第6章集合代数

集合代数对事物进行分类是科学研究的一项基本工作。

在数学上通常把分类的结果称为集合。

因此，“集合”是数学中最常用的概念。

事实上，现代数学中所有对象都可以视为集合，所有数学概念都可以用集合进行定义。

数理逻辑学家们正努力用集合及其若干公理重新构造整个数学体系。

我们学习集合论的意义有两点：（1）集合论是数学的基础，学习集合论有助于理解现代数学的公理化方法。

（2）集合论为应用领域提供建模和分析工具。

本讲学习集合论的基础知识，包括如下4个部分：1.集合代数：若干基本概念和集合运算及其运算定律。

2.二元关系：用集合定义二元关系，二元关系的分类和性质。

3.函数：用二元关系定义函数，函数的分类和性质。

4.ZFC公理系统：学习由Zermelo和Frankel等人所设计的10组集合论公理，并用以证明某些对象的分类是集合。

1.集合的概念和表达式我们所能感知的客观事物和思想中产生的观念，是我们的认知对象（object，entity）。

我们根据对象的各种共同性质把对象划分为不同的类（class）。

在数学中，我们通常把一个类称为集合（set），其中的对象称为该集合的成员（member）或者元素（element）。

通常用大写字母表示某集合，小写字母表示该集合中的元表示x是A的成员，读作“x属于A”。

这个素。

对于任何集合A，我们用x A成员隶属关系是集合论中的一个基本关系，可以定义其它的关系，包括两个集合相等、包含，等等。

在现代数学中，“集合”被选作为一个基础性概念，用以定义其它数学概念。

作为整个数学体系的第一概念，它自身是没有定义的，也是不可能被定义的。

尽管集合概念没有通用的定义，每个集合实例都是有严格定义的。

我们有两种定义集合实例的方法，即枚举法和概括法。

ZFC公理系统严格地描述了这两种定义集合的方法。

这里我们先对两种定义方法做直观的描述。

枚举法：也称列举法，明确地将一个集合的所有元素（的名字）排列在花括号内，元素之间用逗号分隔。

,V 中加法的定构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价；极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα+++,,,s α线性表出.向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,αα,s k ,使得s s k α+=,s α线性相关；若由方程s s k α+=0s k ===则称向量组,s α线性无关.命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:12,,s ααα线性相关；某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有一个部分组,,,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关；、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同,,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11121212221212,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎭,,n ε到1,,n ηη的过渡矩阵.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=,n η是V/K 若12,,,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射nK V ασ,:→,构造方程122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,22)n n k k ηη++0n n k η+=,0n k ==⇒,()n σση线性无关.,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,,)K i n =,作用,得到112()((n k k k σησηση++,120n k k k ⇒====.证毕向量的坐标变换公式；nK 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的),n a ,即1212(,,,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,,n η下的坐标为,,)n b ,即1212,,,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=2n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12[(,,)]n Y T Y εεε=.122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b η=1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.ε为W ,r1,,r r εε+的一个子空间假设即可.二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,,t t i k k k K i t αα+++∈=称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义2{V v =∈称为子空间的交； 21{V v +=+称为子空间的命题9 12V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +12,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则,,m V 是2m V V 和m V +均为的子空间.维数公式.1 设V 为有限维线性空间,2dim()V .,12dim()V V r =,2V 的一组基,r ε(若2V V =0,则基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--是12V V +见12V V +中的任一向量都可1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--线性表出.事实上,V γ∀∈12γ+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表21212,,,,,,,,,,r l r t r εεαααβββ--线性无关即2211220s r s r t r t r a a b b b ααβββ----++++++=,11221r r s r s r k a a a V εααα--+++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,112212r r s r s r a a a V V εααα--++++∈,记为,r ε线性表示,设22r r h h αεε++,12211220r r t r t r h h b b b εεβββ--+++++++=,12,,,,,r t r εβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则12120r t r h h h b b b -========,12120r s r k k a a a -========,21212,,,,,,,,,,r s r t r εεαααβββ--线性无关12,,,t V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则:1212)dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.作归纳.,m V 是V ,,1,2,,m i i V i m αα+∈=.记为2m V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.,,m V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四m V +是直和；零向量表示法唯一；1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=；1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.: 1)2)⇒显然.1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则(m α+-1,2,,m ,21m V V V +++是直和个,1i i ≤≤1ˆ(){0}im V V V ++++≠存在向1ˆ()i im V V V V ∈++++,于是存在j V ,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,()()0m αααα+-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,1,2,,)m 且0i α∃≠.于是1ˆˆ()i m i im V V V V αα+++∈++++,成立.作归纳.由维数公式得到121212dim dim dim()dim dim V V V V V V =+-=+.11)dim(),m m m V V ---+111垐()(){0}i m i i m V V V V V V V -++++⊆++++=由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m V V V V V +++=+++3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐())dim()dim()dim(i m i i m V V V V V V V V V ++++=+++++-++1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: 12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)2{0}V V =；12dim()V V +=二、直和因子的基与直和的基设1m V V V V =⊕⊕,则,m V 的基的并集为,r ii ε是i V 的组基,则V 121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又1dim dim i m V r r =+,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕. 三、补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间证明: 设V ,r ε,将,,)n ε,则有12V V =+,且,即2V 是1V.s n AX ⨯的线性映射.上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,sin 2,,sin ),x nx,cos).nx,AX.单线性映射(monomorphism)满线性映射(endmorphism)fα().α∈U'/kerγ.于是=,fα)('),t V α∈22()(t k k ϕαϕα+++,1122()t t k k k ϕααα+++t t k α+=则120t k k k ====,ii)成立；iii)若取组基12,,,n εεε,则,()n ϕε而im ϕ中任意向,()n ϕε线性表出12(),(),,()n εϕεϕε构成成立；⇒i)由/ker im U ϕ≅dimker dimim ϕ=即有ker ϕ=。