【配套K12】[学习]备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极(最)值问

专题12 函数的极（最）值问题【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.(一)函数的极值问题 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点，极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点 （2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 （二）函数的最值问题 1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到.()f x 没有最大值.） （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.2．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.【经典例题】例1【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】例2【2019届湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考】已知函数（1）当时，求的极值；（2）若有两个不同的极值点，求的取值范围;【答案】（1）极小值（2）故在处有极小值；（2）依题意可得，有两个不同的实根.设，则有两个不同的实根,，若，则，此时为增函数，故至多有1个实根，不符合要求；若，则当时，，当时，，故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值为,故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求.综上所述：的取值范围为.（分离变量的方法也可以）点睛：本题考查了函数极值点问题，利用导数知识对其求导，当遇到含有参量的时候可以采用分离参量的方法，也可以带着参量一起运算，分离参量后求出直线与曲线的交点问题即可，本题没有分离参量，进行的对参量的分类讨论，本题有一定难度例3【2019届江苏省淮安市等四市高三上一模】已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．试题解析：（1）函数的定义域为当时，，所以所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以，代入得：设，则不妨设则当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时,又当时因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是．例4【2019届福建省厦门市高三下第一次检查（3月）】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数极值点的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题解析：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.记，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即，原不等式成立.（2）.记（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.∴存在唯一，且当时，；当.①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.∴对任意.此时令，得；令，得.∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.此时令，得；令得.点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.例5【2017北京，理19】已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 例6【2019届北京市人大附高三十月月考】已知a 是实数,函数()()2f x x x a =-（Ⅰ）若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （Ⅱ）求()f x 在区间[]0,2上的最小值. 【答案】(1) 0.a = 320.x y --= (2)见解析.【解析】试题分析：（I ）首先根据导数()13f '=求a ，再根据切线方程()()()111y f f x '-=-求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， 1220,3x x a ==，比较23a 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值. 试题解析：（Ⅰ） ()232f x x ax '=- 因为()1323,f a =-=所以0.a = 当0a =时, ()()11,13,f f '==所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为320.x y --= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ()232f x x ax '=-.令()0,f x '=解得1220,.3a x x == 当20,3a≤即0,a ≤ ()f x 在[]0,2上单调递增,从而()min 00.f f == 当22,3a ≥即3,a ≥ ()f x 在[]0,2上单调递减,从而()min 284.f f a ==-当202,3a <<即03,a << ()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而3min24.327a a f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭综上所述, 3min0,04{,0 3 2784,3a a f a a a ≤=-<<-≥.例7【2019届北京市城六区高三一模】．已知函数(I)当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）当时，故令，得故的单调递增区间为（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，故当时，；当时，故故，解得故的值为.（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.故的最大值为，即.例8【2019届北京市清华附中高三十月月考】已知()()320f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值,且()11f =-.（Ⅰ）试求常数a , b , c 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2x ∈上的最大值. 【答案】（1）13,0,22a b c ===-（2）当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值.再由()11f =-, 所以1a b c ++=-,③联立①②③解得13,0,22a b c ===-; （Ⅱ）()31322f x x x =-,()()()233311222f x x x x =-=+-',当1x <-或1x >时, ()0f x '>, 当11x -<<时, ()0f x '<,所以,当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值. 例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知函数()()()322111.32f x x x x a x x a R ⎛⎫=-++--∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值点,求实数a 的取值范围及函数()f x 的极值; （Ⅱ）当1a ≥时,求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1,a <极小值为()11126f a =-,极大值为()321162f a a a =-+.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数a 的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a 与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论. 试题解析：解: ()()()()()221111f x x x a x x x a =-++--=--'（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值,则1,a <列表分析如下:所以最大值可能为()11126f a =-或()22;3f = ①当513a ≤<时,最大值为()22;3f =②当523a ≤<时,最大值为()11126f a =-综上所述,当513a ≤<时,最大值为()22;3f =当53a ≥时,最大值为()11126f a =-例10【2019届陕西省榆林市二模】已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围.试题解析：列表：所以，函数的最小值为.（2），定义域为，.记，，，①当时，，在上单调递增，故在上至多有一个零点，此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当时，令，可得，列表：若，即，，即，且当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.由于，且（事实上，令，，故在上单调递增，所以）.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.【精选精练】1.【2019届安徽省安庆市2019届高三二模】已知函数()()2ln xf x ef e x e'=-（e 是自然对数的底数）， 则f （x ）的极大值为（ ） A. 2e-1 B. 1e -C. 1D. 2ln2【答案】D 【解析】()()()()()22111,ef e ef e f x f e f e x e e e e=-∴=-''''='，()210,2f x x e x e∴=-=='∴ ()f x 的极大值为()22ln222ln2f e e ∴=-=，选D. 2．【2019届福建省三明市第一中学高三下开学】函数在的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D.【答案】B 【解析】，令得，或，令得，，所以在，单调递增，在单调递减，，.本题选择B 选项.3.【2019届广东省茂名市五大联盟学校高三3月联考】已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】D由，可得f(x ）在区间，上单调递增；由，可得f(x)在区间上单调递减，故f(x)在x=1处取得极大值，所以若函数f(x)在x=1处取得极大值，则实数a 的取值范围是.本题选择D 选项.【名师点睛】反思这类型题型，首先先利用导函数的解析式，判断得出极值点存在并且只有一个并得出极值点的范围.由于极值点与参数有关，因此就需要假设，假设后，再代进行化简消元最终求得参数的取值范围. 4.【2019届海南省高三第二次联考】若1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，则实数a =__________． 【答案】e -【解析】因为()1ln +x x f x e x e a x='+⋅（），且1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，所以()10f e a '=+=，解得a e =-.5．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x =在x =______________处取得极值.【答案】-1【点睛】本题考查函数的极值的判定.本题的易错点是将2看成一个极值点，要注意()00f x '=是可导函数()f x 在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而本题中函数()f x 在2x =附近单调递增. 6．【2019届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【名师点睛】此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②. 7【2019届北京市清华附中高三十月月考】设函数()ln f x x a x =-（其中a R ∈）. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在1x =时的切线方程; （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（1）1y =（2）当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.【解析】试题分析： ()1将1a =代入，算出1x =时的切线方程()2求导，讨论当0a ≤时、当0a >时的极值情况解析：（Ⅰ）定义域为()0,+∞,1a =时, ()ln f x x x =-,()11f x x'=-,()11101f =-=',()11ln11f =-=,所以切线方程为1y =; （Ⅱ）()1a x af x x x'-=-=,定义域为()0,+∞, ①当0a ≤时, ()0f x '>,函数()f x 在()0,+∞上为增函数,此时函数()f x 无极值; ②当0a >时,令()0f x '=,解得x a =,当()0,x a ∈时, ()0f x '<,当(),x a ∈+∞时, ()0f x '>,所以函数()f x 在x a =处取得极小值,且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值, 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.8．【2019届北京市丰台区高三一模】已知函数()()()=e ln 1xf x a x a R -+∈.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，求a 的取值范围．【答案】(1) ()e y a x =-;(2) ⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由题意()e x af x x='-，因为()1e f a =-， ()1e f a '=-，利用点斜式方程即可求解切线的方程； （Ⅱ）由()e x af x x='-，分0a ≤和0a >讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅱ）()e x a f x x='-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，都有()0f x '>， 所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则()2e 0x ag x x=+>'．9．【2019届江西省上饶市高三下二模】设函数()22ln x e kf x k x x x=++（k 为常数， 2.71828e =为自然对数的底数）．（1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数()f x 在()0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数k 的取值范围. 试题解析：(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()2423222xx x x e kxx e xe k k f x x x x x-+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0x e kx +>，所以当()0,2x ∈时， ()0f x '<；当()2,x ∈+∞时， ()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；当0k <时，令0x xe e kx k x +=⇒-=， ()x e g x x =，依题函数y k =-与函数()xe g x x=， ()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.()()21x e x g x x ='-，当()0,1x ∈时， ()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，当()1,3x ∈时， ()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；而()()()231,2,3.23e e g e g g ===和极大值点2x .综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】本题的难点在第（2）问，主要是对函数xy e kx =+的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破. 10．【2019届北京市城六区高三一模】已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，其中a R ∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当()0,ln2a ∈时，证明： ()f x 存在极小值． 【答案】（Ⅰ）0a =．（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) ()f x 的导函数为()221e ln xf x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭． 依题意()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =．(Ⅱ) 由()221e ln xf x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭．令()221ln g x a x x x =+-+， ()()223311220x x x g x xx-+-+==>'恒成立，故()g x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈， ()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =．可得f(x)在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭减，令()221ln g x a x x x=+-+， 则 ()()22331122x x x g x x x -='+-+=． 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,+∞单调递增． 因为()0,ln2a ∈，所以()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =． ()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的情况如下：所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值()0f x ．11【2019届北京师范大学附中高三下二模】已知函数，其中，为自然对数底数．（1）求函数的单调区间； （2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．【解析】【试题分析】(1)求导后令导数等于零,求得极值点后写出单调区间.(2)结合(1)求得函数的最小值,由此得到的取值范围.再利用导数求得 的取值范围.【试题解析】 （1）因为，因为，由得，所以当时，，单调递减；当时，单调递增．综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因为，由函数对任意都成立，得，因为，所以．所以，设，所以，即的最大值为，此时，．【名师点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.12．【2019届新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数()1xf x e ax =++（a R ∈）.若0x =是()f x 的极值点.（I ）求a ,并求()f x 在[]2,1-上的最小值；（II ）若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立，其中k 为整数， ()'f x 为()f x 的导函数，求k 的最大值.【答案】（I ）1a =-，最下值2；(II ）2.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据0x =是()f x 的极值点得到1a =-，再利用导数求函数的单调区间，求函数()f x 在[]2,1-上的最小值.(2)第（2）问，先分离参数得到11x x xe k e +<-，再求函数()11x x xe g x e +=-（0x >）的最小值，即得到k 的最大值. 试题解析：（I ）()'xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得()'00f =，∴1a =-.易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 所有当0x =时， ()f x 在[]2,1-上取得最小值2. （II ）由（I ）知1a =-，此时()'1xf x e =-，∴()()'111x x x kf x xe k e xe <+⇔-<+∵0x >，∴10xe ->，∴11x x xe k e +<-令()11x x xe g x e +=-（0x >），∴()min k g x <()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）【名师点睛】本题的难点在求出()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数()2xh x e x =--，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果()'()0x ><不方便解出，一般要考虑二次求导.。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题26 应用AD x AB y AC =+ 解题探秘【热点聚焦与扩展】高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．要特别注意基底的不唯一性-----只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+.其中12,e e 称为平面向量的一组基底. （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则1122λμλμ=⎧⎨=⎩2、“爪”字型图及性质：B（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD x AB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n mAD AB AC m n m n=+++ 3、AD x AB y AC =+中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD x AB y AC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解【经典例题】例1.在梯形ABCD 中，AD∥B C ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD mBA nBC =+ (m ，n∈R)，则mn＝( ) A. －3 B. －13 C. 13D. 3【答案】A【点睛】当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程.若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量例2.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.例3.【2019届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】如图三点共线，∵是的重心，故当且仅当等号成立故选D例4.【2019届北京市朝阳区一模】在平面直角坐标系xOy 中,已知点)A, ()1,2B ,动点P 满足OP =OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】设(),P x y ,则()()3,2,OP OA OB x y λμμμ=+=+=,2x yμμ+=∴= 2{2y y x μλ=∴⎫=-⎪⎝⎭,012{01 21222y y x y y x ≤≤⎫∴≤-≤⎪⎝⎭⎫≤+-≤⎪⎝⎭)02{02 21y x y x y≤≤∴≤-≤≤+≤,所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）,122S ==,故选C .【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.例5.【2019年4月湖南G10教育联盟高三联考】平行四边形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， 120BAD ∠=︒，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，如AP xAB y AD =+，则32x y +的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】 B【解析】∵AP xAB y AD =+， ∴2AP =()2xAB y AD+221942322x y xy =++⨯⨯⨯（﹣）2223323?3?232324x y x y x y x y =+≥+⨯+（）﹣（）﹣（）=14232x y ⨯+（）；故选：B ．例6.【2019届四川省雅安市三诊】在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则，，，，，即，，.∵∴∴∴故选A.例7.在ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若,AM xAB AN yAC ==，则4x y +的最小值是（ ）A.94B. 21 【答案】【解析】若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系。

专题09 导数的几何意义-----切线问题【热点聚焦与扩展】导数的几何意义为高考热点内容，考查题型文科多为选择、填空题，理科常出现在解答题中，难度中等或更小．归纳起来常见的命题探究角度有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A.这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线.（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上. （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点.（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线.（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子y x =在()0,0处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x 轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：3y x =在()0,0处不可导.综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数. （二）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程。

专题29 常见不等式的解法【热点聚焦与扩展】高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等);一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。

（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可-—关键点：图象与x 轴的交点 2、高次不等式(1）可考虑采用“数轴穿根法",分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图象,()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分(2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式(1)将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2)分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f x g x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积）,进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 (1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用）；二是通过平方(3）若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法:(1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析,例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ）,将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立,再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————专题62 几何概型【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查几何概型的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.4.几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率.（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数.从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系.从而将问题转化成为第（2）类问题求解5.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．6．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．7. 求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．8. 求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【经典例题】例1.【2019年全国卷I理】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果. 例2.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 例3.【2019届江西省临川一中模拟】已知三地在同一水平面内，地在正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A例4.【2019届山东省实验中学二模】《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．详解：设水深为x尺，则（x+2）2=x2+52，解得x=，即水深尺．又葭长尺，则所求概率为.故选：A．例5.【2019届河南省最后一次模拟】如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D所以,所求的概率为.本题选择D选项.例6.【2019届河北省武邑中学四模】在平面区域内随机取一点，则点在圆内部的概率（）A. B. C. D.【答案】B其中满足的点为阴影部分对应的点，其面积为，不等组对应的平面区域的面积为，故所求概率为，故选B．例7.【2019届安徽省淮南市二模】已知是边长为2的正三角形，在内任取一点，则该点落在内切圆内的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意求出△ABC内切圆的面积与三角形的面积比即可．详解：如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，则AD=，OD=，∴△ABC内切圆的半径为r=，所求的概率是P=．故答案为：D例8.【2019届安徽省安庆市第一中学热身】在上任取一个个实数，则事件“直线与圆”相交的概率为( )A. B. C. D.【答案】C故选C．例9.【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C根据几何概型，得所投入的点落在区域N中的概率为，故选C.例10.【2019届江西师范大学附属中学三模】在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].【精选精练】1．【2019届广东省东莞市考前演练】如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由几何概型及概率的计算可知，用黑色部分的面积比总面积，即可求解概率.详解：设白色部分的等腰直角三角形的斜边长为，则直角边的长为，所以所有白色部分的面积为，则黑色部分的等腰直角三角形的腰长为1，所有黑色部分的面积为，由几何概型可得其概率为，故选B.2．【2019届安徽省江南十校冲刺联考（二模）】已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）A. B. C. D.【答案】C∴所求概率为．故选．点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．3．【2019届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知在矩形中，，现在矩形内任意取一点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，则在两弧区间，求出两弧之间曲边形面积，利用几何概型概率公式可得结果.扇形面积为，两弧之间曲边形面积为，的概率为，故选B.4．【2019届山东省潍坊市三模】三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D所以打正方形的面积为，小正方形的面积为，所以满足条件的概率为，故选D.5．【2019届四川省成都市模拟（一）】把一根长为6米的细绳任意做成两段，则稍短的一根细绳的长度大于2米的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为6米的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间2米处的两个界点，再求出其比值．详解：记“稍短的一根细绳的长度大于2米”为事件，则只能在距离两段超过2米的绳子上剪断，即在中间的2米的绳子上剪断，才使得稍短的一根细绳的长度大于2米，所以由几何概型的公式得到事件发生的概率故选D.6．【2019届安徽省江南十校冲刺联考（二模）】不等式所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为.向内随机投一个点，则该点落到内概率为（）A. B. C. D.【答案】A概率为．7．【2019届山东省名校联盟一模】七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000颗米粒（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内米粒数大约为（）A. 750B. 500C. 375D. 250【答案】C6．【2019届山西省运城市康杰中学高考模拟（一）】在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用直线和圆的位置关系得到弦长等于该圆内接三角形的边长的直线的位置，再利用几何概型的概率公式进行求解.详解：设圆的半径为，则，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为.故选C.点睛：本题考查几何概型的概率问题，几何概型的几何模型主要是长度、面积与体积，其关键是选择合适的模型，如本题中虽然涉及直线和圆的位置关系，但要注意点在圆的直径上运动，即该概率为线段的长度之比.7．【2019届河南省巩义市市直高中下学期模拟】已知点，在：上随机取一点，则的概率为__________．【答案】8．【2019届宁夏回族自治区银川一中高考前训练】如图，一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为________．【答案】.【解析】分析：先分别计算圆与正方形面积，再根据几何概型概率公式求结果.详解：因为圆与正方形面积分别为，所以该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为. 9．【2019届山东省潍坊市青州市三模】已知平面向量，则事件“”的概率为__________．【答案】10．【2019届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线下方的概率为__________．【答案】点睛：（1）本题考查定积分和几何概型的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是求点落在曲线下方的面积.11．【2019届江西省南昌市三模】中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率____．【答案】【解析】分析：根据几何概型的概率公式分别求出正六边形的面积和圆的面积即可详解：设圆心为O，圆的半径为1，则正六边形的面积S=则对应的概率P=，故答案为.12．【2019届山东省威海市二模】在中，在边上任取一点，满足的概率为_______.【答案】.。

专题06 函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查. （一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。

在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. （3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-∞+∞，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线. 信息点：渐近线 注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。

专题31 数形结合之----简单线性规划【热点聚焦与扩展】从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，或在目标函数的最值已知的条件下确定参数的值，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．本专题重点说明利用数形结合法解答此类问题. （一）简单线性规划问题 1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y （3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况： ① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域.例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断.例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧.考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中.（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a zy x b b=-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关.② 分式——与斜率相关（分式）：例如y bz x a-=-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 连线的斜率.③ 含平方和——与距离相关：例如()()22z x a y b =-+-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 距离的平方.（3）根据z 的意义寻找最优解，以及z 的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取. （1）在斜率符号相同的情况下：k 越大，则直线越“陡”（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点.（二）非常规线性规划问题解答策略第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算.【经典例题】例1. 【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A 【解析】例2. 【2017课标3，理13】若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________. 【答案】1- 【解析】【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.例3. 【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以．故选A．例4.【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B例5.【2018届宁夏银川市第二中学二模】设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )A. B. 4 C. D. 2【答案】B【解析】分析：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A 点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．详解：故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.例6.【2018届云南省曲靖市第一中学4月监测（七）】若不等式，表示的平面区域为三角形且其面积等于，则的最小值为（）A. -2B.C. -3D. 1【答案】A【解析】分析：先做出不等式组对应的平面区域，求出三角形的各顶点坐标，利用三角形的面积公式确定值，再利用平移目标函数直线确定最优解．详解：作出不等式组表示的平面区域（如图所示），由图象，得当直线过点时，取得最小值为.故选A．例7．【2018届湖南师范大学附属中学高三月考六】已知满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为( )A. 或-1B. 2或C. -2或1D. 2或-1【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线的斜率的变换，从而求出的值.详解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则直线与直线平行，此时；综上或，故选C.例8.【2018届百校联盟TOP20四月联考】已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围. 详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C例9.【2018届山西省孝义市一模】已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C由可解得，即B（2，﹣1）此时有﹣1=|2﹣1|+m，解得m=﹣2；由可解得，即B（1，1）此时有1=|1﹣1|+m，解得m=1；故实数m的取值范围为[﹣2，1]，故答案为[﹣2，1]．故选C.例10.【2018届北京市海淀区二模】两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：小区小区根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且小区参加献爱心活动的同学比小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有____人.【答案】【解析】分析：设两区参加活动同学的人数分别为，受到服务的老人人数为，找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域,平移直线可求得满足题设的最优解.详解：当时，取得最大值为，即接受服务的老人最多有人，故答案为.【精选精练】1.【2018届辽宁省丹东市模拟二】若点满足不等式组，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：将不等式组的可行域表示在平面直角坐标系中，进而利用，即，转化为区域内的点和定点连线的斜率即可.详解：故选A.2.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】设点满足约束条件,且,则这样的点共有( ）个A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】A【解析】分析：由约束条件画出可行域，根据可行域，利用,可逐一写出满足条件的点，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，由图可知，满足，得，共有，，共个，故选A.3.【2018届陕西省咸阳市三模】已知实数，满足给，中间插入5个数，这7个数构成以为首项，为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：实数x，y满足，如图所示，画出可行域△ABC．给x，y中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和=，令x+y=t，则y=﹣x+t．利用线性规划因此这7个数和=的最大值为，故答案为：D4．【2018届相阳教育“黉门云”高考模拟】已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C.5．【2018届第三次全国大联考】已知不等式组表示的平面区域为，若以原点为圆心的圆与无公共点，则圆的半径的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知当圆的半径小于原点到直线的距离或大于时，圆与无公共点，而原点到直线的距离为，，故圆的半径的取值范围为.6．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知实数，满足不等式组，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 8 【答案】C|x ﹣y|的几何意义：表示区域内的点到直线x ﹣y=0的距离的倍，由图可知点A(4,0)到直线x-y=0距离最大，所以|x ﹣y|的最大值为故答案为：C ．点睛：本题解题的关键是发现|x-y|的几何意义，|x-y|它表示区域内的点到直线x ﹣y=0的距离的倍，利用数形结合分析解答，可以提高解题效率.所以在今后的解题过程中，看到|ax+by|要联想到点到直线的距离公式.7．【2018届广东省佛山市检测二】已知a 0>，设,x y 满足约束条件0{10 3x y a x y x -+≥+-≥≤，且2z x y =-的最小值为-4，则a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C故选C.8.【2018届安徽省“皖南八校”第三次（4月）联考】已知函数，若满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.9.【2019届高考全程训练】某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品,A B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：则使总预计收益达到最大时，,A B两种产品的搭载件数分别为( )A. 9,4B. 8,5C. 9,5D. 8,4【答案】A由2330{222x yx y+=+=解得9{4xy==,故M(9,4)．所以目标函数的最大值为z max＝80×9＋60×4＝960，此时搭载产品A有9件，产品B有4件．故选A.10.【2018届第二次全国大联考】若满足不等式组，则目标函数的取值范围是_____．【答案】【解析】，令，并作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，11．【2018届辽宁省丹东市测试二】设实数，满足约束条件，则的取值范围为_______．【答案】【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，将变形为，然后平移直线确定取最小和最大值时的最优解，进而可得所求范围．详解：画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．12．【2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】若实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：画出可行域，设,化为，平移直线，由可行域可得的取值范围，从而可得的取值范围.详解：设,化为，画出，表示的可行域，平移直线，如图，故答案为.。

专题63 事件的关系与概率运算【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、事件的分类与概率：（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100% （2）不可能事件：一定不会发生的事件，用∅表示，不可能事件发生的概率为0%（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈ 2、事件的交并运算：（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为AB ，简记为AB多个事件的交事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 同时发生（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B多个事件的并事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件AB 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥（2）若一项试验有n 个基本事件：12,,,n A A A ，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以12,,,nA A A 之间均不可能同时发生，从而12,,,n A A A 两两互斥（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有()()()P A B P A P B =+例如在上面的例子中，事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16P A P B ==，所以根据加法公式可得：()()()13P AB P A P B =+=（4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，并事件A B 为必然事件，则称事件B 为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：()()1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：① 公式的证明：因为,A A 对立，所以AA =∅，即,A A 互斥，而A A =Ω，所以()()()()P P AA P A P A Ω==+，因为()1P Ω=，从而()()1P A P A =-② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B 不是必然事件）4、独立事件与概率的乘法公式：（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =⋅ ，比如在上面那个例子中，()()11,66P A P B ==，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()136P C P AB P A P B ==⋅=. （4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n kk k n P C p p -=-① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为13”为例，设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()12i P A =，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()21231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223223111132222P B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② kn C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式： （1）条件概率：（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ （3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例）① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()()|P AB P B A P A =即可计算② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率.所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率 6、两种乘法公式的联系：独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =⋅ 含条件概率的交事件概率：()()()|P AB P A P B A =⋅通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B 通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）【经典例题】例1.【2019年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则 因为所以故选B.例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C例3.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ） （A ）65（B ）52 （C ）61 （D ）31 【答案】A【解析】甲不输概率为115.236+=选A. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.例4. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（ ）A. ①B. ②④C. ③D. ①③ 【答案】C答案：C.例5.甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23,55，则甲胜出的概率为（ ）A.1625 B. 1825 C. 1925 D. 2125【答案】A【解析】思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件i A 为“甲在第i 局获胜”，事件B 为“甲胜出”，则()()()112P B P A P A A =+，依题意可得：()125P A =，两场比赛相互独立，所以()()()12123265525P A A P A P A =⋅=⋅= 从而()1625P B = 答案：A例6. 如图，元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在,M N 之间通过的概率是（ ）A. 0.729B. 0.8829C. 0.864D. 0.9891【答案】B【解析】思路：先分析各元件的作用，若要在,M N 之间通过电流，则4A 必须通过，且12,A A 这一组与3A 两条路至少通过一条.设A 为“12,A A 通过”，则()20.90.81P A ==，设B 为“3A 通过”，()0.9P B =，那么“至少通过一条”的概率()()()110.019P P AB P A P B =-=-=，从而,M N 之间通过电流的概率为0.0190.90.8829⨯=答案：B.例7. 事件,,A B C 互斥事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____． 【答案】12点睛：本题主要考查相互互斥事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题.例8. 甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______ 【答案】1324【解析】思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球.所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率.设事件A 为“取出甲袋”，事件B 为“取出白球”，分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋，则()()1|P P A P B A =⋅，依题意可得：()()15,|212P A P B A ==，所以1155=21224P =⋅；若取出的是乙袋，则()()2|P P A P B A =⋅，依题意可得：()()142,|263P A P B A ===，所以2121233P =⋅=，综上所述，取到白球的概率121324P P P =+= 答案：1324例9. 已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率. 【答案】15P =【解析】解：方法一：按照公式计算.设事件A 为“甲未中奖”，事件B 为“乙中奖”，所以可得：()56P A =，事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”，则()11512616C C P AB A ⋅==.所以()()()1|5P AB P B A P A == 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为15P =例10. 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.4，乙胜的概率为0.6，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.（写出计算过程） 【答案】甲获胜的可能性大【精选精练】1．【2019届福建省百校临考冲刺】现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据古典概型的概率求解方法，列出４个小球所有排列的可能共有12种，则能够满足中间2个小球不都是红球的有2种情况，所以根据独立事件的概率计算方法可求出概率.详解：根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,BC CA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB,BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为所以中间两个小球不都是红球的概率为所以答案选C.2.【2019届华大新高考联盟4月检测】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日:春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】C点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用．3.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为23，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为89，则A题答对的概率为()A. 14B.12C.34D.79【答案】C【解析】做对A题记为事件E，做对B题事件F，根据题意P(EF)= 23，又()()()283 (|)9P EFP F EP E P E===解得P(E)= 34.故答案为：C4．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为25，丙及格的概率为23，则三人至少有一个及格的概率为（）A. 125B.1675C.2425D.5975【答案】C【解析】解析：由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是422111155325⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故甲、乙、丙三位同学都至少有一个及格的概率是12412525-=，应选答案C.5.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A. A⊆DB. B∩D＝∅C. A ∪C ＝DD. A ∪C ＝B ∪D 【答案】D选D.6．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则 ( ) A. A ⊆B B. A=BC. A+B 表示向上的点数是1或2或3D. AB 表示向上的点数是1或2或3 【答案】C【解析】设{}{}{}{}1,2,2,3,2,1,2,3A B A B A B ==⋂=⋃=，所以A B +表示向上的点数为1或2或3,故选C.7．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ） A.B. C. D.【答案】C8．【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得圆柱的体积和区域N所表示的小圆柱的体积，根据几何概型，即可求解相应的概率.详解：由题意，易知圆柱的体积为，因为区域N 表示圆柱内到下底面的距离大于1的点组成的集合，苏一区域N表示圆柱内的一个小圆柱（与圆柱共上底面），且小圆柱的体积为，根据几何概型，得所投入的点落在区域N中的概率为，故选C.9．【2019届江西省重点中学协作体第二次联考】已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】B本题选择B选项.10．向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A. A与B是互斥而非对立事件B. A与B是对立事件C. B与C是互斥而非对立事件D. B与C是对立事件【答案】D【解析】分析：根据互斥事件和对立事件的概念，逐一判定即可．详解：对于A、B中，当向上的一面出现点数时，事件同时发生了，所以事件与不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件与不能同时发生且一定有一个发生，所以事件与是对立事件，故选D．11. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________【答案】16 125【解析】思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可.所以2141655125 P⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭答案：16 125.12. 从1,2,3,,15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______【答案】9 14思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论.当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是13，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙数的概率114 314P=⋅，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为219 314P=⋅，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为31 3P=，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为1239 14P P P P =++=答案：9 14点睛：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率.即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”.。

专题01 利用数轴解决集合运算问题【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算. 1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分. :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和.:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可. 3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则（ ） A ．{|0}A B x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A 【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以，结合数轴得{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.例2【2019届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ）A. 0a =B. 2a ≤C. 2a ≥D. 2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,结合数轴得2a ≤,故选C.例3【2019届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数a R ∈，集合()(){}|120A x x x =--≥， {}|B x x a =≥，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】由题得{|21}A x x x =≥≤或，因为A B R ⋃=，所以通过画数轴分析得到1a ≤，（注意一定要取等），故选B.【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点； （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合； （3）注意考虑端点处是否可以重合.例4【2019届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合{}A x x a =<， {}2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥ 【答案】D例5.已知函数()221,02()1,,20xx g x ax f x x x ⎧-≤≤⎪=+=⎨--≤<⎪⎩，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________ 【答案】【解析】思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-()[]24,3f x ∴∈-[)1,0a ∴∈-综上所述：[]1,1a ∈- 答案：[]1,1a ∈-.例6.已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，则ba=________ 【答案】4-【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围.从而确定出,a b 的值， 1,4a b =-=，所以4ba=-. 例7. 已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围为 【答案】53(,)22-【解析】先解出,A B 的解集，A B ⋂≠∅意味着,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合B 两端点的位置，进而求出m 的范围22(21)0x m x m m -+++<()()()10x m x m ∴-+-< 1m x m ∴<<+ A B ≠∅312m ∴+>-且32m <53,22m ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.例8：在R 上定义运算:2xx y y⊗⊗=-，若关于x 的不等式(1)0x x a ⊗+->的解集是{|22,}x x x R -≤≤∈的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a -≤≤B ．12a -≤≤C ．31a -≤<-或11a -<≤D ．31a -≤≤ 【答案】D【解析】首先将(1)0x x a ⊗+->变为传统不等式：()()1001xx x a x a ⊗+->⇒<-+，不等式含有参数a ，考虑根据条件对a 进行分类讨论。

专题19 利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积=底⨯高梯形面积=12⨯（上底+下底）⨯高三角形面积=12⨯底⨯高②商业问题：总价=单价⨯数量利润=营业额-成本=货物单价⨯数量-成本③利息问题：利息=本金⨯利率本息总和=本金+利息=本金⨯利率+本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点：① 正弦定理：设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则有sin sin sin a b cA B C==② 余弦定理（以a 和对角A 为例），2222cos a b c bc A =+- ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数()sin y A x ωϕ=+的值域 （3）解题技巧与注意事项：① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．【2018届上海市松江、闵行区高三下学期（二模）】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例2.【2018年江苏省高考冲刺预测卷一】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：（，且），已知第二年付费1800元，第五年付费6000元.}（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.例3．【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.的大小可得选择的结论．X 62 71 80P 0．1 0．2 0．7∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y 58 67 76 85P 0．1 0．2 0．16 0．54∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．例4．【2018届江苏省无锡市高三上期末】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.例5.如图所示，甲船以每小时302n?mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20n?mile ．当甲船航行 20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120︒方向的2B 处，此时两船相距102mile n ，问乙船每小时航行多少n?mile ？【答案】302n?mile . 【解析】试题分析：连接12A B ，先得122A A B 是等边三角形，求出12A B ，在121A B B 中使用余弦定理求出12B B 的长，除以航行时间得出速度．试题解析：如图，连结12A B ,由题意知, 221220102nmile,302102nmile 60A B A A ===.所以1222A A A B =.又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒，答：乙船每小时航行 302nmile .例6.【2018届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面； 方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； （2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)()()52π1r+=；(2) 210.【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得()()52π1r+=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则2{1004xaa ax≤≤-，，即2{20.xaax≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3202104{400210.xxV a xxx<≤=≤>，，，记函数()302104{40010.xxp xxx<≤=>，，，则()p x在(0210上单调递增，在)210⎡+∞⎣，上单调递减. ∴当10x=时，()max2010p x=∴当10x=，10a=maxV=103．（2）当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．例7.【2018届江苏省南通市高三上第一次调研】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）165m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x y y =+=≥得165y =.所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1600284≥ )640021=.当且仅当22t =sin 222θ=时“=”成立. 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)2640021m .答：当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.例8.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形ABCD .某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG （点F 在曲线段AC 上，点E 在线段AD 上）.已知12BC m =， 6AB AD m ==，其中曲线段AC 是以A 为顶点， AD 为对称轴的抛物线的一部分.（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC 与线段DC 的方程； （2）求该厂家广告区域DEFG 的最大面积.【答案】(1) ()21063y x x =-≤≤， ()606y x x =--≤≤；(2)最大值是2272m则()00A ，， ()6,0B ， ()6,12C -， ()0,6D -， 曲线段AC 的方程为： ()21063y x x =-≤≤； 线段DC 的方程为： ()606y x x =--≤≤；（2）设点21,3F a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则需2163a ->-，即032a <<令()0f a '=，得3a =， 2a =-.∴()f a 在(]0,3上是增函数，在3,32⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴()()2732f a f ==. ∴厂家广告区域DEFG 的面积最大值是2272m . 点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利用导数研究单调性即可求出最值.例9. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 【答案】（1）10；（2）约为3.3.【解析】解：（1）将4,21x y ==代入关系式可得：()221446102m m =+-⇒= （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为()2x -元，所以总的利润()()()2102462f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，其中26x <<，利用导数判定()f x 的单调性，进而可求得最大值点x()f x ∴在103x =取得最大值，即 3.3x例10.如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()(]sin 0,0,0,,4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -，边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE（1）求曲线FGBC 的函数表达式（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G ，修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 的长度（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行 四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值【答案】（1）22sin 63y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）10；（3）6πθ=时，OMPQ S 的最大值为23 . 【解析】解：（1）由()1,2B -可知2A =，()4,0F -∴ 对于()sin y A x ωϕ=+，()()41412T =---=⎡⎤⎣⎦26T ππω∴==（2）由已知可得1G y = 2212sin 1sin 63632G G x x ππππ⎛⎫⎛⎫∴+=⇒+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2=2636G x k ππππ∴++或25=2636G x k ππππ++ 解得：312G x k =-+或112G x k =+，由()4,0G x ∈-可得：()3,1G -10OG ∴=（3）由图可知，3,1OC CD ==2,6DO COD π∴=∠=12323232cos 2sin 2sin 2333OMPQS OM PP θθθθθ⎛⎫∴=⋅=-⋅=+- ⎪⎝⎭432320,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2626πππθθ∴+=⇒=时，OMPQ S 23【精选精练】1．【2018年北京市门头沟一模】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。