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第一章随机过程1.1二值过程定义为()X t A =或A -，(1)(0,1,2,)n T t nTn -≤≤=±±其中A 与A -等概出现，T 为一正常数。
（1）画出典型的样本函数图形； （2）将此过程归类；（3）该过程是确定性过程吗？ 解：（1）略；（2）此过程为离散型随机过程； （3）此过程是确定性过程。
1.2 随机过程()X t A Bt =+，其中A 和B 是相互独立的正态分布(0,1)N 的随机变量，试求()X t 的2维概率密度函数。
解：因为A 和B 都是服从标准正态分布，且相互独立，因此它们的线性组合也服从正态分布，故二维随机变量()12(),()X t X t 服从二维正态分布。
对于正态分布，只需求出数学期望和协方差即可确定概率密度函数。
数学期望：[()][][]0X m E X t E A E B t ==+=121222122112(,)[()()][]1X R t t E A Bt A Bt E A B t t ABt ABt t t =++=+++=+ 协方差：2121212(,)(,)1X X X K t t R t t m t t =-=+因此211221221111t t t t t t ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦K 。
则()X t 的2维概率密度函数为：1212121/21(,;,)2T X f x x t t eπ--=X K XK其中：211221221111t t t t t t ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦K ，()12,x x =X 。
1.3 考虑随机过程()cos ,X t X t t T ω=∈，此处ω为常数，X 服从标准正态分布。
试求()X t 的一维概率密度函数。
解：对于某一1t 时刻，1()X t 为X 的线性组合，因此1()X t 服从正态分布。
期望：[()][]cos 0X m E X t E X t ω===121221212(,)[cos cos ][]cos cos cos cos X R t t E X t X t E X t t t t ωωωωωω=== 方差：()222(,)cosX X X t R t t m t σω=-=则()X t 的一维概率密度函数为：222cos (,)x tX f x t ω-=1.4 离散随机过程的样本函数皆为常数，即()X t C ==可变常数，式中C 为一随机变量，其可能值为11C =，22C =及33C =，且它们分别以概率0.6、0.3及0.1出现。
一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。
在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。
在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。
例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。
如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。
显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。
各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。
但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。
一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。
由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。
虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
