第六章集合代数

代数部分集合1.集合把某种共同性质的一些事物看作一个整体，就是一个集合。

集合里的各个事物叫做这个集合的元素。

集合一般用大写字母A，B，C......表示，集合的元数一般用小写字母a，b，c......表示。

自然数记作N；整数集记作Z;有理数集记作Q；实数集记作R。

不含任何元素的合集叫作空集。

空集通常记作∅。

如果a是合集A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果b不是合集A的元素，就说b不属于集合A，记作b∉A。

关于合集的概念，要注意以下几点：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素是确定的。

这就是说，任何一个对象或者是这个合集的元素，或者不是它的元素，二者必具其一。

②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。

这就是说集合中任何两个元素都是不同对象。

因此，集合中的元素没有重复现象。

③无序性：集合只与组成它的元素有关，而与它的元素顺序无关。

2.集合的表示法集合表示方法，常用的有以下三种：①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在一个大括号内。

例如：小于10的正偶数组成的集合可表示为｛2468｝。

②描述法：把合集中元素的公共属性描述出来，写在一个大括号内。

例如：所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；不等式x-5＞2的解的集合可表示为｛x | x-5＞2｝.③文氏图法：把集合中的全部元素用一条封闭的曲线圈起来（其实就是写在圆圈内），或用曲线内的平面表示集合。

如下图：二、集合之间的关系1.子集如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作：A⊆B，或B⊇A它们分别读作：“A包含于B““B包含A“。

如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A就叫做集合B的真子集，表示为：A⊂B、B⊃ A空集是任何集合的子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊇A，我们就说这两个集合相等，记作：A＝B2.交集对于给定的集合A，B，有同时属于A与B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作：A∩B，读作：“A交B”。

关系代数集合代数嘿，朋友！咱们今天来聊聊关系代数和集合代数这俩神秘又有趣的家伙。

你知道吗？关系代数就像是个神奇的魔法盒子，里面装满了各种处理数据关系的奇妙工具。

它能帮我们从错综复杂的数据网中找出我们想要的宝贝。

比如说，选择运算就像是一个超级挑剔的筛选器，只把符合特定条件的数据挑出来。

这不就像咱们在一堆水果里，只挑出又大又甜的苹果一样吗？而投影运算呢，则像是个会变魔术的手，把数据中的某些列给单独拎出来展示，就像从一大束花里只拿出自己喜欢的那几种颜色的花朵。

再来说说集合代数，它就像是个数据的大派对！交运算就好比是两个朋友圈的共同好友，把大家都认识的那部分给找出来。

并运算呢，就像是把两个朋友圈的所有人都凑到一起，不管之前认不认识，都放在一块儿。

差运算呢，就像是从一个朋友圈里去掉另一个朋友圈里的人，只留下独特的那些。

想象一下，如果没有关系代数和集合代数，我们在数据的海洋里是不是就像没头的苍蝇，到处乱撞？在实际应用中，这两者可帮了大忙啦！比如在数据库管理中，要找出同时满足几个条件的数据，这时候关系代数的选择运算就派上用场啦。

而在整合不同来源的数据时，集合代数的并运算能让我们快速把数据汇总起来。

就拿电商平台来说吧，通过关系代数和集合代数的运算，可以轻松找出哪些用户既买了衣服又买了鞋子，哪些商品是最受欢迎的，哪些商品很少有人问津。

这不就像给商家开了个天眼，能清楚看到用户的喜好和市场的走向吗？你看，关系代数和集合代数虽然听起来有点复杂，但其实就像我们日常生活中的各种分类整理一样。

只要我们掌握了它们的窍门，就能在数据的世界里游刃有余，轻松搞定各种难题。

所以啊，别再对关系代数和集合代数感到头疼啦，用心去理解它们，你会发现它们就是我们在数据世界里的得力助手，能帮我们创造出更多的可能！。

集合代数对事物进行分类是科学研究的一项基本工作。

在数学上通常把分类的结果称为集合。

因此，“集合”是数学中最常用的概念。

事实上，现代数学中所有对象都可以视为集合，所有数学概念都可以用集合进行定义。

数理逻辑学家们正努力用集合及其若干公理重新构造整个数学体系。

我们学习集合论的意义有两点：（1）集合论是数学的基础，学习集合论有助于理解现代数学的公理化方法。

（2）集合论为应用领域提供建模和分析工具。

本讲学习集合论的基础知识，包括如下4个部分：1.集合代数：若干基本概念和集合运算及其运算定律。

2.二元关系：用集合定义二元关系，二元关系的分类和性质。

3.函数：用二元关系定义函数，函数的分类和性质。

4.ZFC公理系统：学习由Zermelo和Frankel等人所设计的10组集合论公理，并用以证明某些对象的分类是集合。

1.集合的概念和表达式我们所能感知的客观事物和思想中产生的观念，是我们的认知对象（object，entity）。

我们根据对象的各种共同性质把对象划分为不同的类（class）。

在数学中，我们通常把一个类称为集合（set），其中的对象称为该集合的成员（member）或者元素（element）。

通常用大写字母表示某集合，小写字母表示该集合中的元表示x是A的成员，读作“x属于A”。

这个素。

对于任何集合A，我们用x A成员隶属关系是集合论中的一个基本关系，可以定义其它的关系，包括两个集合相等、包含，等等。

在现代数学中，“集合”被选作为一个基础性概念，用以定义其它数学概念。

作为整个数学体系的第一概念，它自身是没有定义的，也是不可能被定义的。

尽管集合概念没有通用的定义，每个集合实例都是有严格定义的。

我们有两种定义集合实例的方法，即枚举法和概括法。

ZFC公理系统严格地描述了这两种定义集合的方法。

这里我们先对两种定义方法做直观的描述。

枚举法：也称列举法，明确地将一个集合的所有元素（的名字）排列在花括号内，元素之间用逗号分隔。

集合的代数闭包与代数方程代数闭包是代数数论中的一个重要概念。

集合的代数闭包是指在某个域中，所有代数方程都有解的最小域。

定义设K是一个域，S是K的一个子集。

如果在K中，对于任何系数在S中的多项式f(x)，如果f(x)=0有解，那么称S是代数闭合的，或者说S是K的代数闭包。

性质集合的代数闭包具有以下性质：•每个域都有一个代数闭包。

•代数闭包是唯一的。

•代数闭包是一个代数扩张。

•代数闭包是一个无限域。

•代数闭包是代数封锁的。

构造集合的代数闭包可以通过以下方法构造：•代数扩张：给定一个域K ，可以构造一个代数扩张K(a)，其中a 是K 中的一个代数元素。

K(a)是K 的一个代数闭包。

•超越扩张：给定一个域K ，可以构造一个超越扩张K(x)，其中x 是K 中的一个超越元素。

K(x)不是K 的一个代数闭包，但可以将K(x)代数闭合得到K(x,a)，其中a是K(x)中的一个代数元素。

K(x,a)是K的一个代数闭包。

应用集合的代数闭包在代数数论和代数几何中有广泛的应用。

在代数数论中，代数闭包可以用来研究代数数的性质。

在代数几何中，代数闭包可以用来研究代数曲线的性质。

代数方程代数方程是指形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个多项式。

如果f(x)的系数在一个域K中，那么这个方程称为K上的代数方程。

代数方程的解代数方程的解是指满足方程f(x)=0的元素x。

代数方程的解可以是代数数，也可以是超越数。

代数方程的根代数方程的根是指方程的解中，位于该方程系数域的元素。

代数方程的根是代数数。

代数方程的根的存在性代数方程的根的存在性是代数数论中的一个重要问题。

代数方程的根的存在性可以通过以下方法证明：•代数闭包：如果一个域K是代数闭合的，那么对于任何K上的代数方程，都存在一个解在K中。

•代数扩张：如果一个域K不是代数闭合的，那么可以构造一个代数扩张K(a)，其中a是K中的一个代数元素。

K(a)是K的一个代数闭包，因此对于任何K上的代数方程，都存在一个解在K(a)中。

,V 中加法的定构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价；极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα+++,,,s α线性表出.向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,αα,s k ,使得s s k α+=,s α线性相关；若由方程s s k α+=0s k ===则称向量组,s α线性无关.命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:12,,s ααα线性相关；某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有一个部分组,,,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关；、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同,,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11121212221212,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎭,,n ε到1,,n ηη的过渡矩阵.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=,n η是V/K 若12,,,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射nK V ασ,:→,构造方程122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,22)n n k k ηη++0n n k η+=,0n k ==⇒,()n σση线性无关.,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,,)K i n =,作用,得到112()((n k k k σησηση++,120n k k k ⇒====.证毕向量的坐标变换公式；nK 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的),n a ,即1212(,,,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,,n η下的坐标为,,)n b ,即1212,,,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=2n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12[(,,)]n Y T Y εεε=.122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b η=1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.ε为W ,r1,,r r εε+的一个子空间假设即可.二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,,t t i k k k K i t αα+++∈=称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义2{V v =∈称为子空间的交； 21{V v +=+称为子空间的命题9 12V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +12,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则,,m V 是2m V V 和m V +均为的子空间.维数公式.1 设V 为有限维线性空间,2dim()V .,12dim()V V r =,2V 的一组基,r ε(若2V V =0,则基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--是12V V +见12V V +中的任一向量都可1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--线性表出.事实上,V γ∀∈12γ+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表21212,,,,,,,,,,r l r t r εεαααβββ--线性无关即2211220s r s r t r t r a a b b b ααβββ----++++++=,11221r r s r s r k a a a V εααα--+++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,112212r r s r s r a a a V V εααα--++++∈,记为,r ε线性表示,设22r r h h αεε++,12211220r r t r t r h h b b b εεβββ--+++++++=,12,,,,,r t r εβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则12120r t r h h h b b b -========,12120r s r k k a a a -========,21212,,,,,,,,,,r s r t r εεαααβββ--线性无关12,,,t V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则:1212)dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.作归纳.,m V 是V ,,1,2,,m i i V i m αα+∈=.记为2m V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.,,m V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四m V +是直和；零向量表示法唯一；1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=；1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.: 1)2)⇒显然.1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则(m α+-1,2,,m ,21m V V V +++是直和个,1i i ≤≤1ˆ(){0}im V V V ++++≠存在向1ˆ()i im V V V V ∈++++,于是存在j V ,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,()()0m αααα+-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,1,2,,)m 且0i α∃≠.于是1ˆˆ()i m i im V V V V αα+++∈++++,成立.作归纳.由维数公式得到121212dim dim dim()dim dim V V V V V V =+-=+.11)dim(),m m m V V ---+111垐()(){0}i m i i m V V V V V V V -++++⊆++++=由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m V V V V V +++=+++3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐())dim()dim()dim(i m i i m V V V V V V V V V ++++=+++++-++1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: 12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)2{0}V V =；12dim()V V +=二、直和因子的基与直和的基设1m V V V V =⊕⊕,则,m V 的基的并集为,r ii ε是i V 的组基,则V 121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又1dim dim i m V r r =+,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕. 三、补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间证明: 设V ,r ε,将,,)n ε,则有12V V =+,且,即2V 是1V.s n AX ⨯的线性映射.上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,sin 2,,sin ),x nx,cos).nx,AX.单线性映射(monomorphism)满线性映射(endmorphism)fα().α∈U'/kerγ.于是=,fα)('),t V α∈22()(t k k ϕαϕα+++,1122()t t k k k ϕααα+++t t k α+=则120t k k k ====,ii)成立；iii)若取组基12,,,n εεε,则,()n ϕε而im ϕ中任意向,()n ϕε线性表出12(),(),,()n εϕεϕε构成成立；⇒i)由/ker im U ϕ≅dimker dimim ϕ=即有ker ϕ=。

集代数和半集代数集代数和半集代数是数学中的一个概念，主要用于描述集合的性质和集合操作的性质。

在集合论中，集合是指一组无序的元素，而集代数和半集代数则是对集合操作的一种抽象和推广。

集代数是指一个非空集合A，满足以下条件：1. A的任意有限交集仍然属于A，即对于A中的任意子集B1，B2，...，Bn，其交集B1∩B2∩...∩Bn仍然属于A。

2. A的有限并集仍然属于A，即对于A中的任意子集B1，B2，...，Bn，其并集B1∪B2∪...∪Bn仍然属于A。

集代数不要求对于A中的任意子集B，B的补集也属于A，因此集代数中的集合可能并不是完全互斥的。

举个例子，假设A是一个集代数，A中包含了三个集合{1, 2}, {2, 3}和{1, 2, 3}，可以观察到对于这三个集合，它们的交集为{2}，仍然属于A；它们的并集为{1, 2, 3}，也仍然属于A。

因此，这个集合A满足集代数的定义。

半集代数是集代数的一个推广概念，一个集合B是一个半集代数，如果满足以下条件：1. 有限交集仍然属于B，即对于B中的任意两个子集B1和B2，其交集B1∩B2仍然属于B。

2. B的补集可以表示为B中有限个集合的并集，即对于B中的任意子集B和它的补集B^c，存在B1，B2，...，Bn∈B，使得B^c=B1∪B2∪...∪Bn。

举个例子，假设B是一个半集代数，B中包含了两个集合{1, 2}和{2, 3}，可以观察到对于这两个集合，它们的交集为{2}，仍然属于B；它们的并集为{1, 2, 3}，也仍然属于B。

而B的补集为{4, 5}，可以表示为B中的两个集合的并集{1, 2}∪{2, 3}的补集。

因此，这个集合B满足半集代数的定义。

集代数和半集代数具有许多重要的性质和应用。

其中一些重要的性质有：1. 集代数和半集代数的有限交集仍然属于集代数和半集代数。

这一性质使得集代数和半集代数在进行集合操作时更加灵活和方便。

2. 集代数和半集代数的有限并集仍然属于集代数和半集代数。