【VIP专享】2012三年高考两年模拟高三第一轮复习第05讲函数的单调性

2.2 函数的单调性【考纲要求】1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。

【基础知识】1、一般地，设函数()f x 的定义域为:I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意．．两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。

2、如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。

（2）复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增 增 增 减 减 减 增 减 减减增（3）导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数1()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有11()0(()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则11()0(()0)f x f x ≥≤。

（4）图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

年级高三学科数学版本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数)(xf的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf<，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf>，则称)(xf在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(xfy=在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy=在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy=的单调区间。

注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf≤或)()(21xfxf≥②单调性刻画的是函数的“局部”性质。

如xy1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。

③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=xxf在R上是增函数证：设21xx<，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf++-=-=-而分子021<-=xx分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=xxxxxxx故0)()(21<-xfxf得证补：讨论函数22)(x xaxf-=的单调性)10(≠<a解：设1>a时，对任Rx∈，022>-xxa，设121<<xx2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数0<p 时，)(x f 在)0,(-∞或),0(+∞上是增函数函数xp x y += p 范围0>p0<p 定义域 ),0()0,(+∞⋃-∞值域 ),2()2,(+∞⋃--∞p p),(+∞-∞渐近线 x y =及0=x奇偶性 奇函数单调性在],(p --∞及),[+∞p 分别单调递增在)0,(-∞上递增，在),0(+∞上递增在)0,[p-及],0(p上分别单调递减另法，利用导数21)(xpxf-=')(122pxx-=（1）若0>p则))((1)(2pxpxxxf-+='（2）若0<p，则0)(>'xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4] 讨论分式函数xbaxxf+=)(的单调性（0≠ab）以下只研究0,0>>ba与0,0<>ba两种情形对于0,0><ba与0,0<<ba可利用对称性得到。

2.3函数的单调性●知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. ●点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y =－x +1B.y =xC.y =x 2－4x +5D.y =x2答案：B2.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）解析：当x =2时，y =log a 5＞0，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0⇒x ＜－3或x ＞1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在（－∞，－3）上递减，故函数y =log a （x 2＋2x －3）（其中a ＞1）也在（－∞，－3）上递减.答案：A3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y =log21|x －3|的单调递减区间是__________________.解析：令u =|x －3|，则在（－∞，3）上u 为x 的减函数，在（3，+∞）上u 为x 的增函数.又∵0＜21＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y 为x 的减函数. 答案：（3，+∞） 4.有下列几个命题：①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y =11+x 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y =245x x -+的单调区间是［－2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）.其中正确命题的序号是___________________.解析：①函数y =2x 2+x +1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y =11+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y =245x x -+的单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ），f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的.答案：④ ●典例剖析【例1】 如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x +5在区间（21，1）上是增函数，求f （2）的取值范围.剖析：由于f （2）=22－（a －1）×2+5=－2a +11，求f （2）的取值范围就是求一次函数y =－2a +11的值域，当然就应先求其定义域.解：二次函数f （x ）在区间（21，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x =21-a 或与直线x =21重合或位于直线x =21的左侧，于是21-a ≤21，解之得a≤2，故f （2）≥－2×2+11=7，即f （2）≥7.【例2】 讨论函数f （x ）=12-x ax（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.解：设－1＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）－f （x 2）=1211-x ax －1222-x ax=)1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a .∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2+1＞0，（x 12－1）（x 22－1）＞0.又a ＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0，函数f （x ）在（－1，1）上为减函数.【例3】 求函数y =x +x1的单调区间. 剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法： （1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y =x 与y =x1的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f （x 2）－ f （x 1）的正负.解：首先确定定义域：{x |x ≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=x 2+21x －x 1－11x =（x 2－x 1）+2121x x x x -=（x 2－x 1）（1－211x x ），要确定此式的正负只要确定1－211x x 的正负即可. 这样，又需要判断211x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.（1）当x 1、x 2∈（0，1）时，1－211x x ＜0，∴f （x 2）－f （x 1）＜0，为减函数. （2）当x 1、x 2∈（1，+∞）时，1－211x x ＞0，∴f （x 2）－f （x 1）＞0，为增函数. 同理可求（3）当x 1、x 2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x 1、x 2∈（－∞，－1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f （x ）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f （x ）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数y =x +xa（a ＞0）的单调区间. 提示：函数定义域x ≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.答案：在（－∞，－a ］，（a ，+∞）上是增函数，在（0，a ］，（－a ，0）上是减函数.【例4】 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1. （2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0. （3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）. ∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）. ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数.（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.●闯关训练夯实基础1.（2004年湖北，理7）函数f （x ）=a x+log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为A.41 B.21C.2D.4 解析：f （x ）是［0，1］上的增函数或减函数，故f （0）+f （1）=a ，即1+a +log a 2=a ⇔log a 2=－1，∴2=a －1⇔a =21.答案：B2.设函数f （x ）=log a |x |在（－∞，0）上单调递增，则f （a +1）与f （2）的大小关系是A.f （a +1）=f （2）B.f （a +1）＞f （2）C.f （a +1）＜f （2）D.不能确定解析：由f （x ）=⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),,0(,log ),0,(),(log x x x x aa 且f （x ）在（－∞，0）上单调递增，易得0＜a＜1.∴1＜a +1＜2.又∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减.∴f （a +1）＞f（2）.答案：B3.函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞）解析：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u =2－ax 在［0，1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.答案：C4.（文）如果函数f （x ）=x 2+2（a －1）x +2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是___________________.解析：对称轴x =1－a ，由1－a ≥4，得a ≤－3. 答案：a ≤－3（理）（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y =f （x ）的图象与y =2x的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f （4x －x 2）的递增区间是___________________.解析：先求y =2x 的反函数，为y =log 2x ，∴f （x ）=log 2x ，f （4x －x 2）=log 2（4x －x 2）.令u =4x －x 2，则u ＞0，即4x －x 2＞0.∴x ∈（0，4）.又∵u =－x 2+4x 的对称轴为x =2，且对数的底为2＞1，∴y =f （4x －x 2）的递增区间为（0，2）. 答案：（0，2）5.讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性. 解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21212211++-++x ax x ax =)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax=)2)(2()21)((2112++--x x a x x .∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜21时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数； 当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数. 培养能力6.（2003年重庆市高三毕业班诊断性试题）已知函数f （x ）=m （x +x1）的图象与函数h （x ）=41（x +x1）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值；（2）若g （x ）=f （x ）+xa4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解：（1）设P （x ，y ）为函数h （x ）图象上一点，点P 关于A 的对称点为 Q （x ′，y ′），则有x ′=－x ，且y ′=2－y .∵点Q （x ′，y ′）在f （x ）=m （x +x 1）上，∴y ′=m （x ′+x '1）.将x 、y 代入，得2－y =m （－x －x 1）.整理，得y =m （x +x 1）+2.∴m =41.（2）∵g （x ）=41（x +xa+1），设x 1、x 2∈（0，2］，且x 1＜x 2，则g （x 1）－g （x 2）=41（x 1－x 2）·2121)1(x x a x x +-＞0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.∴x 1x 2－（1+a ）＜0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.∴由1+a ＞x 1x 2≥4，得a ＞3.7.（2004年春季上海）已知函数f （x ）=|x －a |，g （x ）=x 2+2ax +1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等.（1）求a 的值；（2）求函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明10f （n ）·（54）g （n ）＜4. （1）解：由题意，f （0）=g （0），|a |=1，又a ＞0，所以a =1.（2）解：f （x ）+g （x ）=|x －1|+x 2+2x +1.当x ≥1时，f （x ）+g （x ）=x 2+3x ，它在［1，+∞）上单调递增；当x ＜1时，f （x ）+g （x ）=x 2+x +2，它在［－21，1）上单调递增.（3）证明：设c n =10f （n ）·（54）g （n ），考查数列{c n }的变化规律：解不等式n n c c 1+＜1，由c n＞0，上式化为10·（54）2n +3＜1， 解得n ＞8.0lg 21-－23≈3.7.因n ∈N *，得n ≥4，于是c 1≤c 2≤c 3≤c 4.而c 4＞c 5＞c 6＞…，所以10f （n ）·（54）g （n ）≤10f （4）·（54）g （4）=103·（54）25＜4. 探究创新8.（2005年北京西城区模拟题）设a ∈R ，函数f （x ）=2e x -（ax 2+a +1），其中e 是自然对数的底数.（1）判断f （x ）在R 上的单调性；（2）当－1＜a ＜0时，求f （x ）在［1，2］上的最小值.解：（1）由已知f '（x ）=－21e －x （ax 2+a +1）+21e －x ·2ax=21e －x （－ax 2+2ax －a －1）. 因为21e －x ＞0，以下讨论函数g （x ）=－ax 2+2ax －a －1值的情况：当a =0时，g （x ）=－1＜0，即f '（x ）＜0，所以f （x ）在R 上是减函数.当a ＞0时，g （x ）=0的判别式Δ=4a 2－4（a 2+a ）=－4a ＜0，所以g （x ）＜0，即f '（x ）＜0，所以f （x ）在R 上是减函数.当a ＜0时，g （x ）=0有两个根x 1，2=a a a -±，并且a a a -+＜aaa --，所以在区间（－∞，aaa -+）上，g （x ）＞0，即f '（x ）＞0，f （x ）在此区间上是增函数； 在区间（a a a -+，aaa --）上，g （x ）＜0，即f '（x ）＜0，f （x ）在此区间上是减函数.在区间（aaa --，+∞）上，g （x ）＞0，即f '（x ）＞0，f （x ）在此区间上是增函数. 综上，当a ≥0时，f （x ）在R 上是减函数；当a ＜0时，f （x ）在（－∞，a a a -+）上单调递增，在（a a a -+，aaa --）上单调递减，在（aaa --，+∞）上单调递增. （2）当－1＜a ＜0时，a a a -+=1+a a -＜1，a aa --=1+a-1＞2，所以在区间［1，2］上，函数f （x ）单调递减.所以函数f （x ）在区间［1，2］上的最小值为f （2）=2e215+a . 评述：函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是基本方法.●思悟小结1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；而有些函数在定义域内的部分区间上是增函数而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如y =2.函数单调性定义中的x 1、x 2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即x 1、x 2是给定区间上的任意两个值，“任意”二字绝不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x 1＜x 2.三者缺一不可.3.在解决与函数单调性有关的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，但最基本的方法是定义法，几乎所有的与单调性有关的问题都可用定义法来解决.4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行. ●教师下载中心 教学点睛1.本节的重点是函数单调性的有关概念，难点是利用概念证明或判断函数的单调性.复习本节时，老师最好引导学生总结出证明函数单调性的一般步骤：1°设值；2°作差；3°变形；4°定号；5°结论.2.教学过程中应要求学生准确理解、把握单调性定义中“任意”的含意，函数单调性的重要作用在于化归，要重视运用函数的单调性将问题化归转化，培养化归意识.3.讨论复合函数单调性的根据：设y =f （u ），u =g （x ），x ∈［a ，b ］，u ∈［m ，n ］都是单调函数，则y =f ［g （x ）］在［a ，b ］上也是单调函数.（1）若y =f （u ）是［m ，n ］上的增函数，则y =f ［g （x ）］与u =g （x ）的增减性相同； （2）若y =f （u ）是［m ，n ］上的减函数，则y =f ［g （x ）］的增减性与u =g （x ）的增减性相反.拓展题例【例1】 设函数f （x ）＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.解：函数f （x ）＝bx ax ++的定义域为（－∞，－b ）∪（－b ，＋∞）， 任取x 1、x 2∈（－∞，－b ）且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝b x a x ++11－b x a x ++22＝))(())((2112b x b x x x b a ++--. ∵a －b ＞0，x 2－x 1＞0，（x 1＋b ）（x 2＋b ）＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x ）在（－∞，－b ）上是减函数.同理可证f （x ）在（－b ，＋∞）上也是减函数.∴函数f （x ）=bx ax ++在（－∞，－b ）与（－b ，＋∞）上均为减函数. 【例2】 已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0时，有ba b f a f ++)()(＞0.判断函数f（x）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x1、x2∈［－1，1］，且x1＜x2，则－x2∈［－1，1］.又f（x）是奇函数，于是f（x1）－f（x2）=f（x1）+f（－x2）=)()()(2 121x x xf xf-+-+·（x1－x2）.据已知)()()(2 121x x xf xf-+-+＞0，x1－x2＜0，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在［－1，1］上是增函数.。

函数的单调性、周期性【知识要点】1．单调性定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为E ，如果对于定义域E 内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；2．利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；（2）作差f (x 1)－f (x 2)；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；（5）下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

3．单调性的有关结论（1）．在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

（2）．函数y ＝g (x )，x ∈M, g (x )∈N, 函数y ＝f (x ) x ∈P, N ⊆P 。

若f(x)与g(x)的单调相同，则复合函数y ＝f [g(x)]是定义在M 上的单调性为 ， 若f(x)与g(x)的单调性相反,则复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的单调性为 ，（3）．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .4．判断单调性的方法：图像法、定义法、复合函数法、导数法5.周期性定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f(x+T)= f(x)则称f (x )为周期函数；6.★判断周期函数的方法：①定义法；②图象法；③利用结论. 如f(x+a)= -f(x) (ａ≠0). 则周期T=︱2a ︱【典例解析】例1.判断函数2()1f x x -=-在()1,+∞上的单调性例2．判断函数221()2x x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭的单调减区间【巩固练习】一．选择题1．如下四个函数，其中既是奇函数，又在(),0-∞是增函数的是 （ ）A 、1y x =-+B 、3y x =-C 、1y x=- D 、3y = 2．设函数f(x)在R 上为减函数，则下列正确的是（ ） ①)2()(a f a f > ②)()(2a f a f <③)()(2a f a a f <+ ④)()1(2a f a f <+3．如果函数c bx x y ++=2对任意的实数x ，都有)()1(x f x f -=+，那么 （ ）A ． )2()0()2(f f f <<-B ．)2()2()0(f f f <-<C ．)2()0()2(-<<f f fD ．)2()2()0(-<<f f f4．已知y=log a (2－ax)在[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．),2[+∞5．已知函数y=f(x)在（0，2）上是增函数，函数f(x+2)是偶函数，则 （ ）A ．)27()25()1(f f f <<B ．)25()1()27(f f f <<C ．)1()25()27(f f f <<D ．)27()1()25(f f f <<6．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为 （ ）A. 0B. 1C. 3D. 57．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a=f(3)， b=f(2)，c=f(2)，则a ，b ，c 大小关系是 （ ）A 、a>b>cB 、a>c>bC 、b>c>aD 、c>b>a8. ★设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x ≤1时，f(x)=x,则f(7.5)=A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5 ( )9. ★已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，则(2010)(2012)f f +=A ．3-B ．2-C ．3D ．2 （ ）二．填空题10．设二次函数f(x)=x 2-(2a+1)x+3（1） 若函数f(x)的单调增区间为[)∞+，2，则实数a 的值__________； （2） 若函数f(x)在区间[)∞+，2内是增函数，则a 的范围__________； 11．函数y=x∣x -2∣的单调递增区间为___________;12．下列函数的单调递减区间（1）y =（2）31-=x y ._______________.(3)y=)34(log 221-+-x x _______________.13.若f(x)是奇函数,且在（0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)〈0的解集为______14.★已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且21)1(=f ，),2()()2(f x f x f +=+则)6(f = 。

高考数学一轮总复习 第5讲 函数的性质（一）单调性同步测控 理1.(2012·广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝(12)xD ．y ＝x ＋1x2.(2011·安徽宿州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增3.(2013·海淀模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A ．(13，23) B ．[13，23) C ．(12，23) D ．[12，23) 4.若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，12) 5.函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为________________． 6.(1)函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上递增，则b 的取值范围是________；(2)函数y ＝x 2＋bx ＋c 的单调增区间是[0，＋∞)，则b 的值为______．7.判断函数f (x )＝ax x ＋1(a ≠0)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．8.设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f （x ）－2f （－x ）5x<0的解集是__________． 9.若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m ，2m ＋1)上单调递增，则m 的取值范围为________． 10.(2012·南昌模拟题)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0，都有f (x y )＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1x )<2.第5讲1．A 2.B 3.A 4.B 5.[34，＋∞) 6.(1)b ≥0 (2)07．解析：当a >0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．证明：设－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1＝ax 1（x 2＋1）－ax 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝a （x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.因为－1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，又当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是减函数．或用导数法：因为f ′(x )＝a（x ＋1）2(x >－1)，当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(－1，＋∞)上递增；当a <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上递减．8．(－1，0)∪(0，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (1)＝0＝f (－1)．又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )>0可得x ∈(－1，0)∪(1，＋∞)，由f (x )<0可得x ∈(－∞，－1)∪(0，1)，所以3f （x ）－2f （－x ）5x <0，即f （x ）x <0的解集为(－1，0)∪(0，1)．9．(－1，0] 解析：因为f ′(x )＝4（1－x 2）（x 2＋1）2.令f ′(x )>0，得－1<x <1，所以f (x )的增区间为(－1，1)．又因为f (x )在(m ，2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1，所以－1≤m ≤0.因为区间(m ，2m ＋1)隐含2m ＋1>m ，即m >－1，所以－1<m ≤0.10．解析：(1)令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0，所以f (1)＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，f (x 1x 2)>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (6)＝1，所以f (36)－f (6)＝f (6)，所以f (36)＝2f (6)＝2.由f (x ＋3)－f (1x )<2，得f (x 2＋3x )<f (36)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01x >0x 2＋3x <36⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－3x >0－3－3172<x <－3＋3172 ⇒0<x <317－32. 所以原不等式的解集为(0，317－32)．。