隐函数定理及其应用.

分析方法第十八章隐函数定理及其应用隐函数定理是微积分中的一个重要工具，用于研究隐含在方程中的函数的性质。

它的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生态等领域的多个问题。

本文将对隐函数定理进行分析，并探讨其在实际问题中的应用。

首先，让我们来了解什么是隐函数定理。

隐函数定理是微积分中的一个重要定理，用于研究隐含在方程中的函数的性质。

具体而言，隐函数定理指出，如果一个方程组满足一定条件，那么在该方程组的一些解附近，可以找到一个连续可微的函数来表示其中一个变量，而其他变量可以表示为该函数的函数。

简单来说，通过隐函数定理，我们可以找到一个表达式来表示方程中的其中一变量，而不需要对其他变量进行明确的表达。

隐函数定理的应用非常广泛。

在物理学中，隐函数定理常常用于研究物体的运动轨迹以及力学系统的动力学方程。

例如，当我们考虑一个物体在空气中自由下落的过程时，我们可以建立一个方程组来描述空气摩擦对物体的影响。

通过隐函数定理，我们可以得到物体下落的具体函数表达式，进而研究其速度、加速度等参数的变化规律。

在经济学中，隐函数定理常用于分析供需关系、市场均衡等经济问题。

例如，当我们考虑一个市场中商品供需的关系时，我们可以建立一个供需方程组来描述供给量与需求量的关系。

通过隐函数定理，我们可以找到一个函数来表示市场价格与供给量和需求量之间的关系，从而分析价格的变化对供需的影响。

在生态学中，隐函数定理被应用于研究物种之间的相互作用。

例如，当我们考虑一个食物链系统中物种数量的变化时，我们可以建立一个方程组来描述物种之间的捕食关系。

通过隐函数定理，我们可以找到一个函数来表示物种数量与时间的关系，进而研究物种的数量变化趋势以及物种之间相互作用的影响。

总而言之，隐函数定理是微积分中重要的工具，广泛应用于实际问题的分析中。

通过该定理，我们可以建立方程组，从中找到隐含的函数表示方式，并利用这些函数表达式来研究各种实际问题。

无论是物理、经济还是生态领域，隐函数定理都扮演着重要的角色，帮助我们深入了解和解决各种复杂的问题。

第18章 隐函数定理及其应用第1节 隐函数求导法在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy eu x y xyz++=+=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。

这种形式的函数称为隐函数。

本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法以及由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

一 一个方程0),,(=z y x F 的情形在《数学分析》上册，第六章 导数与微分（第三节 高阶导数和其它求导法则P149）——曾对形如0),(=y x F 的方程,认定是x y 是的函数,介绍过隐函数求导法）。

不过,那里只是对具体方程未求的.利用偏函数符号, 我们可以得出一般的结果。

根据复合函数求导法则, 在),(y x F 两边对x 求导, 得到：yX y Y X F F y F y F F -=≠⇒=⋅+''00时，当方程中的变量多于2个时, 例如, 设方程0),,(=z y x F 确定了y x z 和是的函数, 并且?,yz xz y x z ∂∂∂∂前，如何求的偏导数都存在，在此，关于对0),,(=z y x F 求导，利用链式法则：，关于y x0(0);0(0)z z FFF F z zF F z z y xF F F F xz xxxz yyzz∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=⇒=-≠+=⇒=-≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂说明：（1） 求yz xz ∂∂∂∂,需要假定,0)(≠∂∂z F zF ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”；（3） 对0),,(=z y x F 求导，只在假定y x z 和是的函数的情况下，求导数，如何确定),(y x z z =。

第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。

隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。

几何应用。

条件极值与拉格朗日乘数法。

教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。

2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。

3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。

4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。

教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。

二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。

要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。

强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。

这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。

这说明拉格朗日乘数法的优越性。

§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍 （1） 隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号 （P144）2. 隐函数的两个基本问题（1） 隐函数的存在性; （2） 隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。

隐函数定理及其应用
隐函数定理是微积分学中的一个重要定理，也是微分几何和微分拓扑等数学分支的基础。

隐函数定理的基本内容是：给定一个多元函数方程组
$f(x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_n)=0$，如果在某点
$(x_0,y_0)$处，该方程组满足一定的条件，则在该点附近存在一个函数$y=f(x)$，使得$f(x,f(x))=0$。

这个函数$f(x)$称为隐函数。

隐函数定理的应用非常广泛。

以下是几个常见的应用：
1. 曲线的参数化：对于一个曲线方程$f(x,y)=0$，如果存在一个函数$x=g(t)$和$y=h(t)$，满足$f(g(t),h(t))=0$，则可以用该函数表示原曲线。

这一方法在计算曲线的弧长、曲率等物理量时非常有用。

2. 求解方程：有时候某个方程的显式解法非常困难，可以用隐函数定理将方程转化成隐函数的形式，然后再求解。

3. 函数的导数和高阶导数：由于隐函数和其自变量之间没有显式的表达式，因此难以直接求其导数，但是隐函数定理可以提供求导的一般方法。

在求高阶导数的时候，隐函数定理更是非常重要的工具。

第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念设X R ⊂,Y R ⊂, 函数:F X Y R ⨯→, 对方程(,)0F x y =,若存在集合I X ⊂,J Y ⊂,使得对任何x I ∈,存在唯一的y J ∈满足方程(,)0F x y =,则称(,)0F x y =确定了一个隐函数:f I J →, 记为()y f x =,x I ∈.此时, (,())0F x f x ≡,x I ∈恒成立. 相对地, 形如()y f x =的函数称为显函数.我们说隐函数的产生也是很自然的, 如函数73()y g x x x x ==++严格增, 因而其有反函数, 但不易求出显函数1()x g y -=, 此时只能说方程730y y y x ++-=能确定隐函数1()()dy g x f x -==. 当然, 显函数也可以写成隐函数的形式(,)()0F x y y f x =-=. 显函数的几何意义就是平面上的曲线. 而方程(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =在几何意义上就是曲面(,)z F x y =与平面0z =相交得到一条曲线(()y f x =), 此曲线投影到x 轴, 投影为I , 而对每个x I ∈,有唯一的点(,)x y 在该曲线上.注 并不是每一个方程都可以确定一个隐函数,如2210x y ++=.关于隐函数, 我们主要关心两个问题: 1) 隐函数的存在性;2) 隐函数的性质(如连续和可微性等). 二、隐函数存在的直观分析从几何上看, 方程(,)0F x y =确定函数()y f x =.相当于曲线(,)0F x y =与直线0x x =有且仅有一个交点, 这就要求0(,)0F x y =恰好有一个解, 当然至少要有一个解, 即1︒ 00(,)x y ∃, 使得00(,)0F x y =.其次, 若要求曲线(,)0F x y =连续, 则需要假设2︒ 在00(,)x y 的某邻域内, F 连续.最后, 从隐函数的定义, 对一个x , 只能有一个y 满足(,)0F x y =. 这相当于F 作为y 的函数是单射. 因而我们要求F 关于y 严格单调, 或者条件3︒00(,)0y F x y ≠, 且y F 连续 (此时在00(,)x y 的某邻域内,F 关于y 严格单调).如果要求确定的隐函数可微, 则当F 可微时, 由链式法则有0x y F F y '+⋅=, 此时/x y y F F '=-, 即隐函数()y f x =可微. 而要保证F 可微, 一般需假设4︒x F 连续. 三、一元隐函数定理下面我们给出一元隐函数定理. 定理 若下列条件满足1) 函数(,)F x y 在000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续; 2) 00(,)0F x y =(初始条件);3) 在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y , 且00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内, 方程(,)0F x y =唯一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+上的隐函数()y f x =, 满足1︒ 00()f x y =,00(,)x x x αα∈-+时, 0(,())()x f x U P ∈, 且(,())0F x f x =; 2︒ ()f x 在00(,)x x αα-+上连续.进一步, 若F 在D 上还存在连续的偏导数(,)x F x y , 则方程(,)0F x y =所确定的隐函数3︒ ()y f x =在00(,)x x αα-+内有连续导函数, 且(,)()(,)x y F x y f x F x y '=-.注 a) 为证1︒,2︒, 只需条件: 1) 00(,)0F x y =; 2) 在00(,)x y 的某邻域内F 连续; 3) F 关于y 严格单调.b) 定理中的条件充分而不必要. 如330y x -=在(0,0)不满足(0,0)0y F ≠,但仍确定函数y x =.c) 若条件改为00(,)0x F x y ≠, 则可确定函数()x g y =. 又若00(,)0x F x y ≠与00(,)0y F x y ≠同时成立, 则方程(,)0F x y =将同时确定函数()y f x =和()x g y =,使(,())((),)0F x f x F g y y ==,由于,x y 的对应关系唯一,故它们互为反函数, 且x y F dydx F =-将不变号(如果变号,dy dx 将有零点,在该点dx dy 不存在,与g 可微矛盾), 即隐函数严格单调.例1 反函数存在性定理及其导数.例2 设(,)sin 0F x y y y x ε=--=, 01ε<<. 求dy dx , 22d ydx.例3 讨论Descartes 叶形线3330x y axy +-=所确定的隐函数()y f x =的一阶与二阶导数.例4 设2212z y x =-, 其中()y f x =为方程3330x y xy +-=所确定的隐函数. 求dz dx ,22d z dx.例5 证明: 1) 在(0,0)附近方程2sin()0x y xy ++=可确定函数()y f x =;2) 求f 的导数; 3) (0)f 为极大值.四、n 元隐函数定理下面我们来讨论n 元隐函数定理.定理 设1) 函数12(,,,,)n F x x x y ⋅⋅⋅在以点0000012(,,,,)n P x x x y ⋅⋅⋅为内点的区域1n D R +⊂上连续;2) 000012(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=; 3) 偏导数12,,,,n x x x y F F F F ⋅⋅⋅在D 内存在且连续;4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ⋅⋅⋅≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内方程12(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=唯一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数) 12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅,使得1︒.当120(,,,)()n x x x U Q ⋅⋅⋅∈时, 12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈; 2︒.12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅在0()U Q 内有连续偏导数12,,,n x x x f f f ⋅⋅⋅, 且11,x x yF f F =-22,,n n x x x x yyF F f f F F =-⋅⋅⋅=-.即若F 关于某个变量偏导数不等于0, 则存在以之为因变量的隐函数.例6 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐函数(,)z f x y =及其偏导数.例7 设方程(,,)0F x x y x y z +++=确定(,)z f x y =.求,x y z z .例8 求由方程(,,)0F x y y z z x ---=所确定的函数(,)z z x y =的微分.例9 设(,)u f x ut y ut =+-,求,,x y t u u u .例10 证明: 由方程()()y x z z ϕψ=+所确定的函数(,)z z x y =满足方程2222222()2()0z z z z z z z y x y x y x x y∂∂∂∂∂∂∂⋅-⋅⋅⋅+⋅=∂∂∂∂⋅∂∂∂∂.§2 隐函数组给出线性方程组111122220a xb yc ud v a x b y c u d v +++=⎧⎨+++=⎩ 何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =? 给定一般形式方程组(,,,)0(1)(,,,)0(2)F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =?一、隐函数组定理定理 1 设2,A B R ⊂, ,:F G A B R ⨯→. 00000(,,,)P x y u v =.若1) 00()()0F P G P ==;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈; 3) Jacobi 行列式(,)(,)F G J u v ∂=∂在0P 处值不为0,则存在00(,)x y 的邻域U 及U 上的唯一一组1C 类函数,f g , 使得(,)u f x y =, (,)v g x y =满足1︒ 000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡, (,,(,),(,))0G x y f x y g x y ≡, (,)x y U ∀∈,2︒ 1(,)(,)x F G u J x v ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G u J y v ∂=-⋅∂,1(,)(,)x F G v J u x ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G v J u y ∂=-⋅∂. [()11(,)()(,)xx v xvx v x v x vvF G G F F G u F G G F J J J x v F ψψ+⋅-∂=-==⋅-=-⋅∂]注 若定理条件3) 改为(,)0(,)P F G y v ∂≠∂, 则方程(1), (2)可确定的隐函数组为(,)(,)y y x u v v x u =⎧⎨=⎩. 更一般地, 可先求出,,,x y u v F F F F ,,,,x y u v G G G G , 如0u v uvF FG G ≠, 则可对(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩, 两边关于,x y 求偏导. 如对x 求偏导, 则x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v +⋅+⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩,从而u x v x xu x v x xF u F v FG u G v G ⋅+⋅=-⎧⎨⋅+⋅=-⎩⇒(,)(,)(,)(,)x u x u x u v u vF F FG G G x v u F G F F u v G G -∂-∂==-∂∂, (,)(,)(,)(,)x F G u x v F G u v ∂∂=-∂∂, 类似可以求出,y y u v .例1 讨论方程组222(,,,)0(,,,)10 F x y u v u v x y G x y u v u v xy ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩, 在点0(2,1,1,2)P 附近能确定怎样的隐函数组, 并求其偏导数.例2 1) 已知01xu yv yu xv +=⎧⎨+=⎩, 求x u , y u , x v , y v ;2) 设2(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩, 求,u ux y ∂∂∂∂.3) 设函数(,)u u x y =由方程(,,,)(,,)0 (,)0 u f x y z t g y z t h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定. 求,u u x y∂∂∂∂.二、反函数组定理给定(,)(,)u f x y v g x y =⎧⎨=⎩, 何时有(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩?设(,,,)(,)0(,,,)(,)0 F x y u v f x y u G x y u v g x y v =-=⎧⎨=-=⎩,00000(,,,)P x y u v =, 由隐函数组定理条件为1) 00()()0F P G P ==, 即000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈, 由于1u v F G ==-, 0v u F G ==连续, 故条件2)为在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈.3)0000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)x y x yx y x y f f F G u v g g x y x y ∂∂==≠∂∂.因而我们可得到下面的反函数组定理. 定理2 若1) 000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈; 3)00(,)(,)0(,)x y u v x y ∂≠∂,则存在00(,)u v 的邻域U 及唯一的一组1C 函数(,)x u v ϕ=,(,)y u v ψ=.((,)u v U ∈), 使得1︒ ((,),(,))u f u v u v ϕψ=, ((,),(,))v g u v u v ϕψ=, 000000(,),(,)x u v y u v ϕψ==; 2︒(,)(,)1(,)(,)u v x y x y u v ∂∂⋅=∂∂. [(,)/(,)x v u v u y x y ∂∂∂=∂∂∂, (,)/(,)x u u v vy x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v u x x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v v x x y ∂∂∂=∂∂∂.]例3 设sin cos u ux e u vy e u v ⎧=+⎨=-⎩, 求,,,x y x y u u v v .例4 求cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩的反函数组.例5 求sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的反函数组.例6 利用sin cos x r θϕ=, sin sin y r θϕ=, cos z r θ=变换2221u u x u y u z ∆=++.例6 已知经过代换2u x yv x ay =-⎧⎨=+⎩后, 方程60zz xy yy z z z +-=化为方程0uv z =,求a 的值.§3 几何应用一、平面曲线的切线与法线平面曲线()y f x =, 在000(,)P x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-. 若平面曲线由方程(,)0F x y =给出, (,)F x y 在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件, 故其在0P 附近可确定连续可微函数()y f x =(或()x g y =). 注意到()y f x =与(,)0F x y =表示的是同一曲线, 故曲线(,)0F x y =在0P 处的切线和法线方程分别为000()()y y f x x x '-=-与0001()()y y x x f x -=--' (或000()()x x g y y y '-=-与0001()()x x y y g y -=--') 又()xy F f x F '=-(或()y xF g y F '=-), 则曲线(,)0F x y =在000(,)P x y 处的切线方程: 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, 法线方程: 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=.例1 求Descartes 叶形线 332()90x y xy +-= 在(2,1)处的切线与法线方程.二、空间曲线的切线与法平面 1、 曲线由参数方程给出.设 :(),(),()L x x t y y t z z t ===, ()t αβ≤≤. (1) 下面求L 在其上某点0000(,,)P x y z 处的切线与法线方程, 这里00()x x t =,00()y y t =,00()z z t =,0()t αβ≤≤.假设(1)中三个函数均在0t 处可导且222000(())(())(())0x t y t z t '''++≠,在L 上0P 附近任取一点(,,)P x y z =000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆, 从而连接0P 与P 的割线方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆, 其中00()()x x t t x t ∆=+∆-, 00()()y y t t y t ∆=+∆-, 00()()z z t t z t ∆=+∆-, 又000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆, 令0t ∆→, 则0P P →, 且曲线L 在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 进而曲线L 在0P 处的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.2、曲线由两曲面给出设曲线L 的方程为 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (2)设1,F G C ∈, 且0(,)0(,)P F G J x y ∂=≠∂. 则由隐函数组定理, 在0P 附近能确定唯一的连续可微函数()x z ϕ=, ()y z ψ=使得1)00()x z ϕ=, 00()y z ψ=,2)1(,)(,)dx F G dz J z y ∂=-⋅∂, 1(,)(,)dy F G dz J x z ∂=-⋅∂. 故曲线L 在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---==, 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂,而L 在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂.例 2 求曲线22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截得的曲线在点(3,4,5)处的 切线与法平面方程.三、曲线的切平面与法线方程设曲面方程由 (,,)0F x y z = (3)给出, 其在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件. 设000(,,)z F x y z 0≠, 则方程(3)在0P 附近确定唯一1C 函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =且x z F z x F ∂=-∂, y zF zy F ∂=-∂, 从而该曲面在0P 处有切平面与法线其方程分别为000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----,即 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 与000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例3 求椭球面222236x y z ++=在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.例4 =(0)a >的切平面在坐标轴上截距之和为常数.§4 条件极值一、条件极值极值问题↔定义域↔条件的限制例 1 设计一个容量为V 的长方形开口水箱, 试问水箱的长x , 宽y , 高z 分别为多少时其表面积最小.(,,)2()S x y z xz yz xy =++ (0,0,0)x y z >>>满足条件 xyz V = ———— 条件极值问题条件极值问题 求(目标)函数()u f x =, 12(,,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在 (约束)条件()0i g x =, 1,2,,i m =⋅⋅⋅, m n <下的极值.设{,()0,1,2,,}i E x D g x i m =∈==⋅⋅⋅, a E ∈. 若存在开球(,)B a r D ⊂,使(,)x E B a r ∈⋂时,()()f x f a ≥(或()()f x f a ≤), 则称f 在a 达到(满足条件()0i g x =)的条件极小(极大)值.例1的解二、条件极值的必要条件 (3n =,2m ≥来讨论)设3D R ⊂为开域, 12,,:f g g D R →为1C 函数, 123(,,)x x x x D =∈. 若f 在点123(,,)a a a a =处达到条件极值, 且111123222123rank 2ag g g xx x g g g x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭,(1grad ()g a ,2grad ()g a 线性无关). 则存在12,R λλ∈, 使得1212()()()0j j jg g fa a a x x x λλ∂∂∂++=∂∂∂, 1,2,3j =. 即a 是Lagrange 函数1122L f g g λλ=++的驻点.三、Lagrange 乘法求()u f x =, 1(,,)n n x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在条件()0i g x =, (1,2,,)i m =⋅⋅⋅下的极值.方法为1︒ 作Lagrange 函数1111(,,,,,)()()()n m m m L x x f x g x g x λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+, x D ∈.2︒ 令0 (1,,)iLi n x ∂==⋅⋅⋅∂, 0 (1,,)j L j m λ∂==⋅⋅⋅∂, 求驻点. (m n +个方程, m n +个未知量)3︒ 求D 中使1,,,m f g g ⋅⋅⋅不为1C 的点, 及使1rank(grad ,,grad )m g g m ⋅⋅⋅<的点.(这些点与驻点成为可能的极值点).4︒ 用无条件极值方法判断上述可能点是否为极值点. 例2 重解例1.例3 求抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆, 求该椭圆到原点的最长和最短距离.例4 求(,,)f x y z xy yz =+在条件222x y +=, 2y z +=下的极值.例5 求平面一点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的最短距离.例6 求(,,)f x y z xyz =在条件1111x y z r++= (,,,)x y z r R +∈下的极小值, 并证明11113()a b c-++≤, ,,a b c R +∀∈.例7 求目标函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件Ax By ++0Cz D +=下的最小值.例8 求1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅在12n x x x a ++⋅⋅⋅+=约束条件下的最大值.例9 已知12(,,),(,,),(,)G x y z G x y z f x y 都是可微的,(,)(,,(,))i i g x y G x y f x y =, 1,2i =.求证:121112221(,)(,)x y xy z xyzf fg g G G G x y G G G --∂=∂.例11 183P , 5.例10 183P 11二次型, 特征值问题.例12 183P , 12.例13 184P , 14.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数, 而(,),(,)x x s t y y s t ==有连续偏导数, 则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅∂∂∂. [设(),()y f x x t ϕ==, 则dy dy dx dt dx dt=⋅.]Jacobi 行列式的几何意义一元 ()y f x =, 0x , 0x x x =+∆, 00()()y f x x f x ∆=+∆-称||||y x ∆∆为f 在0x 到0x x +∆的平均伸缩系数.若0x ∆→, 极限00000()()||limlim |()|||x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆, 则称0|()|f x '为映射f 在0x 处的伸缩系数. (导数的几何意义)若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数且(,)x y G ∀∈,(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂=≠∂. 函数组将xy 平面的开区域G 变换成uv 平面上的开区域1G ,点00(,)x y G ∈映为点10000((,),(,))u x y v x y G ∈, 则包含点00(,)u v 的面积微元d σ'与对应的包含点00(,)x y 的面积微元d σ之比为00|(,)|J x y . 即0000(,)(,)|(,)|(,)x y d u v J x y d x y σσ'∂==∂.。