2020届吉林省吉林市高三上学期第一次调研测试 数学理

2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=， 故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=， 解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-， 从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象， 故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+； 当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=． 故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标， 而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ， 因此124x x =， 故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…， 当1k =时，不等式无解， 故ω的最大值为23， 故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===， 故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=， 故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=． 设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=， 又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…． 故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+， 记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增， 故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立， 即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+， 可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-， 则8M m +=-， 故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （2）（4） （填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的 的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减， 在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立， 函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=， 令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>， 令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---， 则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-， 则12224x x t t +>-++=， 当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4）， 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟； 当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解； 综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…， 当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=． 转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象； 再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立， 所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …； （3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点， 所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点； 在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点， 此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点， 此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=， 当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞． （2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--， 又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=， 所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]． 法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…， 即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增． 所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…， 所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞， 则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<， 则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点． （2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立， 构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立， 故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增， 注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学参考答案一、选择题13. 14. (0,1) 15. 1030 16. 610 三、解答题 17【解析】 （1)由112n n b S +=得112n n b S -=.................................................1分两式相减得112n n n b b b +-=即13(n 2)2n n b b +=≥..................................2分121111,22b b S ===,所以2132b b ≠..........................................3分当2n ≥时{}n b 为等比数列,且213()(n 2)22n n b -=⋅≥.............................4分所以{}n b 的通项公式为21(n 1)13()(n 2)22n n b -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ (5)分（2）由（1)知22213()22n n b -=⋅ 设2n n a b =,则2212222213()3922()1324()22nn n n n na b a b ++-⋅====⋅ (7)分所以{}2n b 是首项为12,公比94的等比数列.......................................8分所以246219[1()]2924[()1]95414n n n b b b b -+++⋅⋅⋅+==--...........................10分 18【解析】（1)由题得,)3sin sin 3cos(cos sin 2)ππx x x x f +=（x x x 2sin 3cos sin += )2cos 1(232sin 21x x -+=232cos 232sin 21+-=x x 23)32sin(+-=πx ……………………………………………………4分令ππk x =-32 )(Z k ∈,得62ππ+=k x )(Z k ∈ 所以,函数)(x f 的对称中心为)23,62(ππ+k )(Z k ∈…………………………………6分(2) 因为存在]43,4[0ππ∈x ,使不等式m x f <)(0成立,所以m 大于)(x f 的最小值………8分由434ππ≤≤x ,得67326πππ≤-≤x , 当6732ππ=-x ,即43π=x 时,)(x f 取最小值213-,所以213->m ,则m 的取值范围为),213(+∞-.……………………………………12分19【解析】（1)由正弦定理得sin sin cos A C B B C =⋅⋅因为A B C π++=,)sin sin cos B C C B B C +=⋅⋅cos cos sin )sin sin cos B C B C C B B C +=+……………………………2分化简,sin B B =………………………………………………………………………4分 因为(0,)B π∈,所以3B π=……………………………………………………………………6分（2)由（1)知3B π=,因为4b =,所以由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-,即22242cos3a c ac π=+-化简,得2216a c ac +-=①……………………………………………………………………8分因为该三角形面积为所以1sin 2ac B =,即16ac =②…………………………………………………………10分 联立①②,解得4a c ==………………………………………………………………………12分20【解析】（1)当2a =时, 2'()(253)(1)(23)f x x x x x =++=++ ......................1分令'()0f x =,解得31x =-或-, .................................2分...................3分所以,()f x 的增区间为32∞（-,-）,+∞（-1，）, .................................4分 ()f x 的减区间为32（-,-1） ........................................5分 ()f x 的极大值为39()28f -=-, (6)分()f x 的极小值为7(1)6f -=- (7)分（2)依题意：[]2'()(21)301,1f x ax a x =+++≤-在上恒成立 (9)又因为0a >,所以,0'(1)0'(1)0a f f >⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,.........................................10分【说明】（1)此处只使用判别式小于等于0 加上a>0的不给分； （2)若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分；即0243a a a ⎧⎪>⎪≥⎨⎪⎪≤-⎩即无解。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 函数f (x )=sin (2x −π6)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗ 4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1，则f(1)的值为( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知正项等比数列{a n }中，a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 100+a 101a 98+a 99的值为( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26. 已知sin(π+α)=13，则cos2α=( )A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√297. 在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则向量|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( ) A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38. 函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4 C. x =π8 D. x =π49. 函数y =2log 4(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1 B. 3 C. √10D. 92 11. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=4，S 3=7，则S 6的值为( )A. 31B. 32C. 63或13327D. 6412. 已知函数f(x)=x 2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数； ②函数f(x)的最小值为0；③如果x ∈[0,t]时，f(x)max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f(x)有2个零点； 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知函数f(x)={e x ,x <0,lnx,x >0,则f[f(1e )]=_____________.14. 设平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则|n ⃗ |等于______． 15. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{x|x =a i +a j ,i ∈N,j ∈N,1≤i <j ≤n}的元素个数为c n ，把{c n }的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中c 5= ; 第17行由左向右数第10个数为 ．16. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果(视角∠ACB=θ越大，效果越好)，现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．(1)按照方案①，设CF为h米(2<ℎ<4)，当h为何值时，视角θ最大？(2)按照方案②，设EF为x米(x<4)，当x为何值时，视角θ最大？18.在等差数列{an}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；}的前n项和为T n，求T14．(2)设数列{n(2n+1)S n19.在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小．(2)已知c=2，边AC边上的高BD=3√21，求△ABC的面积S的值．720.已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.设函数f(x)=2x3−12x+c的图象经过原点．(1)求c的值及函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x)(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题． 由正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解： 因为函数f (x )=sin (2x −π6)， 所以最小正周期是T =2π2=π．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查平面向量的基本定理及向量的三角形法则，属于基础题． 根据向量的三角形法则得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由此即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， 因为M 为AB 的中点，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −2b ⃗ ， 故选C ．4.答案：B解析：解：函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1， 则f(1)=−f(−1)=−(2×12−1)=−1． 故选：B ．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：C解析： 【分析】设等比数列的公比为q ，q >0，运用等比数列通项公式和等差数列中项性质，解方程可得q ，进而得到所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】解：正项等比数列{a n }的公比设为q ，(q >0)， a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 可得a 3=a 1+2a 2， 即a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)， 则a 100+a 101a 98+a 99=q 2(a 98+a 99)a 98+a 99=q 2=3+2√2，故选C ．6.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选：A ．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．解析：【分析】本题考查向量加法的几何意义，属于基础题．由向量加法的几何意义，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求向量的模． 【解答】解：在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故选C 项． 8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y =Acos(ωx +φ)型函数的性质， 准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.属于基础题． 【解答】解：将函数f(x)=sin(x +π6)的图象向左平移π3个单位， 得到函数y =sin(x +π3+π6)=cosx 的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12， 得到函数y =cos2x 的图象， 由2x =kπ， 得x =12kπ，k ∈Z ，∴所得图象的对称轴方程为x =12kπ，k ∈Z ， k =−1时，x =−π2． 故选A ．9.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题． 利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x <1，函数是减函数． 故选C ．10.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可． 【解答】解：∵E 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是BC 的中点， 建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，E(1,1)，B(0,1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)⋅(0,1)=1， 故选：A ．11.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，S 3=7， ∴a 1q 2=4，a 1(1+q +q 2)=7，解得a1=1，q=2，或q=−23，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6=26−12−1=63．当q=−23，a1=9时，S6=9[1−(−23)6]1−(−23)=13327．∴S6=63或13327，故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得a1q2=4，a1(1+q+q2)=7，解得a1，q.再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，以及运算能力和判断能力，属于中档题．求得f(x)的导数和单调区间、极值和最值，作出f(x)的图象，结合图象可得单调性、最值和t的范围，以及零点个数．【解答】解：函数f(x)=x2e x，导数为f′(x)=x(2−x)e x，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增；x>2或x<0，f′(x)<0，f(x)递减，即有f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=4e2，作出函数f(x)的图象，如下：①函数f(x)在[0,1]上是增函数，正确；②函数f(x)的最小值为0，正确；③如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2，正确；④函数f(x)有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选C ．13.答案：1e解析： 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.理解分段函数的概念是关键． 【解答】解：f[f(1e )]=f(−1)=e −1=1e ． 故答案为1e ．14.答案：2√5解析：解：∵平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)， ∴由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 可得−1×b −2×2=0，解得b =−4，∴|n ⃗ |=√22+(−4)2=2√5故答案为：2√5由向量平行可得b 的值，再由向量的模长公式可得． 本题考查平面向量的平行关系和模长公式，属基础题．15.答案：7；293解析： 【分析】本题考查对等差数列通项公式与求和公式，属于中档题． 对于题意的理解是关键，利用特殊条件，可以进行简便求解． 【解答】解：设a n =a 1+(n −1)d ， 则a i +a j =2a 1+(i +j −2)d ， 由题意1≤i <j ≤n ，当i =1，j =2时，i +j −2 取最小值1， 当i =n −1，j =n 时，i +j −2取最大值2n −3， 易知i +j −2可取遍1,2,3,…,2n −3， 即c n =2n −3(n ≥3)，∴c 5=2×5−3=7，数阵中前16行共有1+2+3+⋯+16=(1+16)×162=136个数，所以第17行左数第10个数为c 148=2×148−3=293． 故答案为7；293．16.答案：−√3解析： 【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：由图可知T =4(π6+π12)=π，∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x +φ)．∵f(−π12)=2sin(φ−π6)=−2，∴sin(φ−π6)=−1.再根据|φ|<π2， ∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3)，∴f(π)=−√3， 故答案为：−√3．17.答案：解：(1)如图(1)所示，由题意知，tanα=4−ℎ4，tanβ=ℎ−24，∴tanθ=tan(α+β)=4−ℎ4+ℎ−241−4−ℎ4×ℎ−24=8(ℎ−3)2+15，2<ℎ<4；当ℎ=3时tanθ取得最大值为815；因为函数y =tanθ在(0,π2)上是增函数，所以当ℎ=3时θ取得最大值；(2)如图(2)所示，由题意知，tanα=2−1.5x，tanβ=4−1.5x，∴tanθ=tan(β−α)=2.5x −0.5x 1+2.5x ⋅0.5x=2x+54x≤2√5，x >0，当且仅当x =√52时取“=”，所以x =√52时，视角θ取得最大值．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(1)根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；(2)根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．18.答案：解：(1)等差数列{a n}中，由a2+a5=22可得2a1+5d=22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：解：(1)∵(2c−a)cosB−bcosA=0，由正弦定理得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0，∴(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sin(A+B)，∵A+B=π−C，且sinC≠0，∴2sinCcosB=sinC，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵S=12acsinB=12BD⋅b，代入c =2，BD =3√217且sinB =√32，得b =√7a3， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2−2a +4， 代入b =√7a3，得a 2−9a +18=0，解得{a =3b =√7，或{a =6b =2√7，又∵锐角三角形， ∴a 2<c 2+b 2， ∴a =3，∴S △ABC =12acsinB =12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(2)由已知利用三角形面积公式可得b =√7a3，由余弦定理可得a 2−9a +18=0，结合a ，b 的关系，进而根据三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(1)由a 1a 5=8a 2得：a 1q 3=8，即a 4=8，又∵3a 4，28，a 6成等差数列，∴3a 4+a 6=56， 将a 4=8代入得：a 6=32． 从而：a 1=1，q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×[(12)0+2(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n =2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1．∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2．解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)∵f(0)=0∴c=0…(2)，∴f(x)=2x3−12x…(4分)∴f′(x)=6x2−12=6(x+√2)(x−√2)，…(5分)列表如下：递减区间是(−√2,√2)…(8分)(2)∵f(−1)=10，f(√2)=−8√2，f(3)=18∴f(x)在[−1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(√2)=−8√2…(12分)解析：(1)由f(0)=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(I)当a=1时f(x)=lnx−x2+xf′(x)=1x−2x+1，∴f(1)=0，f′(1)=0即：所求切线方程为：y=0，(II)∵f′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x,x>0∴当a=0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2，当a≠0时可令g(x)=−2ax2+ax+1，x∈[1,2]．∵g(x)的对称轴x=14且过点(0,1)∴当a<0时，f′(x)>0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2−2a，当a>0时，若g(1)≤0，即：a≥1时，f′(x)<0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递减，∴f(x)max=f(1)=0，若g(1)>0，g(2)<0，即：16<a<1时，f′(x)在[1,a+√a2+8a4a)上大于零，在(a+√a 2+8a4a,2]上小于零f(x)在[1,a+√a 2+8a4a)上递增，在(a+√a2+8a4a,2]上递减，∴f(x)max =f(a+√a 2+8a4a)=lna+√a 2+8a4a+√a 2+8a+a−48，若g(1)>0，g(2)≥0，即：0<a ≤16时，f′(x)>0在[1,2]恒成立， f(x)在[1,2]上递增，∴f(x)max =f(2)=ln2−2a ，综上：f(x)max ={ ln2−2a,a ≤16ln a+√a 2+8a 4a +√a 2+8a+a−48,16<a <10,a ≥1解析：(Ⅰ)通过a =1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求出函数的导数，通过a 与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f(x)在[1,2]的最大值．本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. D8. A9. C 10. B 11. C 12. C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 112 14. 215. 20π16.221n n +，1(1)(1)nn n -++三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<sin()14A π<+<，即2010S <<+（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅ 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得 22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =3t =±因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2. （10分）。

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吉林省长春市普通高中 2020届高三毕业班质量监测(一)
数学（理）试题答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. B
2. C
3. C
4. C
5. D
6. A
7. D
8. A
9. C
10. B
11. C
12. C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13. 112 14. 2
15. 20π
16.
221
n n +，1(1)(1)n
n n -++
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查三角函数的相关知识,特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos A
A B A
=⋅,即sin cos B A =, 由a b >,可得2
A B π
+=
,即ABC △是直角三角形.
（6分）
（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++
,10)4
L A π
=++
,
由a b >可知,4
2
A π
π
<<
,
因此sin()124
A π
<+<,
即2010S <<+.
（12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ,连结EM 、DM ,。

2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=， 故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=， 解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-， 从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象， 故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+； 当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=． 故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标， 而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ， 因此124x x =， 故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…， 当1k =时，不等式无解， 故ω的最大值为23， 故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===， 故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=， 故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=． 设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=， 又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…． 故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+， 记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增， 故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立， 即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+， 可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-， 则8M m +=-， 故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （2）（4） （填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的 的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减， 在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立， 函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=， 令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>， 令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---， 则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-， 则12224x x t t +>-++=， 当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4）， 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟； 当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解； 综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…， 当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=． 转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象； 再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立， 所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …； （3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点， 所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点； 在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点， 此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点， 此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=， 当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞． （2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--， 又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=， 所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]． 法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…， 即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增． 所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…， 所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞， 则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<， 则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点． （2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立， 构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立， 故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增， 注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

吉林省吉林市高三上学期第一次调研测试数学（理）试题一、单选题1．设{|23},{|0}A x x B x x =-<<=>，则A B =（ ）A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)【答案】D【解析】根据集合的交集运算即可求解。

【详解】{|23},{|0}A x x B x x =-<<=>，}{03A B x x ∴⋂=<<故选：D 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。

2．函数3sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．2π C ．3π D ．π【答案】B【解析】由三角函数的最小正周期2T ωπ=，即可求解。

【详解】4ω=，2T ωπ=242T ππ∴== 故选：B 【点睛】本题考查求三角函数sin()y A x ωϕ=+的周期，属于基础题。

3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则a b ⋅=（ ） A ．-8 B ．4C ．7D ．-1【答案】A【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】(1,2),(2,3)a b =-=- 1(2)(2)38a b ∴⋅=⨯-+-⨯=-故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.4．已知奇函数()f x 当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()f x 的表达式是( ) A ．(1)x x -+ B ．(1)x x --C ．(1)x x +D ．(1)x x -【答案】C【解析】设x <0，则−x >0，又当x >0时,f (x )=x (1−x )，故f (−x )=−x (1+x )， 又函数为奇函数，故f (−x )=−f (x )=−x (x +1)，即f (x )=x (x +1)， 本题选择C 选项.5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019a =（ ） A ．12B ．-1C ．2D ．12-【答案】B【解析】首先由递推关系111n na a +=-得出1a 、2a 、3a 、4a 且数列的周期为3即可求出2019a . 【详解】 由111n na a +=-且12a =， 则211122a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-= ，所以数列{}n a 为周期数列，周期为3， 所以2019201631a a a ====-故选：B 【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题.6．若cos()23πα+=-，则cos2=α（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】C【解析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可. 【详解】cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,得到sin α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.7．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由24,32x k k Z πππ+=+∈，得1,424x k k Z ππ=-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,A AB a b a b R C λμλμ=-=+∈，若,,A B C 三点共线，则,λμ满足（ ） A ．2λμ+= B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-【答案】D【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

2020届吉林省名校联盟高三第一次调研考试数 学 试 卷 （理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一. 选择题（共12题，每题5分，共60分）1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，集合{3,5}B =，则()U A C B =（ ） A ．{2,3,5}B ．{1,4,6}C ．{2}D ．{5}2．已知扇形OAB 的圆周角．．．为2rad ，其面积是28cm ，则该扇形的周长．．是（ ）cm ．A ．8B ．4C ．D ．3．已知角α的终边过点()125-，，则1sin cos 2αα+等于（ ） A ．113-B ．113C ．112D ．112-4. 命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （ ） A ．不存在0x ∈R, 02x >0 B ．存在0x ∈R, 02x ≥0 C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0 D ．对任意的x ∈R, 2x >05将函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．1sin 2y x =B ．1sin 2π2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1sin 2π6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6. 函数2y =的值域是（ ）A.[2,2]-B. [1,2]C.[0,2]D.[7. 若()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且(lg )(1)f x f >,则x 的取值范围是 A. (110，1) B. (0，110)(1，+∞) C. (110，10) D. (0，1)(10，+∞)8．若函数()()cos20f x x ωω=>在区间则ω=（ ） A ．3 B ．2 C ．32 D ．239．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ） A ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,0-10. 函数21x y x -=-的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．11.．已知πs i n ,s i n 36πx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a ，ππcos ,cos 63x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ，513⋅=a b ，且则si n 2x 的值为（ ）A CD12.已知函数(3)5(1)()2(1)a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ． (0,2]第Ⅱ卷二．填空题（每题5分，共20分）13.π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．14.化简：sin40°（tan10°-3 ）=______．15.已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x 的解析式是 ． 16．下列几个命题①函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是[]1,1- ②设函数()y f x =定义域为R ，若(1)(1)f x f x -=+ 则函数()y f x =的图象关于y 轴对称③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．237．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是()A ．B ．C ．D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．654011．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4 C ． D ．1412．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = ．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= ．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 尺．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积．20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)【解答】解：{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，{|03}(0,3)AB x x ∴=<<=．故选：D ． 2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π【解答】解：函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是：242T ππ==． 故选：B ．3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-【解答】解：向量(1,2),(2,3)a b =-=-， 则268a b =--=-． 故选：A ．4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【解答】解：设0x <，则0x ->， 当0x >时，()(1)f x x x =-+， ()(1)f x x x ∴-=-+又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()(1)f x f x x x ∴=--=+故选：B ．5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-【解答】解：数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =， 可得212a =，31a =-，42a =，⋯ 所以数列的周期为：3， 20196723331a a a ⨯+===-．故选：B ．6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．23【解答】解：cos()sin 2παα+=-=，sin α∴=， 则211cos 212sin 1233αα=-=-⨯=，故选：C ．7．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【解答】解：将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 得到2sin(4)3y x π=+，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，得到2()2sin[4()]2sin(4)1233g x x x πππ=++=+， 由2432x k πππ+=+，k Z ∈， 得1424x k ππ=-，k Z ∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选：A ．8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-【解答】解：，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈， 若A 、B 、C 三点共线，设AB mAC =，则22a b ma m b λμ-=+，,a b 是不共线， 所以2m λ=，2m μ-=，224m mλμ-==-， 故选：D ．9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由函数()(0x x f x a a a -=->且1)a ≠在R 上为减函数， 故01a <<．函数log (||1)a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，函数log (||1)a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．6540【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，22112(1)3(1)11n n a a q q q q-=---， 2q ∴=，312328a a a a ==，22a ∴=，11a =，则881225512S -==-． 故选：B ．11．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4C ．D ．14【解答】解：||12||OA OB =， ∴1||||2OA OB =， 0OA OB =，即OA OB ⊥，故可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设(1,0)OA =，(0,2)OB =， (,2)OC mOA nOB m n =+=， 30AOC ∠=︒，∴2tan 30n m =︒=，则mn =． 故选：C ．12．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e【解答】解：因为函数()(1)x f x a a =>为增函数，由函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，即函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 设()3x g x a x =-， 则()3x g x a lna '=-， 又1a >，所以0lna >， 则当3log ax lna <时，()0g x '<，当3log a x lna>时，()0g x '>， 所以函数()g x 在3(,log )alna -∞为减函数，在3(log alna，)+∞为增函数， 要函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 则需3(log )0a g lna<， 所以33log alna lna<， 所以3log ()1lnaa lna>， 所以3()lnaa lna >， 所以31ln lna>， 所以3e lna>， 即3ea e <， 又1a >， 所以31ea e <<， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = 1 ．【解答】解：根据题意，函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则11()1f ln lne e e==-=-，01[()](1)21f f f e=-==，故答案为：1．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= 2 ．【解答】解：向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，∴12cos601a b =⨯⨯︒=． 则222|2|(2)444412a b a b a a b b -=-=-+=-⨯+=， 故答案为：2．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 1.5 尺． 【解答】解：由题意知为单调递增的等差数列， 设为1a ，2a ，⋯，12a ，公差为d ， 1591216.584a a a S ++=⎧⎨=⎩， 代入得1111(4)(8)16.5121112842a a d a d da ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 联立方程解得1 1.5a =， 故答案为：1.5．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= 5．【解答】解：由(1)(1)f x f x +=-，得()f x 的对称轴方程为1x =， 由()sin()2cos())(tan 2)f x x x x πϕπϕπϕθθ=+-+=+-=， 得2k ππϕθπ+-=+，k Z ∈．2k πϕπθ∴=-+，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin(22)sin 215k sin cos tan θθθϕππθθθθθ=-+=-=-=-=-++．故答案为：45-．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．【解答】解：ACE ∆中，sin 45sin(7545)AE CE=︒︒-︒，2sin 45sin 302AE ︒===︒)，1sin 751751AB AH AE =+=︒+=︒+，因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒12==，所以12AB =+=+) 所以建筑物AB的高度为(2+米．（注:sin 75︒=． 18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【解答】解：（1）由题意得：324286a a a a =⎧⎨=⎩，1211126(1)(3)()(7)(2)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，由（2）式得：222211116987a a d d a a d d ++=++，21d a d =， 因为0d ≠，所以1d a =，代入（1）式求得12d a ==， 所以22(1)2n a n n =+-=． （2）2n S n n =+，211111()222n n b S n n n n n ===-+++， 111111*********()()()()()21322423521122n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 3111()4212n n =-+++． 34<． 19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）sin()sin 03b Cc B π--=，∴1sin (sin )sin sin 02B C C C B -=，∴1sin 02C C +=， ∴sin()03C π+=．(0,)C π∈， ∴23C π=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （Ⅱ）2222cos c a b ab C =+-， 24120b b ∴+-=， 0b >， 2b ∴=，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 【解答】解：（1）函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯， 2(1)2n x n n π=-+，n N ∈．(2)(4)[2(1)]2222n S n πππππππ=+++++⋯⋯+-+2[123(1)]2n n ππ=+++⋯⋯+-+ (1)2n n n ππ=-+． （2）(1)44n n S a n n πππ=-=-+，当21n k =-，*k N ∈时，sin sin[(22)]sin[2(1)]sin444n a k k πππππ=-+=-+==，当2n k =，*k N ∈时，3sin sin[(21)]sin(2)sin()444n a k k ππππππ=-+=-+=-=． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值．【解答】解：（1）22()3693(23)3(3)(1)f x x x x x x x '=+-=+-=+-， 当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(3,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()f x 的递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞；递减区间是(3,1)-．（2）由（1）知，()f x 在区间[4-，3]-，[1，4]上单调递增，在区间[3-，1]上单调递减， 所以()()328f x f =-=极大，()f x f =极小（1）4=-， 又因为(4)21f -=，f （4）77=， 所以()f x 的最大值是77，最小值是4-． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．【解答】解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+， 所以k f '=（1）2e =-，因为f （1）e =-，所以切线方程为2(1)y e e x +=--，整理得：20ex y e +-=． （2）()3x m x e x -<+，因为0x e >，所以3(0)xx m x x e +<+>恒成立， 设3()x x h x x e +=+，则2(3)2(2)()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+---+'=+=+=，设()(2)x s x e x =-+，则()10x s x e '=->，所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又3237(1)30,()022s e s e =-<=-=>，所以存在03(1,)2x ∈使得0()0s x =，0(1,)x x ∈时，()0s x <；0(x x ∈，)+∞时，()0s x >，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，0(x ，)+∞上单调递增， 所以00003()()min x x h x h x x e +==+， 又00000()0,20,2x x s x e x e x =--==+， 所以000000000331()()122min x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++， 当03(1,)2x ∈时，0201()10(2)h x x '=->+，所以0()h x 在3(1,)2上单调递增， 所以03(1)()()2h h x h <<，即0739()314h x <<，因为m Z ∈，所以2m …，所以m 的最大值为2．。