其它元素 a , 有： a a
n元置换可以用不交的轮换之积来表示
例：
1 6
2 5
3 3
4 4
5 2
6 1
1 6, 2 5 4 4, 5 2
3 3, 6 1
1 6, 2 5, 5 2 6 1
σ=(1 6)(2 5)(3)(4)
群G的中心
a,b C x G 有 ab 有 ( ab
1
C ) x x ( ab
1
1
)
( ab
1
) x ab
1
x
1 1
ab
1
(x
1
)
1
a(x b )
axb
1
a ( bx
1
)
1
1
( ax ) b
1
( xa ) b
1
x ( ab
) n( n ... ... )2( 2 ) 1( 1
1
(1) (12) (13) (23) (123) (132)
°
(1) (1) (12) (13) (23) (123) (132)
(12) (12) (1) (123) (132) (13) (23)
(13) (13) (132) (1) (123) (23) (12)
(23) (23) (123) (132) (1) (12) (13)
(123) (123) (23) (12) (13) (132) (1)
(132) (132) (13) (23) (12) (1) (123)
(1 3) °(1 2)=(1 2 3) 说明S3不是阿贝尔群 (1 2) ° (1 3) =(1 3 2)
§6.2 环与域
定义：环
设<R,+,· >是代数系统,R为集合, +,· 为二元运算，如果 1)<R,+>为阿贝尔群, 2) <R, · >为半群, 3)乘法· 对加法+适合分配律
下面对环的定义做几点说明：
在环中,由于 < R, + > 是群,故关于+有么元存在, 将关于+的么元记为0。在环中,由于< R, + > 是 群,故R中每个元素有逆元,设a∈R,将a关于+的 逆元记为-a ,且将 a+(-b)简写为 a-b。 在 环 中 ,对 于 · 算 ,若 有 么 元 ,则 记 为 1 或 e,设 运 a∈R ,若a关于· 有逆元,则记为 a-1。 以后谈到环,必有|R|≥2，即不讨论一个元素的 环。 在环 的 定义 中,不要 求+对 · 足 分配 律,只要 满 求· 对+满足分配律。
定理6.4
• G为有限群,则G的运算表中的每 一行(每一列)都是G中元素的一 个置换,且不同的行(或列)的置换 都不相同。
定义6.5 子群
直积
• 设群<G,*>,H是G的非空子集.如 果H关于G中的运算*构成群，则 称H为G的子群 • H≤G
定理6.5
• 设G为群, H是G的非空子集.如对 任意x,y∈H都有xyˉ¹ ∈H,则H是 G的子群
1 2 2 3 3 1 2 (2)
思考:集合S上有 ? 3! 个不同的置换
... ... (n ) n
1 (1 )
m阶轮换
( a 1 a 2 ... a m ) , m n
a1 a2 ,a2 a3 , ... a m 1 a m , a m a 1
例6.5 S和+,能否构成整环，域
1)S={x | x=2n Λ n∈Z} 2)S={x | x=2n+1 Λ n∈Z} 3)S={x | x∈Z Λ x≥0}=N 4)S={x | x=a+b 3 ,a,b∈Q}
定理6.6 设<R,+,· >是环，则
1 ) a R , a 0 0 a 0
*
4 ) P ( B ), 5 ) Z n ,
定义：积代数 积半群
１ １ ２
V × , °>, V =<S ,*>是代数系统, °和＊为二元运算，V 和V 的积代数 积半群 V ×V 是含有一个二元运算· 半群 的代数 系统,即V ×V =<S, · >,其中S= S ×S , 且对任意的有<x ,y >, <x ,y > ∈S ×S 有 • <x ,y >· ,y >= <x °x ,y *y > <x
4 ) x G , ( x )
n
x
定理6.2
G 为群 , a , b G , 方程 ax b 和 ya b 在 G 中有解 , 且有唯一解。
定理6.3
•设G为群,则G中适合消去律，即 对任意a,b,c∈G有 •1)若ab=ac,则b=c. •2)若ba=ca,则b=c.
第六章 几个典型的代数系统
§6.1
半群和群
<S, °>
可交换半群
可结合
代数系统 子半群
半群
换可 交
子代数系统 子独异点
含幺半群 (独异点)
例 6 .1 1 ) Z , , N , , Z , , Q , , R , 2 ) M n ( R ), 3 ) ,
１ ２ １
例 6 . 2 半群 V S , , 其中 a S 0 0 a , d R , 为矩阵乘法 d 0 a d 0 0 0 .
a 令 ： S S, 0
例 6 下列环是否是含零因
子环
1) Z , , , Q , , , R , , 2) M n ( R ) , , 3) Z n , ,
交换、含幺、 无零因子
环
整环
域
含幺、无零因子、 元素个数≥2、非零 除环 元素可逆
代数系统 半群
含幺半群
可交换半群
元素有逆元
群
交换群
阿贝尔群
例 1
1) Z , , Q , , R , 2) M n ( R ) , 3) Z n ,
例 2
1) Z , , Q , , R , 2) M n ( R ) , 3) Z n ,
1
)
x ( ab
)
定义6.６ 循环群
<a>
在群G中如果存在a∈G使得
G {a k Z }
k
则称G为循环群
生成元
n阶循环群
︱a︱=n
无限阶循环群
定义6.7 n元置换
• 设S={1,2,…,n},S上的任何双射函 数σ：S→S构成了S上n个元素的 置换，称为n元置换
例：
• S={1,2,3},令σ：S→S,且有 • σ(1)=2 σ(2)=3 σ(3)=1
e x
n n1
群的阶 G
x
1
x
n
(x
)
n
元素的阶 （周期）
x
k
e
定理6.1
设G为群,则G中的幂运算满足
1 ) x G , ( x
1
)
1
x
1
2 ) x , y G , ( xy )
3 ) x G , x x
n m
y
nm
1
x
1
x
m
nm
°
<(1)>={(1)}
S= {(1), <(12)>={(1), (12)} <(1)>={(1)} 么元是(1) (12), (13), (23),(123),(132)} 各元素的阶 (1 3) ,(1 2),( 2 3)都是2阶元 <(13)>={(1), (13)} (1 2 3) , (1 3 2)都是3阶元 <(23)>={(1), (23)} <(123)>= <(132)>={(1), (123),(132)}
2) < P(X) ,∩>是半群。 3)可以证明:集合的交运算对对称差运算满 足分配律，即A,B,C∈ P(X) ，有 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C) (BC)∩A=(B∩A)(C∩A) 由环的定义知< P(X),,∩>是环。
定义：
• • • • • • 交换环 含幺环 加法幺元：0 乘法幺元：1 左零因子、右零因子 a≠0 b≠0 但ab=0 无零因子环
１ ２ １ ２ １ ２ １ 1 ２ ２ １ ２ １ 1 ２ ２ １ 2 1 ２
定义：同态映射
１ １
同态
２ ２
• 设V =<S , °>, V =<S ,*>是代数 半群 系统, °和＊为二元运算.若存在 影射 :S →S 满足对任意的x,y ∈S 有 • (x °y)= (x)* (y)
例 3 1) Z , , , Q , , , R , , 2) M n ( R ) , , 3) Z n , ,
例4 设X是一个非空集合,P(X) 是X的幂集, 是集合的对称差运算,∩是集合的交运算 1) < P(X) , >是交换群
σ=(1 6)(2 5)
例：
1 4
2 5
3 2
4 3
5 1
6 6
1 4, 2 5
3 2,
4 3, 5 1 6 6
