安徽农业大学05-06第二学期概率统计试卷及答案

这是前两次概率论考试试卷，仅供参考，必须安装office 公式编辑器才能正常阅读和打印，请转告全班同学抓紧时间复习。

安徽农业大学2006―2007学年第一学期《 概率论 》试卷（A 卷）考试形式: 闭卷、笔试，2小时一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、设,A B 为相互独立的事件，且()0.6,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B = 。

2、掷两枚均匀的骰子，最有可能出现的点数和为 点。

3、设~(1,4)X N ，若()()P X c P X c >=≤，则c = 。

4、设~(1,4)X N ，则随机变量21Y X =+服从的分布为 。

（要求写出分布类型及其所含参数）5、设离散型随机变量X 的分布函数为0,10.3,11()0.7,131,3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则()E X = 。

二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、设B A ,是两个事件，则B A ,恰有一个发生表示为（ ）。

（A ） B A （B ） B A （C ） AB AB ⋃（D） B A2、设事件B A ,相互独立，则;;A B A B A B 与与与 这三对事件中有（ ） 对也是相互独立的。

： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 33、设随机事件A 与B 互不相容，则（ ）。

（A ） 1)(=B A P （B ）)()()(B P A P AB P =（C ）)(1)(B P A P -= （D ） 1)(=⋃B A P4、下列各函数可以作为某随机变量分布函数的是（ ）。

（A ） 21()1F x x =+ （B ）()sin F x x =（C ） 21,0()11,0x F x x x ⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩ （D ）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩0X Y A X Y B D X Y D X D Y C E X Y E X E Y D X Y xy 5、设随机变量、的相关系数，则下列结论中不正确的是（）。

概率统计练习题第二版答案1，写出下列试验的样本空间：连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。

连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：S?{2,3,4,5,6,7}；S?{2,3,4,?}；S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；S?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

2，设A,B是两个事件，已知P?0.25,P?0.5,P?0.125,，求P,P,P,P[]。

______解：P?P?P?P?0.625，P?P[B]?P?P?0.375，P?1?P?0.875，P[]?P[]?P?P[]?0.625?P?0.5______3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为648?0.79004，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。

求该数是奇数的概率；求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。

该数是奇数的可能个数为4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为48?0.4100该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的概率为48?0.41005，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。

4只中至少有2只红球。

4只中没有白球。

11C52C4C38解: 所求概率为； ?433C1222314C4C8?C4C8?C42016所求概率为； ??4495165C124C7357所求概率为4?。

概率统计期末试卷及答案安徽农业大学2007―2008学年第二学期《概率论与数理统计》试卷(A卷) 考试形式: 闭卷笔试，2小时适用专业:全校题号一二三四五总分得分P(()())tntn,,,1、标准正态分布表: 2、t分布表: ,n ,=0.005 0.01 0.025 0.05 x 1.5 1.64 1.96 2.515 2.9467 2.6025 2.1315 1.75310.933 0.95 0.975 0.994 ,()x16 2.9208 2.5835 2.1199 1.7459得分评阅人一、填空题:(共5小题，每小题3分，共15分) 1、10张彩票，其中有一张有奖，现有10人依次抽取，则第3个人摸中奖的概率是。

kP(),1,2,,Xkk,,,,2、设随机变量的分布律为则。

X,,3、设则P(A)0.5,P(B)0.7,P(AB)0.9,()________,,,,PAB。

24、设随机变量则XNPX~(1,),(1),,, 。

XXX,,,X5、设是来自正态分布N(1,4)的一个样本，则样本均值1216的方差是。

得分评阅人二、选择题:(共5小题，每小题3分，共15分)1、设A，B为随机事件，则表示A，B中至少有一个发生的是( )ABAB(A) (B)AB (C) (D) AB,,02、设与的相关系数，则必有 ( ) YXXY(A) 与独立 (B) 与不独立; YYXXDXYDXDY()()()，,，DXYDXDY()()(),(C) (D)XY,D(2)XY,,3、若随机变量独立，其方差分别为6和3，则( ) (A) 9 (B) 15 (C) 21 (D) 2722N(,),,XX,,4、设是来自的一个样本，其中参数未知，,已,1n第1页共9页知，则下列选项中是统计量的是 ( )2n,,,,1XX(1)nS,2X,,()(A) (B) (C) (D) ,i22,,/nSn/,i,12XX,,N(,3),5、设是来自的一个样本，已知样本均值为，则x,5116的置信水平为95%的置信区间为 ( ) ,(A) (B) (C) (D) (3.53,6.47)(3.77,6.23)(3.53,6.23)(3.77,6.47)得分评阅人三、计算题:(共2小题，每小题10分，共20分)1、已知离散型随机变量的分布律为 X， PXPXPX(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5,,,,,,求的数学期望和方差。

概率统计课程考试试题（A ）试题标准答案2005 --2006 学年第 2 学期一、填空题（每空2分，计18分）1、1/6 1/32、9/643、1/24、-8 355、(1)(3)(4) (1)(4) (4) 二、选择题（每题3分，计9分） 1、C 2、B 3、C 三、解：B : 从全厂产品中任意抽出一个螺钉是次品321,,A A A 分别表示抽出的一个螺钉是由甲、乙、丙车间生产的 ………2分 则0345.0%2%40%4%35%5%25B)P(A P(B)31i i=⋅+⋅+⋅==∑= ………6分=)(1B A P 362.00345.0%5%25)()(1=⋅=B P B A P ………10分四、解：(1)由F (x )的连续性，有)1()01(F A F ==-，A =1； ………3分(2)P {0.3<ξ<0.7}= F (0.7)－F (0.3) =0.72－0.32=0.4； ………7分(3)⎩⎨⎧<<='=. ,010 ,2)()(其它x x x F x f ………10分五、解：以ξ表示同时使用的机器数，则ξ~B (400，3/4)， ………2分 设本车间至少要供应x Q （瓦）的电功率，则有{}%99≥≤x P ξ，或99.04/14/34004/34004/14/34004/3400≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-x P ξ。

………6分由中心极限定理知，99.075300≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx ， 查表得，33.275300≥-x ，解得18.320≥x 。

………9分 即本车间至少要供应321 Q （瓦）的电功率才能以不低于99%的概率保证有足够的电力。

六、解：（1）关于ξ的边际概率密度为⎩⎨⎧≤≤==⎰∞+∞-其他,010,1),()(x dy y x f x f ξ ………2分关于η的边际概率密度为⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰0,00,),()(y y e dx y x f y f y η ………4分显然有 )()(),(y f x f y x f ηξ＝ ，故ξ与η相互独立。

选择填空题（共80分, 其中第1-25小题每题2分,第26-353分） A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 相互独立， 则()P A B = B ;(A) 0.7 (B) 0.58(C) 0.82(D) 0.12A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则()P A B = D ;(A) 0 (B) 0.42(C) 0.88(D) 1已知B,C 是两个随机事件,P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4,则P( C ) = C ; (A) 0.4 (B) 0.5(C) 0.8(D) 0.9袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: A ;(A) 815 (B) 415(C) 1225(D) 625袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: C ;(A) 815 (B) 415(C) 1225(D) 625在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于12的概率为 C ;(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8(D) 1/16在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.1/2，通过第二个通道逃生成功的1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃生的可能性是 C .(A) 1 (B) 1/2(C) 1/3(D) 1/68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。

设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N(D)(2)π9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()πλ来描述.已知{99}{100}.P X P X ===则该市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 C 次. (A) 98 (B) 99(C) 100(D) 10110.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

概率统计作业题答案概率统计标准作业题答案专业班级：学号：姓名：第一章概率论基础一、填空题1．设P(A)?,P(A?B)?，若A，B互不相容，则P(B)? ，若A，B相互独立，则P(B)? ．2．设P(A1)?P(A2)?P(A3)?1，A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3至少出现一个的概率3为1927 ；A1,A2,A3恰好出现一个的概率为49 ；A1,A2,A3最多出现一个的概率为2027 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是．4．设在一次试验中，事件A发生的概率为p．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为1??1?p? ；而事件A至多发生一次的概率为n?1?p??np?1?p?nn?1 ．5345．三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为1,1, ．，则此密码被译出的概率为二、选择题1．设A、B为两个事件，则(A?B)(A?B)表示．必然事件；(B) 不可能事件；A与B恰有一个发生；(D) A与B不同时发生．2．对事件A、B，下列命题正确的是．如果A、B互不相容，则A、B也互不相容；如果A、B相容，则A、B也相容；如果A、B互不相容，且P(A)?0，P(B)?0，则A、B相互独立；如果A、B相互独立，则A、B也相互独立．3．设AB?C，则．AB?C；A?C且B?C；A?B?C；A?C或B?C．4．设A、B 是任意两个事件，则P(A?B)?．P(A)?P(B)；P(A)?P(B)?P(AB)；P(A)?P(AB)；P(A)?P(B)?P(AB)．5．设A、B是任意两个事件，则一定有P(A?B)?．P(A)?P(B)；P(A)?P(B)?P(A)P(B)；1?P(A)P(B)；P(A)?P(B)?P(AB)．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A，B，C之间的包含关系．若A和B同时发生，则C必发生；A和B 有一个发生，则C必发生；若A发生，则B必不发生；A和B同时发生的充分必要条件是C不发生；A发生的充分必要条件是B不发生．解AB?C，即积事件AB包含于事件C；(AUB)?C，即和事件AUB包含于事件C；AB??，即积事件AB为不可能事件；AB?C，即积事件AB等于事件C的对立事件C； 1 概率统计标准作业题答案专业班级：学号：姓名：A?B，即积事件A等于事件B的对立事件B．2．对任意的随机事件A,B,C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)．证明因为A?(AB?AC)，所以P(A)?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC) 3．将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：A是任意3个盒子中各有1个球；B是任意1个盒子中有3个球；C 是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球．解?1?P?A??C4?3?2?14121 C4C3C3333 ?2?P?B???，C4431 ?，44．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任?3?P?C?? ?．意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率．解一面涂有颜色的小立方体个数(8?8)?6=384，其中8?8为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数．二面涂有颜色的小立方体个数小立方体被重复计算2 次．三面涂有颜色的小立方体个数：8．0 面涂有颜色的小立方体个数1000?8?8?6?所以k?0,1,2,3的概率分别为p0?P{k?0}?p2?P{k?2}?5121000961000?; ?;p1?P{k?1}?384100081000?;(8?4)?62(8?4)?62?96，分子数值的来与前相似，除以2 是因为每个此类?8?512．??P{k?3}?5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA 的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．解设OC?x, 则CA?1?x,OB?. 三线段能构成三角形，应有2OB?OC?CA,OB?CA?OC, 12?x?1?x, 1412?1?x?x. 34. 1即解得?x?13C点可在[0,1] 上取，但构成三角形的点只能在[,] 上取，故几何概型可得所求概率为443p?4?14?1．12 C O B A X 6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求： 2 概率统计标准作业题答案专业班级：学号：姓名：从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．解设Bi表示1000个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡都是好灯泡，显然100P(B1i)?，6P(ABi)?C1000?iC100，10005100100100100100100P(A)??P(B(A B1CC999C998C997C996C995i)Pi)?6(100 0C100?C100?100?100?100?100)i?010001 000C1000C1000C1000C1000 ?16?1?? ???? ?根据贝叶斯公式：P(B(B0)P(A|B0)0|A)?P5 ?P(Bi)P(A| Bi)i?0C100?1000C1001001000?C999?C1 00100100998?C997?C996?C100 995?．7．发报台分别以概率及发出信号“· ”及“—”．于通信系统受到干扰，当发出信号“· ”时，收报台以概率及收到信号“· ”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率及收到信号“—”及“· ”．求：收报台收到信号“· ” 的概率；收报台收到信号“—” 的概率；当收报台收到信号“· ”时，发报台确系发出信号“· ”的概率；当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．解本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子．设A表示事件“发出信号“ · ”，A表示事件发出信号“ —”，B表示事件收到信号“ · ”，B表示事件收到信号“ —”，题意可得P(B|A)?,P?B|A??,P?B|A??，P(BA)?，P(A)?，P(A)?，于是根据全概率公式和贝叶斯公式P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?????P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?????P(AB)?P(A)P(BA)(B)???，P(AB)?P(A)P(BA)4?(B)??．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时,求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．解设甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x、y，则所有基本事件可表示为： 3 概率统计标准作业题答案专业班级：学号：姓名：0?x?24,0?y?24，而“不需等候空出码头”的事件A必需满足条件：?y?x?1，??x?y?2可以用图中阴影面积：12?232?222?22 Y O X 9题图表示，所有基本事件的面积为242，所以P?A??23?222?242?．第二章随机变量一、填空题27?2?1．设随机变量X的概率分布为：P?X?k??c??,k?1,2,3，则c＝．338?? 2．设随机变量X的概率密度为：?kxb, f(x)???0,0?x?1,(b?0,k?0),其他.k 1??且P?X???，则k = 2 ，b = 1 ．2??3．已知随机变量X的分布函数为：F(x)?A?Barctanx，则A =；B =1?；P?X?1??；概率密度f(x)?1?(1?x)2 ．P?X?k??a4．设随机变量X的概率分布为：?kk!,k?0,1,2,3,…，其中??0为常数，则a＝x??e?? ．25．设随机变量X~N(10,)，已知?(x)??12?e?x22dx，?()?，则X落在区间内的概率为．1x6．设平面区域D曲线y?及直线y?0,x?1,x?e 所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D服2从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为．二、选择题．(A) 0?f(x)?1；(B) P{X?x}?F(x)；(C) P{X?x}?F(x)；(D) P{X?x}?f(x)．1．设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为f(x),F(x)，则下列选项中正确的是2．设f(x)?cosx为随机变量X的概率密度，则随机变量X的可能取值充满区间．7????????3(A) ?0,?；(B) ?,??；(C) ?0,?? ；(D) ??,??．4??2??2??23．设随机变量X~N(?,?)，且P{X?c}?P{X?c}，则c = ( B )．24 概率统计标准作业题答案专业班级：学号：姓名：(A) 0；(B) ?；(C) ??；(D) ?．4．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X??1}?P{Y??1}?P{X?1}?P{Y?1}?121 2，，则下列各式中成立的是．(A) P{X?Y}?12 ；(B) P{X?Y}?1；14(C) P{X?Y?0}? ；(D) P{XY?1}?14．x?y22?1?,5．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)?????0,?1, 其他.则随机变量X 与Y为( C )．(A) 独立同分布；(B) 独立不同分布；(C) 不独立同分布；(D) 不独立也不同分布．三、计算与证明题1．设F1(x),F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0,且a?b?1. 证明aF1(x)?bF2(x) 也是分布函数．证明令F(x)?aF1(x)?bF2(x),F(??)?aF1(??)?bF2(??)?0?0?0,F(??)?aF1(??)?bF2(??)?a?b?1. 对任意x?R, 有a?0?b?0?0?aF1(x)?bF2(x)?a?1?b?1?a?b?1，即0?F(x)?1. 对任意x0，F1(x0?0)?F1(x0), F2(x0?0)?F2(x0), 故F(x0?0)?aF1(x0?0)?bF2(x0?0)?aF1(x0)?b F2(x0)?F(x0). 对任意x1?x2, F1(x1)?F1(x2), F2(x1)?F2(x2), 故F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)? F(x2). 所以，F(x) 满足分布函数的三个性质，故必为某随机变量的分布函数．2．问c 应取何值，下列函数才能成为离散型随机变量的分布律．cNf (k) = N，k = 1, 2, ?,N．解显然，f(k) 的值应是有限多或可列个，如果每个值都在[0,1]上，且和为1，则f(k)是分布律．?k?1f(k)?NcN?1, 得c?1．3．一页书上印刷错误的个数服从参数??的泊松分布．试求在一页书上印刷错误至少一个的概率．解设X为一页书上印刷错误的个数，则P(X?k)?e?122k!一页书上印刷错误至少一个的概率为k, k?0,1,2, P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?? 4．设X在[0, 5] 上服从均匀分布，求方程4t?4Xt?X?2?0有实根的概率．解方程有实根的充要条件是判别式(4X)?4?4?(X?2)?0，解得22 5。

《概率论基础》重点复习题：（课后习题均为A组）
第一章：例5,7,8,11,14,19,22,23,24,26,28,30,34,37。

习题1：第1,6,7,9题。

习题2：第3,4,8,9,14题。

习题3：第8题。

习题4：第4,5,6题。

习题5：第2,3,7,8,10,12题。

习题6：第2,3,4,5,11题。

第二章：例6,7,8,9,10,11,15,18,21,26。

习题1第5,6题。

习题2第4,8,9题。

习题3第1,2(1),3,8,10,11题。

习题4之5。

第三章：例2,4,6,8,9,14,16。

习题1：第1,4,6(1)-(4),7题。

习题2：第1,3,6题。

习题3：第1,3,4题。

习题4：第7题。

第四章：例5,6,8,9,10,13,14,15,16,17,20,22,24。

习题1第2,8,10题。

习题2第4,5,7题。

习题3第1,2,3,5题。

习题4第1,3题。

第五章：例1,4,8。

习题2第3,5题。

第六章：P.194第1,2题。

注意：课本的例题解答未必是最佳的。

指定上述重点复习题只是提供了一种提高复习效率与效果的手段。

考试通常不直接考原题。

要想取得优秀成绩，必须进行全面复习。

第二章习题答案1、 P{Y 詡=(1-0.4尸 x0.4 k=l,2,…2、 用4表示第i 个阀门开P{X = 0} = P (A (X U 4))= p (A )(p (A ；)+ p (4)- P (石)P (忑))=0.2(0.2 + 0.2 - 0.2 x 0.2) = 0.072P{X =1} = P[A,(兀 U 石)U A^A 2A 3] = 0.8(0.2 + 0.2 - 0.04) + 0.2 x 0.82-0.416P{X =2} = P(A 1A 2A 3) = 0.83 = 0.512 3、 X~b(15,0.2)P{X =k} = C^0.2k xO.815-' k=0,l,2,……,15 (1) P{X = 3} =0.23 x 0.812 = 0.2501(2) >2}-l-C° 0.2° x0.815 -C ：0.2x0.814 = 0.8329(3)P{1 < X <3} = Q50.21 x0.814 + C ；50.22 x0.813 + Cf 50.23 x0.812 =0.61295(4) P{X 〉5} = 1 —工生0.2* x0.8z =0.0611R=04、用X 表示5个元件中正常工作的个数P(X > 3) = Cf 0.93 x 0.12 + C" 0.94 x 0.1 + 0.95 =0.9914 5、设 X=(8000#产品的次品数｝则 X~b(8000,0.001)近似地由于n 很大，P 很小，所以利用X 〜”⑻6、(l)X~n(10)15 [0*0-10P{X 〉15}=1-P{X V15} = 1-工 ------------ = 1-0.9513 = 0.0487*=o kl(2) V X~n( X).-.| = p{x >O } = I -P {X =0} = l-^-P{X<7} =工*=0 8。

安徽省“江南十校”2023年5月高二年级联考数学模拟试题考试范围：选择性必修第一册，第二册，第三册一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则ξ()()21,0N σσ>()120.3P ξ<<=()0P ξ<=（ ） A. 0.1 B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布的性质，利用其概率公式，可得答案. 【详解】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称， ξ1x =则，， ()()1201P P ξξ<<=<<()()02P P ξξ<=>故.()()121200.22P P ξξ-<<<==故选：B.2. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） a R ∈1a =1l 240ax y +-=2l ()120x a y +++=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.【详解】解：当时，：，：，，可得两直线平行； 1a =1l 240x y +-=2l 220x y ++=124122-=≠若与平行，则，解得或舍， 1l 2l 24112a a -=≠+1a =2(a =-)故为充要条件， 故选：C.3. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A. B.C. 8D.7.67.88.2【答案】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个58822数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为， 999又极差为，所以最小数字为， 36所以这组数据为、、、、， 67899所以平均数为.678997.85++++=故选：B4. 已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ） {}n a q 0q >1q ≠614388a a a a +=+q A .B.C. 2D. 41412【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.【详解】已知等比数列的公比为（且），若，{}n a q 0q >1q ≠614388a a a a +=+则，所以，解得. 643188a a a a -=-()33136431318q a a a a q a a a a --===--2q =故选：C.5. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>22(2)2x y +-=的离心率为（ ）CA.B. 2C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．【详解】解：双曲线的渐近线方程为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>b y x a =±由对称性，不妨取，即． by x a=0bx ay -=圆的圆心坐标为， 22(2)2x y +-=(0,2)则圆心到渐近线的距离，1d ==，解得．∴1=2ce a==故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿,,A B C 者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ） A A.B.C.D.1932431002432359【答案】B 【解析】【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，A A 再结合概率公式，即可得到结果.【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况， 53243=再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去， 5人被分为或3,1,12,2,1当5人被分为时，情况数为;3,1,13353C A 60⨯=当5人被分为时，情况数为； 2,2,112354322C C A 90A ⨯⨯=所以共有.6090150+=由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，A A 当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则3,1,1A 3242C A 8⨯=2242C A 12⨯=共计种，81220+=当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计2,2,1A 224222C A 6A ⨯=112432C C A 24⨯⨯=种，62430+=所以甲不在小区的概率为 A ()1502030100243243-+=故选：B.7. 数列满足，，现求得的通项公式为{}n F 121F F ==()*21n n n F F F n ++=+∈N{}nF，，若表示不超过的最大整数，则的值n nn F A B =⋅+⋅,A B ∈R []x x 8⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦为（ ） A. 43 B. 44C. 45D. 46【答案】D【解析】【分析】根据题意可解得，分别计算可得，，由可得A=B=32F=43F=249F=，所以.8847=-846⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦【详解】联立方程；122211F A BF A B A B⎧=⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅=+=⎪⎩解得，A=B=则，n nnF⎤⎥=-⎥⎦由题可得，，，且，32F=43F=24424195F⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎣⎦所以，8448245-⋅⋅+=则，88845247=+-=-因为，所以，故，()80,1∈()846,47∈846⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦故选：D.8. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（）1x()2,∈+∞x m122121ln ln2x x x xx x-<-mA. B. C. D.21e1e1e【答案】D【解析】【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在12x x<2121ln2ln2x xx x++<()ln2xf xx+=()f x上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围，即可得解. (),m+∞()f x m【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足，1x ()2,∈+∞x m 122121ln ln 2x x x x x x -<-不妨令，则，所以， 12x x <210x x ->122121ln ln 22x x x x x x -<-即，所以， ()()1212ln 22ln x x x x ++<2121ln 2ln 2x x x x ++<令，则， ()ln 2x f x x +=()()21f x f x <即在上单调递减， ()ln 2x f x x+=(),m +∞由，当时，当时， ()21ln x f x x --'=10e x <<()0f x ¢>1ex >()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，即的最小值为. 1e m ≥m 1e故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知等差数列的前n 项和为，满足，，下列说法正确的是（ ） {}n a n S 12321a a a ++=525S =A. B.23n a n =+210n S n n =-+C. 的最大值为 D. 的前10项和为 {}n S 5S 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1099-【答案】BCD 【解析】【分析】先根据题干条件算出等差数列的通项公式，然后逐一分析每个选项即可. {}n a 【详解】根据等差中项，，解得，1232213a a a a ++==27a =，解得，设等差数列的公差()()512345315243255S a a a a a a a a a a a ==++++=++++=35a ={}n a 为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A 选项错d 322d a a =-=-2(2)112n a a n d n =+-=-误；根据等差数列前n 项和公式，，B 选项正确； 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+根据B 选项可知，，最大值在取得，故C 选项正确；2210(5)2525n S n n n =-+=--+≤5n =，故的前10项和为：1111111(112)(92)(211)(29)221129n n a a n n n n n n +⎛⎫===- ⎪------⎝⎭11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，D 选项正确. 11111111111029775911291199⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+---++-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BCD10. 已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则()f x x ∈R ()()2f x f x +=-()12f =()f x '()f x （ ）A. B. 的一个周期是4 C. 是偶函数D.()20232f =()f x '()f x '()11f '=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=从而可判断B 项，根据周期性与奇偶性可判断A 项，根据奇偶性与导数运算可得(4)()f x f x ''+=，从而可判断C 项，在中，令代入计算可判断D 项.()()f x f x ''-=(2)()f x f x ''+=--=1x -【详解】因为函数是奇函数，， ()f x (2)()f x f x +=-所以，(2)()()f x f x f x +=-=-所以，即：，故的周期为4，(4)(2)()f x f x f x +=-+=(4)()f x f x +=()f x 所以，故的一个周期为4，故B 项正确；(4)()f x f x ''+=()f x '，故A 项错误；(2023)(45053)(3)(1)(1)2f f f f f =⨯+==-=-=-因为函数是奇函数， ()f x 所以，()()f x f x -=-所以，即：， ()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=所以为偶函数，故C 项正确； ()f x '因为， (2)()f x f x +=-所以，(2)()f x f x ''+=--令，可得，解得：，故D 项错误. =1x -(1)(1)f f ''=-()01f '=故选：BC.11. 已知抛物线C ：（p ＞0）的焦点为F ，过F 且斜率为的直线交抛物线C 于A ，B 两22y px =点，其中点A 在第一象限，若，则下列说法正确的是（ ） ||3AF =A. B. 1p =32BF =C. D. 以AF 为直径的圆与轴相切3OA OB ⋅=y 【答案】BD【解析】【分析】根据条件先求出p ，再逐项判断各选项即可.【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，设直线AB 的倾斜角为，α则，∵是锐角，tan α=α1cos ,sin 3αα∴==∵，， 3,sin1AF AC AF αα=∴===1,2p A ⎛∴+ ⎝∵点A 在抛物线上，，解得或（舍）；(2212p p ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2p =4p=-则抛物线方程为，直线AB 的方程为，准线方程为，故A 错误； 24y x =)1y x=-=1x -联立方程 ，解得或（A 点的横坐标），)241y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12x =2x =∴，∴，故B 正确；1,2B ⎛⎝13122BF =+=则，故C 错误；(12,,,,1402OA OB OA OB ⎛===-<⎝以AF 为直径的圆的圆心坐标为，半径为，圆心到y 轴的距离为，与y 轴相切，故32⎛ ⎝322AF =32D 正确. 故选：BD.12. 如图，正方体的棱长为2，M 为棱的中点，N 为棱上的点，且1111ABCD A B C D -11D C 1CC ，则（ ）()02CN a a =<<A. 当时，平面 23a =//AM BDNB. 当时，点C 到平面BDN1a =C. 当时，三棱锥外接球的表面积为 1a =A BCN -9πD. 对任意，直线与都是异面直线 ()0,2a ∈AM BN 【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，直接求解平面的法向量，判断与法向量是否垂直即BDN AM可，对于B ，直接求解平面的法向量，利用距离公式求解，对于C ，连接交于，过作BDN AC BD OO 平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，然后利用勾股定理可求出球的半径，从而可求出表面积，ABC 对于D ，利用异面直线的定义判断即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，对于A ，，则，2(2,2,0),(0,2,(2,0,0),(0,1,2)3B N A M 2(2,2,0),(0,2,),(2,1,2)3DB DN AM ===-设平面的法向量为，BDN (,,)n x y z =则，令，则， 2202203n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =(1,1,3)n =- 所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A 错误，2160AM n ⋅=--+≠ AM nAM BDN 对于B ，，设平面的法向量为，则(0,2,1),(0,2,1),(2,2,0)N DN DB ==BDN 111(,,)m x y z = ，令，则， 111122020m DB x y m DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11x =(1,1,2)m =- 所以点C 到平面BDN 的距离为，所以B 正确，CN m d m⋅=== 对于C ，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥AC BD O O ABC O '外接球的半径为，A BCN -R 则，所以三棱锥外接球的表面积为222221192244R OC OO OC CN ⎛⎫'=+=+=+= ⎪⎝⎭A BCN -，所以C 正确， 294π4π9π4R =⨯=对于D ，对任意，因为在平面内，点在平面外，且直线与平()0,2a ∈,,A B M 11ABC D N 11ABC D BN 面交于点，直线不经过点， 11ABC D B AM B 所以直线与都是异面直线，所以D 正确， AM BN 故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______． (2,1,)a m =-(1,1,2)b =-(1,2,)c t =-a b cm t +=【答案】 6-【解析】【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可.【详解】若，，共面，则存在实数，使，a b c ,x y c xa yb =+即(1,2,)(2,1,)(1,1,2)(2,,2)t x m y x y x y mx y -=-+-=-+-+所以，解得，，．2122x y x y mx y t -+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩=1x -=3y -6t m =--所以． 6m t +=-故答案为：6-14. 某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______． 【答案】14 【解析】【分析】根据特殊元素法进行安排即可.【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排33A 6=数为．综上，不同的安排种数为14．112222A A A 8=故答案为：.1415. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l 与该双曲线22142x y -=1F 2F 2F 4π交于M ，N 两点（点M 位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，12MF F △1R 12NF F △2R 则为___________. 12R R 【答案】##3+3+【解析】【分析】设，，，利用双曲线的定义可得，MA MC m ==11AF BF n ==22BF CF t ==n a c =+作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求. 21O O D ∠l 【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，12MF F △1O ,,A B C设，，，设的内切圆为圆，MA MC m ==11AF BF n ==22BF CF t ==12NF F △2O 由双曲线的定义可得，得，()()22m n m t an t c +-+=⎧⎨+=⎩n a c =+由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点， 12MF F △1O B ⊥x B 2O B x ⊥B 所以轴，12O O x ⊥过圆心作的垂线，垂足为，2O 1CO D 因为， 21222180,180O O D BF C BF C CF x ∠+∠=︒∠+∠=︒所以，221O O D CF x ∠=∠4π=∴，即12O O D=)1212R R R R +=-∴，即))1211R R =+123R R =+故答案为：.3+【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相n a c =+12O O x ⊥l 21O O D ∠等，计算即得.16. 进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按人一组分组，然后将各组个人的检测样本混合再检()110k k <≤k 测．如果混合样本呈阴性，说明这个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈k 阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时的值为______． k 参考数据：，，，，，，20.90.810=30.90.729=40.90.656≈50.90.590≈60.90.531≈70.90.478≈，，．80.90.430≈90.90.387≈100.90.349≈【答案】4 【解析】【分析】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则. 1X k =11X k=+依次求出、、，则当最小时，检测次数最少，最后研究1P X k ⎛⎫= ⎪⎝⎭11P X k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()E X ()E X ()E X 的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则. 1X k =11X k=+则，，10.9kP X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭1110.9k P X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ()111111110.9k E X P X P X k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=++⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当最小时，检测次数最少.()E X 当时，；当时，；当时，；当时，2k =()0.69E X =3k =()0.604E X =4k =()0.594E X =5k =；当时，；()0.61E X =6k =()0.636E X =当时，；当时，；当时，；当7k =()0.665E X =8k =()0.695E X =9k =()0.724E X =10k =时，.()0.751E X =故当时，最小. 4k =()0.594E X =故答案为：4四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：(21)nx -32n x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）所有二项式系数之和．（2）系数绝对值最大的项． 【答案】（1）1024（2） 415360x-【解析】【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得，根据二项式系数和的结论可直接求得结果； 7n =（2）根据展开式通项公式，设第项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展开1r +r 式通项公式即可求得结果. 【小问1详解】因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，(21)nx -所以且，解得，25C C n n =5n ≥7n =所以展开式的二项式系数之和为；31022n x x x x +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1021024=【小问2详解】展开式的通项为， 102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()10102110102C 2C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭设展开式第项的系数的绝对值最大，1r +则，解得， 1110101110102C 2C 2C 2C r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩192233r ≤≤又因，所以，N r ∈7r =所以展开式中，系数绝对值最大的项为． ()771014104153602C xx--=-18. 在①2，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题()1n n S n a =+()()()1112n n n S n S n --=+≥中，并作答．问题：设数列的前项和为，且__________． {}n a n 1,1n S a =（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求数列的前项和． 11n n na nb n a +=++{}n b n n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）n a n =（2）21nn n ++【解析】【分析】（1）选①利用与的关系求出递推关系，再用累乘法求出数列通项.选②由递推关系结合累n a n S乘法求出数列通项. （2）用裂项相消法求和. 【小问1详解】选①，因为，所以， ()21n n S n a =+()1122n n S na n --=≥所以，所以， ()()1212n n n a n a na n -=+-≥()121n n na a n n -=≥-则. ()1122121n n n a a n n n n -=⋅⋅⋅⋅=≥-- 因为满足上式，所以.11a =n a n =选②，因为，所以， ()()()1112n n n S n S n --=+≥()1121n n n S S n n -+=≥-所以. ()()111321212n n n n n S S n n n ++=⨯⨯⨯⨯=≥-- 因为满足上式，所以， 111S a ==()12n n n S +=则，因为满足上式，所以. ()12n n n a S S n n -=-=≥11a =n a n =【小问2详解】 由（1）可得，则111211n n n b n n n n +=+=-+++11111111122212231223n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 1121n n n ⎤⎛⎫++-+ ⎪⎥+⎝⎭⎦21n n n =++19. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正ABCDE ACD ⊥ABC BE ⊥ABC ABC ACD三角形，，.4AC =BE =（1）在线段上是否存在点F ，使得平面?说明理由； AC BF ∥ADE （2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值. CDE ABC 【答案】（1）存在，理由见解析（2 【解析】【分析】（1）记中点为M ，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；AC DM （2）连结，过点B 作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，CG CG EH CDE ABC 解三角形，即可求得答案. 【小问1详解】记中点为M ，连结，为正三角形，,AC DM ACD 4AC =则，且DMAC ⊥DM =因为平面平面 ，平面平面，平面ACD ,ACD ⊥ABC ACD ABC AC =DM ⊂所以平面，又因为平面，DM⊥ABC BE ⊥ABC 所以.DM BE ∥延长交于点G ，则为平面与平面的交线， ,MB DE AG ADE ABC因为，故，所以B 为的中点，BE =2DM BE =MG 取中点F ，连结，则，因为平面 ，平面， AM BF BF AG ∥AG ⊂ADE BF ⊄ADE 所以平面.BF ∥ADE 即线段上存在点F ，当时，平面.AC 14AF AC =BF ∥ADE 【小问2详解】连结，则为平面与平面的交线， CG CG CDE ABC 在平面内，过点B 作的垂线，垂足为H .ABC CG 连结，因为平面，平面，故,EH BE ⊥ABC CG ⊂ABC BE CG ⊥平面，故平面，,,BE BH B BE BH =⊂ BEH CG ⊥BEH 平面，故,EH ⊂BEH CG EH ⊥则为平面与平面所成的二面角的平面角.BHE ∠CDE ABC为正三角形，，故,ABC 4AC =BM =BG BM ==且,30,150MBC GBC ∠=∴∠=故在中，， GBC 2222cos 121624(52GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯=故，而， CG =1sin1502BGC S BC BG =⨯⨯=故,又因为 2BGC BH CG S ==12BE DM ==所以， tan BE BHE BH ∠==即平面与平面. CDE ABC 20. 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER ，PER 分为PERl （导致早起倾向）和PERo （导致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE 蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE 蛋白干预实验中，出现PERl 突变的Sd 指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd 指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd 指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发现，若实验鼠Sd 指标超过10.00，则认定其体征状况严重，（1）从实验鼠中随机选取3只，记X 为体征状况严重的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）若编号1~8的实验鼠为GRPE 蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE 蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE 蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 01α=．α0.1 0.05 0.01x α 2.7063.8416.635附：（其中）．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++【答案】（1）分布列见解析；期望为2116（2）认为实验鼠体征状况与GRPE 蛋白干预无关 【解析】【分析】（1）先求出X 的可能取值，逐个求解概率可得分布列，利用期望公式可求期望； （2）根据提供的数据列出2×2列联表，计算卡方，根据临界值进行判断. 【小问1详解】由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重. X 的可能取值有0，1，2，3，39316C 3(0),C 20P X ===2197316C 9(1),C 20C P X === .1297316C C 27(2),C 80P X ===37316C 1(3)C 16P X ===所以X 的分布列为 X 0123P320 9202780116所以X 的数学期望． 3927121()01232020801616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意得，根据所给数据，得到列联表： 22⨯GRPE 蛋白干预 非GRPE 蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计8816零假设：实验鼠体征状况与GRPE 蛋白干预没有关系．0H 利用列联表中的数据得，，220.116(2356)162.286 2.70688797x χ⨯⨯-⨯==≈<=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验01α=．0H 0H 鼠体征状况与GRPE 蛋白干预无关．21. 已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且()2222:10y x C a b a b +=>>12,A A P ⎫⎪⎪⎭C .1212=- PA PA （1）求椭圆的标准方程；C （2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反O P C ,M N PM PN数，当的面积最大时，求直线的方程.MON △MN 【答案】（1）2212y x +=（2）y =±【解析】【分析】（1）根据题意在上，可得，利用，得出P ⎫⎪⎪⎭C 221112a b +=1212=- PA PA，即可求得椭圆方程； 221((1)2a --=-（2）设直线的方程，和椭圆方程联立，求出M 点坐标，以代换k , 可得N 点PM (1y k x =+k -坐标，从而确定直线的斜率，设直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合点到直MN MN 线的距离，表示出的面积，结合二次函数知识，即可求得答案. MON △【小问1详解】由题意椭圆的上、下顶点分别为，()2222:10y x C a b a b+=>>12,A A故，点在上，故， 12(0,),(0,)A a A a -P ⎫⎪⎪⎭C 221112a b +=又，即，1212=- PA PA 1(1)(1)2a a -⋅--=-即，解得， 221((1)2a --=-22a =结合可得， 221112a b+=21b =故椭圆的标准方程为.C 2212y x +=【小问2详解】由题意知直线斜率存在，故设为k ，PM则直线的方程为，联立，PM (1y kx =+2212y x +=可得， 222(2)2(1)(1)20k x k x +++--=，设，11(,)M x y11x=∴=则 11y k =+=因为直线与的斜率互为相反数，设，故以代换,PMPN 22(,)N x y k -k 可得，2x =2y =由题意可得，故，0k ≠12x x ≠所以直线的斜率为 MN 2121222222MNy y k x xk k-==-++，==即直线，则设其方程为，联立，MNy m =+2212y x +=可得，需满足，22420x m ++-=222816(2)0,4m m m ∆=-->∴<则 ，2121224m x x x x -+==故||MN===原点O 到直线的距离为，MNd =故的面积为MON △12S ==， =当，即时，的面积取到最大值， 22m =m =MON △此时直线的方程MN y =【点睛】难点点睛：解答第二问时涉及到三角形面积取最大值，计算量较大，难度较高，解答时要利用直线方程和椭圆方程的联立，确定直线的斜率，进而利用弦长公式和点到直线的距离表示出MN 的面积，从而可解决问题.MON △22. 已知函数． ()()21e 1R 2xf x x ax a =---∈（1）若不等式在上恒成立，求实数a 的取值范围； ()0f x ≥[)0,x ∈+∞（2）若，求证：． 0x >()21e 1ln 122xx x x ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭【答案】（1）(],1-∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，证明导数为单调增函数，然后分和两种情况判断导数的正1a ≤1a >负，从而判断函数的单调性，结合不等式恒成立，求得参数范围；（2）利用（1）的结论将要证明的不等式转化为证明，从而构造函数()2ln 12xx x+>+，利用导数判断函数单调性，结合函数值范围，进而证明原不等式成立. ()()()2ln 102xF x x x x =+->+【小问1详解】由题意知，，()e xf x x a '=--[)0,x ∈+∞令，则，则在上恒成立， 仅在时取等号，()()u x f x '=()e 1xu x '=-()0u x '≥[)0,∞+0x =所以在上单调递增，即在上单调递增． ()u x [)0,∞+()f x '[)0,∞+当时，在上恒成立，1a ≤()()010f x f a ≥=-'≥'[)0,∞+所以在上单调递增，所以，符合题意； ()f x [)0,∞+()()0f x f ≥0=当时，．1a >()010f a '=-<令，则，所以在上单调递减，()e 2xh x x =-()e 2xh x '=-()h x (),ln 2-∞在上单调递增，所以．()ln 2,+∞()()ln 222ln 20h x h ≥=->所以，又在上单调递增，()e e 20a af a a a a '=--=->()f x '[)0,∞+所以，使得，()00,x a ∃∈()00f x '=所以在上单调递减，在上单调递增，()f x ()00,x ()0,x +∞所以，不符合题意． ()()000f x f <=综上所述，实数a 的取值范围是． (],1-∞【小问2详解】证明：由（1）得，当，时，，即，1a =0x >2e 1102xx x ---≥2e 122xx x -+>+要证不等式，只需证明， ()21e 1ln 12,(0)2x x x x x ⎛⎫-++>> ⎪⎝⎭()212e 12ln 1x x x x -+>+只需证明，即只需证，()22ln 1x x x +>+()2ln 12xx x+>+设，则，()()()2ln 102x F x x x x =+->+()()()()222141212x F x x x x x '=-=++++当时，恒成立，故在上单调递增， 0x >()0F x '>()F x ()0,∞+又，所以恒成立，所以原不等式成立．()00F =()0F x >【点睛】难点点睛：第二问证明不等式成立时，要结合第一问的结论，得到，即2e 1102xx x ---≥，这是要结合所要证明的不等式的变形进行的合理变式，因此难点就在于要利用分析2e 122xx x -+>+的方法，将原不等式转化为证明，即需证明，也就是证()212e 12ln 1xx x x -+>+()22ln 1x x x +>+，然后可以构造函数，利用导数判断函数单调性解决问题. ()2ln 12xx x+>+。