或2018，进而得出m ﹣3n 的值，再根据平方运算，即可得到（2020﹣m +3n ）2的值．【详解】∵|m ﹣3n ﹣2019|＝1，∴m ﹣3n ﹣2019＝±1，即m ﹣3n ＝2020或2018，∴2020﹣m +3n ＝2020﹣（m ﹣3n ）＝0或2，∴（2020﹣m +3n ）2的值为0或4，故选：D ．【点睛】本题考查绝对值的性质和代数式求值，利用整体思想求出m ﹣3n 的值且注意去绝对值时的两种情况．9．若()()()248(21)2121211A =+++++，则A 的末位数字是（ ）A ．4B ．2C ．5D ．6D 解析：D【分析】在原式前面加（2-1），利用平方差公式计算得到结果，根据2的乘方的计算结果的规律得到答案．【详解】 ()()()248(21)2121211A =+++++=()()()248(21)(21)2121211-+++++=()()()2248(21)2121211-++++=()()448(21)21211-+++ =()88(21)211-++ =162，∵2的末位数字是2，22的末位数字是4，32的末位数字是8，42的末位数字是6，52的末位数字是2，，∴每4次为一个循环，∵1644÷=，∴162的末位数字与42的末位数字相同，即末位数字是6，故选：D ．【点睛】此题考查利用平方差公式进行有理数的简便运算，数字类规律的探究，根据2的乘方末位数字的规律得到答案是解题的关键．10．已知2|5213|(310)0x y x y +-+--=，则x y 的立方根为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- B解析：B【分析】根据绝对值和平方式的非负性得到关于x 、y 的方程组，然后解方程组求得x 、y 值，代入求得x y 即可求解．【详解】 解：由题意，得：521303100x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 解得：31x y =⎧⎨=-⎩， ∴x y =（﹣1）3=﹣1，∴x y 的立方根为﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查解二元一次方程组、绝对值和平方式的非负性、代数式求值、立方根，正确列出方程组是解答的关键．二、填空题11．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解：根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得：；设第一次输出的数解析：9或10或11或12．【分析】由运算流程图，先求出第一次输出的数，分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可．【详解】解：根据题意，∵第二次输出3y =，设第一次输出的数是奇数m 时，则 132m +=，解得：5m =； 设第一次输出的数是偶数n 时，则32n =，解得：6n =． 当第一次输出为5时，又可以分为两种情况：当x 为奇数时，则152x +=，解得：9x =； 当x 为偶数时，则52=x ，解得：10x =； 当第一次输出为6时，又可以分为两种情况： 当x 为奇数时，则162x +=，解得：11x =； 当x 为偶数时，则62x =，解得：12x =； 故答案为：9或10或11或12．【点睛】本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且运用到了分类讨论这一重要数学思想．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．12．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．30【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法利用平方差公式即可得出答案【详解】解：设大正方形的边长为a 小正方形的边长为b 故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD ＝AE （BC+BD ）＝（AB ﹣ 解析：30【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．【详解】解：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ， 故阴影部分的面积是：12AE •BC +12AE •BD ＝12AE （BC +BD ） ＝12（AB ﹣BE ）（BC +BD ） ＝12（a ﹣b ）（a +b ） ＝12（a 2﹣b 2） ＝12×60 ＝30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．13．下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：mambmc 大长方形的面积为：m （a+b+c ）三个小长方形的面积和等解析：()m a b c ma mb c ++=++（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式．【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma 、mb 、mc ，大长方形的面积为：m （a+b+c ），三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m （a+b+c ）= ma+mb+mc ，故答案为：()m a b c ma mb c ++=++．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的几何意义，分别表示出各个长方形的面积，找到等量关系是解题关键．14．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________．6【分析】由得把它整体代入求值【详解】解：∵∴即∴故答案是：6【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想求值解析：6【分析】由(2)10f =得1643m n +=，把它整体代入()21643f m n -=++求值．【详解】解：∵(2)10f =，∴164710m n ++=，即1643m n +=，∴()216425336f m n -=+-+=+=．故答案是：6．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．15．若2211392781n n ++⨯÷=，则n =____．3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数然后按同底数幂运算法则列方程即可【详解】解：故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方根据题意把底数变成相同是解题关键解析：3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可．【详解】解：2211392781n n ++⨯÷=22213143(3)(3)3n n ++⨯÷=，2423343333n n ++⨯÷=，242(33)433n n ++-+=，1433n +=，14n +=，3n =．故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键．16．若()230x -=，则x y -=______．7【分析】根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3y=-4代入x-y 中计算即可【详解】∵且∴x-3=0y+4=0∴x=3y=-4∴x-y=3-（-4）=7故答案为：7【点睛】此题考查已知字母 解析：7【分析】根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3，y=-4，代入x-y 中计算即可．【详解】∵()2340x y -++=，且()230,40x y -≥+≥， ∴x-3=0，y+4=0，∴x=3，y=-4，∴x-y=3-（-4）=7，故答案为：7．【点睛】此题考查已知字母的值求代数式的值，掌握偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3，y=-4是解题的关键．17．如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式______．（a+b ）（2a+b ）=【分析】根据长方形的面积=2个大正方形的面积+3个长方形的面积+1个小正方形的面积列式即可【详解】由题意得：（a+b ）（2a+b ）=故答案为：（a+b ）（2a+b ）=【点睛】解析：（a+b ）（2a+b ）=2223a ab b ++【分析】根据长方形的面积=2个大正方形的面积+3个长方形的面积+1个小正方形的面积列式即可．【详解】由题意得：（a+b ）（2a+b ）=2223a ab b ++，故答案为：（a+b ）（2a+b ）=2223a ab b ++．【点睛】此题考查多项式乘多项式与图形面积，正确理解图形面积的构成是解题的关键． 18．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a ，b ，c （单位：元/千克）、用20元正好可以买三种水果各1千克：买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若买b 千克香需w 元，则w =___________．（结果用含c 的代数式表示）【分析】根据题意得：通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到得a 和c 的关系式经计算即可得到答案【详解】根据题意得：∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了三元一次方程组整式运算的知识；解题的解析：222644c c -+-【分析】根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=，通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到20a b c ++=，得a 和c 的关系式，经计算即可得到答案．【详解】根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=∴204223a b c b c =--=--∴222b c =-∴20202222a b c c c c =--=-+-=-∴()()2222222644w a b c c c c =⨯=--=-+- 故答案为：222644c c -+-．【点睛】本题考查了三元一次方程组、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握三元一次方程组、整式乘法运算的性质，从而完成求解．19．分解因式3225a ab -=____．a （a+5b ）（a-5b ）【分析】首先提取公因式a 进而利用平方差公式分解因式得出答案【详解】解：a3-25ab2=a （a2-25b2）=a （a+5b ）（a-5b ）故答案为：a （a+5b ）（a-5b ）解析：a （a+5b ）（a-5b ）【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：a 3-25ab 2=a （a 2-25b 2）=a （a+5b ）（a-5b ）．故答案为：a （a+5b ）（a-5b ）．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 20．如图：一块直径为+a b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个半圆，则剩下的钢板面积为______．【分析】先求出圆形钢板的面积再减去两个小半圆的面积即可【详解】解：圆形钢板的面积为：直径为a 的半圆面积为：直径为b 的半圆面积为：剩下钢板的面积为：=故答案为：【点睛】本题考查了圆的面积利用面积的差求解析：()2248ab ab π++【分析】先求出圆形钢板的面积，再减去两个小半圆的面积即可． 【详解】解：圆形钢板的面积为：2()2a b π+， 直径为a 的半圆面积为：21()22a π⨯， 直径为b 的半圆面积为：21()22b π⨯， 剩下钢板的面积为：22211()()()22222a b a bπππ+-⨯-⨯， =()2248ab ab π++，故答案为：()2248ab ab π++．【点睛】本题考查了圆的面积，利用面积的差求出剩余钢板的面积，注意：圆的面积等于半径的平方乘以π．三、解答题21．如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP ＝a ，BP ＝b ，且a ＋b ＝8，ab ＝6，求图中阴影部分的面积．解析：36 【分析】依据AP ＝a ，BP ＝b ，点M 是AB 的中点，可得AM ＝BM ＝2a b+，再根据S 阴影＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △ADM ﹣S △BEM ，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵a ＋b ＝8，a b ＝6，∴S 阴影部分＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △AMD ﹣S △MBE ，＝22112222a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ＝()2224a b a b ++-，=()()22+24a b a b ab +--，＝64﹣12﹣644， ＝64﹣12﹣16， ＝36．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．22．已知x 、y 互为相反数，a 、b 互为倒数，m 是最大的负整数，求（x ＋y ）﹣abm 的值． 解析：2 【分析】根据相反数和倒数的概念以及数的大小比较法则确定x+y ，ab 以及m 的值，从而代入计算． 【详解】解：∵x 、y 互为相反数，a 、b 互为倒数，m 是最大的负整数， ∴x+y=0，ab=1，m=-1∴（x ＋y ）﹣abm=0-1×（-1）=2． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握相反数及倒数的概念以及数的大小比较，正确计算是解题关键．23．先化简，再求值：()()()()()2442225x y x y x y x y x y x ⎡⎤+--+-+-÷⎣⎦，其中x ，y 满足()2320x y +-=．解析：22x y -+，10 【分析】首先利用平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式计算中括号里面的式子，再合并同类项，化简后，计算括号外的除法，最后代入x 、y 的值即可． 【详解】解：原式()()222222164425210x y x xy yxxy xy y x ⎡⎤=--++--+-÷⎣⎦()2222221644210420x y x xy y x xy xy y x =-----+-+÷ ()222x xy x =-+÷22x y =-+．∵()230x +=，∴30x +=，20y -=， ∴3x =-，2y =．∴原式()23226410=-⨯-+⨯=+=． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式乘、除、加、减的各种运算法则． 24．某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪1000元加上外卖送单补贴（送一次外卖称为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：（2）设5月份某“外卖小哥”送餐x 单()500x >，求他这个月的工资总额（用含x ,m 的代数式表示）．解析：（1）3400元；（2）当500＜x≤m ，工资总额为8x ；当x ＞m ，工资总额为10x-2m 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得若某“外卖小哥”4月份送餐400单，他这个月的工资总额；（2）根据题意和表格中的数据可以写出各段工资总额与x 的关系式； 【详解】解：（1）工资总额=1000+400×6=3400元（2）当500＜x≤m ，工资总额为：1000+500×6+8（x-500）=8x 当x ＞m ，工资总额为：1000+500×6+8（m-500）+10（x-m ）=10x-2m 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，分段分析解答．25．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以 用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位： cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．解析：（1）()()22m n m n ++；（2）42cm ． 【分析】（1）根据图形的面积直接可以得到；（2）根据222258m n +=，10mn =，可得2229m n +=，可求得7m n +=，根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是66m n +，据此求解即可． 【详解】（1）根据图形，依题意可得：2225222mmn n m n mn（2）依题意得222258m n +=，10mn =2229m n ∴+=2222mnm mnn2292049m n0m n +>7m n ∴+=，根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：6666742m nmn∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm ．【点睛】本题考查完全平方公式和因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键． 26．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n aa a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________； A ．任何非零数的圈2次方都等于1； B ．对于任何大于等于2的整数c ，；C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________； （3）将（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________．解析：【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案； （2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可． 【详解】 解：【初步探究】 （1）177777=÷÷=③； 111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤； 故答案为：17；64-； （2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨， 619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=⑧， ∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确； 故选：C ． 【深入思考】 （1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥；71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则 将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；故答案为：21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=；故答案为：4m n a +-． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．27．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边，两个小正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积： 方法一：________________；方法二：________________；（直接把答案填写在答题卡的横线上）（2）观察图2，试写出()2a b +，2a ，2ab ，2b 这四个代数式之间的等量关系：________________．（直接把答案填写在答题卡的横线上）（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求22a b +的值．解析：（1）()2a b +；222a b ab ++；（2）()2222a b a b ab +=++；（3）40 【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积即可； （2）写出四个代数式之间的等量关系即可；（3）由直角三角形的面积是6，得到ab ＝12，大正方形②的面积是（a +b ）2＝64，把（2）变形后，整体代入可直接求值； 【详解】解：（1）方法一：()2a b +； 方法二：222a b ab ++； 故答案为：（a +b ）2；a 2+2ab +b 2； （2）()2222a b a b ab +=++； （3）∵162ab =，()264a b +=， ∴224ab =，∴()222240a b a b ab +=+-=． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．如果2()()41x m x n x x ++=+-． ①填空：m n +=______，mn =______．②根据①的结果，求下列代数式的值： （1）225m mn n ++；（2）2()m n -．解析：①4，−1；②（1）13；（2）20 【分析】①据多项式乘多项式的运算法则求解即可； ②根据完全平方公式计算即可． 【详解】①∵（x ＋m ）（x ＋n ）＝x 2＋（m ＋n ）x ＋mn ＝x 2＋4x−1， ∴m ＋n ＝4，mn ＝−1． 故答案为：4，−1；②（1）m 2＋5mn ＋n 2＝（m ＋n ）2＋3mn ＝42＋3×（−1）＝16−3＝13； （2）（m−n ）2＝（m ＋n ）2−4mn ＝42−4×（−1）＝16＋4＝20． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．。

一、选择题1．根据等式：()()2111x x x -+=-，()()23111,x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-，()()4325111,x x x x x x -++++=-……的规律，则可以推算得出2021202020192222...221++++++的末位数字是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7B解析：B【分析】利用题目给出的规律：把2021202020192222...221++++++乘（2-1）得出22022-1，研究22022的末位数字规律，进一步解决问题．【详解】解：由题目中等式的规律可得： 2021202020192222...221++++++=（2-1）×2021202020192(222...221)++++++=22022-1，21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，所以2n 的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．2022÷4=505…2，所以22022的末位数字是4，22022-1的末位数字是3．故选：B【点睛】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ C 解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 3．形如abcd 的式子叫做二阶行列式，它的算法是：ab ad bc cd =-，则221a a a a -++的运算结果是（ ）A ．4aB ．4a -C ．4D ．4- A解析：A【分析】根据定义把二阶行列式表示成整式，然后再化简计算即可．【详解】解：由题意可得： ()()()212221aa a a a a a a -=+--+++ =()224a a a +--=224a a a +-+=a+4，故答案为A ．【点睛】本题考查整式乘法的混合运算，通过观察题目给出的运算法则，把所求解的算式根据运算法则展开是解题关键．4．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）A ．1B ．2C ．5D ．7D 解析：D【分析】 由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．【详解】解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），整理得n ＝5，则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，∴m +n ＝5+2＝7，故选：D ．【点睛】此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 5．已知： 13m m +=， 则： 331m m +的值为( ) A ．15B ．18C ．21D ．9B 解析：B【分析】 把13m m +=两边平方得出221m m +的值，再把331m m+变形代入即可得出答案 【详解】 解：∵13m m+=， ∴219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ， ∴221=7+m m ∴()3232111=m+m 1+=371=18m m ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭m m 故选：B【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键6．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）A ．最大值23B ．最小值23C ．最大值23-D ．最小值23- A解析：A【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．【详解】 2221241A x y x y =--+++=2221218441184x x y y -+--+-+++=()()222694423x x y y --+--++=()()2223223x y ----+∵()2230x --≤，()220y --≤，∴()()2223223x y ----+≤23， ∴多项式的最大值是23，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．7．下列分解因式正确的是（ ）A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ）B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）D 解析：D【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．【详解】A 、xy ﹣2y 2＝y （x ﹣2y ），故该项错误；B 、m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）=mn （m+1）（m-1），故该项错误；C 、4x 2﹣24x +36＝4（x ﹣3）2，故该项错误；D 、4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ），故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．设, a b 是实数，定义一种新运算：()2*a b a b =-．下面有四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③()()**a b a b -=-；④()**a b c a b a c +=+*．其中所有正确推断的序号是（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③D 解析：D【分析】根据a*b 的定义，将每个等式的左右两边分别计算，再进行判断即可．【详解】①∵a*b=()2a b -，b*a=()()22b a a b -=-，∴a*b=b*a 成立；②(a*b)2=()()()224a b a b -=-，a 2*b 2=()()()22222a b a b a b -=-+， ∵()()()422a b a b a b -≠-+∴（a*b ）2=a 2*b 2不成立；③∵(−a)*b=()()22a b a b --=+，a*(−b)= ()()22a b a b --=+⎡⎤⎣⎦，∴−a*b=a*(−b)成立；④∵a*(b+c)= ()()22a b c a b c -+=--⎡⎤⎣⎦，a*b+a ∗c=()()()222a b a c a b c -+-≠--， ∴a*(b+c) =a*b+a ∗c 不成立；故选：D ．【点睛】本题考查了新定义下实数的运算，正确理解题意是解题的关键．9．已知1x x +=1x x -的值为（ ）A B ．2± C ．D 解析：C【分析】将1x x +=两边平方得出22x 15x +=，再求得21-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 即可得答案． 【详解】解：∵1x x+= ∴217⎛⎫+= ⎪⎝⎭x x ∴22127x x ++= ∴22x 15x+= ∴22211-=x -2+=5-2=3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x∴1=-±x x故选：C【点睛】 本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 10．下列运算正确的是（ ）．A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --= D解析：D【分析】根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．【详解】A 、235x x x =，故该项错误；B 、2222x x x +=，故该项错误；C 、22(2)4x x -=，故该项错误；D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．二、填空题11．2007200820092()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键解析：-1.5【分析】首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．【详解】 解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭＝﹣1.5， 故答案为-1.5 ．【点睛】本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．12．已知18m x =，16n x =，则2m n x +的值为________．【分析】根据同底数幂的乘法可得再根据幂的乘方可得然后再代入求值即可【详解】解：故答案为【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘 解析：14【分析】根据同底数幂的乘法可得22m n m n x x x +=⋅，再根据幂的乘方可得()22m m x x =，然后再代入18mx =，16n x =求值即可． 【详解】 解：()2222111684m n m n m n x x x xx +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭ ， 故答案为14． 【点睛】 此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．13．因式分解269x y xy y -+-=______．-y （x-3）2【分析】提公因式-y 再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x2y+6xy-9y=-y （x2-6x+9）=-y （x-3）2故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式解析：-y （x-3）2【分析】提公因式-y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x 2y+6xy-9y=-y （x 2-6x+9）=-y （x-3）2，故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．14．的整数部分是a ．小数部分是b ，则2a b -=______．6-16【分析】先估算确定ab 的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4又∵a 是的整数部分b 是的小数部分∴a ＝3b ＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-解析：-16【分析】，确定a ，b 的值，进而即可求解．【详解】 ∵∴3＜4，又∵a b 的小数部分，∴a ＝3，b−3，∴2a b -=−3)2-16．故答案是：-16．【点睛】本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a 、b 的值是解决问题的关键．15．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________．6【分析】由得把它整体代入求值【详解】解：∵∴即∴故答案是：6【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想求值解析：6【分析】由(2)10f =得1643m n +=，把它整体代入()21643f m n -=++求值．【详解】解：∵(2)10f =，∴164710m n ++=，即1643m n +=，∴()216425336f m n -=+-+=+=．故答案是：6．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．16．已知102m =，103n =，则32210m n ++=_______．7200【分析】根据幂的乘方法则分别求出和的值然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可【详解】解：∵∴∴故答案为：7200【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方解题的关键是掌握运算法则解析：7200【分析】根据幂的乘方法则分别求出3m 10和210n 的值，然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．【详解】解：∵102m =，103n =，∴()33m 10108m ==，()22n 10109n ==， ∴3m+2n+232210101010891007200m n =⋅⋅=⨯⨯=，故答案为：7200．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．17．一个长方形的两邻边分别是8x -，2x -，若()()228213x x -+-=，则这个长方形的面积是_________【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论【详解】解：设8-x=ax-2=b ∵长方形的两邻边分别是8-xx-2∴a+b=8-x+x-2=6∵(8-x)2+(x-2)2=a2+b2= 解析：232【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．【详解】解：设8-x=a ，x-2=b ，∵长方形的两邻边分别是8-x ，x-2，∴a+b=8-x+x-2=6，∵(8-x)2+(x-2)2=a 2+b 2=(a+b)2-2ab=62-2ab=13，∴ab=232， ∴这个长方形的面积=(8-x)(x-2)=ab=232． 故答案为：232． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 18．若210x x --=，则3225x x -+的值为________．【分析】首先将已知条件变形为再把要求的式子变形然后整体代入即可求解【详解】解：∵即∴故答案为：4【点睛】此题主要考查了代数式求值把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键解析：【分析】首先将已知条件210x x --=变形为21x x -=，21x x -=，再把要求的式子变形，然后整体代入即可求解．【详解】解：∵210x x --=，即21x x -=，21x x -=，∴()323222514x x x x x -+=---+ ()()2214x x x x =---+4x x =-+4=．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了代数式求值，把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键． 19．已知,a b 满足1,2a b ab -==，则a b +=____________【分析】利用完全平方公式的两个关系式得到即可得到答案【详解】∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查完全平方公式熟记完全平方公式及两个完全平方公式的关系是解题的关键 解析：3±【分析】利用完全平方公式的两个关系式得到22()()41429a b a b ab +=-+=+⨯=，即可得到答案．【详解】∵1,2a b ab -==，∴22()()41429a b a b ab +=-+=+⨯=，∴3a b +=±，故答案为：3±．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式及两个完全平方公式的关系是解题的关键． 20．已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0，则b c a +＝__．2【分析】由可得：去分母整理可得：从而得到：于是可得答案【详解】解：故答案为：2【知识点】本题考查的是整式的乘法运算完全平方公式的应用因式分解的应用非负数的性质代数式的值利用平方根的含义解方程掌握以解析：2【分析】 由()()()214b c a b c a -=--可得：()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得：()220,b c a +-=从而得到：2,b c a +=于是可得答案．【详解】解： ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++，()()22440,b c a a b c ∴++-+=()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为：2．【知识点】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP ＝a ，BP ＝b ，且a ＋b ＝8，ab ＝6，求图中阴影部分的面积．解析：36【分析】依据AP ＝a ，BP ＝b ，点M 是AB 的中点，可得AM ＝BM ＝2a b +，再根据S 阴影＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △ADM ﹣S △BEM ，即可得到图中阴影部分的面积．【详解】解：∵a ＋b ＝8，a b ＝6，∴S 阴影部分＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △AMD ﹣S △MBE ， ＝22112222a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ＝()2224a b a b ++- ， =()()22+24a b a b ab +--，＝64﹣12﹣644， ＝64﹣12﹣16，＝36．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(a +3)+1][(a +3)-1]=(a +4)(a +2)②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：a 2-2a -1=a 2-2a +1=(a -1)2-2∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值-2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：x 2+2x -3． （2）若M=2x 2-8x ，求M 的最小值．解析：（1）()(33)x x +-；（2）-8【分析】（1）应用配方法以及平方差公式，把x 2+2x -3因式分解即可．（2）应用配方法，把2x 2-8x 化成22(2)8x --，再根据偶次方的非负性质，求出M 的最小值是多少即可．【详解】解：（1）原式=22344x x +-+-=2214x x ++-=22(1)2x +-=()(33)x x +-（2）228x x -=22(4)x x -=2（2444x x -+-）=22(2)8x --因为2(2)x -0≥，所以当x =2时，M 有最小值为-8【点睛】此题主要考查了利用平方差公式和完全平方式进行因式分解，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．23．化简求值：()()()2262x y x y y y x x ⎡⎤⎣++⎦--÷，其中2,3x y ==-．解析：2x-3y ，13【分析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将a 与b 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式()222462x y y xy x =-+-÷ ()2462x xy x =-÷ 23x y =-当2,3x y ==-时，原式()2233=⨯-⨯-4913=+=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． 24．阅读下面材料，完成任务．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．∴26445123215÷= ∴()()32223133x x x x x +-÷-=++ 请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）（1）计算：()()3223102x x x x +--÷- （2）若关于x 的多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除，且a ，b 均为自然数，求满足以上条件的a ，b 的值．解析：（1）()()3222310245x x x x x x +--÷-=++；（2）0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =【分析】（1）直接利用竖式计算即可；（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．【详解】解：（1）列竖式如下：()()3222310245x x x x x x +--÷-=++ （2）列竖式如下：∵多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除∴余式()420b a +-=∵a ，b 均为自然数∴0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =【点睛】此题考查利用竖式计算整式的除法，解题时要注意同类项的对应．25．分解因式（1）22363ax axy ay -+（2）()()22162x x x ---解析：（1）3a （x-y ）2；（2）()()()2+44x x x --【分析】（1）先提取公因式3a ，然后由完全平方公式进行因式分解；（2）直接提取公因式（x-2），进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式=3a （x 2-2xy+y 2）=3a （x-y ）2；（2）()()22162x x x ---()()2=216x x --()()()=2+44x x x --【点睛】本题考查了分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．26．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．①________________；②__________________．（3）观察图2你能写出2()m n +，2()m n -，mn 三个代数式之间的等量_____________．（4）运用你所得到的公式，计算若知8,7a b ab +==，求-a b 和22a b -的值．（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式222431832x x y y ++-+的最小值．解析：（1）m-n ；（2）①（m-n ）2；②（m+n ）2-4mn ；（3）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）6a b -=±，22a b -=±48；（5）3【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；（2）从整体与局部两个思路考虑解答；（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答； （4）根据()()224a b a b ab -=+-，可得a-b 的值，再根据22a b -=()()a b a b +-求出22a b -的值；（5）利用完全平方公式将原式变形为()()2221333x y ++-+，再根据非负数的性质可求出最小值为3．【详解】解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n ；（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n ）2，还可以表示为（m+n ）2-4mn ；（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）∵8,7a b ab +==，∴()()224a b a b ab -=+-=2847-⨯=36， ∴6a b -=±，若6a b -=，则22a b -=()()a b a b +-=86⨯=48，若6a b -=-，则22a b -=()()a b a b +-=()86⨯-=-48；（5）222431832x x y y ++-+=22242318273x x y y +++-++=()()2221333x y ++-+∵()2210x +≥，()2330y -≥， ∴()()2221333x y ++-+≥3，即最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．27．已知多项式35ax bx +-，当2x =-时，该多项式的值是7，则当2x =时，该多项式的值是多少？解析：-17【分析】首先把x=-2代入多项式35ax bx +-，整理成关于a 、b 的等式，再把x=2代入，观察两个式子的联系，进一步求得数值即可．【详解】解：x ＝-2时， 35ax bx +-=7，即-8a -2b -5=7，所以8a+2b =-12，当x=2时，35ax bx +-=8a+2b -5=-12-5=-17，所以该多项式的值是-17.【点睛】本题考查了代数式求值，注意代入数值的特点，发现前后式子的联系，整体代入解决问题. 28．已知x 、y 为有理数，现规定一种新运算，满足1x y xy *=+．（1）求24*的值；（2）求(14)(2)*-的值；（3）探索()a b c *+与a b a c *+*的关系，并用等式把它们表达出来．解析：（1）9；（2）-27；（3）a b a c *+*=()a b c *++1．【分析】（1）根据1x y xy *=+，可以求得所求式子的值；（2）根据1x y xy *=+，可以求得所求式子的值；（3）根据1x y xy *=+，可以得到()a b c *+与a b a c *+*的关系，并用等式把它表达出来．【详解】解：（1）∵1x y xy *=+，∴24=24+1=8+1=9*⨯；（2）1x y xy *=+，∴(14)(2)=14(2)128127*-⨯-+=-+=-；（3））∵1x y xy *=+，∴()()11a b c a b c ab ac *+=++=++1111a b a c ab ac ab ac *+*=+++=+++∴a b a c *+*=()a b c *++1．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键理解新定义，代入数据，注意由式子转化为具体数据的时候符号及运算顺序的变化，求出相应式子的值．。

因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定下列各多项式的公因式。

1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。

1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。

1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()nna b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。

1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。

初二的因式分解练习题题目一：因式分解1. 将下列各式进行因式分解：a) 3x + 9yb) 6x² - 12xc) 5a - 20d) 2m² + 5m + 32. 将下列各式进行因式分解，并求出因式：a) 4x² - 12xy + 9y²b) 2a² - 18ab + 40b²c) 9m² - 36d) 16x² - 25y²题目二：应用问题1. 某活动中，每个学生要穿n条腰带和4件上衣，规定每条腰带价格为x元，每件上衣价格为y元。

写出每个学生需付的金额的表达式，并进行因式分解。

2. 一块长方形草坪的长为x+3，宽为x，若要绕草坪围上一圈宽度为3米的路，求围路的总长度，并进行因式分解。

3. 小明花费了60元购买苹果和橙子，苹果每斤x元，橙子每斤y 元。

已知小明购买了a斤苹果和b斤橙子，写出小明花费的总金额表达式，并进行因式分解。

解答：1. 因式分解：a) 3x + 9y = 3(x + 3y)b) 6x² - 12x = 6x(x - 2)c) 5a - 20 = 5(a - 4)d) 2m² + 5m + 3 = (2m + 3)(m + 1)2. 因式分解：a) 4x² - 12xy + 9y² = (2x - 3y)²b) 2a² - 18ab + 40b² = 2(a - 4b)(a - 5b)c) 9m² - 36 = 9(m - 2)(m + 2)d) 16x² - 25y² = (4x - 5y)(4x + 5y)3. 应用问题：a) 每个学生需付的金额表达式为：nxy + 4xy = xy(n + 4)b) 围路的总长度为：2(x+3) + 2x + 6 = 4x + 12，并进行因式分解为4(x + 3)c) 小明花费的总金额表达式为：ax + by = (a + b)xy，并进行因式分解为xy(a + b)通过上述练习题，初二学生可以巩固和提升因式分解的能力。

因式分解练习题精选一、基础题1. 分解因式：x^2 + 2x + 12. 分解因式：a^2 b^23. 分解因式：4m^2 9n^24. 分解因式：x^3 y^35. 分解因式：8a^3 27b^3二、提高题1. 分解因式：x^2 + 5x + 62. 分解因式：a^2 + 2ab + b^23. 分解因式：2x^2 5x 34. 分解因式：3a^2 4ab 5b^25. 分解因式：x^4 16三、拓展题1. 分解因式：x^3 + 3x^2 + 3x + 12. 分解因式：a^3 b^3 c^3 + 3abc3. 分解因式：x^2 + 2xy + y^2 4z^24. 分解因式：x^4 + 4x^2 + 45. 分解因式：a^5 b^5四、综合题1. 分解因式：x^2 + 6x + 9 4y^22. 分解因式：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 4a^23. 分解因式：x^4 4x^2 + 4 9y^24. 分解因式：a^4 b^4 + 2a^2b^25. 分解因式：x^6 y^6五、特殊因式分解题1. 分解因式：x^2 5x + 62. 分解因式：2a^2 8a + 83. 分解因式：3x^2 12x + 94. 分解因式：4y^2 20y + 255. 分解因式：5z^2 10z + 5六、多项式因式分解题1. 分解因式：x^3 + 2x^2 x 22. 分解因式：a^4 b^43. 分解因式：x^4 6x^2 + 94. 分解因式：4a^2 12ab + 9b^25. 分解因式：x^5 32x七、复杂因式分解题1. 分解因式：x^6 y^6 z^6 + 3x^2y^2z^22. 分解因式：a^3 + b^3 + c^3 3abc3. 分解因式：x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 14. 分解因式：x^8 y^85. 分解因式：a^5 + b^5 + c^5 5abc(a + b + c)八、应用题1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为x、x+1和x+2，求其体积的因式分解形式。

第四章分解因式考点一：分解因式的概念1、下列变形中，从左向右是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．x2﹣8x+16=(x﹣4）2C．（x﹣1)2=x2﹣2x+1D．x2+1=x（x+）考点二:因式分解1、下列分解因式中，正确的个数为（）x2+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=（x+2）2；—x2+y2=（x+y）（x—y)A．3个B．2个C．1个D．0个2、下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是（）A．a2+b2B．x2+9 C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y23、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y,x+y，a+b，x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ）A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌4、若分解因式x2＋mx－24＝（x＋3)(x＋n)，则m的值为。

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为。

5、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为（x+2）(x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）(x+9），则a+b=_______6、因式分解9a2（x－y）＋4b2(y－x) x2＋2xy＋y2－4(m+1）（m﹣9)+8m．x2+4xy﹣5y24x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．考点三：利用因式分解计算1、2016×2016﹣2016×2015﹣2015×2014+2015×2015的值为（)。

A．1 B．﹣1 C．4032 D．40312、3（4+1）（42+1）（44+1）+13、考点四：利用因式分解化简求值1、已知xy=8,x﹣y=2，求代数式x3y﹣x2y2+xy3的值为．2、a+1+a(a+1）+a（a+1)2+……+a（a+1)2014= ．3、已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（）A．3 B．C．﹣3 D．4、已知x2+x-1=0，则代数式x3+2x2+2014= .5、化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1)（3x＋2）2－x（1－2x)(3x＋2)，其中x＝1.考点五：利用因式分解证明整除问题1、能被下列数整除的是( )A．3B．5C．7D．92、已知58－1能被20-—30之间的两个整数整除,则这两个整数是 .3、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如：自然数12321，从最高位到个位排出的一串数字是：1，2，3，2,1,从个位到最高排出的一串数字仍是:1，2，3,2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如:22，545,3883，34543，…,都是“和谐数"．（1)请你直接写出3个四位“和谐数"；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数"，设其个位上的数字为x（,x为自然数)，十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．考点六：利用因式分解解决几何问题1、若、、为的三边长,且满足，，则的形状是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2、设是一个直角三角形两条直角边的长,且，则这个直角三角形的斜边长为．3、已知a、b、c为△ABC三边的长．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．(2)当a2+2b2+c2=2b(a+c）时，试判断△ABC的形状．4、已知是△ABC的三边长，是△ABC的最短边且满足，求的范围。