安徽农业大学12-13第二学期概率统计试卷及答案

这是前两次概率论考试试卷，仅供参考，必须安装office 公式编辑器才能正常阅读和打印，请转告全班同学抓紧时间复习。

安徽农业大学2006―2007学年第一学期《 概率论 》试卷（A 卷）考试形式: 闭卷、笔试，2小时一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、设,A B 为相互独立的事件，且()0.6,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B = 。

2、掷两枚均匀的骰子，最有可能出现的点数和为 点。

3、设~(1,4)X N ，若()()P X c P X c >=≤，则c = 。

4、设~(1,4)X N ，则随机变量21Y X =+服从的分布为 。

（要求写出分布类型及其所含参数）5、设离散型随机变量X 的分布函数为0,10.3,11()0.7,131,3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则()E X = 。

二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、设B A ,是两个事件，则B A ,恰有一个发生表示为（ ）。

（A ） B A （B ） B A （C ） AB AB ⋃（D） B A2、设事件B A ,相互独立，则;;A B A B A B 与与与 这三对事件中有（ ） 对也是相互独立的。

： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 33、设随机事件A 与B 互不相容，则（ ）。

（A ） 1)(=B A P （B ）)()()(B P A P AB P =（C ）)(1)(B P A P -= （D ） 1)(=⋃B A P4、下列各函数可以作为某随机变量分布函数的是（ ）。

（A ） 21()1F x x =+ （B ）()sin F x x =（C ） 21,0()11,0x F x x x ⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩ （D ）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩0X Y A X Y B D X Y D X D Y C E X Y E X E Y D X Y xy 5、设随机变量、的相关系数，则下列结论中不正确的是（）。

目录习题一（1）习题二（16）习题三（44）习题四（73）习题五（97）习题六（113）习题七（133）1 / 81习 题 一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解(1)Ω={正面，反面}　△ {正，反}(2)Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3)Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0≤x ≤m }2.掷一颗骰子的实验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解{}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来. 解B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =- 4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件.6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B.说明事件A 、C 、D 、F的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成实验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1图1－2P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ，　C Ω==） ＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452　）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω　，　= 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球”　△ “全红”，B ＝“全白”， C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”， F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解 ＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1， ＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8， ＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C 0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解 由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P 17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) -P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ). 解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃ ＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b≠0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来). 解由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有 P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝364100，而样本空间中样本点总数为 ＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB PP (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB PP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ). 证∵P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P (A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒0.7＝0.4＋0.6P (B ) ⇒P (B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?解因P (A )，P (B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件A i 表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P + ＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58×0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1×0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4.P (A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4) ＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P == =0.2×0.3×0.4×=0.024 P (A 3)=P (ABC )=P (A )P (B )P (C ) =0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1)P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2)P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3)P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝0.45×0.004+ 0.35×0.002+ 0.2×0.005 ＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯=39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋ 25.0=41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2.B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P (B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p n n n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1).如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P n n n⎩⎨⎧≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(＞其中q =1－p .应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=ln k n k nq p k n k n n !)(!!e ! ∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n k n k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ习 题 二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布.解X 可以取1, 2,…可列个值. 且事件{X =n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ；(2)取到的旧球个数Y . 解(1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2)Y 可以取0, 1, 2, 3各值.{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P 7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有∑-==∞=111n n pp P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ，n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解1122642=-=⋯+++p p p p p解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn ,n =1,2,…, 100, 求c 的值. 解∑=+⋯++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1,2,…, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=,则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0.所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d ,P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31,但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e !1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1,3,5,…,j =2,4,6,…,且A 1, B 2, A 3,B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P=(0.6×0.5)1-k ·0.4=0.4(0.3)1-k k=1, 2, … {})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---== =0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3k k=1, 2, …(2){}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+ )5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n ,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P )4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n ，2,13.042.01=⨯=-n n14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车). 解X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π≠⎰x x ,1d sin 2π=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么? 解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cx f (x )是一个密度函数 .17. ⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫⎝⎛a arctan － 2π=1得a =0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜ 解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解A x A x A x x 2d e 2d e 10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞-- 解得A ＝21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P =0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f 确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x xc ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解{}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤=当t ≤ 0时， x t x t x F e 21d e 21)(=⎰=∞-当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(2121 25. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .解a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞ 确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,e e x x A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) .解⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xxx x d e1e d e e 12 A A x 2πe arctan ==∞∞- 因此A ＝π2，xtxt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解2202202ππd π21a x x x a a==⎰=因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t tx F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞　x x a x x f ax其他)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0} ＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布. 解Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a ,b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b ,ab +b ］,ax y h b y a y h x y 1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解y =cos x 在［0,2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1, f X ( x ) =10 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他　＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z36. 随机变量X ～f ( x ) ， ⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x x f x ＞Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) . 解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时， π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f L M 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cos RL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccos Rx22xR R l x--=' 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R Rx f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N n EX在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1)3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX(2)3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX31｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n 13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 图2-141. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数.解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞⎰收敛，因此0d e 5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f bb ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b c x cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b c x cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46其他 其他在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 210=⎰=x xx EX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2－ ( EX )2 =454在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差.解EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π2122=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x xDX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X ,求EY 和DY .解EY =σ1( EX －μ ) ＝0 DY = 2σDX =151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次实验的成功率为0.8，重复实验4次，失败次数记为X ，求X 的概率分布 . 解X 可以取值0, 1,2, 3, 4.相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯--( m=0,1,2,3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 . 解 记X 为10次投篮中命中的次数，则X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解 掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p =65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0 {}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P . 解根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 . X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9. {}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为 {}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX ，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有 ｝｛ ｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a i n ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差.解X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛ 具体计算结果列于下面两个表中.1 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N nEX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=100000，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P X P ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值解 设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P ∑==-==300014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10. )(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p 显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e!22e 2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P64．上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y ，则Y ～B （10，p ），其中,e 10101--==-==｝｛｝＞｛X P X P 1e -=q)45e 80e 36(e 2102128+-==+=+==≤---｝｛｝｛｝｛｝｛Y P Y P Y P Y P65．设随机变量X 服从][3,2上的均匀分布，计算E (2X )，D （2X ），2)2(X D .解EX =2.5，DX =1276)(,12122=+=EX DX EXE (2X )=5，D (2X )=4DX =31，][⎰==-===32 442242225211d )(1616)4()2(x x EX EX EX DX X D X D 45150416)2(720150414457765211)(222242===-=-=DX X D EX EX DX66．随机变量X 服从标准正态分布，求概率P ｝｛｝｛｝｛｝｛7,1,535.2,3-≤≤≤≤≤X P X P X P X . 解3(3)0.9987P X Φ≤==｛｝ 2.355(5)(2.35)0.0094P X ΦΦ≤≤=-=｛｝1(1)0.8413P X Φ≤==｛｝71(7)0P X Φ≤-=-=｛｝67．随机变量X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a 的数值： （1）;9.0=≤｝｛a X P ；（2）{};9.0 =≤a X P（3）{};97725.0=≤a X P （4）{};1.0 =≤a X P 解（1）{}()0.9P X a a Φ≤==，查表得a =1.28（2）{} 2()10.9P X a a Φ≤=-=，得Φ（a ）=0.95， 查表得a =1.64（3）{}()0.97725P X a a Φ≤==，查表得a =2（4）{}1.01)(2 =-Φ=≤a a X P ，得Φ(a )=0.55， 查表得a =0.1368. 随机变量X 服从正态分布)2,5(2N ，求概率{}85＜＜X P ,{}0≤X P ,{}25 ＜-X P .解{}⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2552588X 5ΦΦ＜＜P (1.5)(0)0.4332ΦΦ=-=P {}()()00620521520...X =-=-=≤ΦΦ{}1)1(212525 -Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=-X P X P ＜=0.682669．随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，若{}975.09=＜X P ,{}062.02=＜X P ，计算μ和σ的值，求{}6＞X P .。

1天津工业大学（2012—2013学年第一学期）《概率论与数理统计》（理工类）期中试卷 (2012/11)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。

本试卷共有8页，共八道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。

一．填空题（本题满分28分）1.设B A ,是两个事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，30)(.B A P =，则)(B A P Y )(A B P2.某系统连接方式如图,4个独立工作的元件k A 可靠的概率为)4321(,,,k p k =.3.一袋中装有7只球，其中3只白球、4只红球，现从袋中依次取出3只球，取到的白球的数目为X ，则X 的分布律在有放回在不放回情形下为 -----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------24.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=0 10 )(其它,x ,Ax x f X ，则常数A13+=X Y 的概率密度=)(y f Y5．设随机变量X 的分布律为则X 的分布函数为=)(x F X．6．设随机变量)(λ~X π（泊松分布），且20)(-==e X P ，则常数λ≤)2(X P7．设随机变量)61(,U ~X （均匀分布），则X的概率密度函数为t 的二次方程012=+-Xt t 有实根的概率为8．设随机变量X 的概率密度函数为2(3)4(),x f xx +-=-∞<<+∞则23+=X Y ；而概率)2(->Y P 知9772.0)2(=Φ）．3二．（本题满分10分）设某厂有甲乙丙三条流水线生产同一种产品，产量分别占15%，80%，5%；次品率分别为0.02，0.01和0.03；三条流水线的产品混放在同一库房。

选择填空题（共80分, 其中第1-25小题每题2分,第26-353分） A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 相互独立， 则()P A B = B ;(A) 0.7 (B) 0.58(C) 0.82(D) 0.12A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则()P A B = D ;(A) 0 (B) 0.42(C) 0.88(D) 1已知B,C 是两个随机事件,P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4,则P( C ) = C ; (A) 0.4 (B) 0.5(C) 0.8(D) 0.9袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: A ;(A) 815 (B) 415(C) 1225(D) 625袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: C ;(A) 815 (B) 415(C) 1225(D) 625在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于12的概率为 C ;(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8(D) 1/16在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.1/2，通过第二个通道逃生成功的1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃生的可能性是 C .(A) 1 (B) 1/2(C) 1/3(D) 1/68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。

设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N(D)(2)π9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()πλ来描述.已知{99}{100}.P X P X ===则该市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 C 次. (A) 98 (B) 99(C) 100(D) 10110.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

第二章习题答案1、 P{Y 詡=(1-0.4尸 x0.4 k=l,2,…2、 用4表示第i 个阀门开P{X = 0} = P (A (X U 4))= p (A )(p (A ；)+ p (4)- P (石)P (忑))=0.2(0.2 + 0.2 - 0.2 x 0.2) = 0.072P{X =1} = P[A,(兀 U 石)U A^A 2A 3] = 0.8(0.2 + 0.2 - 0.04) + 0.2 x 0.82-0.416P{X =2} = P(A 1A 2A 3) = 0.83 = 0.512 3、 X~b(15,0.2)P{X =k} = C^0.2k xO.815-' k=0,l,2,……,15 (1) P{X = 3} =0.23 x 0.812 = 0.2501(2) >2}-l-C° 0.2° x0.815 -C ：0.2x0.814 = 0.8329(3)P{1 < X <3} = Q50.21 x0.814 + C ；50.22 x0.813 + Cf 50.23 x0.812 =0.61295(4) P{X 〉5} = 1 —工生0.2* x0.8z =0.0611R=04、用X 表示5个元件中正常工作的个数P(X > 3) = Cf 0.93 x 0.12 + C" 0.94 x 0.1 + 0.95 =0.9914 5、设 X=(8000#产品的次品数｝则 X~b(8000,0.001)近似地由于n 很大，P 很小，所以利用X 〜”⑻6、(l)X~n(10)15 [0*0-10P{X 〉15}=1-P{X V15} = 1-工 ------------ = 1-0.9513 = 0.0487*=o kl(2) V X~n( X).-.| = p{x >O } = I -P {X =0} = l-^-P{X<7} =工*=0 8。

安徽自考概率论试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，正面或反面朝上C. 抛一枚硬币，硬币立在地上D. 抛一枚硬币，反面朝上答案：B2. 概率论中，不可能事件的概率为：A. 0B. 0.5C. 1D. 随机答案：A3. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=1)等于：A. λB. e^(-λ)λC. λ^2D. e^(-λ)答案：B4. 若随机变量Y服从正态分布N(μ, σ^2)，则Y的均值和方差分别是：A. μ, σB. μ, σ^2C. σ, μD. σ^2, μ答案：B5. 以下哪个选项是大数定律的一个表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中事件发生的频率趋于稳定D. 样本容量增加，样本均值的方差减小答案：A6. 设随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z > 0)等于：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.33答案：C7. 以下哪个是二维随机变量(X,Y)的边缘分布函数？A. P(X < x, Y < y)B. P(X < x) + P(Y < y)C. P(X < x) * P(Y < y)D. P(X < x)答案：D8. 如果两个事件A和B相互独立，那么P(A ∩ B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) * P(B)C. P(A) - P(B)D. P(A) / P(B)答案：B9. 在一次抽奖活动中，共有10个奖品，其中3个是一等奖。

如果抽5次，那么至少抽到一个一等奖的概率是：A. 1 - C(7,5)/C(10,5)B. C(3,1)/C(10,1)C. C(7,5)/C(10,5)D. 1 - C(3,5)/C(10,5)答案：A10. 以下哪个选项是中心极限定理的一个表述？A. 样本均值的分布随着样本容量的增大而趋近于正态分布B. 样本方差的分布随着样本容量的增大而趋近于正态分布C. 样本中值的分布随着样本容量的增大而趋近于正态分布D. 总体均值的分布随着样本容量的增大而趋近于正态分布答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则X的期望E(X)等于______。

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。