数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十八章 隐函数定理及其定理1隐函数组一、隐函数组的概念 设方程组⎩⎨⎧==0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,, 其中F,G 为定义在V ⊂R 4上的四元函数. 若存在平面区域D,E ⊂R 2,对于D 中每一点(x,y), 有唯一的(u,v)∈E, 使得(x,y,u,v)∈V, 且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组：⎩⎨⎧==y)g(x,v y)f(x,u , (x,y)∈D, (u,v)∈E, 并有⎩⎨⎧≡≡0y))g(x,y),f(x,y,G(x,0y))g(x,y),f(x,y,F(x,, (x,y)∈D.二、隐函数组定理分析：设概念中的F,G,u,v 都可微，分别对x,y 求偏导数可得：⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F x v x u x x v x u x 和⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F y v y u yy v y u y , 解出u x ,v x ,u y ,v y 的充分条件是vuv u G G F F ≠0，也可记作：)v (u,)G (F,∂∂≠0, 即 函数F,G 关于变量u,v 的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0.定理18.4：(隐函数组定理)若(1)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以P 0(x 0,y 0,u 0,v 0)为内点区域V ⊂R 4上连续； (2)F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0, G(x 0,y 0,u 0,v 0)=0(初始条件)； (3)在V 上F, G 具有一阶连续偏导数； (4)J=)v (u,)G (F,∂∂在点P 0不等于0，则 1、存在点P 0的某一(四维空间)邻域U(P 0)⊂V ，在U(P 0)上方程组⎩⎨⎧==0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,惟一地确定了一个定义在点Q 0(x 0,y 0)的某一(二维空间)邻域U(Q 0)的两个二元隐函数u=f(x,y), v=g(x,y) 使得当(x,y)∈U(Q 0)时，u 0=f(x 0,y 0), v 0=g(x 0,y 0)；(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P 0), 且 F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0； 2、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上连续；3、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上有一阶连续偏导数，且x u ∂∂=-)v (x ,)G (F,J 1∂∂,x v ∂∂=-)x (u,)G (F,J 1∂∂; y u ∂∂=-)v (y,)G (F,J 1∂∂,y v ∂∂=-)y (u,)G (F,J 1∂∂.例1：讨论方程组⎩⎨⎧=++==+=01xy -v -u v)u,y,G(x,0y -x -v u v)u,y,F(x,222在点P 0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并任求一组隐函数组的偏导数.解：F,G 在R 4上连续，F(2,1,1,2)=0, G(2,1,1,2)=0. 求F,G 的所有偏导数 得：F u =2u, F v =2v, F x =-2x, F y =2v, G u =-1, G v =1, G x =-y, G y =-x. ∵在P 0处的所有六个雅可比行列式中，仅)v (x ,)G (F,∂∂=0. ∴只有x,v 难以肯定能否作为以y,u 为自变量的隐函数，其余任两个变量都可在P 0近旁作为以另两个变量为自变量的隐函数. 对原方程组分别求关于u,v 的偏导数，得⎩⎨⎧==0xy -yx -1-0y -2xx -2u u u u u ;⎩⎨⎧==0yx -xy -10y -2xx -2v v v v v ，解得 x u =y -x 21x u 22+,y u =-y -x 2yu 2x 22+; x v =y -x 21x v 22+,y v =-y-x 2yv2x 22-.例2：设函数f(x,y), g(x,y)具有连续偏导数，而u=u(x,y), v=v(x,y)是由方程组u=f(ux,v+y), g(u-x,v 2y)=0确定的隐函数，试求x u ∂∂,yv∂∂. 解：记F=f(ux,v+y)-u, G=g(u-x,v 2y), 则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v uy xv u y x G G G G F F F F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2122121212vyg g g v g -f 1xf f uf ; 从而有 J uv =21212vyg g f 1xf -=2xyvf 1g 2-2yvg 2+f 2g 1; J xv =21212vyg g -f uf =2yuvf 1g 2-f 2g 1;J uy =22121g v g f 1xf -=xv 2f 1g 2-v 2g 2+f 2g 1.∴x u ∂∂=-uvxvJ J =122212112g f +2yvg -g 2x yvf g yuvf 2g f -;y v ∂∂=-uv uy J J =122211221222g f +2yvg -g 2xyvf g -f g f xv -g v .三、反函数组与坐标变换设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)是定义在xy 平面点集B ⊂R 2上的两个函数, 对每一点P(x,y)∈B, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)有uv 平面上惟一的一点Q(u,v)∈R 2与之对应，我们称方程组u=u(x,y), v=v(x,y)确定了B 到R 2的一个映射(变换)，记作T. 这时映射T 可写成如下函数形式： T ：B →R 2, P(x,y)↦Q(u,v)，或写成点函数形式Q=T(P), P ∈B, 并 称Q(u,v)为映射T 下P(x,y)的象，而P 则是Q 的原象. 记B 在映射T 下的象集为B ’=T(B).若T 为一一映射(每一原象只对应一个象，且不同的原象对应不同的象), 则每一点Q ∈B ’, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)都有惟一一点P ∈B 与之相对应，由此产生新的映射称为T 的逆映射(逆变换), 记作T -1, 有T -1：B ’→B, Q ↦P ,或P=T -1(Q), Q ∈B ’, 即存在定义在B ’上的函数组：x=x(u,v),y=y(u,v)，把它代入原函数组，恒有 u ≡u(x(u,v),y(u,v)), v ≡v(x(u,v),y(u,v)),这时称函数组x=x(u,v),y=y(u,v)为原函数组的反函数组.定理18.5：(反函数组定理)设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)及其一阶偏导数在某区域D ⊂R 2上连续，点P 0(x 0,y 0)是D 的内点，且 u 0=u(x 0,y 0),v 0=v(x 0,y 0),P )y (x,)v (u,∂∂≠0,则在点P 0’(u 0,v 0)的某一邻域U(P 0’)上存在惟一的一组反函数x=x(u,v),y=y(u,v)，使得x 0=x(u 0,v 0),y 0=y(u 0,v 0), 且当(u,v)∈U(P 0’)时，有(x(u,v),y(u,v))∈U(P 0),及 u ≡u(x(u,v),y(u,v)), v ≡v(x(u,v),y(u,v)).该反函数组在U(P 0’)上存在连续的一阶偏导数，且u x ∂∂=y v ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂,v x ∂∂=-y u ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂;u y ∂∂=x v ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂,v y ∂∂=-x u ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂. 即互为反函数组的雅可比行列式互为倒数.例3：平面上的点P 的直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)之间的坐标变换公式为：x=rcos θ,y=rsin θ, 讨论该函数组所确定的反函数组. 解：由于)θ(r,)y (x ,∂∂=rcos θsin θrsin θ-θcos =r, ∴除原点外，原函数组所确定的反函数组为：r=22y x +, θ=⎪⎩⎪⎨⎧<+>0x x yarctanπ0x x y arctan ，.例4：直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为：x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ. 讨论该函数组所确定的反函数组. 解：∵)θφ,(r,)z y,(x ,∂∂=0rsin φ-cos φcos θ rsin φsin θ rcos φsin θsin φsin θrsin φcos θ rcos φcos θ sin φ-=r 2sin φ, ∴在r 2sin φ≠0, 即除去z 轴上的一切点，原方程组确定的反函数组为： r=222z y x ++, θ=arctan x y, φ=arccos rz .例5：设φ为二元连续可微函数, 对于函数组u=x+at, v=x-at, 试把弦振动方程a 222x φ∂∂=22tφ∂∂ (a>0)变换成以u,v 为自变量的形式.解：∵u x =v x =1, u t =v t =a, ∴)t (x ,)v (u,∂∂=-2a ≠0, ∴所设变换存在逆变换. 又du=u x dx+u t dt=dx+adt, dv=dx-adt, 由微分形式不变性得 d φ=φu du+φv dv=(φu +φv )dx+a(φu -φv )dt, 即φx =φu +φv , φt =a(φu -φv ). ∴以u,v 为自变量, 有φxx =u ∂∂(φu +φv )u x +v ∂∂(φu +φv )v x =φuu +φvu +φuv +φvv =φuu +2φuv +φvv ; φtt =a u ∂∂(φu -φv )u t +a v∂∂(φu -φv )v t =a 2(φuu -2φuv +φvv ). ∴a 2φxx -φtt =4a 2φuv =0.∴将弦振动方程变换为以u,v 作新自变量的方程为：vu φ2∂∂∂=0.注：此方程的解的形式为φ=f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at).习题1、试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2z y x 2z y x 222在点(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(z), y=g(z)的隐函数组.解：令F(x,y,z)=x 2+y 2-2z 2, G(x,y,z)=x+y+z-2, 则(1)F,G 在点(1,-1,2)的某邻域内连续； (2)F(1,-1,2)=0, G(1,-1,2)=0满足初始条件；(3)F x =2x, F y =2y, F x =-z, G x =G y =G z =1均在点(1,-1,2)的邻域内连续； (4)(1,-1,2))y (x,)G (F,∂∂=)2,1,1(G )2,1,1(G )2,1,1(F )2,1,1(F y x y x ----=1122-=4≠0,∴原方程组在点(1,-1,2)的附近能确定形如x=f(z), y=g(z)的隐函数组.2、求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)⎩⎨⎧=+=++az y x a z y x 222222, 求dx dy ,dx dz ；(2)⎩⎨⎧==0xu -v -y 0yv -u -x 22, 求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,dy dv； (3)⎩⎨⎧-=+=)y v ,x u (g v y)v f(ux,u 2, 求x u ∂∂,x v∂∂. 解：(1)设方程组确定的隐函数组为y=y(x), z=z(x).对方程组两边关于x 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++dx dzadx dy y 22x 0dx dz z 2dx dy y 22x ,解得：dxdy =2y 2x -a ,dx dz =-2z a.(2)设方程组确定的隐函数组为u=u(x,y), v=v(x,y).方程组关于x 求偏导得：⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂∂∂=∂∂∂∂0x u x -u -x v 2v -0x v y -x u 2u -1, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂4uv -xy x 2u x v xy-4uv yu 2v x u 2； 方程组关于y 求偏导得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂=∂∂∂∂0y u x -y v 2v -10yv y -v -y u 2u -, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂xy-4uv xv 2u y v 4uv -xy y 2v y u 2.(3)方程组关于x 求偏导得：⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂+=∂∂x v 2yvg g x u g xv x v f x u xf uf x u211211, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=∂∂-=∂∂1221111112211221g f -)2yvg -)(1xf (1)g xf (1g uf x v g f -)2yvg -)(1xf (1g f -)2yvg -(1uf x u.3、求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：(1)⎩⎨⎧-=+=ucosv e y usinv e x uu , 求u x ,v x ,u y ,v y ；(2)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=3322v u z v u y v u x , 求z x . 解：(1)方程组关于u 求偏导得⎩⎨⎧-=+=cosv e y sinve x uu u u , 方程组关于v 求的偏导得⎩⎨⎧==usinv y ucosvx vv ,∴)v (u,)y (x ,∂∂=x u y v -x v y u =usinv(e u +sinv)-ucosv(e u -cosv)(1+e u sinv-e u cosv)u. 由反函数组定理得： u x =vy ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)u e sinv e 1(usinv u u -+=cosv e sinv e 1sinv u u -+;v x =-u y ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)ue sinv e 1(e -cosv uu u-+; u y =-v x ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)u e sinv e 1(ucosv -u u -+=cosv e sinv e 1cosv -u u -+;v y =u x ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)ue sinv e 1(sinv e uu u -++. (2)方程组关于x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x 2x 2xxx xx vv 3u u 3z vv 2uu 20v u 1, 解得：z x =-3uv.4、设函数z=z(x,y)是由方程组x=e u+v , y=e u-v , z=uv(u,v 为参量)所定义的函数，求当u=0,v=0时的dz.解：∵dz=z x d x +z y d y =(u x v+uv x )dx+(u y v+uv y )dy, ∴当u=0, v=0时，dz=0.5、以u,v 为新的自变量变换下列方程： (1)(x+y)x z ∂∂-(x-y)y z∂∂=0, 设u=ln 22y x +,v=arctan xy ；(2)x 222x z ∂∂-y 222yz ∂∂=0, 设u=xy, v=y x.解：(1)∵x u ∂∂=22y x x +, y u ∂∂=22y x y +; x v ∂∂=-22yx y +, y v∂∂=22y x x +,∴x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x vv z ∂∂∂∂=u z y x x 22∂∂+-vz y x y 22∂∂+; y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y vv z ∂∂∂∂=u z y x y 22∂∂++vz y x x 22∂∂+; 代入原方程得： u z y x y)x (x 22∂∂++-v z y x y)y(x 22∂∂++-u z y x y)-y(x 22∂∂+-v z y x y)-x (x 22∂∂+=0, 化简得：u z ∂∂=vz∂∂.(2)∵x u ∂∂=y, y u∂∂=x; x v ∂∂=y 1, yv ∂∂=-2y x ,∴x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂= y u z ∂∂+v z y 1∂∂; y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂= x u z ∂∂-vzy x 2∂∂; ∴22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =y x u u z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂x v v u z 2+x u v u z y 12∂∂ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v z 22 =y 2uz22∂∂+2v u z 2∂∂∂+v z y 1222∂∂;22y z ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =x y u u z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂y v v u z 2+v z y 2x 3∂∂-y u v u z y x 22∂∂ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v z 22=x 2u z 22∂∂-v u z y 2x 222∂∂∂+v z y x 2242∂∂+vzy 2x 3∂∂; 代入原方程得： x 2(y 2u z 22∂∂+2v u z 2∂∂∂+v z y 1222∂∂22x z ∂∂)-y 2(x 2u z 22∂∂-v u zy 2x 222∂∂∂+v z y x 2242∂∂+vz y 2x 3∂∂)=0,化简得：2xy v u z 2∂∂∂=v z ∂∂, 即2u v u z 2∂∂∂=vz∂∂.6、设函数u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t), g(y,z,t)=0, h(z,t)=0所确定，求x u ∂∂,yu∂∂. 解：方程组关于x 求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+=∂∂0x t h x z h 0x tg xz g x t f x z f f x ut z t zt z x , 解得：x u ∂∂=f x ; 方程组关于y 求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂0y t h y z h 0y tg y z g g y t f y z f f y u t z t zy t z y ,解得：y u∂∂=f y + ⎝⎛∂∂ t),z ( f) ,h (/⎪⎪⎭⎫∂∂)t (z,)h (g,g y .7、设u=u(x,y,z), v=v(x,y,z)和z=z(s,t), y=y(s,t), z=z(s,t)都有连续的一阶偏导数，证明：)t (s,v)u,(∂∂=)t (s,)y (x ,)y (x ,v)u,(∂∂∂∂+)t (s,)z (y,)z (y,v)u,(∂∂∂∂+)t (s,)x (z,)x (z,v)u,(∂∂∂∂. 证：原式右端=t s t s y x y xy y x x v v u u +tst s z y z yz z y y v v u u +tst s x z x z x x z z v v u u =s y s x s y s x y v x v y u x u ++ t y t x t y t x y v x v y u x u +++s z s y s z s y z v y v z u y u ++ t z t y t z t y z v y v z u y u +++s x s z s x s z x v z v x u z u ++t x t z tx t z x v z v x u z u ++=(u x x s +u y y s +u z z s )(v x x t +v y y t +v z z t )-(u x x t +u y y t +u z z t )(v x x s +v y y s +v z z s )=u s v t -u t v s =tst s v v u u =)t (s,v)u,(∂∂=左端. 8、设u=tanx y , v=sinxy. 证明：当0<x<2π, y>0时，u,v 可以用来作为曲线坐标，解出x,y 作为u,v 的函数，画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线，计算)y (x ,v)u,(∂∂和v)u,()y (x ,∂∂并验证它们互为倒数.证：∵u x =-xsin y2, u y =tanx 1; v x =-x sin ycosx 2, v y =sinx 1;∴)y (x ,v)u,(∂∂=yx y x v v u u =-sinxy. 当0<x<2π, y>0时，u x , u y , v x , v y 都连续，且)y (x ,v)u,(∂∂<0, 由反函数组定理， 知存在反函数组x=x(u,v), y=y(u,v)，从而u,v 可以用作为曲线坐标. 由u=tanx y , v=sinx y 得，x=arccos vu , y=22u -v . u=1, v=2分别对应xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx, 如图.又)v (u,y)x ,(∂∂=2222222u -v v u -v u-v u -1v u v u -1v 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-v 1=-y sinx 与)y (x ,v)u,(∂∂=-sinx y 互为倒数.9、将以下式中的(x,y,z)变换成球面坐标(r,θ,φ)的形式：△1u=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, △2u=22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂. 解：将⎪⎩⎪⎨⎧===rcos θz sin φ rsin θy cos φ rsin θx 看成由⎪⎩⎪⎨⎧===z z ρsinφy ρcosφx ①和⎪⎩⎪⎨⎧===φφrsin θρrcos θz ②复合而成. 对变换①有2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2ρu ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22φu ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; 对变换②有2ρu ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22φu ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+222φu θsin r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; ∴△1u=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+222φu θsin r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 又对变换①有22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=22ρu ∂∂+ρu ρ1∂∂+222φu ρ1∂∂+22z u ∂∂; 对变换②有22ρu ∂∂+22z u ∂∂=22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂; ∵r=22z ρ+,θ=arctan z ρ, ∴ρu ∂∂=ρr r u ∂∂∂∂+ρθθu ∂∂∂∂=r ρr u ⋅∂∂+2r z θu ⋅∂∂=sin θr u ∂∂+θu r cos θ∂∂;∴△2u=22x u ∂∂+22yu ∂∂+22z u ∂∂=22r u ∂∂+r u r 2∂∂+222θu r 1∂∂+θu sin θr cos θ2∂∂+2222φu θsin r 1∂∂.10、设u=2r x , v=2r y , w=2rz , 其中r=222z y x ++. (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组. (2)计算)z y,(x ,w)v,u,(∂∂. 解：(1)∵u 2+v 2+w 2=4222r z y x ++=2r 1, ∴r 2=222wv u 1++; ∴x=ur 2=222w v u u ++, y=vr 2=222w v u v ++, y=wr 2=222w v u w ++. (2))z y,(x ,w)v,u,(∂∂=422444422444422r z 2r r 2yz r 2xz r 2yz r y 2r r 2xy r 2xz r 2xy r x 2r ---------=-6r 1.。

江西财经大学统计学院隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.§1隐函数返回四、隐函数求导数举例一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理一、隐函数概念江西财经大学统计学院则成立恒等式.,0))(,(I x x f x F κR,,I J x I ÌÎ若存在、使得对任一有惟一确定的y J Î与之对应, 能使(,),x y E Î且满足方程(1) , 则称由方程(1) 确定了一个定义在, 值域含于I J ,,,)(J y I x x f y ÎÎ=的隐函数. 如果把此隐函数记为(,)0.(1)F x y =江西财经大学统计学院122=+y x 取值范围取值范围．．例如由方程可确定如下两个函数个函数：：注2不是任一方程都能确定隐函数, 0),(=y x F 例如显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数．．0122=++y x 注1隐函数一般不易化为显函数隐函数一般不易化为显函数，，也不一定需要)(x f y =化为显函数化为显函数．．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关．．注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的2江西财经大学统计学院二、隐函数存在性条件分析条件时条件时，，由方程(1) 能确定隐函数, 并使)(x f y =),(y x F 要讨论的问题是要讨论的问题是：：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续该隐函数具有连续、、可微等良好性质? )(x f y =),(y x F z =(a)把上述看作曲面与坐标0=z 平面的交线的交线，，故至少要求该交集非空故至少要求该交集非空，，即),(000y x P $.)(,0),(0000x f y y x F ==，满足连续是合理的连续是合理的．．0P )(x f y =0x ),(y x F (b)为使在连续连续，，故要求在点)y=x)f(xy=(xf可导，，即曲线在(c)为使在可导江西财经大学统计学院三、隐函数定理定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理)设方程(1) 中),(y x F 的函数满足以下四个条件满足以下四个条件：：),(000y x P 2R ÌD (i)在以为内点的某区域上连续上连续；；(ii)( 初始条件)；0),(00=y x F D ),(y x F y (iii)在内存在连续的偏导数；00(,)0.y F x y ¹(iv) 则有如下结论成立则有如下结论成立：：江西财经大学统计学院00(),(,),y f x x x x a a =Î-+;0))(,(,)())(,(0ºÎx f x F P U x f x 在上连续上连续．．)(2x f o),(00a a +-x x 惟一地确定了一个隐函数它满足它满足：：00()f x y =),(00a a +-Îx x x , 且当时, 使得证首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性．．证明过程归结起来有以下四个步骤( 见图18－1 )：D P U Ì)(0)(0P U 存在某邻域，在内由方程(1)1+yy(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设Fy ( x0 , y0 ) > 0. 因为 Fy ( x, y) 连续，所以根据保号性，$ b > 0 , 使得yy0 +by0y0 - bS ++ ++ + ++++++++++++++·+++++++++++++++++++++O x0-b x0 x0 +b x(a) 一点正,一片正Fy(x, y) > 0, (x, y)Î S,其中 S = [ x0 - b , x0 + b ] ´[ y0 - b , y0 + b ] Ì D.江西财经大学 统计学院(b) “正、负上下分 ”因 Fy ( x, y) > 0, ( x, y)Î S , 故 " x Î[ x0 - b , x0 + b ], 把 F ( x, y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 - b , y0 + b ] 上严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 特别对于函数 F ( x0, y), 由条 件 F ( x0, y0 ) = 0 可知F ( x0 , y0 + b ) > 0,y+y0 +b·＋＋＋y0___· 0y0 - b_·O x0-b x0 x0 +b x(b) 正、负上下分F ( x0 , y0 - b ) < 0.江西财经大学 统计学院(c) “同号两边伸”因为 F ( x, y0 - b ) , F ( x, y0 + b ) 关于 x 连续，故由(b) 的结论，根据保号性，$a (0 < a £ b ), 使得F ( x, y0 + b ) > 0 , F ( x, y0 - b ) < 0 , x Î( x0 - a , x0 + a ). (d) “利用介值性”y y0+by0＋＋·＋＋·y0- b· － － － －O x0-a x0 x0+a x(c) 同号两边伸" xˆ Î ( x0 - a , x0 + a ) , 因 F ( xˆ , y) 关于 y 连续, 且严格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟江西财经大学 统计学院一的 yˆ Î ( y0 - b , y0 + b ), 满足 F ( xˆ , yˆ ) = 0. 由 xˆ 的任意性, 这 就证得存在惟一的隐函数:y = f ( x),ìï x Î I = ( x0 - a , x0 + a ), í ïî y Î J = ( y0 - b , y0 + b ).yy0 + by0· ＋＋＋＋ U (P0 )·y0 - by = f (x) ·－－－－O x0-a x0 x0+a x(d) 利用介值性若记 U (P0 ) = I ´ J , 则定理结论 1o 得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:即 " x Î ( x0-a , x0+a ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.江西财经大学 统计学院如图 18－2 所示, "e > 0, 取ye 足够小，使得y0 +b y +e.＋＋＋＋y0 - b £ y - e < y + e £ y0 + b ,y.P.0其中 y = f ( x). 由 F ( x, y) 对 y 严格增，而y -e y0 -b.－－－－O x-d x x +dxF ( x, y) = 0,图 18－2推知F(x, y-e )< 0 , F(x, y+e )> 0 .类似于前面 (c) ，$d > 0, 使得江西财经大学 统计学院( x - d , x + d ) Ì ( x0 - a , x0 + a ), 且当 x Î ( x - d , x + d ) 时，有F(x, y -e ) < 0, F(x, y + e ) > 0. 类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有y -e < f (x) < y + e , xÎ(x -d , x +d ), 因此 f ( x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x) 在 ( x0-a , x0+a ) 上处处连续．江西财经大学 统计学院注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又是一组十分重要的条件. 例如： ① F ( x, y) = y3 - x3 = 0, Fy (0,0) = 0, 在点 (0, 0) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y = x. ② F ( x , y) = ( x2 + y2 )2 - x2 + y2 = 0 (双纽线), 在点 (0, 0) 同样不满足y条件 (iv); 如图18－3 所示, 在该点无论多Ox么小的邻域内, 确实图 18－3江西财经大学 统计学院不能确定惟一的隐函数. 注 2 条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻 域 U (P0 ) 内 F ( x, y) 关于 y 为严格单调．之所以采 用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验， 二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性 的作用． 注3 读者必须注意, 定理 18.1 是一个局部性的隐 函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了 (0,0), (1, 0), (-1, 0) 三点以外, 曲线上其余各点处都江西财经大学 统计学院存在局部隐函数 y = f ( x) ( 这不难用定理 18.1 加 以检验，见后面第四段的例１)． 注4 在方程 F ( x, y) = 0 中, x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为“ Fx ( x, y) 连续, 且 Fx ( x0 , y0 ) ¹ 0 ” 时，将存在局部的连续隐函数 x = g( y).江西财经大学 统计学院定理 18.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 F ( x, y) 满足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D 内还存在连续的 Fx ( x, y) . 则由方程 F ( x , y ) = 0 所确定的隐 函数 y = f ( x) 在 I 内有连续的导函数，且f ¢( x) = - Fx ( x, y) , ( x, y) Î I ´ J .(2)Fy(x, y)( 注: 其中I = ( x0 - a , x0 +a ) 与 J = ( y0 - b , y0 + b )示于定理18.1 的证明 (d) ).江西财经大学 统计学院江西财经大学统计学院()()y f x ,y y f x x J.=+D =+D Î.0),(,0),(=D +D +=y y x x F y x F 使用微分中值定理,使得,)10(<<$q q 0(,)(,)F x x y y F x y =+D +D -,,I x x x ÎD +证设则由条件易知F 可微可微，，并有(,)y F x x y y y,q q ++D +D D (,)x F x x y y xq q =+D +D D),(y y x x F y D +D +D q qF)x(y,存在二阶连续偏导数时，，所得隐函注1 当存在二阶连续偏导数时注2 利用公式(2) , (3) 求隐函数的极值:江西财经大学统计学院设在以点为内点的某区域上,),,(0000z y x P 3R ÌD ,0),,(000=z y x F .0),,(000¹z y x F z 则存在某邻域在其内存在惟一的在其内存在惟一的、、连,)(0D P U Ì续可微的隐函数，且有),(y x f z =注3由方程0),,(=z y x F (5)),(y x f z =确定隐函数的相关定理简述如下的相关定理简述如下：：F 的所有一阶偏导数都连续的所有一阶偏导数都连续，，并满足F江西财经大学统计学院0)(22222=+-+y x y x 解令它有连续的,)(),(22222y x y x y x F +-+=.2)(4,2)(42222y y x y F x y x x F y x ++=-+=求解分别得到,0),(0),(0),(0),(îíì==îíì==y x F y x F y x F y x F y x 与四、隐函数求导数举例例1 试讨论双纽线方程()().y f x x g y ==或所能确定的隐函数2 6224)－4由公式(2) 求得22=¢y类似于例1 的方法, 求出曲线上使的点为对方程两边微分，，得解法1 ( 形式计算法) 对方程两边微分因此在点P附近能惟一地确定连续可微的隐函数yfyxF(8) =x-()),(=.0(,)z z x y =(,)0F x z y z --=例5 设是由方程复习思考题4. 试对例3 的两种解法(形式计算法与隐函数法) 作一比较, 指出两者各有哪些优缺点? 江西财经大学统计学院江西财经大学统计学院作业P162：3（1）（3）（5）；5。

第十八章 隐函数定值及其应用§1 隐函数教学目的 掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法． 教学要求(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法．(2)掌握隐函数定理的证明． 教学建议(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 教学程序一、 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. （一）、隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.（二）、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性； 2 隐函数的解析性质. 二、 隐函数存在条件的直观意义: 三、 隐函数定理:定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:1 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ;2 ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 )3 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ;4 ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域 (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得1 )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F .2 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 .例1 设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明 w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++证 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧===uvz uw y vw x 222 确定了函数组 ⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(w v u z z w v u y y w v u x x ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=udv vdu zdz udw wdu ydy vdw wdv xdx 222， 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=dv zu du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 222222 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0 2 2 2 0 2 22 0 z uz v y u yw x v x w 将函数组代入方程),,(),,(w v u F z y x f =，得关于变元w v u ,,的方程),,()),,(),,,(),,,((w v u F w v u z w v u y w v u x f =，在这方程两边分别对w v u ,,求偏导，得 u z y xF u z f u y f u x f =∂∂+∂∂+∂∂, v z y x F v z f v y f v x f =∂∂+∂∂+∂∂, w z y x F wz f w y f w x f =∂∂+∂∂+∂∂, 将上面三式分别乘以w v u ,,后再相加，得 ++z uvf y uw f z y22z uv f x vw f z x 22+yuw f x vw f y x 22++,w v u wF vF uF ++=.将vw x =2，uw y =2，uv z =2代入即得w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++.例2 若),(y x f z =有连续二阶偏导数，满足方程222222)(y x z y z x z ∂∂∂=∂∂∂∂，证明：若把),(y x f z =中y 看成z x ,的函数，则它满足同样形状的方程222222)(z x y zy x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 证 由),(y x f z =确定y 是z x ,的函数，则有)),(,(z x y x f z =，方程两边分别对z x ,求偏导，得 xyy f x f ∂∂∂∂+∂∂=0, （1） zyy f ∂∂∂∂=1 , （2） (1)式再分别对z x ,求偏导，得22222222)(20x yy f x y y f x y y x f xf ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂= , (3) z x yy f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=22220, （4） (2)式再对z 求偏导，得22222)(0z yy f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂= , （5） 由（3）（5）式22222)(z y y f x f ∂∂∂∂∂∂])(2[22222222x yy f x y y f x y y x f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=])(2[)(22222222222x y y f x y y x f z y y f yf z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=])(2[)()(222222222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂= (由（5）式)]2[)(2222222222z yx y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂=, 由（4）式222222)()(zx y y f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂ z x yy f z y x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=222222222)()( ]2[)(2222222z x yy f z y x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=,因为222222)(y x z yz x z ∂∂∂=∂∂∂∂，则]2[)(2222222222zyx y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂ ]2[)(2222222z x y y f zy x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=, 结合（4）式得22222)(y f z y x y ∂∂∂∂∂∂][2)(22222222z x yy f z y x y y f z y y x f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂= 22)(zx y y f ∂∂∂∂∂=.即 222222)(z x y zy x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 例3 设 ⎪⎩⎪⎨⎧===0),(0),,(),,,(t z h t z y g t z y x f u ，问什么条件下u 是y x ,的函数啊？求y u x u ∂∂∂∂,。

第18章 隐函数定理及其应用第1节 隐函数求导法在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy eu x y xyz++=+=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。

这种形式的函数称为隐函数。

本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法以及由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

一 一个方程0),,(=z y x F 的情形在《数学分析》上册，第六章 导数与微分（第三节 高阶导数和其它求导法则P149）——曾对形如0),(=y x F 的方程,认定是x y 是的函数,介绍过隐函数求导法）。

不过,那里只是对具体方程未求的.利用偏函数符号, 我们可以得出一般的结果。

根据复合函数求导法则, 在),(y x F 两边对x 求导, 得到：yX y Y X F F y F y F F -=≠⇒=⋅+''00时，当方程中的变量多于2个时, 例如, 设方程0),,(=z y x F 确定了y x z 和是的函数, 并且?,yz xz y x z ∂∂∂∂前，如何求的偏导数都存在，在此，关于对0),,(=z y x F 求导，利用链式法则：，关于y x0(0);0(0)z z FFF F z zF F z z y xF F F F xz xxxz yyzz∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=⇒=-≠+=⇒=-≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂说明：（1） 求yz xz ∂∂∂∂,需要假定,0)(≠∂∂z F zF ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”；（3） 对0),,(=z y x F 求导，只在假定y x z 和是的函数的情况下，求导数，如何确定),(y x z z =。

第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ； 也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知 方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。

第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一 、 隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。

这种形式的函数我们称为隐函数。

☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。

结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y = .,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。

其显函数形式为：.11xy +=例： 圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。

注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。

2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。

3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。

1 第十八章
隐函数定理及其应用§1 隐函数1.方程xy e y x sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数x f y 或y g x
? 分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件
. 解令
xy e y x y x F sin cos ,,则有(1)
y x F ,在原点的某邻域内连续; (2)
00,0F ; (3)
xy y xy x xe y F ye x F cos ,sin 均在原点的上述邻域内连续; (4) 00
,0,010,0x y F F . 故由隐函数存在定理知
,方程xy e y x sin cos 在原点的某邻域内能确定隐函数x f y . 2.方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?
分析: 本题的解题思路与1题一样.
解令
1ln ,,xz e y z xy z y x F ,则(1)
z y x F ,,在点1,1,0的某邻域内连续; (2) 01
,1,0F ; (3) xz z y xz x xe y F y z
x F ze y F ln ,,均在原点的上述邻域内连续;
(4) 01,1,0,011
,1,0,021,1,0z y x F F F . 故由隐函数存在定理知,方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能确定隐函数
z y f x ,和z x g y ,.。