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第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ； 也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知 方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。
S F 01（数）Ch 18 隐函数定理及其应用计 6 时231Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 )§ 1 隐函数 ( 2 时 )一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.2.隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二. 隐函数存在条件的直观意义:三. 隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域 (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 )四. 隐函数可微性定理:Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且232),(),()(y x F y x F x f y x -='. ( 证 )例 1 验证方程0sin 21),(=--=y x y y x F 在点) 0 , 0 (满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . [1]P 194 E1 例2 2221x y z -=. 其中)(x f y =为由方程0333=-+axy y x 所确定的隐函数 . 求dxdz . [1]P 195 E2 ( 仿 )例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有连续的导函数)(x f ', 且00)(y x f =, 0)(0≠'x f . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. [1]P 196 E4五. n 元隐函数: [1]P 194 Th3例40),,(323=-++=z y x xyzz y x F . 验证在点) 0 , 0 , 0 (存在z 是),(y x的隐函数 , 并求偏导数 . [1]P 196 E3Ex [1]P 19７ １，２，３⑴—⑶，４，５．（４和５题只求一阶偏导数 ）§ ２ 隐函数组 ( 2 时 )一． 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组⎩⎨⎧=++++=++++.0 , 022********e y d x c v b u a e y d x c v b u a入手介绍隐函数组 ，一般形式为 ⎩⎨⎧==.0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F *)二. 隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出 u 和v 的条件入手 , 对方程组*)在一定条件下拟233线性化 , 分析可解出u 和v 的条件 , 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理 ) [1]P 199 Th 4.关于Jacobi .例1 [1]P 200 E 1.三. 反函数组和坐标变换:1. 反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理 ) [1]P 202 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 [1]P 203—204 E 2 , 3 .Ex [1]P 205 1，2，3，5⑵.§ 3几何应用 ( 1 时 )一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为0),(=y x F . 有yx F F x f -=')(.切线方程为 ),(00y x F x +-)(0x x ),(00y x F y 0)(0=-y y , 法线方程为 ),(00y x F y --)(0x x ),(00y x F x 0)(0=-y y .例1 求Descartes 叶形线 09)(233=-+xy y x 在点) 1 , 2 (处的切线和法线 . [1]P 207 E 1.二. 空间曲线的切线与法平面 :1.曲线由参数式给出 : βαχ≤≤===t t z z t y y t x L , )( , )( , )( : .234切线的方向数与方向余弦. 切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x '-='-='-χ.法平面方程为 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t χ.2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==.0),,( , 0),,(z y x G z y x F 点),,(0000z y x P 在L 上. 推导切线公式. [1]P 209.切线方程为),(),(),(),(),(),(000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-.法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(0000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F P P P .例2 [1]P 210 E2 .三. 曲面的切平面与法线 :设曲面∑的方程为0),,(=z y x F , 点),,(0000z y x P 在∑上. 推导切面公式. [1]P 211. 切平面方程为 0))(())(())((000000=-+-+-z z P F y y P F x x P F z y x .法定义域线方程为 )()()(000000P F z z P F y y P F x x z y x -=-=-.例3 [1]P 211 E3 .Ex [1]P 212 1—6 .§ 3条件极值 ( 1 时 )一.条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的235表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件 的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的 极限点 , 有0)(='+=x g f f d xd z y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ,使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.236亦即 ⎩⎨⎧=+=+., 0y y x x f f λϕλϕ二. Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=,( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四. 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . [1]P 216 E1例2 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . [1]P 217 E2例3 求函数xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x下的极小值 . 并证明不等式 311113a b c c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 . [1]P 218 E3Ex [1]P 220 1⑴⑶， 2，3 .。
S F 01（数）Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时P 231 — 2362002. 09.20 .231Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 )§ 1 隐函数 ( 2 时 )一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二. 隐函数存在条件的直观意义:三. 隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域 (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 )四. 隐函数可微性定理:Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且232),(),()(y x F y x F x f y x -='. ( 证 )例1 验证方程0sin 21),(=--=y x y y x F 在点) 0 , 0 (满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . [1]P 194 E1例2 2221x y z -=. 其中)(x f y =为由方程0333=-+axy y x 所确定的隐函数 . 求dxdz. [1]P 195 E2 ( 仿 )例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有连续的导函数)(x f ', 且00)(y x f =, 0)(0≠'x f . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. [1]P 196 E4五. n 元隐函数: [1]P 194 Th3例40),,(323=-++=z y x xyz z y x F . 验证在点) 0 , 0 , 0 (存在z 是),(y x的隐函数 , 并求偏导数 . [1]P 196 E3Ex [1]P 19７ １，２，３⑴—⑶，４，５．（４和５题只求一阶偏导数 ）§ ２ 隐函数组 ( 2 时 )一． 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组⎩⎨⎧=++++=++++. 0 , 02222211111e y d x c v b u a e y d x c v b u a入手介绍隐函数组 ，一般形式为 ⎩⎨⎧==.0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F *)二. 隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出 u 和v 的条件入手 , 对方程组*)在一定条件下拟233线性化 , 分析可解出u 和v 的条件 , 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理 ) [1]P 199 Th 4.关于Jacobi .例1 [1]P 200 E 1.三. 反函数组和坐标变换:1. 反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理 ) [1]P 202 Th 52. 坐标变换: 两个重要的坐标变换. 例2 , 3 [1]P 203—204 E 2 , 3 .Ex [1]P 205 1，2，3，5⑵.§ 3几何应用 ( 1 时 )一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为0),(=y x F . 有yxF F x f -=')(. 切线方程为 ),(00y x F x +-)(0x x ),(00y x F y 0)(0=-y y , 法线方程为 ),(00y x F y --)(0x x ),(00y x F x 0)(0=-y y .例1 求Descartes 叶形线 09)(233=-+xy y x 在点) 1 , 2 (处的切线和法线 . [1]P 207 E 1.二. 空间曲线的切线与法平面 :1.曲线由参数式给出 : βαχ≤≤===t t z z t y y t x L, )( , )( , )( : .234切线的方向数与方向余弦. 切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x '-='-='-χ. 法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t χ.2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==. 0),,(, 0),,(z y x G z y x F 点),,(0000z y x P 在L 上. 推导切线公式. [1]P 209.切线方程为),(),(),(),(),(),(000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-.法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F P P P .例2 [1]P 210 E2 .三. 曲面的切平面与法线 :设曲面∑的方程为0),,(=z y x F , 点),,(0000z y x P 在∑上. 推导切面公式. [1]P 211. 切平面方程为 0))(())(())((000000=-+-+-z z P F y y P F x x P F z y x . 法定义域线方程为)()()(000000P F z z P F y y P F x x z y x -=-=-. 例3 [1]P 211 E3 .Ex [1]P 212 1—6 .§ 3条件极值 ( 1 时 )一.条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的235表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件 的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的 极限点 , 有0)(='+=x g f f dxdzy x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—yf x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ,使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.236亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ二. Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四. 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . [1]P 216 E1例2 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . [1]P 217 E2例3 求函数xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值 . 并证明不等式 311113a b c c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 . [1]P 218 E3Ex [1]P 220 1⑴⑶， 2，3 .。
第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ； 也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知 方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。
第十八章 隐函数定理及其定理3几何应用一、平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程F(x,y)=0给出，它在点P 0(x 0,y 0)的某邻域上满足隐函数定理条件，于是在点P 0附近所确定的连续可微隐函数y=f(x)(或x=g(y))和F(x,y)=0在点P 0附近表示同一曲线，从而该曲线在P 0存在切线和法线，其方程分别为：y-y 0=f ’(x 0)(x-x 0) 或(x-x 0=g ’(y 0)(y-y 0)) 与y-y 0=-)(x f 10'(x-x 0) 或(x-x 0=-)(y g 10'(y-y 0)). ∵f ’(x)=-y x F F (或g ’(y)=-xy F F ),∴F(x,y)=0在点P 0的切线与法线方程为：F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-y 0)=0与F y (x 0,y 0)(x-x 0)-F x (x 0,y 0)(y-y 0)=0.例1：求笛卡儿叶形线2(x 3+y 3)-9xy=0在点(2,1)的切线与法线. 解：记F=2(x 3+y 3)-9xy, 则F x =6x 2-9y, F y =6y 2-9x 在R 2连续，且 F x (2,1)=15≠0, F y (2,1)=-12≠0, ∴曲线在(2,1)的切线与法线分别为： 15(x-2)-12(y-1)=0, 即5x-4y-6=0，与-12(x-2)-15(y-1)=0, 即4x+5y-13=0.二、空间曲线的切线与法平面由参数方程x=x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t ≤β确定的空间曲线L 上一点P 0(x 0,y 0,z 0)，有x 0=x(t 0),y 0=y(t 0),z 0=z(t 0), α≤t 0≤β，假定它们都在t 0处可导，且[x ’(t 0)]2+[y ’(t 0)]2+[z ’(t 0)]2≠0. 在L 上点P 0附近选取一点 P(x,y,z)=P(x 0+△x,y 0+△y,z 0+△z), 割线P 0P 为：x x -x 0∆=y y -y 0∆=zz -z 0∆，其中△x=x(t 0+△t)-x(t 0), △y=y(t 0+△t)-y(t 0), △z=z(t 0+△t)-y(t 0), 又t x/x -x 0∆∆=t y/y -y 0∆∆=t z/z -z 0∆∆，当△t →0时, P →P 0,且t x ∆∆→x ’(t 0), ty∆∆→y ’(t 0), tz∆∆→z ’(t 0), 即得曲线L 在P 0处的切线方程为：)t (x x -x 00'=)t (y y -y 00'=)t (z z -z 00'.可知，当x ’(t 0), y ’(t 0), z ’(t 0)不全为0时，它们组成了该切线的方向数. 过P 0与切线l 垂直的平面称为曲线L 在点P 0的法平面, 其方程为： x ’(t 0)(x-x 0)+y ’(t 0)(y-y 0)+z ’(t 0)(z-z 0)=0.当空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,给出时，若它在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域上满足隐函数组定理的条件(不妨设条件(4)为P y),x ()G (F,∂∂≠0)，则该方程组在点P 0附近能确定惟一连续可微的隐函数组x=φ(z),y=ψ(z),使 x 0=φ(z 0),y 0=ψ(z 0),且zx ∂∂=-y),z ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂, z y ∂∂=-z),x ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂. 又在点P 0附近，原方程组和由其确定的隐函数组表示同一空间曲线， ∴以z 为参量时，可得点P 0附近曲线L 的参量方程：x=φ(z),y=ψ(z),z=z. ∴曲线L 在P 0处的切线方程为：)P (x x -x 0z 0=)P (y y -y 0z 0=1z -z 0，即0P 0z),y ()G (F,x -x ∂∂=0P 0x),z ()G (F,y -y ∂∂=0P 0y),x ()G (F,z -z ∂∂.曲线L 在P 0处的法平面方程为：0P z),y ()G (F,∂∂(x-x 0)+0P x),z ()G (F,∂∂(y-y 0)+0P y),x ()G (F,∂∂(z-z 0)=0.同理可推得，当0P z),y ()G (F,∂∂≠0或0P x),z ()G (F,∂∂≠0时，结论相同.可见，当0P y),x ()G (F,∂∂,0P z),y ()G (F,∂∂,0P x),z ()G (F,∂∂不全为0时，它们是L 在P 0处的切线的方向数.例2：求球面x 2+y 2+z 2=50与锥面x 2+y 2=z 2所截出的曲线在(3,4,5)处的切线与法平面方程.解：记F=x 2+y 2+z 2-50, G=x 2+y 2-z 2,∵F x =G x =2x, F y =G y =2y, F z =2z, G z =-2z 在(3,4,5)都连续, 又y),x ()G (F,∂∂=0, 0P z),y ()G (F,∂∂=-160, 0P x),z ()G (F,∂∂=120, ∴曲线在P 0处的切线方程为：1603-x -=1204-y =05-z , 即⎩⎨⎧==+5z 04)-4(y 3)-3(x ;法平面方程为：-4(x-3)+3(y-4)+0(z-5)=0, 即4x-3y=0.三、曲面的切平面与法线设曲面由方程F(x,y,z)=0给出，它在点以P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设F z (x 0,y 0,z 0)≠0)，则该方程在点P 0附近确定惟一连续可微的隐函数z=f(x,y)，使得z 0=f(x 0,y 0), 且z x ∂∂=-)z y,(x ,F )z y,(x ,F zx , z y ∂∂=-)z y,(x,F )z y,(x,F z y .由于在点P 0附近F(x,y,z)=0与z=f(x,y)表示同一曲面， 从而该曲面在P 0处有切平面方程为：z-z 0=-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000x (x-x 0)-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000y (y-y 0)或F x (x 0,y 0,z 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0,z 0)(y-y 0)+F z (x 0,y 0,z 0)(z-z 0)=0. 法线方程为：)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F x -x 000z 000x 0-=)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F y -y 000z 000y 0-=1z -z 0- 或)z ,y ,(x F x -x 000x 0=)z ,y ,(x F y -y 000y 0=)z ,y ,(x F z -z 000z 0.其中，两方程的第二种形式对F x (x 0,y 0,z 0)≠0或F y (x 0,y 0,z 0)≠0也适合.注：1、函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度gradF(P)就是等值面F(x,y,z)=c 在点P 的法向量n=(F x (P),F y (P),F z (P)). 2、将曲线L ：⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,看成两个曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0的交线，则L 在点P 0的切线与两个曲面在P 0的法线都垂直，这两个法向量为n 1=(F x ,F y ,F z )|0P 与n 2=(G x ,G y ,G z )|0P ,即 L 在P 0的切向量可取n 1与n 2的向量积τ=n 1×n 2=)()()()()()(000000P G P G P G P F P F P F kj i z y x z y x =i P 0)z (y,)G (F,∂∂+j P 0)x (z,)G (F,∂∂+k P 0)y (x,)G (F,∂∂.例3：求椭球面x 2+2y 2+3z 2=6在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程. 解：设F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-6, F x =2x, F y =4y, F z =6z 在全空间上处处连续, 在(1,1,1)处，F x =2, F y =4, F z =6，∴切平面方程为2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0, 法线方程为：11-x =21-y =31-z .例4：证明：曲面f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x =0的任一切平面都过某个定点，其中f 是连续可微函数. 解：令F(x,y,z)=f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x ,∵(F x ,F y ,F z )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-22121c)-(z b)f -(y a)f -(x ,c -z f ,c -z f , ∴曲面在其上任意一点P 0(x 0,y 0,z 0)的法向量可取为： n=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-c -z )(b)f -(y )(a)f -(x ),(f ),(f 00200100201P P P P , 由此可得切平面方程： f 1(P 0)(x-x 0)+f 2(P 0)(y-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(z-z 0)=0.以(x,y,z)=(a,b,c)代入切平面方程，可得：f 1(P 0)(a-x 0)+f 2(P 0)(b-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(c-z 0)≡0，即定点(a,b,c)在曲面的任一切平面上.习题1、求平面曲线32x +32y =32a (a>0)上任一点处的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 解：记F(x,y)=32x +32y -32a , 则F x =3x32, F y =3y32,∴曲线上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为：3x 1(x-x 0)+3y 1(y-y 0)=0, 即3x x+3y y=32a . 切线与在坐标轴上的截距分别为320a x 与320a y ,∴切线被坐标轴所截取的线段为()()23202320a y a x +=a, 得证!2、求下列曲线在所示点处的切线与法平面： (1)x=asin 2t, y=bsintcost, z=ccos 2t, 在点t=4π； (2)2x 2+3y 2+z 2=9,z 2=3x 2+y 2, 在点(1,-1,2). 解：(1)∵x ’(4π)=a, y ’(4π)=0, z ’(4π)=-c,∴切线方程为：a 2a -x =02b -y =c 2c -z -, 即⎪⎩⎪⎨⎧==+2b y 1c z a x .法平面方程为：a(2a -x )-c(2c -z )=0, 即ax-cz=21(a 2-c 2).(2)记F(x,y,z)=2x 2+3y 2+z 2-9, G(x,y,z)=3x 2+y 2-z 2, 则 F x =4x,F y =6y,F z =2z; G x =6x,G y =2y,G z =-2z; ∴(1,-1,2)y),x ()G (F,∂∂=28; (1,-1,2)z),y ()G (F,∂∂=32;(1,-1,2)x),z ()G (F,∂∂=40;∴切线方程为：81-x =101y +=72-z . 法平面方程为：8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0.3、求下列曲面在所示点处的切平面与法线： (1)y-e2x-z=0, 在点(1,1,2)；(2)222222c z b y a x ++=1, 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a . 解：(1)记F=y-e 2x-z , 则F x (1,1,2)=-2, F y (1,1,2)=1, F z (1,1,2)=1, ∴切平面方程为：-2(x-1)+(y-1)+(z-2)=0; 法线方程为：2-1-x =y-1=z-2. (2)记F=222222c z b y a x ++-1, 则在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a , F x =a 32, F y =b 32, F z =c 32. ∴切平面方程为：a1(x-3a )+b 1(y-3b )+c 1(z-3c )=0, 即a x +b y +c z=3;法线方程为：a(x-3a )=b(y-3b )=c(z-3c ).4、证明对任意常数ρ,φ,球面x 2+y 2+z 2=ρ2与锥面x 2+y 2=z 2tan 2φ正交. 证：设(x,y,z)是球面与锥面交线上的任一点，则 球面上该点的法向量为1n =(2x,2y,2z), 锥面上该点的法向量为2n =(2x,2y,-2ztan 2φ),∵21n n =4x 2+4y 2-4z 2tan 2φ=0, ∴对任意常数ρ,φ,球面与锥面正交.5、求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0. 解：记F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-21, 在曲面上的任一点(x 0,y 0,z 0)有， F x (x 0,y 0,z 0)=2x 0, F y (x 0,y 0,z 0)=4y 0, F z (x 0,y 0,z 0)=6z 0,∴曲面在该点的切平面方程为：2x 0(x-x 0)+4y 0(y-y 0)+6z 0(z-z 0)=0, 即 x 0x+2y 0y+3z 0z-21=0. ∵2x 0=y 0=z 0, 代入曲面方程得：x 02+8x 02+4x 02=21， 解得：x 0=±1，∴曲平面在(1,2,2)和(-1,-2,-2)处有符合条件的切平面：x+4y+6z=±21.6、在曲线x=t, y=t 2, z=t 3上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4.解：∵x t =1, y t =2t, z=3t 2, 设在t=t 0处切线平行于平面x+2y+z=4， 则(1,2t 0,3t 02)(1,2,1)=0, 即1+4t 0+3t 02=0，解得t 0=-1或t 0=-31. ∴所求的点为(-1,1,-1)或(-31,91,-271).7、求函数u=222z y x x ++在点M(1,2,-2)沿曲线x=t, y=2t 2, z=-2t 4在该点切线的方向导数.解 ：∵曲线过点(1,2,-2), ∴t 0=1; ∵x t (t 0)=1, y t (t 0)=4, z t (t 0)=-8. ∴曲线在点M 的切线的方向余弦为：91, 94, -98. 又 u x (M)=278, u y (M)=-272, u z (M)=272； ∴所f 求方向导数为： 91278⋅+94272⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅98272=-24316.8、试证明：函数F(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).证： F 的等值线为F(x,y)=c, 它在点P 0的切线方程为： F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-x 0)=0. ∴等值线在点P 0的法向量为: (F x (x 0,y 0),F y (x 0,y 0)), 恰为函数F 在点P 0梯度，得证！9、确定正数λ, 使曲面xyz=λ与椭球面22a x +22b y +22cz =1在某一点相切(即在该点有公共切平面).解：设两曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)相切，则曲面xyz=λ在点P 0的切平面： y 0z 0(x-x 0)+x 0z 0(y-y 0)+x 0y 0(z-z 0)=0与椭球面在点P 0的切平面：20a x (x-x 0)+20b y (y-y 0)+2c z (z-z 0)=0是同一平面,∴0020z y a x =0020z x b y =0020y x c z , 即220a x =220b y =220c z , 又220a x +220b y +220c z =1, ∴220a x =220b y =220cz =31,∴x 02y 02z 02=271a 2b 2c 2,∴λ=x 0y 0z 0=33|abc |.10、求x 2+y 2+z 2=x 的切平面, 使其垂直于平面x-y-21z=2和x-y-z=2. 解：设曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面垂直于所给两平面，由 曲面在P 0处切平面方程：(2x 0-1)(x-x 0)+2y 0(y-y 0)+2z 0(z-z 0)=0知P 0应满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--⋅-=--⋅-0202020000000xz y x 0)1,1,1()z 2,y 2,1x 2(0)21,1,1()z 2,y 2,1x 2(, 解得：x 0=422±, y 0=42±, z 0=0, ∴所求切平面为：x+y=221±.11、求双曲面F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.解：对方程组F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0关于z 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00z y x z y x G dz dy G dzdx G F dz dy F dz dx F , 解得：dz dx =),(),(z y G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂,dz dy =),(),(x z G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂, ∴交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程为： (x-x 0)/0P dz dx =(y-y 0)/0P dzdy ,即(x-x 0)/),(),(P z y G F ∂∂=(y-y 0)/),(),(P x z G F ∂∂.。
