拓展课：因式分解中的拆项、添项法

因式分解中的拆项、添项法
欧阳学文
安徽滁州二中郑刚239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。

因式分解—配方法、换元法、添拆项法【知识要点】1. 配方法：配成完全平方公式，平方差公式，立方和公式，立方差公式等；2. 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；3. 添拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。

【典型例题】配方法：例1． 若实数,,a b c 满足2226344210a b c ab bc c ++---+=，求,,a b c 的值。

例2．已知,,a b c 满足2221346a b c ab bc ++=+，求235532a b c a b c++++的值。

配方法练习：（1）、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

（2）已知19952=+y x ，53=+y x 时，求229123y xy x ++的值。

换元法：例1、22224()(2)12x xy y x xy y y ++++- 例2、 44(1)(3)272x x +++-例3、2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 例4、42242(1)(3)x x x x +-++-例5、22222()4()x xy y xy x y ++-+ 例6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++换元法练习： （把下列各式分解因式）1、 222(231)22331x x x x -+-+- 2、2200020063997*20011997*1999*2002*2003-+2（）（2000）添拆项法：把下列各式分解因式：例1.（1）3292624x x x +++ （2）32332a a a +++例2、 (1) 6424936x x x --+ (2) 32374a a +-例3、22223345a b c ab ac bc +++++添拆项法练习：（把下列各式因式分解）1、3221215a a a +-+2、343115x x -+3、444()x y x y +++4、()()a b c ab ac bc abc ++++-5、求多项式2059416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 最小时b a ,的值．【作业】1、分解因式 ：4322321x x x x ++++2、分解因式：33221a b ab a b -+++3、分解因式：326116x x x +++4、已知22524x y x y ++=+，求y x x y +的值。

添项拆项法因式分解1. 引言在代数学中，因式分解是将一个多项式表达式拆解为若干个乘积的形式。

添项拆项法是一种常用的因式分解方法，通过增加或减少某些特定的项来改变多项式的结构，从而实现因式分解。

本文将详细介绍添项拆项法因式分解的步骤和技巧，并通过具体例子展示其应用。

2. 添项拆项法步骤添项拆项法因式分解主要包含以下步骤：步骤1：观察多项式结构首先，我们需要仔细观察给定的多项式，了解其结构和特点。

这有助于我们确定应该添加或减少哪些特定的项来进行因式分解。

步骤2：增加或减少相应的特定项根据观察到的多项式结构，我们可以有选择地增加或减少特定的项。

这些操作旨在改变多项式的结构以便进行因式分解。

步骤3：利用公共因子进行提取当成功添加或减少了特定的项目后，我们可以尝试利用公共因子进行提取。

这有助于将多项式拆解为更简单的形式。

步骤4：重复步骤2和步骤3如果仍然存在可以添加或减少的特定项，并且可以利用公共因子进行提取，我们需要重复步骤2和步骤3，直到无法继续进行因式分解为止。

步骤5：检查结果的正确性最后，我们需要对因式分解的结果进行检查，确保其正确性。

可以通过展开因式分解后的乘积来验证是否与原始多项式相等。

3. 添项拆项法示例为了更好地理解添项拆项法的应用，以下是一个具体的示例：给定多项式：x2+5x+6步骤1：观察多项式结构观察可知，这是一个二次多项式，由三个项组成。

我们注意到最高次幂为x2。

步骤2：增加或减少相应的特定项我们希望将多项式拆解为两个一次多项式的乘积。

根据这个目标，我们可以尝试增加一个x和减少一个常数。

将x2+5x+6改写为(x2+4x)+(x+6)。

步骤3：利用公共因子进行提取我们可以尝试利用公共因子进行提取。

首先，我们观察到(x2+4x)中的x是公共因子，可以提取出来。

将(x2+4x)+(x+6)改写为x(x+4)+(x+6)。

步骤4：重复步骤2和步骤3继续应用添项拆项法，我们发现(x+4)和(x+6)都是一次多项式，并且无法再进行进一步的添项或拆项。

第二讲：因式分解——拆项与添项法一．基础梳理考点一：因式分解的有关概念1．把一个多项式________________________,叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2．因式分解和整式乘法的过程__________.3.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.4．如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.5.提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.6.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.平方差公式：a²+b²=（a+b）（a-b）(2) 完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）².7.利用平方差公式分解因式的条件：（1）多项式是两项式（或可以看成两项式）；（2）每一项（除符号外）都是平方的形式；（3）两项系数异号.8.利用完全平方公式分解因式的条件：（1）多项式是二次三项式；（2）其中的两项是两个整式的平方和；（3）另外还有一项是这两个整式乘积的2倍.9.因式分解的注意事项：（1）先提公因式，首项为负时提取负号；（2）分解到不能再分解为止；（3）每个因式化成最简；10.分组分解法：利用分组来分解因式的方法.二．复习巩固类型一：简便运算（1）517.8×143.2+5178×（-4.32）（2）类型二：利用因式分解求值（1）若a+b=6，a³+b³=72，求a²+b²的值.（2）已知x≠y，且x³-x=7，y³-y=7，求x²+xy+y²的值.类型三：分组分解法分解因式（1）x³-xyz+x²y-x²z （2）4a²-4-4ab+b²（3）4x³-8x²y-xy²+2y³（4）a³+b³+（a+b）³（5）x²-4xy+4y²-6x+12y+9(6)三、拓展提高——拆项与添项法1．把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项.2. 在代数式中添加两个相反项，叫做添项.3. 因式分解与整式乘法是互逆变形，拆项添项与合并同类项为互逆变形. 例1.分解因式：x +x³-3x²-4x-4例2.分解因式：x²-2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)例3.分解因式：2x -15x³+38x²-39x+14例4.分解因式：x +x+1练习：分解因式（1）x +x³+4x²+3x+3 (2) x +x+1 (3) 6x +7x³-36x²-7x+6三．收获总结·。

添项拆项法因式分解添项拆项法是一种将多项式进行因式分解的方法。

它基于多项式的加法和减法性质，通过拆分多项式的项来找到可以因式分解的因子。

多项式是由一系列的项组成的，每一项包含了常数和某个变量的幂次。

要进行添项拆项法因式分解，我们首先需要了解多项式的结构和每一项的性质。

一个多项式的基本结构如下：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中an, an-1, ..., a2, a1, a0是多项式的系数，x是变量，n是多项式的次数。

接下来，我们将介绍如何使用添项拆项法对多项式进行因式分解。

我们要观察多项式中每一项的系数和次数，然后尝试将多项式拆分为更小的部分。

比如，我们有一个多项式f(x) = 3x2 + 9x + 6。

我们可以观察到每一项的系数3、9、6都可以被3整除，因此我们可以使用3来拆分每一项。

这样我们就可以将多项式写成如下形式：f(x) = 3(x2 + 3x + 2)现在，我们可以继续观察括号内的多项式，并尝试进行进一步的拆分。

在这个例子中，我们可以发现x2 + 3x + 2不能再进一步拆分为更小的部分。

因此，我们可以得出以下因式分解：f(x) = 3(x + 2)(x + 1)通过添项拆项法，我们成功地将多项式f(x)分解为了两个一次多项式的乘积。

让我们再看一个稍微复杂一些的例子。

考虑多项式g(x) = 2x3 + 10x2 + 12x + 6。

观察每一项的系数，我们发现它们都可以被2整除。

因此，我们可以使用2来拆分多项式，得到如下形式：g(x) = 2(x3 + 5x2 + 6x + 3)现在，我们要继续观察括号内的多项式，尝试进行进一步的拆分。

在这个例子中，我们可以将x3 + 5x2 + 6x + 3重写为x2(x + 5) +3(x + 1)。

这样，我们可以得到以下因式分解：g(x) = 2(x + 1)(x + 3)(x + 1)通过添项拆项法，我们将多项式g(x)成功地分解为了两个一次因式与一个二次因式的乘积。

实用文档之" 因式分解中的拆项、添项法"
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。

果式领会中的拆项、加项法之阳早格格创做
安徽滁州二中郑刚刚 239000
果式领会是多项式乘法的顺运算．正在多项式乘法运算时，整治、化简常将几个共类项合并为一项，大概将二个仅标记差异的共类项相互对消为整．正在对于某些多项式领会果式时，需要回复那些被合并大概相互对消的项，即把多项式中的某一项拆成二项大概多项，大概者正在多项式中加上二个仅切合差异的项，前者称为拆项，后者称为加项．拆项、加项的手段是使多项式能用分组领会法举止果式领会．现举一例：
例领会果式：x3-9x+8．
领会本题解法很多，那里只介绍使用拆项、加项法领会的几种解法，注意一下拆项、加项的手段取本领．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
本式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
本式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
本式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 增加二项-x2+x2．
本式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题不妨瞅出，用拆项、加项的要领领会果式时，要拆哪些项，加什么项并不一定之规，主要的是要依赖对于题目特性的瞅察，机动变更，果此拆项、加项法是果式领会诸要领中本领性最强的一种．。

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板块一：分组分解分组分解法:将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法.【例1】分解因式：【例2】分解因式：【例3】分解因式：【例4】分解因式：【例5】分解因式：221x ax x ax a +++--1x y x y--+a xb y b x a y--+2222a cb d a d b c+--27321x y x y x-+-例题精【例6】分解因式：【例7】分解因式：【例8】分解因式：【例9】分解因式：【例10】分解因式：【例11】分解因式：【例12】分解因式：22233215481ac cx ax c+--4321x x x++-22a b x b x ya x yy+--()()x xz y yz+-+2222 (1)(2)(1)x x x x x x ++-++-222222 ()()ax by ay bxc x c y ++-++ (1)(2)6x x x---【例13】 分解因式:【例14】 分解因式：【例15】 分解因式：【例16】 已知三个连续奇数的平方和为251,求这三个奇数．【例17】 分解因式:【例18】 分解因式：【例19】 分解因式：222(1)()a b x x a b +++3322()()a x yb b y b xa y +++2231()bax a b x +--22(3)(43)x a bx ab -+-2222()()a b c d ad c d ---32x b x a xa b +++【例20】分解因式：【例21】分解因式：【例22】分解因式：【例23】分解因式:【例24】分解因式：【例25】分解因式：【例26】分解因式：32ac xbc x adx bd+++ 22221a b a b--+ 222221x y z x z y z--+2226923a x a x y x y a y-+-325153x x x--+251539a m am abm bm -+-3254 222 x xx x x--++-【例27】分解因式：【例28】分解因式：【例29】分解因式：【例30】分解因式：【例31】分解因式：【例32】分解因式：【例33】分解因式：432x x x x+++2222 ()()()() a ba cc db d +++-+-+ 2293x x y y---5544()x y x yx y+-+2212x x y---+241194n n mx x y+-+22(1)12a b bb--+-【例34】 分解因式：【例35】 分解因式:【例36】 分解因式：【例37】 分解因式：【例38】 分解因式:【例39】 分解因式：【例40】 分解因式：=_________.3232x x y y +--31ax x a +++4334aa bab b --+33222x y x x yy ++++4333x x y x z y z +++54321xxxxx+++++333333()()()()a y b xa x b ya b x y +-++--【例41】 分解因式：【例42】 分解因式：【例43】 分解因式：板块二:拆项与添项模块一：利用配方思想拆项与添项【例44】 已知，求的值．【例45】 分解因式:【例46】 分解因式:=_______.【例47】 分解因式:;333333()()()a b b cc a a b c ++++++++22axb xb x a x a b -+-+-ax a y b x c y c x b y -++--2246130ab ab +--+=a b +43221xx x x ++++432234232aab a ba b b ++++4231x x -+【例49】 分解因式：【例50】 分解因式：【例51】 分解因式：【例52】 分解因式：【例53】 已知是正整数，且是质数，那么_______.【例54】 分解因式：4224a a b b ++12631x x -+841x x ++4224781x x y y -+n 4216100n n -+n =()()()222241211y x y x y +-++-4222222【例56】 分解因式：【例57】 把分解因式．【例58】 分解因式:【例59】 证明：在都是大于l 的整数时,是合数．【例60】 分解因式：模块二:拆项与添项【例61】 分解因式：33(1)()()(1)x a x y x y a b y b +---++444xy +464x +m n 、444m n +444222222222a b c a b b c c a ---+++343a a -+【例63】 分解因式：【例64】 分解因式：【例65】 分解因式:【例66】 （“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：【例67】 (“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解:【例68】 若，则的值等于（ ) A. B. C. D.【例69】 分解因式： 3234x x +-267x x +-398x x -+326116x x x +++4322928xx x x +--+1x y +=-43222234585x x y x y x y x y x y y ++++++01-13323233332aa ab b b ++++++【例70】 分解因式：【例71】 分解因式：【例72】 分解因式:。

因式分解配方法拆添项
拆项与添项法是在灵活掌握了四种基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法之后，更灵活，要求更高的因式分解方法，因为它非常能考察一个人的观察能力。

在初中，特别是以后高中阶段，拆项法与添项法是解决一些较为复杂问题的常用技巧。

好，其它不多说了，现在我们就来详细的介绍下拆项与添项这对较为灵活的因式分解方法。

一、拆项法：
拆项法因式分解的一般规律：一般是拆开中项，将需要拆掉的项按照其余项的系数绝对值拆分。

当然，这并非绝对，也可以将其他项拆开。

为什么要将-3x2拆成x2和-4x2两项，而不拆其它项呢？因为-3x2在多项式中起到承上启下的作用，也就是说我们一般选次数在中间的单项式来拆分。

二、添项法：
添项法因式分解的一般规律：一般通过添项构成完全平方公式或者立方差或立方和公式；当然，有时则需根据系数配成十字相乘法的形式。

以上就是因式分解拆项法和添项法的使用技巧。

不过，只有我们认真掌握了因式分解的四种基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法，然后再结合拆项法和添项法灵活应用，才能有的放矢，融会贯通。

因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。

因式分解：1、拆项法：a 2+b 2+4a+2b+5a 2+b 2+4a+2b+3x 3－3x 2+4a 3+3a 2+3a+22、凑项法巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解444y x +解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++=)22)(22(2222y xy x y xy x +-++例4、因式分解 4323+-x x解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x=)1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x=2)2)(1(-+x x3x 3+7x 2-4 x 5+x+1x 3-9x+8一、填空1、把一个多项式化为 的形式，叫做因式分解。

2、 （ ）+2ab+1=（ ）23、因式分解=（ ）-4x 2=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ）4、二次三项式=（ ）（ ）5、立方和8（a-b ）3+27=（ ）（ ）6、（n 是大于2的整数）中，各项的公因式是（ ）7、己知x 2-2xy+1是完全平方式，则y=8、（3x-y ）（ ）=27x 3-y 396422+--a x a 22576y xy x -+2311536-++-n n n x x x二、选择题（四选一；每题3分，共15分）1、多项式4a 4-2a 作因式分解，结果为（ ） A 、a （4a 3-21） B 、2a （2a-1）（4a 2+2a+1） C 、2a （2a-1）（4a 2-2a+1） D 、2a （2a-1）（4a 2+4a+1） 2、2-x 和3+x 同是下面某多项式的因式，它是（ ）A 、6+x-x 2B 、6-x+x 2C 、x 2+x +6D 、6-x-x 23、因式分解时，正确分组方法有（ ）A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种4、因式分解时，正确分组方法有（ ）A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种5、若将（2x ）n -81分解后得，那么n 的值为（ ） A 、2 B 、6 C 、4 D 、8三、把下列各式分解因式1、x 3-9x+82、x 2y 2+5xy+63、4、 5、四、利用因式分解计算1、17.52-12.522、83×773、1.222×9-1.332×44、10125、16.8×3215+7.6×1615五、求值1、己知a+b=-3, ab=-2，求bc c b a 2222+--bc ac ab a -+-2)32)(32)(94(2-++x x x 4)(12)(92+---b a b a 2236129y xy x -+-)()(22x y y y x x -+-32232ab b a b a +-3、己知x+y=﹣2，a+b=﹣21，，求的值六、把下列各式分解因式1、2、3、4、5、（）（-9）+18七、己知a 、b 、c 均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定的值的符号（5分）122-=+-y xy x 3333ax by ay bx +++241414)(222++--x x x x 6)2(11)2(2222-+-+a a a a 8306251022+-++-n m n mn m x xy y x 21372-+-a a -22a a -22222222)(4a c b c b -+-。

拓展课：因式分解中的拆项、添项法教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。

2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想.3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力.教学重点：拆项和添项的技巧。

教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。

合理、有效的选择因式分 解的方法.教学过程：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例1 分解因式：)22)(22()22)(22(4)2(4444)1(22222222244+-++=-+++=-+=-++=+x x x x x x x x x x x x x x 试一试：4441y x + 例2 分解因式：x 3-9x+8．分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)．解法2 添加两项-x 2+x 2．原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9．原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)． 解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3．原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)．注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．练习：1、1724+-x x2、 343+-a a自主评价和小结：分解因式3、4224b b a a ++4、12234++++x x x x；、；、作业：132412444+-+x x y x。

因式分解—配方法、换元法、添拆项法【知识要点】1. 配方法：配成完全平方公式，平方差公式，立方和公式，立方差公式等；2. 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；3. 添拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。

【典型例题】配方法：例1． 若实数,,a b c 满足2226344210a b c ab bc c ++---+=，求,,a b c 的值。

例2．已知,,a b c 满足2221346a b c ab bc ++=+，求235532a b c a b c ++++的值。

配方法练习：（1）、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

（2）已知19952=+y x ，53=+y x 时，求229123y xy x ++的值。

换元法：例1、22224()(2)12x xy y x xy y y ++++- 例2、 44(1)(3)272x x +++-例3、2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 例4、42242(1)(3)x x x x +-++-例5、22222()4()x xy y xy x y ++-+例6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++换元法练习： （把下列各式分解因式）1、 222(231)22331x x x x -+-+-2、2200020063997*20011997*1999*2002*2003-+2（）（2000）添拆项法：把下列各式分解因式：例1.（1）3292624x x x +++（2）32332a a a +++例2、 (1) 6424936x x x --+ (2) 32374a a +-例3、22223345a b c ab ac bc +++++添拆项法练习：（把下列各式因式分解）1、3221215a a a +-+2、343115x x -+3、444()x y x y +++4、()()a b c ab ac bc abc ++++-5、求多项式2059416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 最小时b a ,的值．【作业】1、分解因式：4322321x x x x++++2、分解因式：33221a b ab a b-+++ 3、分解因式：326116x x x+++4、已知2252 4x y x y++=+，求y xx y+的值。

因式分解添项拆项法因式分解是数学中的一种重要的运算方法，它可以将一个多项式表达式分解成若干个乘积的形式。

在因式分解中，有一种叫做添项拆项法的特殊方法，它能更加简化分解的过程，使得分解结果更加简洁明了。

首先，让我们来看一个具体的例子。

假设我们要对多项式表达式2x² + 5xy + 3y²进行因式分解，我们可以采用添项拆项法来进行操作。

首先，我们可以观察到多项式中的第一项是2x²，它可以由x与x相乘得到。

因此，我们可以将2x²拆分成x与2x的乘积，即2x * x。

接下来，我们可以观察到多项式中的最后一项是3y²，它可以由y与y相乘得到。

因此，我们可以将3y²拆分成y与3y的乘积，即3y * y。

然后，我们可以观察到多项式中的中间一项是5xy，它可以由x与y相乘得到。

因此，我们可以将5xy拆分成xy与5的乘积，即xy * 5。

综上所述，我们将2x² + 5xy + 3y²用添项拆项法进行因式分解可以得到：2x * x + xy * 5 + 3y * y。

通过这种方法，我们可以将原始的多项式表达式分解成了若干个乘积的形式，使得计算更加简便明了。

除了这个例子之外，添项拆项法还可以在其他复杂的多项式分解中起到重要的作用。

在实际应用中，因式分解是很常见的数学运算方法。

它可以帮助我们简化计算过程，解决一些复杂的问题。

同时，因式分解也是其他数学概念和方法的基础，如因式分解后的多项式可以用来求解方程等。

在学习因式分解时，我们需要掌握添项拆项法这一特殊的分解方法。

通过观察多项式中的各项，找出可以拆分的因子，将多项式分解成乘积的形式。

这样可以使得分解结果更加简洁明了，方便后续的计算和应用。

总之，添项拆项法是因式分解中一种重要的方法，它能够帮助我们将多项式分解成乘积的形式，使得计算更加简洁明了。

在学习和应用中，我们应该掌握这个方法，并结合具体问题进行实际操作，以提高自己的数学能力。

4.因式分解技巧-拆项与添项-单墫4.拆项与添项为便于进行分组分解，常常将一项（或若干项）拆为两项（或几项）的和．4.1 拆开中项前面已经说过，在分组分解时，常常将项数平均分配．但是，像344+-x x 这样的式子，只有三项，怎么能平均分成两组呢？方法是先将一项拆为两项．如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜．例1 分解因式：.344+-x x 解 344+-x x334+--=x x x)33()(4---=x x x)1(3)1)(1(2--++-=x x x x x).3)(1(23-++-=x x x x例2 分解因式：.)(1322abx x a b --+ 解 322)(1abx x a b --+)()1(3222abx bx x a -+-=)1()1)(1(2ax bx ax ax -+-+=).1)(1(2bx ax ax ++-=在这两个例子中，都有一个因式是x 的一次多项式．第8单元将讨论求一次因式的一般方法．4.2 皆大欢喜拆项的目的无非是在适当分组后使得每一组都可以“提”或“代”（同时，组与组之间也可以“提”或“代”）．因此，有时也不一定都是拆开中项．例3 分解因式： .233332323++++++b b b a a a解前三项比完全立方公式少1，四、五、六项的和也比立方公式少1．如果把2拆为两个1，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜，于是 233332323++++++b b b a a a)133()133(2323+++++++=b b b a a a33)1()1(+++=b a])1()1)(1()1)[(2(22++++-+++=b b a a b a。

添拆项法及配方法【知识要点】常用公式有：平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=-完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+三项和平方：2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；三项立方和：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 备注：1、拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组解法进行分解因式。

2、配方：用配方法进行因式分解是添拆项中的一种特殊情况，添拆项后将产生平方公式。

【典型例题】模块一：利用配方思想拆项与添项【例1】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【例2】 分解因式：43221x x x x ++++【例3】 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【例4】分解因式：42-+；x x31【例5】分解因式：42-+；x x231【例6】分解因式：4224++a ab b【例7】分解因式：126-+31x x【例8】分解因式：841++x x【例9】分解因式：4224-+781x x y y【例10】已知n是正整数，且42-+是质数，那么n=_______.16100n n【例11】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【例12】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【例13】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【例14】 把444x y +分解因式．【例15】 分解因式：464x +【例16】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【例17】 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++模块二：拆项与添项【例18】 分解因式：343a a -+【例19】 分解因式：32265x x x +--【例20】 分解因式：3234x x +-【例21】 分解因式：267x x +-【例22】 分解因式：398x x -+【例23】 把下列各式因式分解：326116x x x +++【例24】 把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+【例25】 若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A.0B.1-C.1D.3【例26】 分解因式：323233332a a a b b b ++++++【例27】 分解因式：51x x ++【例28】 分解因式：541a a ++【例29】 分解因式：3333a b c abc ++-.【例30】 分解因式：22268x y x y -++-【例31】 分解因式： 224414x y x y -++【例32】 分解因式：42471x x -+【例33】 分解因式： 4414x y +【例34】 分解因式：441x +=__________.【例35】 分解因式：432433x x x x ++++例1、（1）32332a a a +++ （2）3234x x -+例2、（1）4224y y x x ++； （2）()()()242221121y x y x y -++-+例3、分解因式：178++x x例4、若代数式22333axy y x y x +++含有因式y x -，则=a ，在实数范围内将这个代数式分解因式，得=+++22333axy y x y x 。

因式分解拆添项法一、背景介绍在数学中，因式分解是将一个多项式表达式分解为更简单的因子的过程。

因式分解可以帮助我们清晰地了解一个多项式的结构，进而解决一些复杂的数学问题。

而在因式分解的过程中，拆添项法被广泛应用。

二、拆添项法的基本原理1.拆添项法是指在因式分解的过程中，通过拆分和添加适当的项，使得原始多项式能够被分解成更简单的因子。

这样的拆分和添加可以通过合并同类项、添加零项或者抵消项来实现。

2.拆添项法的关键在于观察和增减项的方式。

我们需要观察多项式中的项的特征，然后根据所需要的因子形式，适当增加或减少一些项。

3.在拆添项法中，常用的策略包括提取公因式、配方法、分组等。

根据具体的多项式形式，选择合适的策略来实现因式分解。

三、拆添项法的具体应用举例1. 提取公因式当一个多项式中的每一项都有一个公共的因子时，可以使用提取公因式的方法进行因式分解。

例如：2x2+6x=2x(x+3)其中，多项式中的每一项都有因子2x，通过提取公因式，我们得到了一个更简单的因式分解形式。

2. 配方法当一个多项式可以通过两个因子相乘得到时，可以使用配方法进行因式分解。

例如：x2+5x+6=(x+2)(x+3)通过配方法，我们将多项式分解为两个因子的乘积，更好地理解了多项式的结构。

3. 分组当一个多项式中的项可以进行分组时，可以使用分组的方法进行因式分解。

例如：ab+ac+bd+cd=a(b+c)+d(b+c)=(a+d)(b+c)通过将多项式进行分组，我们得到了一个更简单的因式分解形式。

四、拆添项法的实例分析考虑以下的多项式：x3+x2+x+1我们希望将其进行因式分解。

1.观察多项式，发现每一项都有一个公共的因子1，因此可以尝试提取公因式。

x3+x2+x+1=1(x3+x2+x+1)2.进一步观察多项式，可以发现每一项的指数递增，因此可以猜测它可能与一个形如(x + a)的因子相乘。

我们使用配方法进行计算：(x+a)(x2+bx+c)=x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac3.比较原始多项式与配方法的结果，得到以下方程组：a+b=1ab+c=1ac=1解方程组，得到a = 1, b = 0, c = 1，将其代入配方法的结果中：(x+1)(x2+1)即为原始多项式的因式分解形式。