2017-2018学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版

2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．（5分）曲线y=e x在点x=0处的切线的倾斜角为．3．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．5．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=．7．（5分）若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．8．（5分）函数，则f（x）的单调减区间是．9．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．10．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．11．（5分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为．13．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+t anβ=1，则直线PA的斜率为．14．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和，求此椭圆的标准方程．（2）若某双曲线与椭圆+=1共焦点，且以y=±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．16．（14分）已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的为焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．17．（14分）已知圆：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A 为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．19．（16分）已知A、F分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；（3）记圆O：x2+y2=为椭圆C的“关联圆”．若b=，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：+为定值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．（5分）曲线y=e x在点x=0处的切线的倾斜角为．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x，则f′（0）=1，即切线斜率k=f′（0）=1，由tanα=1，解得α=，故答案为．3．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．5．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是2＜r＜8．【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，所以，解得2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2，故答案为27．（5分）若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2，∴A点坐标为：（3，±2），∴A到坐标原点的距离为=．故答案为：．8．（5分）函数，则f（x）的单调减区间是（0，），（，2π）．【解答】解：当x∈（0，2π）时，由f′（x）=＜0，解得0＜x＜，或，f（x）的单调减区间是（0，），（，2π），故答案为：（0，），（，2π），9．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）10．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．11．（5分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．【解答】解：由可得x=1，所以切点为（1，1），它到直线y=x﹣2的距离为．故答案为：12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C上一点．存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，∴存在一个定圆M，圆心与圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，的圆心重合，如图：|PC|=2，当R M=1时，∠APM=30°，∠MPB=30°；|PM|=2，|MB|=1此时∠APB=60°，圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．故答案为：（x﹣1）2+y2=1．13．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），椭圆的离心率e====，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，解得：x=，∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（，1）．【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1，故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣，故﹣1＜﹣k＜﹣，即＜k＜1；故答案为（，1）．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和，求此椭圆的标准方程．（2）若某双曲线与椭圆+=1共焦点，且以y=±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），若椭圆经过两点和，则有，解可得：，则椭圆方程为：；（2）由题意知，椭圆+=1的焦点为（±4，0），双曲线的焦点为，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设双曲线方程为：则a2+b2=48，又由双曲线的渐近线为y=±x，则有，解可得：a2=12，b2=36，故要求双曲线方程为：．16．（14分）已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的为焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：（1），令f′（x）＜0，得0＜x＜3，∴f（x）在（0，3）上是减函数，∵f（x）在区间（m，m+1）上单调递减，∴（m，m+1）⊆（0，3），∴，解得0≤m≤2；（2）若q为真，则：5﹣m＞m﹣1＞0，∴1＜m＜3，∵命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，∴p与q一真一假，①若p真q假，得0≤m≤1；②若p假q真，则，即2＜m＜3．综上：0≤m≤1或2＜m＜3．17．（14分）已知圆：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【解答】解：（1）当a=﹣8时，x2+y2﹣2x﹣8=0∴圆M：（x﹣1）2+y2=9…2分①若切线斜率不存在，则切线方程为x=4，适合…4分②若切线斜率存在，设切线：y﹣5=k（x﹣4）即kx﹣y+5﹣4k=0∴∴∴切线方程为：…6分∴所求切线方程为：x=4或8x﹣15y+43=0…7分（2）解法一：圆M：（x﹣1）2+y2=1﹣a∵1﹣a＞0，∴a＜1，①若直线AB斜率不存在，不妨设则，∴a=﹣6，∴圆M的半径…9分②若直线AB斜率存在，设AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（1+k2）x2﹣2（k2+1）x+（k2+a）=0∴…11分∴∴k2+a﹣2k2+k2=﹣6，∴a=﹣6…13分综上：a=﹣6，∴圆M的半径…14分解法二：设A（x0，y0），则B（2﹣x0，﹣y0）∴∴…11分∵，∴a+6=0，∴a=﹣6，∴圆M的半径．…14分．18．（16分）如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A 为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线y2=2px∵点F（4，2）在抛物线上，∴22=2p×4，∴2p=1，∴y2=x（Ⅱ）设P（x2，x）则QE=AE﹣AQ=4﹣x2∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4﹣x2+x（0＜x ＜2）（Ⅲ）S'（x）=﹣3x2+x+4令S'（x）=0则x=﹣1（舍去）或当时，S'＞0，∴S（x）递增；当时，S'＜0，∴S（x）递减；∴当km时，km219．（16分）已知A、F分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；（3）记圆O：x2+y2=为椭圆C的“关联圆”．若b=，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：+为定值．【解答】解：（1）由PF⊥x轴，知x P=c，代入椭圆C的方程，得：+=1，解得，…（2分）又AF=2PF，∴a+c=，∴a2+ac=2b2，即a2﹣2c2﹣ac=0，∴2e2+e﹣1=0，由e＞0解得椭圆C的离心率e=．…（4分）（2）∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ=a，且PF∥x轴，∴，代入椭圆C的方程，解得，…（6分）∵点P在第一象限，∴y p=b，同理可得x Q=﹣，y Q=b，…（7分）∴k AP•k OQ=•=﹣，由（1）知e=，得=，∴k AP•k OQ=﹣．…（9分）证明：（3）由（1）知e==，又b=，解得a=2，∴椭圆C的方程为=1，圆O的方程为x2+y2=，①…（11分）连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，∴四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，设P（x0，y0），则四边形OMPN的外接圆方程为（x﹣）2+（y﹣）2=（），即=0，②…（13分）①﹣②，得直线MN的方程为xx0+yy0=，令y=0，则m=，令x=0，则n=．∴+=49（），∵点P在椭圆C上，∴+=1，∴=49（为定值）．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．。

江苏省邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数（为虚数单位），则=______．【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.2.已知集合，则___________【答案】【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____【答案】＋＋＋＋<【解析】试题分析：不等式的规律是：，则第⑤个不等式为考点：归纳推理点评：归纳推理，关键在于观察事实，寻求规律，然后得到结论。

对此类题目，只要用心思考，都能做得很好。

4.已知，用数学归纳法证明时，__________．【答案】【解析】试题分析：因为假设时，，当时，，所以．考点：数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对于的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当和时，分别写出和的表达式，即可作差求解的表示形式，属于基础题．5.已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________【答案】-3【解析】【分析】由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令求得结果.【详解】由题意得：，即可得：，解得：特征多项式为则或另一个特征值为：本题正确结果：【点睛】本题考查矩阵的特征向量问题，属于基础题.6.设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.【详解】由可知：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.7.已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是______【答案】【解析】试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则，命题为真命题，，则，所以．考点：1、命题的真假性；2、一元二次不等式恒成立．【方法点睛】本题主要考察存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式． 8.已知，设……，则……___________【答案】1023 【解析】 【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果. 【详解】即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_______ 【答案】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长.【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立，解得交点坐标为：，直线被曲线截得的线段长为：本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.10.下列命题错误的是__________（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。

2017-2018学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）1.（5 分）已知集合A={2}, B={1, a2},若AU B={0, 1, 2},则实数a=.2.（5分）已知i是虚数单位，则|1-2i尸.3.（5分）若幕函数f （x） =x a的图象经过点（3,然），则实数a=.4.（5 分）若C ：二C ;，则C ,.5.（5分）若函数y=f （x）的图象经过点（1, 2）,则y=f （ - x） +1的图象必经过的点坐标是.9-i6.（5分）已知i是虚数单位，则复数2号的共腕复数是_________ .1+14 , 27.（5分）用数学归纳法证明：1=2+3+-彳=2”一,则等式左端在n=k+1时比在n=k时增加的项数为... ............. |A XO+BV Q+C| .....8.（5分）点（X0, y o）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d= 丁厂— ,口,通过类比的A/A2+B2方法，可求得：在空间中，点（1,1,2）到平面x+y+2z+3=0的距离为.9.（5分）若复数z满足|z-1-2i|=2,则|z|的最小值为.10.（5分）xCR,用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-|x|表示x的小数部分，. .................................... 仁_ 1 …已知数歹（J {a n}?两足：a1=1d, a n+1=[a n]+ 13,贝U a2018=.11.（5分）分别在曲线y=2lnx与直线y=2x+3各取一点M,N,则MN的最小值为.12.（5分）某市旅游节分配志愿者工作，组委会将甲乙丙丁戊五名志愿者分配到翻译，导游，司机三个岗位，若每人不准兼职则不同的分配方案有种.13.（5分）设函数f （x） =cx-ax-b x,其中c>a>0, c>b>0,若a, b, c是AABC的三条边长，则下列结论正确的是 .①？x€ （-8, 1）,使得f （x）》0 成立；②？ xC R, a x, b x, c x总能构成一个三角形的三条边长；③若△ ABC为直角三角形，则？nCN*, f （2n） >0包成立；④若△ ABC为钝角三角形，则方程f （x） =0在区间（1,2）必有解;14.(5分)定义在R的函数f (x)满足：f (x) +f (-x) =x2,且当x》0时，f'(x) < x.设函数g (x) =2e x+3x-a,若存在xoC{x|f (x) - f (1 - x) >x-2},使得g[ g (xo) ] =xo,则实数a的取值范围是.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.(15 分)全集U=R,函数f (x) = 1+lg (3-x)的定义域为A,则函数y=lg2x-lgx+a 在xC [ 1 , 10]的值域为B.(1)求？U A；(2)若AUB=A,求实数a的取值范围.2 ..... ...... .... 一一一一，，一一一，一，,一16.(15分)若(x-与二)n展开式中的第四项的二项式系数是第二项的二项式系数的 5倍，求：(1)n的值；(2)展开式中含x3的项.17.(15分)若命题p：关于x的不等式3x<a的解集为空集；命题q：函数f (x) =x3+ax2+x 在R上是增函数..(1)若命题pAq是真命题，求实数a的取值范围.(2)设命题m：函数y=x2+bx+a的图象与x轴有公共点，若「p是「m的必要不充分条件，求实数b的取值范围.18.(15分)某中学旅游局欲将一块长20百米，宽10百米的矩形空地ABCD建成三星级乡村旅游园区，园区内有一景观湖EFG(如图中阴影部分)以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy, O为园区正门，园区北门P在y 一，一，一一，一……，一一，…4 ，…一正半轴上，且PO=10百米.景观湖的边界线符合函数y=x+— (x>0)的模型.(1)若建设一条与AB平行的水平通道，将园区分成面积相等的两部分，其中湖上的部分建成玻璃栈道，求玻璃栈道的长度.(2)若在景观湖边界线上一点M修建游船码头，使得码头M到正门O的距离最短，求此时M点的横坐标.(3)设图中点B为仓库所在地，现欲在线段OB上确定一点Q建货物转运站，将货物从点B经Q点直线转运至点P (线路PQ不穿过景观湖)，使货物转运距离QB+PQ最短，试确定点P的位置.19.(15分)如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+ (y-2) 2=1,且圆C与y轴交于M, N两点(点N在点M的上方)，直线l： y=kx (k>0)与圆C交于A, B 两点.(1)若AB=^,求实数k的值.5(2)设直线AM,直线BN的斜率分别为k1，k2,若存在常数a使彳# k产ak2包成立？若存在，求出a的值.若不存在请说明理由.(3)若直线AM与直线BN相较于点P,求证点P在一条定直线上.20.(15 分)已知f (x) =x (lnx— ax).(1)若a=0,求函数f (x)的单调区间和最小值.(2)若f (x)有两个极值求实数a的取值范围.(3)若x1, x2C (±1),且x〔+x2<1,比较x1x2与(为+⑼4的大小，并说明理由.已二.数学附加题21.已知(1 — 2x) n=a o+ax1+a2x2+・+a n x n(nCN*),且a1二—10(1)求n的值；(2)求a1+a2+・・+a n的值.22.在一个口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出3个球，其中白球的个数记为X.(1)求X的概率分布；(2)求X的数学期望.23.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA，平面ABCD PA=AB M 是PC上一点，且可!=宛(a 0) .(1)当人=3寸，求直线PB与直线DM所成角的余弦值；(2)若直线PB与平面MBD所成角的余弦值为■，求实数入的值.24.如图，平面上已有一个边长为1的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作一个边长也为1的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形；第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形，…，记第n步所作正方形的边长为f (n), nC N(1)求f (1) f (3) — f2 (2)和f (2) f (4) -f2 (3)的值；(2)试猜想f (n) f (n+2) - f2(n+1)的结果，并用数学归纳法证明.1畜外度”pri* >2017-2018学年江苏省扬州市高二 (下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.)1.【分析】由集合A={2}, B={1, a2}, AU B=[0, 1, 2},得a2=0,由此能求出实数a. 【解答】解：..集合A={2}, B={1, a2}, AU B={0, 1,2},a2=0,解得实数a=0.故答案为：0.【点评】本题考查实数值的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.2•【分析】直接利用复数模的计算公式求解.【解答】解：| 1-2i|=7i2+(-2)2=V5-故答案为：加.【点评】本题考查复数模的求法，是基础题.3.【分析】把点的坐标代入幕函数f (x)的解析式，求出a的值即可【解答】解：二•幕函数f (x) =x a的图象经过点(3,加)，；(3) a=注,解得：a=1,故答案为：【点评】本题考查了用待定系数法求幕函数解析式的应用问题，是基础题目4.【分析】利用：当C：=C；时，可得x=y或x+y=n,即可求解.【解答】解：:C、C :, ...n=4+7=11.则C n=C ll=C11=55-故答案为：55.【点评】本题考查了组合数公式，属于基础题.5•【分析】根据函数的图象变换规律，求得点(1,2)变换后的点的坐标，可得答案.【解答】解：把函数y=f (x)的图象关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y=f(-x) +1的图象.把函数y=f (x)的图象上的点(1,2)关于y 轴对称、再向上平移1个单位，可得点(-1, 3),故函数y=f (- x) +1的图象必定经过的点的坐标是(-1,3), 故答案为：(-1, 3).【点评】本题考查函数的图象经过的点的求法， 考查函数性质、函数的平移等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6•【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.故答案为:【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.7.【分析】求出n=k 时左边的表达式，求出n=k+1时左边的表达式，通过求差即可得到 左端增加的表达式.【解答】解：n=k 时左端为：1+2+3+・・+w ，n=k+1时左端为：1 +2+3+- - +k 2+ (k 2+1) +(k 2+2) +••+ (k+1) 2.故答案为：(k 2+1) + (k 2+2) +.•+ (k+1) 2.【点评】本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，就是口=卜到n=k+1时的证明方法， 找出规律解答.8•【分析】利用点到平面的距离公式直接求解.【解答】解：在空间中，点(1,1,2)到平面x+y+2z+3=0的距离为：11+1+4+3 d=疝"- 2 •故答案为：孚U【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查类比推理的应用、点到平面的距离公式 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.9•【分析】由已知可得z 在以(1,2)为圆心，以2为半径的圆上，画出图形，数形结合得答案.【解答】解：由 |z-1-2i|=2,得|z- （1+2i ） |=2. 如图：【解答】解：〈z=2-i (2-i )(l-i) 1 3.1+i (1+i) (1-i) ~2 2z在以（1,2）为圆心，以2为半径的圆上.则| z|的最小值为| Op -2=/5 -2 .故答案为：诋-2.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.10•【分析】计算数列中的前几项，得到a n=2n-1+ （V2-1）,即可得到所求项.【解答】解：：a i =\/s, a n+i=[ a n]+ ~『，可得a i=1+ （加-1）,a2=1 +、去]=2+&=3+ （正-1）,a3=3+^Zf=4+比=5+ （近-1）,a4=5+、=6+近=7+ （近T）,…，a n=2n- 1+ （& - 1）,M 318=2X2018-1+ （& - 1）=4034+近，故答案为：4034+的.【点评】本题考查数列中的项的求法，注意运用归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题.11 •【分析】欲求|MN|的最小值，我们先平移直线y=2x+3与曲线y=2lnx相切，利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得切线的方程后利用平行线的距离公式求解即可. 【解答】解：设切点是（X0, yO ）,曲线y=2lnx,可得/二g9则/ I.. .. =-=2, ..x0=1,A口 故切点(1, 0), 故 M （1, 0）,故M 到直线y=2x+3的距离是: 2+3 r d=7=LM ， V2Z +1 故答案为：泥.【点评】本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是切线的斜率.属于基本知识的 考查.12 •【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将5人分成3组，分2种讨论可得分组 的方法数目，②，将分好的三组全排列，对应三个岗位，由分步计数原理计算可得答 案.①,将5人分成3组,「3rl l r 1则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三个岗位，有 A 33=6种情况, 则有25X6=150种不同的分配方案.故答案为：150.【点评】本题考查排列数公式的应用，注意排列、组合数的公式，属于基础题.台।b13.【分析】①依题意，可得0（一〈1, 0（一＜1,当xC （-/ , ,、x / । 、x x-(7)x-(7)x] <cx (1 -7-7) J J J J力+ [Ujf=cx?——>0,可判断①；②令a=2, b=3, c=4,则a, b, c 可以构成三角形的三边长，但 a 2=4, b 2=9, c 2=16却不 能2 i 2【解答】解：根据题意，分 2步进行分析:若分成2、2、1的三组,1工=15种分组方法;若分成3、1、1的三组,=10种分组方法;f 1)时，f (x) =c X [ 1构成三角形的三边长，可判断②正确；③若△ ABC为直角三角形，则c2=a2+b2,对于nCN*, f (2n) =c2n- a2n- b2n= (a2+b2) n-a2n-b2n>0,可判断③；④由c>a>0, c>b>0,且AABC为钝角三角形，可知a2+b2- c2<0,故f (1) =a+b - c>0, f (2) =a2+b2- c2<0,利用零点存在定理可判断④.【解答】解：①因为a, b, c是三角形的三条边长，所以a+b>c,又因为c>a>0, c>b>0,所以0(且<1, 0<卜<1, c c所以当xe( — 8, i)时，f(X)=c x[i -(-)x-(卜)x] <c x(1 —亘―卜) c c c c=c X?生殳3>0,故①不正确；c②令a=2, b=3, c=4,则a, b, c可以构成三角形的三边长，但a2=4, b2=9, c2=16却不能构成三角形的三边长，故②不正确；③若△ ABC为直角三角形，由题意得，c2=a2+b2,对于nCN*,f (2n) =c2n- a2n - b2n= (a2+b2) n-a2n-b2n>0,故③正确；④因为c>a> 0, c> b>0,且AABC为钝角三角形，所以a2+b2- c2<0,于是f (1) =a+b-c> 0, f (2) =a2+b2-c2<0,故函数f (x)在区间(1,2)内存在零点，故④正确.故答案为：③④.【点评】本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理，考查指数函数的性质, 以及余弦定理的应用，属中档题.14•【分析】构造新的函数，将f (x)转化为可以知道性质的函数，将X0的范围确定出来，再处理g (x),由性质确定出a的范围.【解答】解：:f (-x) +f (x) =x2A _ _ 1 9•・.令F (x) =f (x)一5x ,F' (x) <0 对x< 0 包成立,. F (x)为奇函数，F (x)在R上单调递减，「・f (x)-x= - f ( - x) +9xF (x) =-F ( -x),即F (x)为奇函数，v F' (x) =f'(X) X,且当x<0 时，f '(x) <x,: f (x) +^>f (1 — x) +x,f (x) +4"- 4-x2>f (1-x) +x- -^x2, 2 2 2即F (x) > F (1 - x),x< 1 - x,v 1xo<—,由g[g (xo) ]=xo 可得g (xo) =g 1 (xo),而g (x)如果与其反函数相交，则交点一定在直线y=x上,故有g (xo) =xo,即h (x) =2e x+2x - a=0 在(一°°, £]有解.・ h' (x) =2e x+3,h (x)在R上单调递增.••h (x) max=h (2)=2^+1 —a》0 即可，a< 2 7+1故答案为：(-8, 2曰+1] .【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化能力和运算能力, 属于难题.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15•【分析】(1)利用函数f (x) =二]+lg (3-x)的定义域能求出集合A,由此能求出C U A.2(2)由函数y=lg x- lgx+a 在x C [ 1, 10]的值域求出集合B={x| a -0x&a},由AUB=A, 得B? A,由此能求出实数a的取值范围.【解答】解：(1) :集U=R,函数f (x) = J」+lg (3-x)的定义域为A,C U A={ x| x0 1 或 x> 3}.(2) •.■函数 y=lg 2x —Igx+a 在 xe [1, 10]的值域为 B. B={x| a- %xwa}, . AU B=A, A B? A,・•・实数a 的取值范围是舟 3].【点评】本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的定义域、值域、 并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.16•【分析】(1)直接由题意可得C ：=5C ；,求解得n 的值;(2)写出二项展开式的通项，由x 的指数为3求得r 值，则答案可求.其二项展开式的通项4令<，得r=3.;展开式中含x 3的项为(-2)'・c//=-280x3.【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式 的通项，是中档题.17 •【分析】(1)由题意得p 和q 均是真命题，由不等式不等式 3x <a 的解集为？，可得 a的取值范围为a<0.利用f (x)的导函数在R 上大于等于0恒成立求得a 的范围， 取交集得答案；(2)由命题m 得：zX 〉。

一、填空题江苏省扬州市邗江区2018-2019学年高二下学期期中数学(理)试题1. 复数的共轭复数是 ___________2. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是____．3. 已知，且，则的值是 __________．4.把封不同的信投入个不同的信箱，不同的投法种数共有______种．5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______．6. 从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，，共可得到的不同值的个数是_____．7. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是__________.8. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）9. 在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是_______10. 如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______11. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .12. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ________．13. 观察下列等式：①cos 2α＝2cos2α－1；②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；二、解答题⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测m －n ＋p ＝________.14. 设为复数的共轭复数，满足．若为纯虚数，求；若为实数，求．15. 有名男生、名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端；男女相间．16. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD，，F 为BC 的中点，．（1）若，求异面直线PD 与EF 所成角的余弦值；（2）若，求二面角E -AF -C 的余弦值．17. 已知正数，，成等差数列，且公差，求证：，，不可能是等差数列．设实数，整数，．证明：当且时，．18. 如图，在四棱锥中，平面底面，侧面为等腰直角三角形，，底面为直角梯形，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.19. 在数列中，，．求，的值；证明：①；②．。

江苏省邗江中学2017-2018学年度第二学期高二数学期末试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合P ={﹣3，0，2，4]，集合Q ={x |﹣1＜x ＜3}，则P ∩Q = ▲ ． 2．设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则|z |=_____▲________． 3．54log 45log 81163343-++）（=_______▲__________． 4．函数lnxx -4x f 2=）（的定义域为___▲______． 5.设1.31.138.0c 2b 7log a ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为 ▲ .（用<号表示） 6．已知p ：m-1<x<m+1,q:(x-2)(x-6)<0,且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是 ▲ .7.从1,2,3,4,5,6，这6个数中任取两个不同的数，则这两个数的和是偶数的概率为 ▲ . 8.已知幂函数y=f （x ）的图像过点（2221，），则=）（2f log 2 ▲ . 【理】9．在6x2-x ）（的展开式中，常数项= ▲ .【文】9.若角α的终边经过P ⎪⎭⎫ ⎝⎛54-53，，则sin αtan α的值是 ▲ . 【理】10.已知函数⎩⎨⎧≥+<=,0,1x ,0x 1x f 2x ，）（则方程f （1-x 2）=f （2x ）的解集是 ▲ . 【文】10.如果直线l 1：x+2my-1=0与l 2：（3m-1）x-my-1=0垂直，那么实数m 的值为 ▲ . 11．记12x -x 为区间[21x x ，]的长度.已知函数y=）（，，0a ]a 2-[x 2|x |≥∈，其值域为[m,n],则[m ，n]的长度的最小值是 ▲ .12．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2，0]时，f (x )的解析式是 ▲ .【理】13.设集合A=1,2,3,4,5}i {-1,0,1}x |x x x x x {i54321=∈，），，，，（，那么集合A 中满足条件“3|x ||x ||x ||x |||x 154321≤++++≤”的元素个数为 ▲ .【文】13.若)232cos(,21)6(sin θπθπ+=-则的值为 ▲ .14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=,0x 210x 2kxx f x，）（，，）（若函数y=f （f （x ））-23有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ .第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）已知集合A={a|04ax 2x 2>++，不等式对R ∈x 恒成立}，B={x|4)2(2<<+k x }. (1)若k=1，求A ⋃B;(2)若=⋂B A φ，求实数k 的取值范围.【理】16（本小题满分14分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (1)求乙投球的命中率；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率.【文】16.已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.17（本小题满分14分）已知函数x x 2n -4x g =）（是奇函数，f （x ）=mx 14log x 4++）（是偶函数. （1）求m+n 的值； （2）设h （x ）=f （x ）+，x 21若g （x ）>h[log 4(2a+1)] 对任意x ≥1恒成立，求实数a 的取值范围.18（本小题满分16分）某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元，筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计．(1) 把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价；(2) 若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？(结果精确到0.01米)19（本小题满分16分）设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+-- (1)求()f x 的最小值；(2)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，求不等式()1h x ≥的解集.20（本小题满分16分）对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.（1）判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；（2）已知函数()g x 是“(1,4)型函数”,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,,试求m 的取值范围.2017-2018学年度第二学期高二数学期终试卷 （理科附加题）21.已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M .22.在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ= （R ∈ρ）距离的最大值.23.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4， AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．1A 1B 1C ABC24. 设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.江苏省邗江中学2017-2018学年度第二学期高二数学期终试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合P ={﹣3，0，2，4]，集合Q ={x |﹣1＜x ＜3}，则P ∩Q = {0,2} ． 2．设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则|z |=_____25________． 3．54log 45log 81163343-++（=______827_▲__________． 4．函数lnxx -4x f 2=）（的定义域为__（0,1）∪（1,2]_▲______． 5.设1.31.138.0c 2b 7log a ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为 c<a<b （用<号表示）6．已知p ：m-1<x<m+1,q:(x-2)(x-6)<0,且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是 [3,5]7.从1,2,3,4,5,6，这6个数中任取两个不同的数，则这两个数的和是偶数的概率为 .3/4 8.已知幂函数y=f （x ）的图像过点（2221，），则=）（2f log 2 .21 【理】9．在6x2-x ）（的展开式中，常数项= ▲ .-160【文】9.若角α的终边经过P ⎪⎭⎫ ⎝⎛54-53，，则sin αtan α的值是 ▲ .16/15【理】10.已知函数⎩⎨⎧≥+<=,0,1x ,0x 1x f 2x ，）（则方程f （1-x 2）=f （2x ）的解集是 ▲ .}2-1x -1x |{x +=≤或【文】10.如果直线l 1：x+2my-1=0与l 2：（3m-1）x-my-1=0垂直，那么实数m 的值为 ▲ . 1或1/211．记12x -x 为区间[21x x ，]的长度.已知函数y=）（，，0a ]a 2-[x 2|x |≥∈，其值域为[m,n],则[m ，n]的长度的最小值是 ▲ .312．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2，0]时，f (x )的解析式是 ▲ . f (x )=3－|x +1|【理】13.设集合A=1,2,3,4,5}i {-1,0,1}x |x x x x x {i54321=∈，），，，，（，那么集合A 中满足条件“3|x ||x ||x ||x |||x 154321≤++++≤”的元素个数为 ▲ .130【文】13.若)232cos(,21)6(sin θπθπ+=-则的值为 ▲ .97-14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=,0x 210x 2kxx f x，）（，，）（若函数y=f （f （x ））-23有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是 （41-21-，] 第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分14分）已知集合A={a|04ax 2x 2>++，不等式对R ∈x 恒成立}，B={x|4)2(2<<+k x }. (1)若k=1，求A ⋃B;(2)若=⋂B A φ，求实数k 的取值范围.答案(1)A ⋃B=(-2,3) (2)k ≤0或k ≥6理16（本小题满分14分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (4)求乙投球的命中率；(5)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(6)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率. (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B[1-P(B)]2=(1-p)2=1/16,p=3/4 (2)1-P(A A ⋅)=3/4 (3)3211文16：已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围. 解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分s i n (2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分(2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分 故所求的值域为1[2-………………………………………………………………………………14分17.已知函数x x 2n -4x g =）（是奇函数，f （x ）=mx 14log x 4++）（是偶函数. （3）求m+n 的值； （4）设h （x ）=f （x ）+，x 21若g （x ）>h[log 4(2a+1)] 对任意x ≥1恒成立，求实数a 的取值范围.答案（1）由于g （x ）为奇函数，且定义域为R ，∴g （0）=0，即02n-400=，n=1，由于f （x ）=log4（4x+1）+mx ， ∴f （-x ）=log4（4-x+1）-mx=log4（4x+1）-（m+1）x ， ∵f （x ）=log4（4x+1）+mx 是偶函数， ∴f （-x ）=f （x ），得到m=-21，由此可得：m+n 的值为21（2）∵h （x ）=f （x ）+x=log4（4x+1），∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2） 又∵g （x ）=-xx2-2在区间[1，+∞）上是增函数， ∴当x≥1时，g （x ）min=g （1）=23由题意321-02201242a 223<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+<+a a a 解得；a 的取值范围{a|-1/2<a<3}18.某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元，筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计．(1) 把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价；(2)若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？(结果精确到0.01米)解：（Ⅰ）由题意得160160562248350160y x x x x =+⨯++⨯+⨯（）（） 2561608000x x =⨯++（） ……………………… 5分1608000⨯≥＝13120．……………… 6分 当且仅当256x x=即16x =时，取得最小值，即有最低造价为13120元．… 8分（Ⅱ）由题意得1516012x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥，解得113153x ≤≤． …………… 10分设256g x x x =+（）（113153x ≤≤），则22256(16)(16)1x x g x x x -+'=-=（）．… 12分 因为当113153x ≤≤时，有()0g x '<恒成立，所以当113153x ≤≤时，函数()g x 单调递减． ……………………… 14分所以当15x =时，函数()g x 有最小值，y 也有最小值，此时16010.67x=．… 15分答：当网箱长为15米，宽为10.67米时，可使总造价最低．………… 16分19.设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，求不等式()1h x ≥的解集.解：（1）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+()()22min()20()2()033f a a a f x a a f a ⎧=≥⎪=⎨=<⎪⎩； …………2分当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-()()2min2()20()()20f a a a f x f a a a ⎧-=-≥⎪=⎨=<⎪⎩…………4分∴综上()()22min20()203a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩.…………7分 （2）当a ∈时，解集为(,)a +∞；…………10分当(a ∈时，解集为3([)a a +-+∞；…………13分当[a ∈时，解集为)+∞.…………16分20.对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.（1）判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；（2）已知函数()g x 是“(1,4)型函数”,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,,试求m 的取值范围. 解:(1)函数()xf x =是“(ba ,)型函数”…………………………………………………………2分因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分(2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈, 而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2mx =, ① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2m g g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m mm m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2m g g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得21m ≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分江苏省邗江中学2017-2018学年度第二学期高二数学期终试卷 （理科附加题）21.已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M . 解：2λ=-代入212(1)(5)052x x xλλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………5分 ∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………10分22.在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分 圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分23.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4， AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．【解析】（1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,1A 1B 1C ABC则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩,令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =. 同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角, 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. ………5分24. 设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.。

江苏省邗江中学2017—2018学年度第二学期高二数学期中试卷（文科）说明：本试卷分为填空题和解答题两部分，全卷满分160分，考试时间120分钟一、填空题(本题包括14小题，每小题5分，共70分.)1.1.函数的定义域是_____．【答案】（0，1]【解析】分析：根据函数的解析式有意义，即可求解函数的定义域．详解：由函数满足，解得，即函数的定义域为．点睛：本题注意考查了函数的定义域的求解，函数的定义域表示函数解析式有意义的的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力．2.2.用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”，其反设为____．【答案】“a，b不全为0”【解析】分析：根据反证法的概念，即可作出反设．详解：由反证法的概念可知命题“若，则全为”，其反设为：不全为．点睛：本题主要考查了反证法的概念，熟记反证法的定义是解答的关键．3.3.质点的运动方程是S=(S的单位为m，t的单位为s），则质点在t=3s时的瞬时速度为___m/s．【答案】【解析】分析：先求出质点的运动方程的导数，再求出秒的导数，即可得到所求的瞬时速度．详解：因为质点的运动方程为，所以，所以该质点在秒的瞬时速度为，即质点在时的瞬时速度为．点睛：本题考查了函数的导数与瞬时速度的关系、导数在物理的应用，正确解答的关键是理解导数的物理意义，对此类解题规律要好好把握．4.4.如果，，那么是的.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【答案】充分不必要条件.【解析】试题分析：，是的充分不必要条件.考点：充分条件、必要条件.5.5.若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是_____．【答案】1【解析】分析：复数满足，设，利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可求出．详解：由复数满足，设，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为______．【答案】4【解析】分析：令，可求得，从而可得是以为周期的周期函数，结合，即可求解的值．详解：由题意可知，令，可求得，又函数是定义在上的偶函数，所以，即，所以是以为周期的周期函数，又，所以．点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质应用，重点考查赋值法，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7.7.已知函数，若f（x0）=﹣2，则x0=_____．【答案】【解析】分析：根据分段函数的分段条件，分别列出方程，求解即可．详解：当，则，解得或（舍去）；当，则，解得（舍去），综上可知．点睛：本题主要了分段函数的计算问题，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．8.8.若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为_____．【答案】2【解析】分析：根据导数的运算公式，求的，令，即可求解．详解：由，则，令时，，解得．点睛：本题主要考查了导数的运算，熟记基本初等函数的导数公式是解答的关键．9.9.若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____．【答案】【解析】分析：由奇函数的性质，求出函数的解析式，对时的解析式求出，并判断函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．详解：因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，，不满足不等式，设，则，因为时，，所以，因为函数是奇函数，所以，所以，当时，，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时取得极小值，，再由函数是奇函数，画出函数的图象如图所示，因为当时，当时取得极小值，，所以不等式的解集在无解，在上有解，因为，所以不等式的解集为．点睛：本题考查函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，着重考查了数形结合思想方法，分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题．10.10.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为_____．【答案】n2+2【解析】分析：由三角形数阵看出，从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，然后利用累加的办法求得第行的第二个数．详解：由图可以看出由此看出，以上个式子相加得，所以．点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，解答此题的关键是根据数表数阵，得到数字的排布规律，即从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，此题是中档试题．11.11.函数f（x）=x|x|，若存在x∈[1，+∞）使得不等式f（x﹣2k）＜k成立，则实数k的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据题意时，，讨论和时，存在，使的的取值范围即可．详解：根据题意，时，，当时，即时，存在，使得，即只需，所以，所以，所以，整理得，即，因为，所以不等式对一切实数都成立，所以；当时，解得，存在，使得，即即可，因为，所以，所以，整理得，解得，又因为，所以；综上，，所以实数的取值范围是．点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，着重考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，试题有一定难度，属于难题．12.12.若不等式（﹣1）n•a＜3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论．详解：当为奇数时，不等式可化为，即，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，当为偶数时，不等式可化为，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，即，综上，．点睛：本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．13.13.若曲线上存在某点处的切线斜率不大于，则正实数a的最小值为____．【答案】【解析】分析：求得函数的导数，把使存在某点处的切线斜率不大于，转化为不等式有解，再利用基本不等式，即可求解．详解：由函数，则，要使存在某点处的切线斜率不大于，即，即不等式有解，又，当且仅当，即等号成立，所以，即，解得，解得．点睛：本题主要考查了导数的几何意义，不等式的有解问题，其中解答中把使存在某点处的切线斜率不大于，转化为不等式有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．14.14.已知函数，，，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】分析：根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解，进而转化为与在在上有两个解，利用函数的性质即可求解．详解：由，则，所以函数是偶函数，所以要使得方程有四个不同的实数解，则，只需有两个不同的实数解，即方程在上有两个解，即在上有两个解，转化为与在在上有两个解，又由，当时，，函数为单调递增函数，当时，，函数为单调递减函数，所以当时，函数有最大值，要使得与在在上有两个解，则，即．点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方法的应用，试题属于中档试题．二、解答题（15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程.）15.15.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【答案】(1)m=1;(2)m＞4或m＜﹣2．【解析】分析：（1）由题意，求得集合，根据，列出方程即可求解实数的值；（2）由（1）中，求得，列出方程，即可求解实数的取值范围．详解：（1）∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}，A∩B=[1，3]，∴m﹣1=1，解得m=2，此时B={x|1≤x≤3}，成立，故m=1．（2）∵∁R B={x|x＜m﹣1或x＞m+1}，A⊆∁R B，∴m﹣1＞3或m+1＜﹣1，解得m＞4或m＜﹣2．点睛：求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.16.16.已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）设复数，且复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：根据复数的概念及其分类，求解．（1）求得，再根据复数的模的计算公式，即可求解；（2）由（1）可求得，根据复数对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数的取值范围．详解：∵z=1+mi，∴．∴．又∵为纯虚数，∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i．（Ⅰ），∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i，∴．又∵复数z2所对应的点在第1象限，∴，．∴．点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．17.17.设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【答案】(1);(2)a≤﹣2或.【解析】分析：（1）根据题意，求解真：；真：，即可求解；（2）根据为假，为真，得到同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数的取值范围．详解：（1）p真，则或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，．（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，⇒a≤﹣2，若p真q真，则，⇒综上a≤﹣2或．点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．18.18.已知函数f（x）=x2﹣|x|+1．（1）求不等式f（x）≥2x 的解集；（2）若关于x 的不等式f（x）在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）分类讨论，即可求解不等式的解集；（2）由在上恒成立，即，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．详解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x，解得：0≤x≤或x≥，x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0，综上，x∈（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞），故x2﹣x+1≥|+a|，故解得：﹣≤a≤．点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等式恒成立问题的求解，对于不等式的恒成立问题，分类参数是常用的方法，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19.19.日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．详解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．∴g′（θ）=100cosθ+50∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．（求最值时，如不交代单调性或者列表，扣2分）答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．20.20.已知函数．（1）若曲线在处的切线过点．① 求实数的值；② 设函数，当时，试比较与的大小；（2）若函数有两个极值点，（），求证：．【答案】(1)①;②见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）①求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入切点的坐标即可求解；②由，设，利用导数得到函数的单调性和最值，即可得到结论．（2）设通过讨论的范围，得到函数的单调性，根据得到，进而得到，设，得到单调减函数，即可作出证明．详解：（1）①因为，所以，由曲线在处的切点为，所以在处的切线方程为．因为切线过点，所以．②，由．设（），所以，所以在为减函数．因为，所以当时，有，则；当时，有，则；当时，有，则．（2）由题意，有两个不等实根，（）．设，则（），当时，，所以在上是增函数，不符合题意；当时，由，得，列表如下：↗极大值↘由题意，，解得，所以，因为，所以．因为，所以，所以（）．令（），因为，所以在上为减函数，所以，即，所以，命题得证．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。

江苏省邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数（为虚数单位），则=______．2.已知集合，则___________3.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____4.已知，用数学归纳法证明时，__________．5.已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________6.设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）7.已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是______8.已知，设……，则……___________9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_______10.下列命题错误的是__________（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。

11.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有______种.（用数字作答）12.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：，，，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是413，则m＝________13.已知复数满足，则的最大值为____________14.已知各项均为正数且项数为4的数列{}（n＝1，2，3，4）的首项为1，若存在，使得对于任意的(7，8)，均有（＝1，2）成立，则的取值范围为_______二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15.设函数的定义域为，函数，的值域为．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．16.已知直线l：（1）矩阵A＝所对应的变换将直线l变换为自身，求a的值；（2）若一条曲线C在关于直线l的反射变换下变为曲线C′：，求此反射变换所对应的矩阵B，并求出曲线C的方程．17.某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）若点分别在上，且平面，试确定点的位置19.已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（1）求的值；（2）求展开式的中间项；（3）当时，用数学归纳法证明：.20.已知非空有限实数集的所有非空子集依次记为……，集合中所有元素的平均值记为。

江苏省邗江中学2017—2018学年度第二学期高二数学期中试卷（理科）一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分.）1. 设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M___．【答案】{﹣2，﹣1，0}【解析】分析：根据交集的定义求解：详解：P∩C U M点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 命题“∃x∈[0，1]，x2﹣1≥0”是____命题．（选填“真”或“假”）【答案】真【解析】分析：判断存在性问题真假性，可以通过举例子肯定结论，如要否定，需证明所有都不满足.详解：因为，所以命题“∃x∈[0，1]，x2﹣1≥0”是真命题.点睛：判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.3. 已知复数z=i（2+i），则|z|=___．【答案】【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为4. 若=，则x的值为___．【答案】1或3【解析】分析：根据组合数性质，列方程，解得x的值.详解：或或点睛：组合数有关性质5. 用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是____.【答案】1+2+3+4【解析】试题分析：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故答案为：1+2+3+4点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．6. 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p（0<p<1）的取值范围是_______．【答案】（0.4,1）【解析】由题意知.7. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为__．【答案】8【解析】分析：先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解得交点坐标，最后根据两点间距离公式求结果.详解：，由得或，因此..................8. 已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=___．【答案】-5【解析】分析：先根据赋值法求a，再根据x3项系数求a3.详解：令，得因此点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.9. 如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是___．【答案】【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设，则，如图,因此复平面内复数z的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为10. 观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52018的末四位数字为__．【答案】5625【解析】分析：先根据等式依次计算末四位数字，再根据规律确定周期，最后根据周期确定结果.详解：55，56，57，58，59末四位数字为3125,5625,8125,0625,3125,从而周期为4，因此52018的末四位数字为56的末四位数字，即为5625.点睛：找寻规律的方法有：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.11. 根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有___ 种不同的考试安排方法．【答案】114【解析】分析：先确定分配方案为2211或2220，再确定排列数.详解：分配方案为2211时，排列数为,分配方案为2220时，排列数为,因此安排方法为点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.12. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，则二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为 ___．【答案】【解析】分析：过C作CM垂直AB 于M，则根据三垂线定理以及二面角定义可得∠C1MC为二面角C1﹣AB﹣C的平面角，再解三角形得结果.详解：过C作CM垂直AB 于M，连C1M，则由三垂线定理得C1M垂直AB,因此∠C1MC为二面角C1﹣AB﹣C的平面角，所以点睛：二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可13. 化简：=____（用m、n表示）．【答案】【解析】试题分析：设（1）则函数中含项的系数为，（2）（1）-（2）得，即，化简得，∴函数中含项的系数，即是等式右边含项的系数，∵等式右边含项的系数为即，∴.故答案为：.考点：排列与组合；二项式定理与性质.14. 设A，B是集合{a1，a2，a3，a4，a5}的两个不同子集，若使得A不是B的子集，B也不是A的子集，则不同的有序集合对（A，B）的组数为____．【答案】570【解析】分析：分类依次讨论有序集合对（A，B）的组数，根据子集元素个数分类讨论，最后根据加法原理求组数.详解：不同的有序集合对（A，B）的组数为点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.二、解答题：(15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程.)15. 已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a ＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≥11（2）0＜a≤1【解析】试题分析：（1）分别求函数的定义域和不等式（）的解集化简集合A，由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的范围.试题解析：(1)由题意得，或，若，则必须满足，解得，∴的取值范围为.(2)易得或.∵是的充分不必要条件，∴或是或的真子集，则，其中两个等号不能同时成立，解得，∴a的取值范围为.16. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标；（2）直线l的极坐标方程为与圆C交于M，N两点，求△CMN的面积．【答案】（1），圆心C（2，）（2）【解析】分析：（1）先根据三角形同角关系消参数得圆C圆心直角坐标以及圆方程的直角坐标方程，再根据将直角坐标化为极坐标，（2）将直线极坐标方程代入圆极坐标方程得交点极坐标，再根据三点极坐标关系求三角形面积.详解：（1）极坐标（ρ，θ）与直角坐标（x，y）的对应关系为：，所以，根据sin2α+cos2α=1，消元得（）2﹣（ρsinθ﹣1）2=4，化简得：．因为圆心C直角坐标为（，1），∴极坐标为（2，）．（2）联立，得交点极坐标M（0，0），N（2，），所以|MN|=2，|MC|=2，所以△CMN的面积．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.17. 如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果，详解：连接CE，以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，因为F为线段AB上一动点，且，则，所以．（1）当时，，，所以．（2），设平面的一个法向量为=由,得，化简得，取设与平面所成角为，则.解得或（舍去），所以．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律下去（1）写出第5个等式；（2）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）5+6+7+…+13=81（2）见解析【解析】分析：（1）等式左边第一数为n，连续加2n-1个数，右边为平方数，为（2n﹣1）2，即得第5个等式；以及一般性的猜想，（2）数学归纳法证明时关键找出n=k+1时与n=k 关系，再代入归纳假设，经过计算可得结论.详解：（1）第5个等式 5+6+7+…+13=81（2）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2证明：（1）当n=1时显然成立；（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2…（8分）那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（2k﹣1）+3k+3k+1=（2k﹣1）2+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1）=4k2﹣4k+1+8k=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2而右边=[2（k+1）﹣1]2这就是说n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．点睛：找寻规律的方法有：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.19. 邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，并计算其数学期望.试题解析：（1）由已知得.所以事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2计算，，；所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为.点睛：本题主要考查了概率的计算及随机变量的分布列、数学期望，此类问题的解答中主要认真审题，正确把握试验的条件，合理求解每个取值对应的概率是解答的关键，同时注意概率公式的应用和准确计算.视频20. 已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】（1）30（2）见解析试题解析：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1）．（1）；（2）∵∴．∴．∵∴能被整除．。

江苏省邗江中学2018-2019学年度第二学期高二数学（理科）期中试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知复数34z i =+（i 为虚数单位），则||z = ▲ 2、已知集合[0,2),{x |2x 2,}A B x Z ==-<<∈，则A ∩B▲3、观察下列不等式：1<；<…则第5个不等式为 ▲4、已知11()123f n =+++……1(n N )n *+∈，用数学归纳法证明(2)2n n f >时，1(2)k f +-(2)kf 等于 ▲ 5、已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量，则矩阵A 的另一个特征值为_____▲_______6、设随机变量14X ~B(n,)，且34V(X )=，则事件“2X =”的概率为 ▲ （用数字作答） 7、已知命题:[1,0],a e xp x ∃∈-≤，命题2:,0q x R x x a ∀∈++>，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲8、已知C 4n =C 6n ，设2012(34)(1)(1)nx a a x a x -=+-+-+……(x 1)n n a +-，则12a a ++……n a +=_____▲______9、在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=直线l 被曲线C 截得的线段长为 ▲ 10、下列命题错误的是_____▲______（1）命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则022≠+y x ”；（2）若命题p ：20,10x x x ∃>-+≤，则p ⌝：20,10x x x ∀≤-+>；（3）ABC ∆中，“B A sin sin >”是“B A >”的充要条件；（4）若向量→→b a ,满足0<⋅→→b a ，则→→b a ,的夹角为钝角。

2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为．2．质点的运动方程为S=2t+1（位移单位：m，时间单位：s），则t=1时质点的速度为m/s．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为．4．如果函数y=f（x）的图象在点P（1，0）处的切线方程是y=﹣x+1，则f′（1）= ．5．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有个．6．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为．9．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列：其中真的序号是．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．10．若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为．11．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为．12．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．13．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=x2+1，（1）求在区间[1，2]上f（x）的平均变化率；（2）求f（x）在x=1处的导数．16．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M，N分别是AE，PA的中点．（1）求证：MN∥平面ABC；（2）求证：平面CMN⊥平面PAC．17．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴，两准线间的距离为，焦距为2；（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．18．如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值．19．如图，圆O与离心率为的椭圆T：+=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；②若3•=4•，求l1与l2的方程．20．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，求直线l的方程；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为（，0）．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将椭圆的方程9x2+16y2=144化为标准形式即可求得答案．解答：解：椭圆的方程9x2+16y2=144化为标准形式为：，∴a2=16，b2=9，∴c2=a2﹣b2=7，又该椭圆焦点在x轴，∴焦点坐标为：（，0）．故答案为：（，0）．点评：本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程化为标准形式是关键，属于基础题．2．质点的运动方程为S=2t+1（位移单位：m，时间单位：s），则t=1时质点的速度为 2 m/s．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：先求质点的运动方程为S=2t+1的导数，再求得t=1秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．解答：解：∵质点的运动方程为S=2t+1，∴s′=2，∴该质点在t=1秒的瞬时速度2；故答案为：2．点评：本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是理解导数的物理意义，即了解质点的运动方程的导数就是瞬时速度．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为45°．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．解答：解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠AD1AD=45°故答案为：45°点评：考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题4．如果函数y=f（x）的图象在点P（1，0）处的切线方程是y=﹣x+1，则f′（1）= ﹣1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据在点P处的斜率就是在该点处的导数，问题得解．解答：解：在点P处的斜率就是在该点处的导数，∴f′（1）=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查了导数的几何意义，比较基础．5．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个．考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面、面面平行的性质即可找出满足题意的平面α．解答：解：如图所示：①过点P作平面α∥平面ABC．则△ABC的三个顶点到α的距离相等；②分别取线段AB、BC、CA的中点，则三个平面PFD、PDE、PEF皆满足题意．综上可知：满足题意的平面α共有4个．故答案为4．点评：熟练掌握线面、面面平行的性质是解题的关键．6．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3 ．考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：根据题意，方程+=1表示椭圆，则，解可得答案．解答：解：方程+=1表示椭圆，则，解可得 k＞3，故答案]为k＞3．点评：本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，BD，相交于点O．由AB=AD=3cm，可得矩形ABCD是正方形，AO ⊥BD，平面BB1D1D⊥平面ABCD，可得AO⊥平面BB1D1D．利用四棱锥A﹣BB1D1D的体积V=即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，BD，相交于点O．∵AB=AD=3cm，∴矩形ABCD是正方形，AC=BD=3．∴AO⊥BD，又平面BB1D1D⊥平面ABCD，∴AO⊥平面BB1D1D．∴AO是四棱锥A﹣BB1D1D的高．∴四棱锥A﹣BB1D1D的体积V===6．故答案为：6．点评：本题考查了长方体的性质、正方形的判定与性质、线面与面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为=1 ．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的渐近线方程为y=±x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可．解答：解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．9．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列：其中真的序号是①④．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：由平行公理知①正确；由a⊥b，b⊥c，知a与c平行、相交或异面；由直线与平面平行的性质，知a与b平行、相交或异面；由直线与平面垂直的性质知a∥b．解答：解：∵若a∥b，b∥c，∴由平行公理，知a∥c，故①正确；∵a⊥b，b⊥c，∴a与c平行、相交或异面，故②不正确；∵a∥γ，b∥γ，∴a与b平行、相交或异面，故③不正确；∵a⊥γ，b⊥γ，∴a∥b，故④正确．故答案为：①④．点评：本题考查平面的性质及其推论的基本应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先求出抛物线的焦点坐标，依据条件列出比例式，得到c、b间的关系，从而求离心率．解答：解：∵，a2﹣b2=c2，=．故答案为：．点评：本题考查椭圆和抛物线的几何性质、抛物线的简单性质的应用，关键是由条件得到．11．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故答案为：．点评：本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．12．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为9 ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．解答：解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，PD=a；OD=a；OP==．设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，V棱锥=×a2×a=9，故答案是9点评：本题考查锥体的体积．13．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件和双曲线的定义即可得到|PF1|，|PF2|，再利用|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，即可得出．解答：解：∵点P在双曲线的右支上，且||PF1|=4|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=，．则，∴．故此双曲线离心率的最大值为．故答案为．点评：熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为 6 ．考点：棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．解答：解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．点评：本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=x2+1，（1）求在区间[1，2]上f（x）的平均变化率；（2）求f（x）在x=1处的导数．考点：导数的运算；变化的快慢与变化率．专题：导数的概念及应用．分析：（1）利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间[1，2]上的平均变化率．（2）先求导，再代入求值即可．解答：解：（1）∵f（x）=x2+1，∴f（1）=2，f（2）=5∴该函数在区间[1，2]上的平均变化率为=3，（2）∵f′（x）=2x，∴f′（1）=2点评：本题考查函数在区间上的平均变化率，以及导数公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M，N分别是AE，PA的中点．（1）求证：MN∥平面ABC；（2）求证：平面CMN⊥平面PAC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；综合题．分析：（1）要证MN∥平面ABC，只需证明MN平行平面ABC内的直线BC即可；（2）要证平面CMN⊥平面PAC，只需证明BC⊥平面PAC，又有MN∥BC，即可证明平面CMN ⊥平面PAC．解答：证明：（1）∵M，N分别是AE、PA的中点，∴MN∥PE，∵PE∥CB，∴MN∥CB，∵MN不在平面ABC中，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．（2）∵平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∵MN∥BC，∴MN⊥平面PAC∵MN⊂平面CMN，∴平面CMN⊥平面PAC．点评：本题为考查直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴，两准线间的距离为，焦距为2；（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c，写出椭圆的方程；（2）利用椭圆的定义及勾股定理列出方程组，求出a，b，c写出椭圆的方程．解答：解：（1）据题意解得a=3，c=，∴a2=9，b2=a2﹣c2=4∴椭圆的标准方程：（2）据题意得2a=+=，∴a=，又∵解得∴∴椭圆的标准方程：或点评：本题考查椭圆方程的定义及有关性质，椭圆中三个参数的关系，属于一道中档题．18．如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：应用题；空间位置关系与距离．分析：求出以木板的宽为三棱柱的高时，围成的三棱柱的体积是多少，再求出以木板的长为三棱柱的高时，围成的三棱柱的体积是多少，二者比较得出结论．解答：解：设木板与一面墙的夹角为θ，以木板宽1为三棱柱的高，则棱柱的底面积是：S=•2cosθ•2sinθ=sin2θ≤1，当θ=时等号成立；此时棱柱的体积V1=hS=1×1=1；若以木板的长2为三棱柱的高，则最大体积为V2=2×=，∴V1＞V2，∴应取底面为等腰三角形，且高为1时，围成的容积最大．点评：本题考查了三棱柱的体积计算问题，也考查了实际应用问题，解题的关键是设计出两种围成的三棱柱的方案，是中档题．19．如图，圆O与离心率为的椭圆T：+=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；②若3•=4•，求l1与l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据e=，结合a2=b2+c2求出椭圆的长半轴，则椭圆方程和圆的方程可求；（2）①因为两直线l1、l2相互垂直，所以点P到两直线的距离d1、d2的平方和可转化为P 点到M点距离的平方，利用点P在椭圆上把要求的式子化为含P点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值；②设出直线l1的方程，分别和圆的方程及椭圆方程联立A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，分别写出向量的坐标，代入若中求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求．解答：解：（1）由题意知：，b=1．又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，联立，解得a=2，c=所以椭圆C的方程为．圆O的方程x2+y2=1；（2）①设P（x0，y0）因为l1⊥l2，则，因为，所以=，因为﹣1≤y0≤1，所以当时，取得最大值为，此时点．②设l1的方程为y=kx+1，由，得：（k2+1）x2+2kx=0，由x A≠0，所以，代入y=kx+1得：．所以．由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由x C≠0，所以，代入y=kx+1得：．所以．把A，C中的k置换成可得，所以，，由，得=，整理得：，即3k4﹣4k2﹣4=0，解得．所以l1的方程为，l2的方程为或l1的方程为，l2的方程为．点评：本题考查了圆的标准方程，椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，求直线l的方程；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，直线l与双曲线的渐近线平行，可得结论；（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=x，利用，设直线ON的方程为：y=kx，求|ON|2=．同理|OM|2=，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．解答：解：（1）双曲线C1：2x2﹣y2=1左顶点A（﹣，0），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=；（2）由题意，直线的斜率存在，∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，∴直线l与双曲线的渐近线平行，∵渐近线的斜率为±，∴直线l的方程为y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+；（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=x，由得，所以|ON|2=．同理|OM|2=，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以=+=3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．。