7空气动力学基础-第7章 高速可压流动

p RT
其中 R 称为气体常数，空气的 R = 287.053 N.m/(kg.K)。
7.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律 2、内能、焓
气体内能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含
的动能与分子之间存在引力而形成的位能之和。对于完 全气体而言，分子之间无引力，单位质量气体的内能 u 仅仅决定于分子间的热运动，是温度的函数。



热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个 任意形态的物质体系 无物质交换，无能量交换，称为隔绝体系 无物质交换，有能量交换，称为封闭体系 有物质交换，有能量交换，称为开口体系 高速流中遇到的情况绝大多数属于隔绝体系和封 闭体系。经典热力学所处理的都是处于平衡状态 下的物系。但在分析时我们也常用开口体系（控 制体）。


一维等熵流的能量方程
V dp C 2
利用等熵关系式
2
p


constant

dp

RdT RT 1 1


7.3.1 一维定常绝热流的能量方程 一维定常流能量方程的不同形式
V2 c pT 常数(沿流线) 2
V2 RT 常数(沿流线) 2 1
7.2.1 弱扰动与强扰动
7.2.2 微弱扰动传播过程与传播速度——音速
7.2.3 音速公式 7.2.4 马赫数


7.3 高速一维定常流 7.3.1 一维定常绝热流的能量方程 7.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式 7.4 微弱扰动的传播区，马赫锥与马赫波 7.4.1 微弱扰动的传播区，马赫锥 7.4.2 马赫波满足的基本关系 7.5 膨胀波 7.6 激波 7.6.1 正激波 7.6.2 斜激波 7.6.3 圆锥激波
对于高速气体来说（M 较大），即使是在绝热情况下，速度 的变化会引起热力关系（ p 、ρ 、 T ）变化，内能将参与能 量转换。

高速流动时，即使只是一维定常流动，由于密度ρ 和温度 T 发生变化，流动参数增加为四个： V 、p、
ρ、T

已经有了三个基本方程，它们是：连续方程、动 量方程和状态方程 。 为了能解出四个流动参数，需要补充第四个方程 —能量方程 。
熵增量的表达还可写为（根据上述二式）：
p dS Rd ln 1 T
Rd ln 11 T
p ln cv d

等熵关系式
p T 1

C

T
1 1
C1
du p 1 dT d dq dS d ( ) cv R T T rev T T 1 1 dT dp dq dS (dh dp) c p R T p T rev T
7.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律

将比热关系和状态方程代入焓的表达 h u p 可得梅耶公式：
c p cv R
cp
1

R
1 cv R 1
常规状态下空气的比热比：

cp cv
1.4
采用完全气体模型，比热及比热比γ 都是常数。完全气体的 模型只能用到 M 数不太高的超音速流为止。对于M数很高的 高超音速流动，则必须计及气体的非完全性
1. 使用驻点参考量的参数关系式
驻点指速度等熵地降为零的点。在驻点处焓达到最大值，称 为总焓或驻点焓h0。
由定常一维绝热流能量方程：
驻点处的温度，称为总温T0 ：

7.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律
2.
热力学过程 系统可在各种条件下经历热力学过程从一种热力学状态变化到 另一种热力学状态，不同的热力学过程可用其对应的压强和比 容关系即 p~υ图表达出来。常见的热力学过程可用下式表达：
p

n
p n C
n=0－－等压过程
n=1－－等温过程
n=γ=Cp/Cv－等熵（绝热可逆）过程 n=∞－－等容过程 n=其他－－多变过程

不可压介质： a
dV 弹性介质： 1 a


音速：微弱扰动在弹 性介质中的传播速度 ，是研究可压流场的 一个很重要的物理量 音速大小只与介质物 理属性、状态、以及 波传播过程的热力学 性质有关，而同产生 扰动的具体原因无关
如图充满气体的活塞，设想对活塞轻微的推动一下，则扰动便以速 度a向右传播，扰动波未到达前后气体的参数如图所示。取随波阵面 AA运动的相对坐标，我们从基本方程出发导出音速的表达式。 由质量守恒定律：
密度的倒数就是单位质量的体积，即比容 单位质量的焓的微分是：
1
1 1 dh du pd dp
从而静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：
dq dh
1

dp
7.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律

对于流动物系，热力学第一定律
使流动参数改变有限值的扰动，称为有一定强度的
扰动简称为强扰动，例如激波便是一种强扰动。
7.2.2 微弱扰动传播过程与传播速度——音速

在不可压流中，微弱扰动传播速度 a 是无限大，扰动瞬 间将传遍全部流场 在可压流中，情况就不一样了。因为气体是弹性介质， 扰动不会在一瞬间传遍整个流场，扰动的传播速度a不是 无限大，而是有一定的数值 。注意扰动的传播速度 a 与 介质本身的运动速度 dV 是两码事，一般情况下 dV << a
p


C2
7.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律
等熵关系式
p T 1

p2 T2 1 C p1 T1
1 1


T
1
1
2 T2 C 1 T1
p2 2 C p1 1 p
在热力学中，常常引入另外一个代表热含量的参数 h（焓）
hu
p
p

由于 表示单位质量流体所具有的压能，故焓 h 表示单位质量流 体所具有的内能和压能之和
7.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律
3.
热力学第一定律
热力学第一定律是一条能量守恒定律。对一个封闭物系来说，
经过一步无限微小的可逆过程，由外界给物系的热量 dQ 必等
微弱扰动在空气中的传播可看成是等熵过程，将 等熵关系代入音速公式 可得：
p

dp p a RT d
马赫数：气流速度 V 与当地音速 a 之比

M
由于音速随高度（或温度）变化，因此在不同高度上，同样 的M 数並不一定表示速度相同。
V a

马赫数是一个非常重要的无量纲参数，是一个反映压缩性大 小的相似准则。M 数的大小标志着运动空气压缩性的大小， M 值越大则压缩性越大： p V 2 ~ 2 M2 p a
a ( d )(a dV )
略二阶小量得：
ad dV
p+dp, ρ +dρ
根据动量定理（向左为正）：
T+dT
a-dV
p,ρ ,T a
p p dp aa dV a
整理得：
dp adV
dp a d
2
x
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二式相除得：

音速 a 是介质压缩性的一个指标。 音速的平方与密度变化量成反比
7.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律
1. 熵
熵是反映热能可利用部分的指标，有意义的是熵增量。
熵增量:系统经历可逆过程时的加热量与温度之比。
dq dS T rev
dq 或 s s B s A A T rev
B
熵是状态参数，这是因为熵增可以写为全微分：
由静止气体热力学第一定律：
1 dq du pd
dq dh
1

dp
定容过程的比热（cυ）和等压过程的比热（cp）:
du cv dT dh cp dT p
du cv dT
dh c p dT
7.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律

1

7.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律
3. 热力学第二定律
• 热力学第二定律指出：在绝热变化过程中，如果过程可
逆，则熵值保持不变， s=0 ，称为等熵过程；如果过程 不可逆，熵值必增加， s>0。因此，热力学第二定律也 称为熵增原理。 • 在高速流中，不可逆是因气体摩擦、激波出现以及因温 度梯度而引起。一般在绝大部分流场区域速度梯度和温 度梯度都不大，可近似视为绝热可逆的，称为等熵流动， 等熵关系式成立。 • 在边界层及其后的尾迹区，激波附近区域，气体的粘性 和热传导不能忽视区域，流动是熵增不可逆过程，等熵 关系式不能用。
V2 p 常数(沿流线) 2 1
V2 a2 常数(沿流线) 2 1
V2 h h0 2 沿流（线）管 V 增加时，h,T,a下降，但总能量不变
对于一维定常绝热流，我们可以确定流动参数沿流线（或沿 流管轴线）变化的关系式，但需给定参考点上的参数值。常 用 的参考点是驻点或临界点。
5% ，密度的相对变化不大，这时 可证当 M 0.3 时， 可将低速气体近似视为不可压缩流体。事实上即使是液体也 不可能绝对不可压。我们将低速气体看成不可压流体的原因 在于，流动时引起密度的变化很小，因此不可压仍然是一种 理想化的假设模型，而这种模型具有一定程度的合理性。