2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题

扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第一部分一、 填空题1. 若集合A ={x |1<x <3}，B ={0,1,2,3}，则A ∩B =___________。

2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。

8. 若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是________。

9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________。

11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +1−4x 2x，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。

一．基础题组1。

【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。

【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。

【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。

江苏省扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高二数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“x R ∃∈，210x -<”的否定是_______． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为________． 3．抛物线24y x =的焦点坐标是______．4．曲线2sin y x x =-在(0,0)处的切线方程为___________________．5．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率______．6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n =____．7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为__________．8．已知函数()ln 4y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为___________．9．已知椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为____．10．已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且过点，则双曲线的标准方程为_______．11．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的取值范围为________．13．斜率为13直线l 经过椭圆()222210b x y a b a +>>=的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为_______．14．已知函数2()3f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为_____．二、解答题15．已知命题p ：“椭圆2215x ya+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 16．为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩； （3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值．18．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2xy e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底，2.71828e =）19．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>的右准线方程为2x =，又离心率为2，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点． （1）求椭圆的方程；（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值．20．已知：函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0μλ≥>．试判断在点00(,())M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．参考答案1．2x R,10x ∀∈-≥ 【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：“x R ∀∈，均有210x -≥”考点：全称命题与特称命题 2．1- 【解析】将210x y ++=化为21y x =--，所以直线210x y ++=在y 轴上的截距为1-. 3．(1,0) 【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.4．y x = 【解析】因为2cos y x =-'，所以曲线2sin y x x =-在()0,0处的切线斜率为2cos01k =-=，即曲线2sin y x x =-在()0,0处的切线方程为y x =，即0x y -=. 5．1−π6【解析】试题分析：本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：43π×13=43π，所以点到点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：V =V 正方体-43π×13=8-43π，因此结合几何概型的概率可知为p =8-43π8=1-π6考点：几何概型、球的体积公式、点评：本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题 6．45 【解析】利用分层抽样的特点，得10200400300200n=++，解得45n =. 7．115【解析】由程序框图，得52123251131,3;2,;3,513353n s n s n s +++=========，即输出的s 值为115. 8．(,4)-∞ 【解析】函数()ln 4y x =-的定义域为()4,A ∞=+，{}()|,B x x a a ∞=>=+，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则4a <，即实数a 的取值范围为(),4-∞. 点睛：本题以数集为载体考查充分条件和必要条件的判定.在处理与数集有关的充分条件和必要条件的判定时，往往转化为数集之间的包含关系的判定，已知命题：:,:p x A q x B ∈∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 9．4 【解析】因为椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，所以M 到左焦点的距离为422-=，即M 的横坐标为0，即点M 到左准线:4l x =-的距离为4.点睛：本题考查椭圆的定义的应用.在处理与圆锥曲线的两焦点问题时，往往利用圆锥曲线的定义合理进行转化，如遇到椭圆或双曲线上的点到准线问题，要考虑两者的第二定义进行合理转化. 10．221y x -= 【解析】设以y x =±为渐近线的方程为22x y λ-=，又因为该双曲线过点(，所以121λ=-=-，即双曲线的标准方程为221y x -=.点睛：本题考查双曲线标准方程的求法.已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程时，要注意巧妙设法，可避免讨论，如：以0mx ny ±=为渐近线的双曲线方程可设为2222(0)m x n y λλ-=≠.11．(),2-∞ 【详解】令()()()1g x f x x =-+，因为()23f =，且()'1f x <，所以()20g =， ()'0g x <， 即()()()1g x f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()()2g x g >，则2x <，即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()2g x g >，再利用单调性进行求解.12．[1,5] 【解析】设(),P x y =22+4x y =，因为圆心(0,0)O 到点()3,0C -的距离为3，所以3232d -≤≤+，即15d ≤≤.点睛：本题考查动点的轨迹方程、点到圆上的距离的最值.求动点的轨迹方程最主要的一种方法是直接法，其步骤为：（1）设点；（2）找几何条件；（3）列方程；（4）化简方程；（5）验证，进而得到其关键方程.13【解析】设经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -且斜率为13的直线方程为3x y a =+，联立22222230x y a b x a y a b =-⎧⎨+-=⎩，得2222(9)60a b y ab y +-=，解得22269ab y a b =+，则232222296(,)99ab a ab B a b a b -++，AB 的中点为3222223(,)99a ab M a b a b -++，AB 的中垂线方程为23222233()99ab a y x a b a b -=-+++，令0x =，得232233(0,)9C ab a x a b -+，则322233(,)9a ab CA a a b -=-+，23232222966(,)99ab a ab a CB a b a b --=++，则0CA CB ⋅=，即233223222222933660999ab a a ab ab a a a b a b a b----⨯+⨯=+++，化简，得223a b ，则222c b =，即该椭圆的离心率为c e a ===. 14．12【解析】因为()[]23,0,2f x x x a x =-∈，所以2222[()](3)f x x x a =- []0,2x ∈，，令2,[0,4]t x t =∈，则2322()(3)69g t t t a t at a t =-=-+，()3()(3)g t t a t a =--'，（1）当0a ≤时，()3()(3)0g t t a t a -'=-≥在[0,4]上恒成立，即函数()g t 在[0,4]上单调递增，则22(4)4(43)16g a m =-=，即3222m a =-≥； （2）当0a >时，函数()g t 在[0,]a 单调递增，在[,3]a a 上单调递减，在[3,)a +∞上单调递增，且3(4)()4g a g a a ==，(3)(0)0g a g ==，①若4a ≥时，则()g t 在[0,2]单调递增，则22(4)4(43)16g a m =-=，即3242m a =->；②若44a a ≤<，即14a ≤<时，32max ()()416g t g a a m ===，即m =≥12； ③若44a >，即01a <<时，32max ()(4)4(43)16g t g a m ==-=，即31222m a =-≥； 综上所述，12m ≥，即实数m 的最小值为12.15．(1)3a 5<<(2) 3a 53a 0或<<-≤≤ 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的标准方程化简命题p ，即可求解；（2）先根据真值表得到两简单命题的真假，再利用相关数集进行求解.试题解析：（1）p 真：椭圆2215x ya+=的焦点在x 轴上 ∴05a <<（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴()224330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ∴0533a a a <<⎧⎨-⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． 16．(1) ①22；②14；③0.28；(2)77.4（3）12【解析】试题分析：（1）利用频数、频率、容量间的关系进行求解；（2）利用平均数公式进行求解；（3）列出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解. 试题解析：（1）①22；②14；③0.28；（2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则()12P A =. 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12． 17．(1)()2229x y +-=(2) 12115x x =-【解析】试题分析：（1）利用圆心在y 轴正半轴上设出圆心坐标，再利用圆心到直线的距离等于半径进行求解；（2）设出直线方程，利用弦长公式进行求解.试题解析：（1）设()0,C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴3935m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m =∴圆C 的方程为：()2229x y +-=；（2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴AB =不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：()1y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --==化简得：24410k k -+= ∴12k =联立方程：()()2211229y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- 18．(1)M 在x 2=时取最小值(2) 13722e ，⎛⎤⎥⎦⎝【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解. 试题解析：（1）当1a =时，22(1)1xeM x x x =>-+，∴()()()22212'1xx x e M xx --=-+列表得：∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值； （2）∵()()()22212'(0)1xa x x e M a xx --=>-+ 根据（1）知：M 在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴()()()43444122372413M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤⎥⎝⎦． 19．(1) 2212x y += (2)见解析【解析】试题分析：（1）利用椭圆的准线方程和离心率即可求解；（2）设出点P 的坐标，写出的直线BP AP ，方程，求出点,M N 的坐标，利用两点间的距离公式和点P 在椭圆上进行化简求解.试题解析：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∵离心率为2∴a = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y +=;（2）方法（一）设点()00,P x y ，则220012x y +=，()(),0,1A B ，即220022x y +=． 当00x =时，()0,1P -，则()0,0M ，()0,1N -∴2AM BN ⋅==∵点P 异于点A∴0x ≠当0x ≠00x ≠时，设直线AP方程为：y x =+，它与y轴交于点N ⎛ ⎝直线BP 方程为：0011y y x x -=+，它与x 轴交于点00,01x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴001x AM y =-+-，|1BN == ∴AM BN⋅===为定值．方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时()0,1P -，则()0,0M ，()0,1N -∴2AM BN ⋅==若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠ ∴1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭且 1AM k =- 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222140k x kx ++=，解得： 10x =或22421kx k =-+， 即点222421,2121k k P k k⎛⎫-+-⎪++⎝⎭∵点P 异于点A∴2k ≠ ∴22222121421APk kk k k -++===-++ ∴直线AP 的方程为：y x =，则0,N ⎛⎫ ⎝且1BN =+∴AM BN ⋅==20．(1)极小值1，无极大值(2) 当a ≤时，()g x 在()0∞+，上单调减；当a >时，()g x 在0,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，在,44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调增（3）在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，讨论二次项系数的符号、判别式的符号及两根大小进行求解；（3）先将问题转化为判断()0'h x 的符号，合理构造函数进行证明.试题解析：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x x x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：∴()f x 有极小值()11f =，无极大值；（2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设()221G x x ax =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调减；②当0a >且280a ∆=-≤，即0a <≤，()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在()0,+∞上单调减；③当0a >且280a ∆=->，即a >，()0G x =有两个实数根：12x x ==，且121210,022a x x x x +=>=> ∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，()'0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，()'0g x >；∴()g x在0,4a ⎛ ⎪⎝⎭和,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，在⎝⎭上单调增．∴综上：当a ≤()g x 在()0,+∞上单调减；当a >，()g x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调减，在⎝⎭上单调增.（3）()2ln h x ax x x =-+，()1'2h x a x x=-+，问题即为判断()0'h x 的符号． ∵函数()()2h x f x x =+的图象与x 轴交于两点()()12,0,,0A x B x ，且120x x <<∴2111222200ax lnx x ax lnx x ⎧-+=⎨-+=⎩ 两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x ---+-= ∴()121212ln ln x x a x x x x -=-+-∴()()()01212121''2h x h x x a x x x x λμλμλμ=+=-+++()1212121212ln ln 12(x x x x x x x x x x λμλμ-=-+-++-+)()()12121212ln ln 121x x x x x x x x λλμ-=+----+∵0μλ≥>且1λμ+= ∴210λ-≤ ∵120x x << ∴()()12210x x λ--≥研究：121212ln ln 1x x x x x x λμ---+的符号，即判断112212ln x x x x x x λμ--+的符号．令()12,0,1x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t λμλμ---=-++，设()()1ln ,0,1t H t t t t λμ-=-∈+ ∴()()()()()()()222222121111't t t t H t t t t t t t λμλλλμμλμλμλμ+--+-+=-=-=+++ 方法（一）设()()22221F t t t λλμμ=+-+，其对称轴为：()222121121211222t λλλμλλλλ----===+≥ ∴()F t 在()0,1上单调减，则()()()22212110F t F λλμμλμ>=+-+=+-=，即()'0H t >在()0,1上恒成立 ∴()H t 在()0,1上单调增 ∴()()10H t H <=，即112212ln0x x xx x x λμ--<+ ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x λμ-->-+∴()()12121212ln ln 1210x x x x x x x x λλμ-+--->-+，即()0'0h x >∴在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正． 方法（二）()()()()()()2222222121't t t t H t t t t t λμλλμμλμλμ--+-+==++ ∵0μλ≥>，01t << ∴2210,0t t λμ-<-< ∴()'0H t >在()0,1上恒成立 ∴()H t 在()0,1上单调增 ∴()()10H t H <=，即112212ln0x x xx x x λμ--<+ ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x λμ-->-+∴()()12121212ln ln 1210x x x x x x x x λλμ-+--->-+，即()0'0h x > ∴在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正．。

江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高三上·建平期中) 设函数的定义域是，为全体实数集，则________2. （1分）(2019·天津) 是虚数单位，则的值为________.3. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 过点（2，2）且与﹣y2=1有相同渐近线的双曲线方程为________．4. （1分）(2017·成都模拟) 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．5. （1分） (2020高三上·静安期末) 如图，在平行四边形中，， ,则的值为________.6. （1分） (2018高二上·遂宁期末) 执行如右图所示的程序框图，若输入x=3，则输出的值为________．7. （1分）已知函数f（x）= （a∈R，b＞0）的定义域和值域相同，则a的值是________．8. （1分） (2017高二下·和平期末) 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是________．9. （1分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________10. （1分）计算：cos42°sin18°+sin42°cos18°=________11. （1分）(2016·潮州模拟) 已知数列{an}的前n和为Sn ， a1=2，当n≥2时，2Sn﹣an=n，则S2016的值为________．12. （1分）已知⊙C：x2+y2﹣2x+my﹣4=0上有两点M、N关于2x+y=0对称，直线l：λx+y﹣λ+1=0与⊙C 相交于A、B，则|AB|的最小值为________．13. （1分）(2017·吉安模拟) 对于函数g（x）= ，若关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x1 ， x2 ，则x1+x2=________．14. （1分） (2019高二上·遵义期中) 已知实数满足，则的最大值为________。

扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高二数学（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“R，”的否定是______________．【答案】【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：“，均有”考点：全称命题与特称命题2. 直线在轴上的截距为________．【答案】【解析】将化为，所以直线在轴上的截距为.3. 抛物线的焦点坐标为________．【答案】【解析】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.4. 曲线在处的切线方程为___________________．【答案】【解析】因为，所以曲线在处的切线斜率为，即曲线在处的切线方程为，即.5. 在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为____．【答案】【解析】试题分析：本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得...............考点：几何概型、球的体积公式、点评：本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题6. 某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么=____．【答案】45【解析】利用分层抽样的特点，得，解得.7. 执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．【答案】【解析】由程序框图，得，即输出的值为.8. 已知函数的定义域为，集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】函数的定义域为，，因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则，即实数的取值范围为.点睛：本题以数集为载体考查充分条件和必要条件的判定.在处理与数集有关的充分条件和必要条件的判定时，往往转化为数集之间的包含关系的判定，已知命题：，若，则是的充分条件，是的必要条件.9. 已知椭圆上的点到右焦点的距离为2，则点到左准线的距离为____．【答案】4【解析】因为椭圆上的点到右焦点的距离为2，所以到左焦点的距离为，即的横坐标为0，即点到左准线的距离为4.点睛：本题考查椭圆的定义的应用.在处理与圆锥曲线的两焦点问题时，往往利用圆锥曲线的定义合理进行转化，如遇到椭圆或双曲线上的点到准线问题，要考虑两者的第二定义进行合理转化.10. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为_______．【答案】【解析】设以为渐近线的方程为，又因为该双曲线过点，所以，即双曲线的标准方程为.点睛：本题考查双曲线标准方程的求法.已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程时，要注意巧妙设法，可避免讨论，如：以为渐近线的双曲线方程可设为.11. 已知函数的定义域为R，是的导函数，且，，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】令，因为，且，所以，，即在R上单调递减，且可化为，则，即不等式的解集为.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（且）构造函数和，再利用单调性进行求解.12. 已知，，动点满足．设点到点的距离为，则的取值范围为________．【答案】【解析】设，由题意，得，化简得，因为圆心到点的距离为3，所以，即.点睛：本题考查动点的轨迹方程、点到圆上的距离的最值.求动点的轨迹方程最主要的一种方法是直接法，其步骤为：（1）设点；（2）找几何条件；（3）列方程；（4）化简方程；（5）验证，进而得到其关键方程.13. 斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为________．【答案】14. 已知函数在的值域为，则实数的最小值为_____．【答案】【解析】因为，所以，令，则，，（1）当时，在上恒成立，即函数在上单调递增，则，即；（2）当时，函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，①若时，则在单调递增，则，即；②若，即时，，即；③若，即时，，即；综上所述，，即实数的最小值为.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知命题：“椭圆的焦点在轴上”；命题：“关于的不等式在R上恒成立”．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）利用椭圆的标准方程化简命题，即可求解；（2）先根据真值表得到两简单命题的真假，再利用相关数集进行求解.试题解析：（1）真：椭圆的焦点在轴上∴（2）∵“或”为真命题、“且”为假命题∴真假或假真真：∵关于的不等式在R上恒成立∴，解得：∴或解得：或∴实数a的取值范围是或．16. 为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）甲同学的初赛成绩在，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．【答案】(1)①22；②14；③0.28；(2)77.4（3）【解析】试题分析：（1）利用频数、频率、容量间的关系进行求解；（2）利用平均数公式进行求解；（3）列出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：（1）①22；②14；③0.28；（2）；（3）记“甲同学被抽取到”为事件，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件的基本事件：甲乙、甲丙、甲丁，共3个基本事件，则 .答：此次数学史初赛的平均成绩为，甲同学被抽取到的概率为．17. 已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线圆相切．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两点且，求的值．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）利用圆心在轴正半轴上设出圆心坐标，再利用圆心到直线的距离等于半径进行求解；（2）设出直线方程，利用弦长公式进行求解.试题解析：（1）设，∵直线圆相切，且圆的半径为3∴，解得或∵∴∴圆的方程为：；（2）若直线的斜率不存在，则直线∴，不符合题意，舍；若直线的斜率存在，设：∵∴点到直线的距离为，即，化简得：∴联立方程：，消去得：∴18. 某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．（1）当时，求比值取最小值时的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）【答案】(1)M在时取最小值(2)【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.试题解析：（1）当时，，∴列表得：∴在上单调递减，在上单调递增∴在时取最小值；（2）∵根据（1）知：在上单调减，在上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护∴，解得：答：实数的取值范围为．19. 已知椭圆的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）利用椭圆的准线方程和离心率即可求解；（2）设出点的坐标，写出的直线方程，求出点的坐标，利用两点间的距离公式和点在椭圆上进行化简求解.试题解析：（1）∵椭圆的右准线方程为∴∵离心率为∴∴∴∴椭圆的方程为：;（2）方法（一）设点，则，，即．当时，，则，∴∵点异于点∴当且时，设直线方程为：，它与轴交于点直线方程为：，它与轴交于点∴，∴为定值．方法（二）若直线斜率不存在，则直线方程为：，此时，则，∴若直线斜率存在，设直线方程为：，且∴且则联立方程：，消去得：，解得：或，即点∵点异于点∴∴∴直线的方程为：，则且∴为定值．20. 已知：函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数，讨论的单调性；（3）若函数的图象与轴交于两点，且．设，其中常数、满足条件，且．试判断在点处的切线斜率的正负，并说明理由．【答案】(1)极小值1，无极大值(2)当时，在上单调减；当时，在和上单调减，在上单调增（3）在点处的切线斜率为正.【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，讨论二次项系数的符号、判别式的符号及两根大小进行求解；（3）先将问题转化为判断的符号，合理构造函数进行证明.试题解析：（1）当时，∴，令，则，列表得：∴有极小值，无极大值；（2），∴，设①当时，恒成立，即恒成立，∴在上单调减；②当且，即时，恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；③当且，即时，有两个实数根：，且∴∴当或时，，；当时，，；∴在和上单调减，在上单调增．∴综上：当时，在上单调减；当时，在和上单调减，在上单调增.（3），，问题即为判断的符号．∵函数的图象与轴交于两点，且∴两式相减得：∴∴)∵且∴∵∴研究：的符号，即判断的符号．令，，设∴方法（一）设，其对称轴为：∴在上单调减，则，即在上恒成立∴在上单调增∴，即∵∴∴，即∴在点处的切线斜率为正．方法（二）∵，∴∴在上恒成立∴在上单调增∴，即∵∴∴，即∴在点处的切线斜率为正．。

江苏省扬州中学高三年级开学考试数学试题 2016.08一、填空题：1、命题“2,250x R x x ∀∈++>”的否定是 ▲ ．2、复数12iz i-=的虚部是 ▲ ． 3、设m ，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号 ①.若n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③.若α//m ，β//m ，则βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则βα⊥．4、设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一） 5、设函数()f x ={}(),A x y f x B ==={}()y y f x =，则右图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．6、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x f 21)(-=0)(<x f 的解集是 ▲ ．7、若函数2()ax f x -=的图象关于点（1，1）对称，则实数a = ▲ ．8、记[]x 为不超过[]x x y -=的最小正周期为 ▲ ．9、设P 是函数y =P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．10、关于x 的不等式22130kx x k --+<的解集为空集，则k 的取值范围 ▲ ．11、设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．12、已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123a a a ++++ 100a = ▲ ．13、设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ．14、已知c b a ,,均为正实数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=c b a bc a b acM ,1,1max ，则M 的最小值为 ▲ ．二、解答题：15、已知集合{}|(6)(25)0A x x x a =--->，集合{}2|(2)(2)0B x a x a x ⎡⎤=+-⋅-<⎣⎦． ⑴若5a =，求集合A B ；⑵已知12a >．且“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．16、已知α为锐角，cos（α+）=．（1）求tan（α+）的值；（2）求sin（2α+）的值．17、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．18、将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时2小时，种植一捆沙棘树苗用时1小时.应如何2分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？小时，而每名（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所3持续的时间.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 分别是椭圆：+y 2=1的左、右顶点，P （2，t ）（t ∈R ，且t ≠0）为直线x=2上一动点，过点P 任意引一直线l 与椭圆交于C 、D ，连结PO ，直线PO 分别和AC 、AD 连线交于E 、F ．（1）当直线l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t 的值； （2）若t=﹣1，记直线AC 、AD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE 为平行四边形．20、已知函数221)(x x f =，x a x g ln )(=． （1）若曲线)()(x g x f y -=在1=x 处的切线的方程为0526=--y x ，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，都有2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[1，e ]上存在一点0x ，使得)()()(1)(0'00'0'x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围．附加题21、已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)，求a ，b 的值．22、己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M的参数方程为2cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．23、甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．24、设二项展开式21*1)()n n C n -=∈N 的整数部分为n A ，小数部分为n B . （1）计算2211,B C B C 的值； （2）求n n B C .江苏省扬州中学高三年级开学考试数学答案 2016.8一、填空题：1、2,250x R x x ∃∈++≤ 2、—1 3、① 4、充要 5、[5,0)(3,4]- 6、（﹣2，0）∪（2，+∞） 7、1 8、1 9、)ππ32⎡⎢⎣， 10、1k ≥11、2 12、-100 13、⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n 14、2二、解答题：15、解：⑴当5a =时，{}(6)(15)0A x x x =-->={}|156x x orx ><………２分{}{}(27)(10)01027B x x x x x =--<=<<．……４分∴{}1527A B x x ⋂=<<．…６分⑵∵12x >，∴256a +>，∴{}625A x x x a =<>+或．………８分 又a a 222>+，∴{}222+<<=a x a x B ．……10分 ∵“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，∴A B ⊆，∴21226a a ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，…………12分 解之得：122a <≤．……………14分16、解（1）∵α为锐角， ∴0＜x＜，∴＜α+＜，∵cos （α+）=．∴sin （α+）==则tan （α+）==2；（2）∵cos2（α+）=2cos 2（α+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴cos （2α+）=﹣sin2α=﹣，∴sin2α=，∵＜α+＜，cos （α+）=．∴＜α+＜，即0＜α＜，则0＜2α＜，则cos2α=，则sin （2α+）=sin2αcos+cos2αsin=×+×=．17、证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ． 因为ABCD 是平行四边形，所以OA=OC ．… 因为E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…因为PC ⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE ．… （2）因为E 为PA 中点，PD=AD ，所以PA ⊥DE ．… 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE=E ， 所以PA ⊥平面BDE ．…因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．…18、解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==； B 组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--． 令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间 **6019()10020.x x xF x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩N N ≤， ，，，≥， 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短． （2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时）， B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， 所以植树活动所持续的时间为637小时．19、（1）解：由题意：椭圆： +y 2=1上顶点C （0，1），右焦点E（﹣，0）， 所以l ：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2）证明：直线AC ：y=k 1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…由C ，D ，P 三点共线得：k CP =k DP，得=﹣4（定值）．…（3）证明：要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E 、F 的中点即点O ， 设点P （2，t ），则OP ：y=x ，分别与直线AC ：y=k 1（x+2）与AD ：y=k 2（x+2）联立得： x E=，x F =，下证：x E +x F =0，即+=0化简得：t （k 1+k 2）﹣4k 1k 2=0…由（2）知C ：，D：，由C ，D ，P 三点共线得：k CP =k DP ，得t （k 1+k 2）﹣4k 1k 2=0， 所以四边形AFBE 为平行四边形.20、解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．附加题：1、答案：a=3，b=1．2、解：（1）⊙M ：227(()422x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3()22,(2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()12x y +-=.……5分（2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分3、解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=， 0 23E ξ==1．4、。

2017—2018学年度第一学期期末检测试题高三数学第一部分一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.若集合{|13}A x x=<<，{0,1,2,3}B=，则A B=．2.若复数(2)(13)a i i-+（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．3.若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差是．4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2000名男生中体重在7078()kg的人数为．5.运行下边的流程图，输出的结果是．6.从2名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为．7.若圆锥的侧面展开图的面积为3π且圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．8.若实数x ，y 满足433412x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的取值范围是 ．9.已知各项都是正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a ，3a ，56a 成等差数列，且2323a a =，则3S = ．10.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22650x y y +-+=没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 ．11.已知函数14()sin 2xx f x x x -=-+，则关于x 的不等式2(1)(57)0f x f x -+-<的解集为 ．12.已知正ABC ∆的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足1AP AQ ⋅=，则CQ 的最大值为 ．13.已知函数12log (1)1,[1,]()21,(,]x x k f x x x k a -+-∈-⎧⎪=⎨⎪--∈⎩，若存在实数k 使得该函数的值域为[2,0]-，则实数a 的取值范围是 ．14.已知正实数x ，y 满足22541x xy y +-=，则22128x xy y +-的最小值为 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点.（1）证明：11//B C 平面1A DE ；（2）若平面1A DE ⊥平面11ABB A ，证明：AB DE ⊥. 16.已知在ABC ∆中，6AB =，5BC =，且ABC ∆的面积为9. （1）求AC ；（2）当ABC ∆为锐角三角形时，求cos(2)6A π+的值.17.如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上.经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即POQ ∠）为23π、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ相切于点S .设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.18.已知椭圆1E ：22221(0)x y a b a b+=>>，若椭圆2E ：22221(0,1)x y a b m ma mb+=>>>，则称椭圆2E 与椭圆1E “相似”.（1）求经过点，且与椭圆1E ：2212x y += “相似”的椭圆2E 的方程；（2）若4m =，椭圆1E的离心率为2，P 在椭圆2E 上，过P 的直线l 交椭圆1E 于A ，B 两点，且AP AB λ=.①若B 的坐标为(0,2)，且2λ=，求直线l 的方程；②若直线OP ，OA 的斜率之积为12-，求实数λ的值.19.已知函数()x f x e =，()g x ax b =+，,a b R ∈.（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；（2）若不等式2()f x x m >+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点，求实数b 的取值范围.20.已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+，数列{}n b 满足112b =，12n n n nbb b a +=+. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足2n n nb c S +=，求和12n c c c ++⋅⋅⋅+； （3）是否存在正整数p ，q ，()r p q r <<，使得p b ，q b ，r b 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ，若不存在，说明理由.第二部分（加试部分）21. B .选修4-2：矩阵与变换已知x ，y R ∈，若点(1,1)M 在矩阵23x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(3,5)N ，求矩阵A 的逆矩阵1A -.21. C .选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是：2x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数，m 是常数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，且2PQ =，求实数m 的值. 22.扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.（1）求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率；（2）设X ，Y 分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望.23.二进制规定：每个二进制数由若干个0、1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，n S 是所有n 位二进制数构成的集合，对于n a ，n n b S ∈，(,)n n M a b 表示n a 和n b 对应位置上数字不同的位置个数.例如当3100a =，3101b =时33(,)1M a b =，当3100a =，3111b =时33(,)2M a b =.（1）令510000a =，求所有满足55b S ∈，且55(,)2M a b =的5b 的个数； （2）给定(2)n a n ≥，对于集合n S 中的所有n b ，求(,)n n M a b 的和.扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高三数学参考答案第一部分一、填空题 1.{}2 2．6-3. 24. 2405.946.23 7. 38.144[,25]25 9.1327 10.3(1,)211.(2,3) 12.12 13. 1(,2]214. 73二、解答题15证明：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC ，在ABC ∆中，,D E 分别为,AB AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE ， 又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ， 所以11//B C 平面1A DE .⑵在平面11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ，因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D=，AF ⊂平面11A ABB ，所以AF ⊥平面1A DE ，又DE ⊂平面1A DE ，所以AF DE ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以1A A DE ⊥， 因为1AF A A A= ，AF ⊂平面11A ABB ，1A A ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB ，因为AB ⊂平面11A ABB ，所以DE AB ⊥.注：作1AF A D ⊥时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣1分16 解：⑴因为S △ABC =1sin 92AB BC B =创，又AB=6，BC=5，所以3sin 5B =，又B (0,)π∈，所以4cos 5B ==±，当cosB=45时，AC == 当cosB=45-时，AC ===所以AC =注：少一解的扣3分⑵ 由ABC ∆为锐角三角形得B 为锐角，所以AB=6，，BC=5， 所以cosA ==又(0,)A π∈，所以sinA ==， 所以12sin 2213A ==，225cos 213A =-=-，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A p p p +=-.17. 解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN. 在RT OSM 中，因为OS=1，∠MOS=α，所以SM=tan α， 在RT OSN 中，∠NOS=23πα-，所以SN=2tan()3πα-，所以2tan tan()3MN παα=+-=，其中62ππα<<.⑵ 因为62ππα<<，所以10α->，令10t α=->，则tan 1)t α=+，所以42)MN t t=++，由基本不等式得2)MN ≥=， 当且仅当4t t=即2t =时取“=”.此时tan α=62ππα<<，故3πα=.答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=，其中62ππα<<.⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为.注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分.18解：⑴设椭圆2E 的方程为2212x y m m +=，代入点得2m =， 所以椭圆2E 的方程为22142x y +=.⑵因为椭圆1E 的离心率为2，故222a b =，所以椭圆2221:22E x y b +=， 又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+， 代入椭圆221:28E x y +=得22(12)80k x kx ++=，解得1228,012kx x k -==+，故212224,212k y y k -==+， 所以222824(,)1212k k A k k--++， 又2AP AB = ，即B 为AP 中点，所以2228212(,)1212k k P k k+++， 代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k ++=++，即4220430k k +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以10k =±，所以直线l 的方程为2y x =+. 方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=， 设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，代入椭圆得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12y =，故x =所以k =所以直线l 的方程为2y x =+.②方法一： 由题意得22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，010112y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=， AP AB λ= ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=，则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=， 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=，所以222228(1)22b b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=. 方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)O P y k x k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，解得0x =0y =，直线,O P O A的斜率之积为12-，则直线1:2O Ay x k=-，代入椭圆2221:22E x y b+=，解得1x =1y =，AP AB λ= ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=，则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=， 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=，所以2222282(((1)22b b b λλλ+-++-⋅=，即222228(1)22b b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=.19解：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-，设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x f x e =得切线方程是000()x x y e e x x -=-， 此直线过点(1,0)-，故000(1)x x e e x -=--，解得00x =，所以'(0)1a f ==.（2）由题意得2,(0,)x m e x x <-∈+∞恒成立， 令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞，则'()2x m x e x =-，再令()'()xn x m x e x ==-，则'()2xn x e =-，故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增，从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->， 所以()m x 在(0,)+∞上单调递增， 所以(0)m m ≤，即1m ≤. 注：漏掉等号的扣2分.（3）若0a <，()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增， 故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >， 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点. ①若0a <，由于(0)10F b =-<，()()0b baa b b F e a b e a a---=---=>，且()F x 在(0,)+∞上连续，故()F x 在(0,)ba-上必有零点； ②若0a ≥，(0)10F b =-<，由（2）知221x e x x >+>在(0,)x ∈+∞上恒成立， 取0x a b=+，则0()()a b F x F a b e a a b b +=+=-+-22()(1)0a b a ab b ab b b >+---=+->，由于(0)10F b =-<，()0F a b +>，且()F x 在(0,)+∞上连续， 故()F x 在(0,)a b +上必有零点， 综上得：实数b 的取值范围是(1,)+∞.20. 解：（1）22n n n S a a =+①，21112n n n S a a +++=+②，②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，即11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 因为{}n a 是正数数列，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 所以{}n a 是等差数列，其中公差为1， 在22n n n S a a =+中，令1n =，得11a =， 所以n a n =， 由12nn n nb b b a +=+得1112n n b b n n +=⋅+， 所以数列{}n b n 是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以1(),22n n n n b nb n ==即. 注：也可累乘求{}n b 的通项. （2）2212()2n n n n b n c S n n +++==+，裂项得1112(1)2n n n c n n +=-⋅+， 所以121112(1)2n n c c c n ++++=-+ ， （3）假设存在正整数,,()p q r p q r <<，使得,,p q r b b b 成等差数列，则2p r q b b b +=，即2222p r q p r q+=， 因为11111222n n n n n n n nb b ++++--=-=，所以数列{}n b 从第二项起单调递减， 当1p =时，12222r q r q+=，若2q =，则122r r =，此时无解； 若3q =，则124r r =，因为{}n b 从第二项起递减，故4r =，所以1,3,4p q r ===符合要求， 若4q ≥，则1142q b b b b ≥≥，即12q b b ≥，不符合要求，此时无解； 当2p ≥时，一定有1q p -=，否则若2q p -≥，则2442221p p qP b b p b b p p+≥==≥++，即2p q b b ≥，矛盾， 所以1q p -=，此时122r pr =，令1r p m -=+，则12m r +=，所以121m p m +=--，12m q m +=-，综上得：存在1,3,4p q r ===或121m p m +=--，12m q m +=-，12m r +=满足要求.第二部分（加试部分）答案21．A ．解：因为1315⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，即213315x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2335x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以2132⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 法1：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则121103201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA ，即2132020321a c a c b d b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 解得2132a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以12132--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 法2：因为1db a b ad bc ad bc c d c a ad bcad bc --⎡⎤⎢⎥⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，且21det()2213132==⨯-⨯=A ， 所以1121213232---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A . 注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分.B ．解：（1）因为直线l 的参数方程是: 2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)， 所以直线l 的普通方程为0x y m --=．因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，故26cos ρρθ= ，所以226x y x += 所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+=.(2)设圆心到直线l 的距离为d，则d ==又d ==所以34m -=，即 1m =-或7m =.22．解：⑴记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A ，则6163()=1264P A =-. 答：6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为6364. ⑵ξ所有可能取值是0,2,4,6，记“6名学生中恰有i 名被分到甲学校实习”为事件i A (01,6i = ，，)，则3363365(0)()216C C P P A ξ====，2442646224246615(2)()()()2232C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，155165611515663(4)()()()2216C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，066066660606661(6)()()()2232C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，所以随机变量ξ的概率分布为：所以随机变量ξ的数学期望()024+6163216328E ξ=⨯+⨯+⨯⨯=.答：随机变量ξ的数学期望15()8E ξ=. 23．解（1）因为55(,)2M a b =，所以5b 为5位数且与5a 有2项不同，又因为首项为1，故5a 与5b 在后四项中有两项不同，所以5b 的个数为246C =.（2）当(,)n n M a b =0时，n b 的个数为01n C -； 当(,)n n M a b =1时，n b 的个数为11n C -， 当(,)n n M a b =2时，n b 的个数为21n C -，………当(,)n 1n n M a b =-时，n b 的个数为11n n C --，设(,)n n M a b 的和为S ， 则01211111012(1)n n n n n S C C C n C -----=++++- ， 倒序得12101111(1)210n n n n n S n C C C C -----=-++++ ，倒序相加得01111112(1)[](1)2n n n n n S n C C C n -----=-++=-⋅ ，即2(1)2n S n -=-⋅， 所以(,)n n M a b 的和为2(1)2n n --⋅.扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高三数学参考答案2018.2第一部分1.2．3.4.5.6.7.8.9. 10.11.12.13.14.15证明：⑴在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以，.………2分在中，分别为的中点，故，所以， (4)分又平面，平面，所以平面.………7分⑵在平面内，过作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，.………11分又平面，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以。

2017届高三上学期期末华附、省实、深中、广雅四校联考数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“准考证号”处填涂准考证号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、班级、考场号、座位号、准考证号填写在答题卷指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．参考公式：球的表面积公式：24R S π=球，柱体体积公式：Sh V =第I 卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},023|{2≤+-=x x x A },12|{>∈=xZ x B 则=⋂B AA ．)2,1(B ．]2,1(C ．]2,1[D ．}2,1{2．复数z 满足|3|)1(i z i -=+，则=zA ．i +1B ．i -1C ．i --1D ．i +-1 3．两个女同学和一名男同学站成一排，则两个女同学相邻的概率是A ．61 B ．21 C ．31 D ．32 4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为,n 则记为),(mod m n N ≡ 例如).7(mod 411≡如右图所示的程序框图的算法源于我国古代 闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的=n A. 15 B. 16 C. 17 D. 19 5．已知,20”：“<≤a P :q “直线0=++a y x 与圆122=+y x相交”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线M 的离心率为3，且它的一个焦点到一条渐近 线的距离为2，则双曲线M 的方程是A ．14222=-y xB ．12422=-x yC ．12422=-y x 或12422=-x yD ．14222=-y x 或14222=-x y7．函数）（x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可以是 A ．x x x f sin )(+= B ．xxx f cos )(=C ．x x x f cos )(=D ．)23)(2()(ππ--=x x x x f 8．《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一题： 把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少 的两份之和的7倍，则最多的那份有面包 A ．48个 B ．46个 C ．45个 D ．43个 9．已知函数),(14sin cos 22)(R x x x x f ∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=π则函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值分别是 A ．最大值为,2最小值为－l B ．最大值为,2最小值为2-C ．最大值为,122-最小值为122--D ．最大值为1．最小值为-l10．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y ,121如果目标函数y x z -=的最小值为－l ，则实数m 等于A ． 7B ．5C ．4D ．311．在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面,ABCD 底面ABCD 为正方形，,AB PA =该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A ．21 B ．31 C ．41D ．5112．关于x 的方程0|1|)1(222=+---k x x ，给出以下四个命题： ①存在实数,k 使得方程恰有3个不同的实数根； ②存在实数,k 使得方程恰有4个不同的实数根； ③存在实数,k 使得方程恰有5个不同的实数根；④存在实数,k 使得方程恰有6个不同的实数根；其中假命题的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 非选择题本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在矩形ABCD 中，,3,5,8PD CP AD AB ===则______________=⋅BP AP 14．如下图在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为,θ沿BE 方向前进m 15至点C 处测得顶端A 的仰角为,2θ再继续前进m 35至D 点，测得顶端A 的仰角为,4θ则建筑物AE 的高为15．已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，,2,3===AD EB EA,60 =∠AEB 则多面体ABCD E -的外接球的表面积为16．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，其面积是.34，则_____________2=b三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为.55,3*,,103==∈S a N n S n (I)求数列}{n a 的通项公式： ( II)设2sin 22πn a b n a n n⋅+=，求数列}{n b 的前n 2项和⋅n T 218.（本小题满分12分）某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API 监测数据， API [0,50] (50,100] 100,150] （150,200] (200,250] (250,300] (300,350] 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染天数2459433( I)根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数的平均值；( II)若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API（记为w )的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<-≤≤=350300,2000,300100,40041000,0W W w W S 若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率。

i ←1 While i < 6 i ←i 2 S ←2i 3End WhilePrint S（第3题）南通市2017届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合 03 4 A，，，102 3 B，，，，则AB▲．【答案】03，2．已知复数3i1iz，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是▲．【答案】53．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是▲．【答案】174．现有 1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这 1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是▲．【答案】1805．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是▲．【答案】425（或0.16）6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24yx 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是▲．【答案】2 7．现有一个底面半径为3 cm ，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是▲cm ．纤维长度频数[22.5，25.5) 3 [25.5，28.5) 8 [28.5，31.5) 9 [31.5，34.5) 11 [34.5，37.5) 10 [37.5，40.5) 5 [40.5，43.5]4（第4题）【答案】398．函数2()lg 5f x x 的定义域是▲．【答案】22，9．已知n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a ，927S ，则1a 的值是▲．【答案】510．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22481xy ，圆2C ：22669xy ．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是▲．【答案】2281xy11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA ，5OC．若AB →·AD→7，则BC →·DC →的值是▲．【答案】912．在△ABC 中，已知2AB，226ACBC，则tanC 的最大值是▲．【答案】25513．已知函数20()10x m x f x xx ≥，，，，其中0m ．若函数()1yf f x 有3个不同的零点，则m 的取值范围是▲．【答案】(01)，14．已知对任意的x R ，3sin cos 2sin 2 3 a x xb x a bR ≤，恒成立，则当ab 取得最小值时，a 的值是▲．【答案】45二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）已知2πsin410，ππ2，．求：（1）cos的值；（2）πsin 24的值． BCDO(第11题)A解：（1）法一：因为ππ2，，所以π3π5π444，，又2πsin410，所以22272ππcos1sin 1441010．……3分所以ππcoscos 44ππππcos cos sinsin 44447222210210235．……6分法二：由2πsin410得，2ππsin cos cos sin 4410，即1sin cos 5．①……3分又22sincos1. ②由①②解得3cos 5或cos 45．因为ππ2，，所以3cos 5．……6分（2）因为ππ2，，3cos5，所以2234sin 1cos 155．……8分所以4324sin 22sincos25525，2237cos22cos 12525．……12分所以πππsin 2sin 2cos cos2sin 4442224725225217250．……14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC 中，ACBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1；C 1A 1B 1DE（2）平面1A BC 平面11A ACC ．证明：（1）在直三棱柱111ABCA BC 中，四边形A 1ACC 1为平行四边形．又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点．……2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ．……4分又BC平面B 1BCC 1，DE平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1．……7分（2）在直三棱柱111ABCA BC 中，1AA 平面ABC ，又BC 平面ABC ，所以1AA BC ．……9分又AC BC ，1ACAA A ，1AC AA ，平面11A ACC ，所以BC 平面11A ACC ．……12分因为BC平面1A BC ，所以平面1A BC平面11A ACC ．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)y xa bab的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB→12OC →，求直线AB 的斜率．解：（1）因为椭圆的离心率为23，所以2223aba，即2259ba．①又因为点C 523，在椭圆上，(第17题)OABCxy所以2242519a b．②……3分由①②解得2295a b，．因为0ab ，所以35ab，．……5分（2）法一：由①知，2259b a，所以椭圆方程为2222915y x aa，即222595xya ．设直线OC 的方程为xmy 0m ，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my xya，得2222595m yya ，所以222559a ym ．因为20y ，所以22559a y m．……8分因为AB→12OC →，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x my a ．由222595x my a xya，得22(59)100myamy，所以0y 或21059am ym ，得121059am y m ．……11分因为AB →12OC →，所以11221122x a y x y ，，，于是212y y ，即2559a m22059amm 0m ，所以35m ．所以直线AB 的斜率为5313m．……14分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595xya ，则(0)A a ，．设11()B x y ，，22()C x y ，．由AB →12OC →，得11221122x a y x y ，，，所以1212x x a ，1212y y ．……8分因为点B ，点C 都在椭圆222595xya 上，所以22222222225951595.22x ya y x a a ，解得24a x ，2543a y，……12分所以直线AB 的斜率22533y kx ．……14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°36，335.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3ACBC ．……2分在△ABC 中，由正弦定理得，sinsin BC BACABC ACsin120336．因为sin17°36，所以17BAC °．从而缉私艇应向北偏东47方向追击．……5分在△ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BC ACBC ，解得1334BC1.68615．又B 到边界线l 的距离为 3.84sin301.8．因为1.68615 1.8，所以能在领海上成功拦截走私船．……8分（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则223B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PA PB，即22223(2)23xy xy．整理得，229993444xy，……12分ABC图甲y公海领海B60l 领海AB北(第18题)30°公海l所以点()P x y ，的轨迹是以点99344，为圆心，32为半径的圆．因为圆心99344，到领海边界线l ： 3.8x 的距离为 1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1）缉私艇应向北偏东47方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x ，()ln g x x ，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()yf xg x 在x1处的切线方程；（2）若存在12x x ，12x x ，使得1221()()()()g x g x f x f x 成立，其中为常数，求证：e ；（3）若对任意的01x，，不等式()()(1)f x g x a x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为ln ()()exx yf xg x ，所以211e ln e ln eexxxx x xxx y，故11ex y．所以函数()()y f x g x 在x 1处的切线方程为1(1)eyx ，即e 10x y ．……2分（2）由已知等式1221()()()()g x g x f x f x 得1122()()()()g x f x g x f x ．记()()()ln exp x g x f x x，则e()exxx p x x ．……4分假设e ≤．①若≤0，则()0p x ，所以()p x 在0+，上为单调增函数．又12()()p x p x ，所以12x x ，与12x x 矛盾．……6分②若0e ≤，记()exr x x ，则()exr x ．令()0r x ，解得0lnx ．当0xx 时，()0r x ，()r x 在0x ，上为单调增函数；当00x x 时，()0r x ，()r x 在00x ，上为单调减函数．所以0()()=1ln )0r x r x ≥（≥，所以()0p x ≥，所以()p x 在0+，上为单调增函数．又12()()p x p x ，所以12x x ，与12x x 矛盾．综合①②，假设不成立，所以e ．……9分（3）由()()(1)f x g x a x ≤得ln e (1)xxa x ≤0．记ln e (1)xF x x a x ()=，0x ≤1，则211eeexxxF x ax x a xx ()=．①当1e a ≤时，因为211e exx ≥，e 0xx ，所以0F x ()≥，所以F x ()在0+，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立．……12分②法一：当1ea时，由（2）知e e xx ≥，3211e e a xF x a xx x()≤，当13e1a x 时，0F x ()，()F x 为单调减函数，所以(1)F x F ()=0，不合题意．法二：当1ea时，一方面1=1e 0F a ()．另一方面，111e x a ，111121111e ee e 10F x a x x a x a a x x ()≥．所以1(1)x x ，，使0=0F x ()，又F x ()在(0)，上为单调减函数，所以当01x x时，0F x ()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数，所以(1)F x F ()=0，不合题意．综上，1ea ≤．……16分20．（本小题满分16分）设数列n a 的前n 项和为S n *nN，且满足：①12a a ；②22112n n r np S nn a nn a ，其中r p R ，，且0r ．（1）求p 的值；（2）数列n a 能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r 2时，数列n a 是等差数列．解：（1）n1时，211(1)220r p S a a ，因为12a a ，所以20S ，又0r ，所以p 1．……2分（2）n a 不是等比数列．理由如下：假设n a 是等比数列，公比为q ，当n2时，326rS a ，即211(1)6ra q q a q ，所以2(1)6r q q q ，（i ）……4分当n3时，431212+4rS a a ，即2321112(1)124ra q qq a qa ，所以232(1)62r qqq q，（ii ）……6分由（i ）（ii ）得q 1，与12a a 矛盾，所以假设不成立．故n a 不是等比数列．……8分（3）当r2时，易知3122a a a ．由22112(1)()(2)nnnS nn a nna ，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211nnn n a n na S n n ，①112(1)(2)(1)(2)2nnn na n na S nn，②②①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)nnnn na n n a n na a nn n n ，……11分即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n na a n n a a a a n n ，211112()(2)()()11nnna a na a n a a n nn ，即2111111121nn n n a a a a n a a a a n nn n 111(1)2212nn n n a a a a n n (3121)(1)3202223121n n a a a a ，所以11121121n n a a a a a a n n ，令21a a d ，则11n a a d n (2)n ≥．……14分所以1(1)(2)na a n d n ≥.又1n 时，也适合上式，所以*1(1)()n a a n d n N ．所以*1()nna a d nN ．所以当r 2时，数列n a 是等差数列．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ．求证：2AD BC AC CD ．证明：连结OC ．因为ACB ADC ，ABC ADC ，所以ACBABC ．……3分因为OC OD ，所以OCD ADC ．所以ACB OCD ．所以△ABC ∽△ODC ．……8分所以ACBCOCCD，即AC CD OC BC ．因为12OCAD，所以2AD BC AC CD ．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A12061203，求矩阵A 的逆矩阵1A ．解：法一：设矩阵a b cdA，则1206a b cd1203，所以1a ，262a b ，0c ，263c d．……4分解得0b，12d，所以10102A ．……6分DACB O（第21—A 题）根据逆矩阵公式得，矩阵110 02A．……10分法二：在A 12061203两边同时左乘逆矩阵1A得，12 061A1203．……4分设1A a bc d，则1206a bc d1203，所以1a，232a b，0c，236c d．……6分解得1a，0b，0c，2d，从而110 02A．……10分C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线232222x ly l，（l为参数）与曲线218x ty t，（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．解：法一：将曲线218x ty t，（t为参数）化为普通方程为28y x．……3分将直线232222x ly l，（l为参数）代入28y x得，282240l l，……6分解得122l，262l．则1242l l，所以线段AB的长为42．……10分法二：将曲线218x ty t，（t为参数）化为普通方程为28y x，……3分将直线232222xl y l ，（l 为参数）化为普通方程为302x y，……6分由28302y x xy，得，122x y，或926.x y，所以AB 的长为2291624222．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz，求证：333111xy yzzx x yy zz x≥．证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz ，所以3122xy yz x x y ≥，3122yz xz y y z≥，3122xz xy zz x≥．……8分所以333111xy yzzx x yy zz x≥．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以4548C 13()1114CP A P A．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314．……4分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3．依题意，24X axa x ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则4548C 1(8)(0)14C P Xa P x，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x ，223548C C 3(6)(2)7C P X a P x ，313548C C 1(5)(3)14C P Xa P x．从而X 的概率分布为：……8分所以X 的数学期望133191876514771414E Xaaaaa ．……10分23．（本小题满分10分）设*2n n N ≥，．有序数组12n a a a ，，，经m 次变换后得到数组12m m m n b b b ，，，，，，，其中11iii b a a ，，111m imi mi b b b ，，，（i1，2，，n ），11na a ，1111mn mb b ，，(2)m ≥．例如：有序数组123，，经1次变换后得到数组122331，，，即354，，；经第2次变换后得到数组897，，．（1）若 (12)ia i in ，，，，求35b ，的值；（2）求证：0C mjm ii j mj b a ，，其中i1，2，，n ．（注：当i j kn t 时，*kN ，t1，2，，n ，则ijt a a ．）解：（1）依题意，12345678n，，，，，，，，，经1次变换为：35791113151n ，，，，，，，，，经2次变换为：812162024284n，，，，，，，，经3次变换为：202836445212n ，，，，，，，所以3552b ，．……3分（2）下面用数学归纳法证明对*mN ，0C mjm ii j mj b a ，，其中12in ，，，．X 8a 7a 6a 5a P1143737114（i ）当1m 时，11110C ji i ii j j b a a a ，，其中12in ，，，，结论成立；（ii ）假设*()mk kN 时，k ib ，0C kj i j kj a ，其中12in ，，，．……5分则1m k 时，11kik ik ib b b ，，，1CCkkj j i j kij kj j a a 111C C k k jj i j ki j kj j a a 0111C C C C kjj ki kijkkikkj a a a 0111111C C C kjk i ki j kikkj a a a 11C k j i jk j a ，所以结论对1mk 时也成立．由（i ）（ii ）知，*m N ，0C mjm ii j m j b a ，，其中12i n ，，，．……10分。

2017届高三第一次教学质量监测数学质量分析报告一、总体评价试卷注重基础性，较好体现高中数学的基础知识、基本概念、基本能力和基本数学思想。

填空题、选择题覆盖高中所有内容，解答题主要覆盖到的内容有：集合与常用逻辑用语、函数的概念与基本初等函数、导数及其应用、三角函数、平面向量、数列。

试卷难度一般，主要考虑了高三学生参加的全市第一次考试，注意了培养学生的自信心和学习数学的兴趣，试卷主要目的是侧重摸底，为教师阶段性教学目标达成和学生阶段性学习目标达成状况提供数据，有助于学校和教师真实把握质量，科学调整决策复习思路，促进学校质量飞跃发展。

二、全市人平分统计全市17届高三第一次质检文数平均分51.13分，理数平均分69.03分。

全市17届高三第一次质检成绩平均分及排名与16届高考、16届高三第一次质检对照如下列表格。

表1 :各县市区高中数学成绩平均分及排名对照表文科理科永兴45.01041.51161.6 74.91063.61178.5宜章 县嘉禾 县临武汝城 县桂东安仁 县全市51.6 40.551 0 47.9 58.5 47.4 50.8 1149.1 47.2 41.6 10 47.7 52.4 50.355.6 51.7 45.248.7 52.7 50.1 51.3表2:省示范性高中数学成绩平均分及排名对照表文科 单位市一资兴 市立市二112016届高考 2016届一监 2017届一监 人均 排序 72.0 人均 排序 人均 排序 73.677.157.2 60.710 86.3 72.381.7 82.4 82.4 80.6 80.7 1166.9 67.6 65.6 73.4 66.5 67.4 69.4 理科67.768.062.266.065.470.069.03112016届高考 2016届一监 2017届一监人均 排序 96.0 人均 排序93.3 人均 排序90.763.6 63.6 JL65.8 70.2 85.8 84.2 75.977.0 80.185.7表3 :市示范性高中（包括普通高中）数学成绩平均分及排名对照表文科理科市三48.0141.6242.5276.8160.3158.21中资八27.98 [21.91024.9 r 1039.31025.51025.110一中永兴□a n 7 26 7 829 0 7 46 99 35 0726 0 9二中29.01厶U ・1厶Y ・u1pH厶5 U1p永兴26.21032.45 25.4958.9432.8949.03三中宜章29.9627.0729.2648.7738.7528.68四中宜章32.5435.3428.7859.6241.1435.46六中缶武26.5923.0931.4448.2834.6838.15二中汝城L 31.8： 1 5「28.9 广6129.9 1 L 552.36 —35.26 "32.5 1 /二中安仁35.1243.1131.5355.2556.1254.82二中安仁34.6338.9343.3159.2348.4345.34三中h=1r斗市示34.233.433.560.446.543.4范平明星4五中三、全市高分段人数统计文数全市最高分145分，来自永兴一中；110分以上全市共239人，占3.19%。