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2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：1.1 集合 PDF版

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2019版高考数学文科5年高考3年模拟考点清单全国卷1通用版：8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积 PDF版

2019版高考数学文科5年高考3年模拟考点清单全国卷1通用版：8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积 PDF版
第八章㊀ 立体几何
６１ ㊀
第八章 ㊀ 立体几何
ɦ ８． １㊀ 空间几何体的三视图 ㊁ 表面积和体积
对应学生用书起始页码 Ｐ１４０
考点一㊀ 空间几何体的结构特征
㊀ ㊀ １． 多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
考点二㊀ 三视图和直观图
（１） 务必做到 ㊀ 长对正 ㊀ （ 正视图与俯视图一样长 ） ㊁㊀ 高平齐㊀ （２） 在三视图中，看不见的线用虚线，看得见的线用实线．
（１） 有两个面互相 结构 特征 平行，其余各个面 都是四边形； （２） 每相邻两个四 边形 的 公 共 边 都 互相平行 侧棱 侧面 形状 ㊀ 平行且相等㊀ ㊀ 平行四边形㊀
有一 个 面 （ 即 底 面 ） 是 多 边 形， 其 余各 面 是 有 一 个 公共顶点的三 角形 相交 于 一 点 但 不 一定相等
母线
平行㊁ 相等且 垂直于底面
相交于一点
延长线 交于一点 全等的 等腰梯形
轴 截面 侧面 展开 图
全等的矩形
全等的等腰 三角形
大圆
㊀ 矩形㊀
㊀ 扇形㊀
㊀ 扇环㊀
１ （ Ｓ ＋ Ｓᶄ ＋ ３ Ｖ＝㊀
１ Ｓｈ㊀ ３ＳＳຫໍສະໝຸດ ） ｈ４ πＲ ３ ㊀ ３
６２ ㊀
５ 年高考 ３ 年模拟㊀ Ｂ 版（ 教师用书）
积时要注意重合部分的面积；
ʌ 知识拓展ɔ 空间几何体的表面积与体积的求法 图进行分析，得到几何体的直观图；
（ １） 据三视图求表面积㊁ 体积时， 解题的关键是对所给三视 （ ２） 多面体的表面积是各个面的面积之和，求组合体的表面
方法 １㊀ 空间几何体表面积与体积的求解方法
㊀ ㊀ １． 空间几何体表面积的求法 需将它们沿着棱剪开后展成平面图形， 利用求平面图形面积的 方法求多面体的表面积． 求旋转体的表面积时， 可从旋转体的生 成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积， 但要搞清它们的 底面半径㊁母线长与对应侧面展开图中的边长关系． 通过求和或作差，求出几何体的表面积． ２． 空间几何体体积的求法 台体，则可直接利用公式求解． 基本的柱㊁锥㊁台体，先求出这些基本的柱㊁ 锥㊁ 台体的表面积， 再 （１） 求简单几何体的体积． 若所给的几何体为柱体㊁ 锥体或 （２） 求组合体的体积． 若所给的几何体是组合体， 不能直接 （３） 求以三视图为背景的几何体的表面积或体积， 应先根据 ㊀ （ ２０１８ 安徽皖南八校二联， ８ ） 榫卯是我国古代工匠 （２） 求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成 （１） 表面积是各个面的面积之和． 求多面体的表面积时， 只 ㊀ ㊀ １－１㊀ （ ２０１８ 广东茂名模拟，７） 一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的体积是 （㊀ ㊀ ）

2019版高考数学(文科)(5年高考3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：6.4数列求和、数列的综合应用 PDF版

2019版高考数学(文科)(5年高考3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：6.4数列求和、数列的综合应用 PDF版
５２ ㊀
５ 年高考 ３ 年模拟㊀ Ｂ 版（ 教师用书）
ɦ ６． ４㊀ 数列求和 ㊁ 数列的综合应用
对应学生用书起始页码 Ｐ１１８
考点一㊀ 数列求和
㊀ ㊀ １． 公式法 直接用等差㊁等比数列的求和公式求解．
续表 数列（ ｎ 为正整数） 裂项方法 ｎ＋ ｌｏｇ ａ １＋ １ １ ｎ ｎ ＋１ ＝
ａ
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
－１－（２ａ ｎ－１ －１） ，化为 ａ ｎ ＝ ２ａ ｎ－１ ， ʑ ｎａ ｎ ＝ ｎ㊃２ ｎ ．
－１
又 ａ ｎ ＞０，解得 ａ １ ＝ ２，ｑ ＝ ２，所以 ａ ｎ ＝ ２ ．
ｎ
（２） 由题意知：Ｓ ２ｎ＋１ ＝ 令 ｃｎ ＝ ｂｎ ，则 ｃ ｎ ＝
（２ｎ ＋１） （ ｂ １ ＋ ｂ ２ｎ＋１ ） ２
对应学生用书起始页码 Ｐ１１９
方法 １㊀ 错位相减法求和
㊀ ㊀ １． 一般地，如果数列 ｛ ａ ｎ ｝ 是等差数列，｛ ｂ ｎ ｝ 是等比数列， 求 数列｛ ａ ｎ ㊃ｂ ｎ ｝ 的前 ｎ 项和时，可采用错位相减法． ２． 用错位相减法求和时，应注意： 情形． （１） 要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的 （２） 在写出 Ｓ ｎ 与 ｑＳ ｎ 的表达式时应特别注意将两式 错 ㊀ （ ２０１７ 山东，１９，１２ 分 ） 已知 ｛ ａ ｎ ｝ 是各项均为正数的 ３ ５ ７ ２ｎ －１ ２ｎ ＋１ ＋ ＋ ＋ ＋ ｎ－１ ＋ ｎ ， ２ ２２ ２３ ２ ２ １ ３ ５ ７ ２ｎ －１ ２ｎ ＋１ 又 Ｔ ｎ ＝ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ＋ ｎ ＋ ｎ＋１ ， ２ ２ ２ ２ ２ ２ １ １ ３ æ １ １ ２ｎ ＋１ ÷ － 两式相减得 Ｔ ｎ ＝ ＋ ç ＋ ２ ＋ ＋ ｎ－１ ö ， ２ ２ è ２ ２ ２ ø ２ ｎ＋１ ２ｎ ＋５ 所以 Ｔ ｎ ＝ ５－ ｎ ． ２ 因此 Ｔ ｎ ＝ ｃ１ ＋ ｃ２ ＋ ＋ｃｎ ＝

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：7.3 基本不等式及不等式的应用

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：7.3 基本不等式及不等式的应用

ab
ab ab
ab
1 + 2 = ab ,所以 ab ≥ 2 2 ,即ab≥2 2 ,所以ab的最小值为2 2 ,故选C.
ab
ab
2.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价 是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ( ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元
∴

BE
=
a

BA , ED =
c

BC
.
ac
ac
∴

BD
=
a

BA
+
c

BC
.
ac ac
∴

BD
2
=

a
a
c

BA
a
c
c

BC
2
,

∴1=

a
a
c

BA
2
+

a
c
c

BC
2
+2·
a
a
c
·c
ac
|BA
|·|BC
|×
则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A

c 2
,
3 2
c


,C

a 2
,

3 2
a

.
∵A,D,C三点共线,∴

AD
∥

DC
,
∴ 1

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：7.1 不等式及其解法 PDF版

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：7.1 不等式及其解法 PDF版

答案㊀ （１） Ｃ㊀ （２） ａɤ－２
ｘ ２ － ｘ ＋２ ４ ＝ （ ｘ － ２） ＋ ＋ ３ȡ ｘ －２ ｘ －２
２
解析㊀ 当 ａ －２ ＝ ０，即 ａ ＝ ２ 时，－４＜０ 恒成立； 当 ａ －２ʂ０，即 ａʂ２ 时， 则有 Δ ＝ ［ －２（ ａ －２） ］ ２ －４ˑ（ ａ －２） ˑ（ －４） ＜０， 解得 －２＜ ａ ＜２． 综上，实数 ａ 的取值范围是（ －２，２］ ． 故选 Ｄ．
㊀ ㊀ １． 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
Δ ＝ ｂ ２ －４ａｃ 二次 函 数 ｙ ＝ 的图象 ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ ａ ＞０ ） Δ ＞０ Δ＝０ Δ ＜０
㊀ ｃ ＞０㊀ ａ ＞ｂ ａ ＞ｂ ｃ＞ｄ ㊀
同向可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
} ｃ ＜０㊀ } }
������������������������������������������
{
ｆ（ α） ＞０， ｆ（ β） ＞０；
（４） 当 ａ ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ ） ＞ ０ 在 ｘ ɪ ［ α， β ］ 上 恒 成 立 ⇔ ｆ （ ｘ ） ＜ ０ 在 ｘ ɪ ［ α， β ］ 上 恒 成 立 ⇔
(
)
２
所以 ｔȡ１； 因为 ｙ ＝
２ｘ ＋１ ＝ ｘ２ ５ ， ４
所以 ｔɤ
５ ＋１ ) －１，ｘɪ（０，２］ 的最小值为 ， (１ ｘ ４
[
]
（２） （ ２０１８ 广东阳春第一中学第一次月考，１５） 设 ａ ＜０， 若不 等式 －ｃｏｓ２ ｘ ＋（ ａ － １） ｃｏｓ ｘ ＋ ａ ２ ȡ０ 对于任意的 ｘ ɪ Ｒ 恒成立， 则 ａ 的取值范围是㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ． 解析㊀ （１） ｆ（ ｘ） ＝ ｘ ２ －２ａｘ ＋１ 对任意 ｘɪ（０，２］ 恒有 ｆ（ ｘ ） ȡ １ １ 在 ｘɪ（０，２］ 上恒成立． 因为 ｘ ＋ ȡ２， 当且 ｘ ｘ

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：6.1 数列的概念及其表示 PDF版

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：6.1 数列的概念及其表示 PDF版

４． 数列与函数的关系
Ｓ ｎ － Ｓ ｎ－１（ ｎȡ２） ．
对应学生用书起始页码 Ｐ１０２
解析㊀ 由题意知 ｎ ȡ２ 时， ａ ｎ ＝ Ｓ ｎ － Ｓ ｎ－１ ＝ ａｎ ｎ ʑ ＝ ａｎ ｎ ａ ｎ－１ ， ｎ －１ ＝
化为
㊀ ㊀ １－２ ㊀ （ ２０１８ 河北承德实验中学期中，９ ） 已知数列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项和为 Ｓ ｎ ，ａ １ ＝ １，Ｓ ｎ ＝ ２ａ ｎ＋１ ，则 Ｓ ｎ ＝ Ａ．２ ｎ
达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合， 则 应该分 ｎ ＝ １ 与 ｎȡ２ 两段来写． ｛ ａ ｎ ｝ 的前 ｎ 项和，且 ｌｏｇ ２ （ Ｓ ｎ ＋ １） ＝ ｎ ＋ １， 则数列 ｛ ａ ｎ ｝ 的通项公式 为㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ． 得 Ｓ ｎ ＋１ ＝ ２
ｎ ＋１
（ ３） 对 ｎ ＝ １ 时的结果进行检验，看是否符合 ｎȡ２ 时 ａ ｎ 的表 ㊀ （ ２０１８ 广 东 化 州 第 二 次 模 拟， １６ ） 已 知 Ｓ ｎ 为 数 列
如果数列｛ ａ ｎ ｝ 的第 ｎ 项与序号 ｎ 之间的关系可以用一个式 子：ａ ｎ ＝ ｆ（ ｎ） 来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 某一项） 开始任何一项 ａ ｎ 与它的前一项 ａ ｎ－１ （ 或前几项 ） 间的关 系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做数列 ｛ ａ ｎ ｝ 的递推 公式． 如果已知数列 ｛ ａ ｎ ｝ 的第一项 （ 或前几项 ） ， 且从第二项 （ 或
４６ ㊀
５ 年高考 ３ 年模拟㊀ Ｂ 版（ 教师用书）
第六章 ㊀ 数 ㊀ 列
ɦ ６． １㊀ 数列的概念及其表示
对应学生用书起始页码 Ｐ１０２
考点 ㊀ 数列的概念及其表示

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：4.2 三角恒等变换

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：4.2 三角恒等变换
解析 (1)由已知,方程x2+ 3 px-p+1=0的判别式Δ=( 3 p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0. 所以p≤-2,或p≥ 2 .
3
由根与系数的关系,有tan A+tan B=- 3 p,tan Atan B=1-p. 于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,
从而tan(A+B)= tan A tan B =- 3 p =- 3 .

α

4

=
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
6
3
2
3
答案
A
解法一:cos2
α

4

=1

cos

2α

2

1
=
sin 2
2α
,把sin
2α=
2 3
代入,原式=
1 6
.选A.
2
解法二:∵sin
2α=
2 3
,cos

α

4

=cos
αcos

tan α tan 5
=
1

tan
α
tan
4 5
tan α 1
=
1 tan α
=
1 5
,
4
解得tan α= 3 .
2
4.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈

0,
2

,tan
α=2,则cos

α

4

=

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：10.1 椭圆及其性质


解析 (1)设F(c,0),由 1 + 1 = 3e ,即 1 + 1 = 3c ,可得a2-c2=3c2,
| OF | | OA | | FA | c a a(a c)
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为 x2 + y2 =1.
43
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
a3
思路分析 解法一:设出点M的坐标及OE的中点为N,写出AM的方程,然后求出yE与yN,利用2yN=
yE求出
c a
.
解法二:由PF∥y轴得对应线段成比例,结合|OE|=2|ON|可求出 c .
a
7.(2015课标Ⅰ,5,5分,0.693)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 1 ,E的右焦点与抛物线C:y2
高考文数 ( 课标专用)
§10.1 椭圆及其性质
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:
x2 a2
+
y2 4
=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为
(
)
A. 1
B. 1
2
C.
22
D.
3
2
2
3
答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, ∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2 2 ,
13 ,从而a=3,
b=2.
所以,椭圆的方程为 x2 + y2 =1.
94
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的 面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：4.3 三角函数的图象和性质


答案
3
解析
函数y=sin x-
3
cos
x=2sin
x

3

的图象可由函数y=2sin
x的图象至少向右平移
3
个单
位长度得到.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( ) A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
()
A.在区间

4
,
4

上单调递增
C.在区间

4
,
2
上单调递增
B.在区间

4
,
0
上单调递减
D.在区间
2
,

上单调递减
答案 A 本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质.
将y=sin

2x

5

的图象向右平移

的图象,只需把函数y=sin
x的图象上所有的点
()
A.向左平行移动 个单位长度
3
B.向右平行移动 个单位长度
3
C.向上平行移动 个单位长度
3
D.向下平行移动 个单位长度
3
答案 A 根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动 个
3
单位长度可得y=sin

2

x
的最大值为
(
)

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)考点清单全国卷1地区通用版：9.1 直线方程与圆的方程 PDF版


（ Ａ ＋ Ｂ ２ ʂ０） ，还可以表示为 ｙ － ｙ １ ＝ ｋ（ ｘ － ｘ １ ） 和 ｘ ＝ ｘ １ ． （２） 平行于直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０ 的直线系方程为 Ａｘ＋Ｂｙ＋λ ＝ ０（ λʂ Ｃ） ． （３） 垂直于直线 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ 的直线系方程为 Ｂｘ － Ａｙ ＋ λ ＝ ０． （４） 过 Ａ１ ｘ ＋ Ｂ １ ｙ ＋ Ｃ １ ＝ ０ 与 Ａ２ ｘ ＋ Ｂ ２ ｙ ＋ Ｃ ２ ＝ ０ 的交点的直线系
７６ ㊀
５ 年高考 ３ 圆的方程
ɦ ９． １㊀ 直线方程与圆的方程
对应学生用书起始页码 Ｐ１７１
考点一㊀ 直线的倾斜角和斜率
续表 位置㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 方程 ㊀ ㊀ ㊀ 斜 截 式： ｌ １ ： ｙ ｌ ２ ：ｙ ＝ ｋ ２ ｘ ＋ ｂ ２ ＝ ｋ１ ｘ ＋ｂ１ ， 一般式：ｌ １ ： Ａ １ ｘ ＋ Ｂ １ ｙ ＋ Ｃ １ ＝ ０ （ Ａ ＋ Ｂ ２ １
第九章㊀ 直线和圆的方程 ㊀ ㊀ （２） 特别地，以原点为圆心， ｒ （ ｒ ＞ ０） 为半径的圆的标准方程 为 ｘ２ ＋ｙ２ ＝ ｒ２ ． ２． 圆的一般方程 Ｄ 方程 ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 可 变 形 为 ｘ ＋ ２ ２ ２ ＋ －４ Ｄ Ｅ Ｆ ＝ ． ４ （３） 当 Ｄ ２ ＋ Ｅ ２ －４Ｆ ＜０ 时，方程不表示任何图形． ①ｘ ２ 和 ｙ ２ 的系数相等且不为 ０．
位置㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 方程 ㊀ ㊀ ㊀ ＝ ｋ１ ｘ ＋ｂ１ ，
斜 截 式： ｌ １ ： ｙ ｌ ２ ：ｙ ＝ ｋ ２ ｘ ＋ ｂ ２ ｋ１ ʂｋ２
＋ Ｂ２ 一般式：ｌ １ ： Ａ １ ｘ ＋ Ｂ １ ｙ ＋ Ｃ １ ＝ ０ （ Ａ ２ １ １ ０）
２ ２ ２ ２

2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)全国卷1地区通用版：1.1集合课件二


意,当a≠0时,A={x|ax-6=0}= a6
,由题意得 6 =2或 6 =3,解得a=3或a=2,所以实数a的所有值构成
a
a
的集合是{0,2,3},故选D.
特别提醒 解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.
6.(2018广东二模,3)已知x∈R,集合A={0,1,2,4,5},集合B={x-2,x,x+2},若A∩B={0,2},则x= ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2
B组 2016—2018年高考模拟·综合题组
(时间:25分钟 分值:55分)
一、选择题(每小题5分,共50分) 1.(2018广东佛山质量检测(二),1)已知全集U={0,1,2,3,4},若A={0,2,3},B={2,3,4},则(∁UA)∩ (∁UB)= ( ) A.⌀ B.{1} C.{0,2} D.{1,4} 答案 B 因为全集U={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4},所以∁UA={1,4},∁UB={0,1}, 因此(∁UA)∩(∁UB)={1},选B. 方法总结 集合基本运算的求解策略. (1)求解思路:一般是先化简集合,再由交、并、补集的定义求解. (2)求解思想:注意数形结合思想的运用.
易错警示 本题的易错点是由0∈B,2∈B得到x=2或x=0后,就直接得到错误答案(x=2或x=0),忘 记验证A∩B={0,2}是否成立.
7.(2017湖南永州二模,2)已知集合P={x|-1≤x≤1},M={a},若P∩M=⌀,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.[1,+∞)
C.[-1,1]
食”.对于集合A= 1,
1 2
,1
,B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值
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Ａ⊆Ｂ 或 Ｂ⊇Ａ Ｂ⫌Ａ Ａ⫋Ｂ 或
意义
｛ ｘ ｜ ｘ ɪ Ａ， 或 ｘ ɪＢ｝ Ａɣ⌀ ＝ Ａ； ＡɣＡ ＝ Ａ； ㊀ Ｂ ⊆ Ａ㊀ ＡɣＢ ＝ Ｂ ɣＡ； Ａ ɣ Ｂ ＝ Ａ ⇔
｛ ｘ ｜ ｘ ɪ Ａ， 且 ｘ ɪＢ｝ Ａɘ⌀＝ ⌀；Ａ ɘＡ Ａ； Ａ ɘ Ｂ ＝ Ａ ⇔㊀Ａ⊆Ｂ㊀
｛ ｘ ｜ ｘ ɪ Ｕ ，且 ｘ ∉ Ａ ｝ ＝ ⌀；∁Ｕ （∁Ｕ Ａ）＝ Ａ； Ａɣ（∁Ｕ Ａ）＝ Ｕ；Ａ ɘ（∁Ｕ Ａ ） ㊀ ∁Ｕ（ ＡɣＢ） ＝ （ ∁Ｕ Ａ） ɘ
性质
＝ Ａ； Ａ ɘ Ｂ ＝ Ｂ ɘ
（ ∁Ｕ Ｂ）； ∁Ｕ （ Ａ ɘ Ｂ ） ＝ （ ∁Ｕ Ａ） ɣ（ ∁Ｕ Ｂ） ㊀
对应学生用书起始页码 Ｐ３
方法 １㊀ 解决集合间基本关系问题的方法
㊀ ㊀ １． 判断两集合的关系常有两种方法： 一是化简集合， 从表达 式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合， 从元素中 寻找关系． 系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系． 解决这类 问题常常需要合理利用数轴㊁Ｖｅｎｎ 图帮助分析． ４｝ ，Ａ ＝ ｛１，２｝ ，则满足 Ａ⊆Ｂ 的集合 Ｂ 的个数是 Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ （㊀ ㊀ ） ２． 已知两集合间的关系求参数时， 关键是将两集合间的关 解题导引㊀ （ １） 集合 Ｂ 中至少 含有元素 １，２
ｎ ｎ
３｝ ，则
㊀ ㊀ １－１ ㊀ （ ２０１５ 重庆，１，５ 分 ） 已知集合 Ａ ＝ ｛ １，２，３｝ ， Ｂ ＝ ｛ ２， Ａ．Ａ ＝ Ｂ Ｃ．Ａ⫋Ｂ Ｄ．Ｂ⫋Ａ ＝ ＝ 答案㊀ Ｄ㊀ ȵ Ａ ｛１，２，３｝ ，Ｂ ｛２，３｝ ， ʑ ＡʂＢ，ＡɘＢ ＝ ｛２，３｝ ʂ⌀； Ｂ．ＡɘＢ ＝ ⌀ （㊀ ㊀ ）
又 １ɪＡ 且 １∉Ｂ，ʑ Ａ 不是 Ｂ 的子集，故选 Ｄ． ㊀ ㊀ １－２㊀ 已知集合 Ａ ＝ ｛１，２，３，４｝ ， Ｂ ＝ ｛ １，２｝ ， 则满足条件 Ｂ ⊆ Ｃ⊆Ａ 的集合 Ｃ 的个数为㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
方法 ２㊀ 集合运算问题的求解方法
㊀ ㊀ 集合的基本运算包括集合间的交集㊁ 并集㊁ 补集的运算， 解 决此类问题应注意以下几点：一是看集合的组成元素， 这是解决 问题的前提； 二是把集合化简， 先化简再研究其关系并进行运 算；三是注意数形结合思想的应用， 在进行集合运算时要尽可能 地借助 Ｖｅｎｎ 图或数轴使抽象问题直观化． 一般地， 集合元素离 散时用 Ｖｅｎｎ 图表示；集合元素连续时用数轴表示， 用数轴表示 时注意端点值的取舍． Ｃ．［１，２） 解析㊀ 因为∁Ｕ Ａ ＝ ｛ ｘ ｜ ｘ ＞２ 或 ｘ ＜０｝ ，Ｂ ＝ ｛ ｙ ｜ １ɤ ｙ ɤ３｝ ， 所以 （ ∁Ｕ Ａ） ɣＢ ＝ （ － ɕ ，０） ɣ［１，＋ɕ ） ． ㊀ ㊀ ２－２㊀ 已知 Ｍ，Ｎ 为集合 Ｉ 的非空真子集，且 Ｍ，Ｎ 不相等，若 Ｎɘ（ ∁Ｉ Ｍ） ＝ ⌀，则 ＭɣＮ ＝ （㊀ ㊀ ） Ａ． Ｍ 答案㊀ Ａ Ｂ． Ｎ Ｃ． Ｉ Ｄ．⌀ 解析 ㊀ 根 据 Ｎ ɘ （ ∁Ｉ Ｍ ） ＝ ⌀ 画 出 Ｖｅｎｎ 图， 如 图 所 示： ，易知 ＭɣＮ ＝ Ｍ． 答案㊀ Ｄ Ｄ．（ － ɕ ，０） ɣ［１，＋ɕ ）
续表 ㊀ ㊀ 表示 关系㊀ ㊀ 空集 定义 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 记法 ㊀ ⌀⊆Ｂ㊀
２． 集合中元素与集合的关系有且仅有两种：㊀ 属于 ㊀ （ 用符号
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
㊀ （１） （ ２０１７ 湖南湘潭三模， １ ） 已知全集 Ｕ ＝ ｛ １，２，３， Ｄ．５
（２） （ ２０１７ 河北衡水武邑中学模拟，２ ） 已知集合 Ａ ＝ ｛ ｘ ｜ ｘ ２ － ａɤ０｝ ，Ｂ ＝ ｛ ｘ ｜ ｘ ＜２｝ ，若 Ａ⊆Ｂ，则实数 ａ 的取值范围是 （ ㊀ ㊀ ） Ａ．（ － ɕ ，４］ Ｃ．［０，４］ Ｂ．（ － ɕ ，４） Ｄ．（０，４）
⌀⫋Ｂ（ Ｂʂ⌀）
有理数集 Ｑ
实数集 Ｒ
考点三㊀ 集合的基本运算
集合的并集 ＡɣＢ 集合的交集 ＡɘＢ 集合的补集 若全 集 为 Ｕ， 则 集 合 Ａ 的补集为∁Ｕ Ａ
符号 表示 图形 表示
考点二㊀ 集合间的基本关系
㊀ ㊀ 表示 关系㊀ ㊀ 集合 间的 基本 关系 子集 真 子 集 相等 定义 集合 Ａ 与集合 Ｂ 中的所有元素 都相同 集合 Ａ 中任意一个元素均 为集 合 Ｂ 中的元素 集合 Ａ 中任意一个元素均 为集 合 Ｂ 中的元素，且 Ｂ 中至少有一 个元素 Ａ 中没有 Ａ＝Ｂ 记法
第一章㊀ 集合与常用逻辑用语
㊀１
第一章 ㊀ 集合与常用逻辑用语
ɦ １． １㊀ 集合
对应学生用书起始页码 Ｐ２
考点一㊀ 集合的含义与表示
㊀ ㊀ １． 集合中元素的三个特性：确定性㊁互异性㊁㊀ 无序性㊀ ． ɪ 表示） 和㊀ 不属于㊀ （ 用符号 ∉ 表示） ． ３． 常用数集及其表示符号
（ 自然数集） Ｎ 非负整数集 正整数集 Ｎ∗ 或 Ｎ ＋ 名称 符号 整数集 ㊀ Ｚ㊀
解析㊀ （１） Ａ，Ｂ 是全集 Ｕ ＝ ｛ １，２，３，４｝ 的子集， Ａ ＝ ｛ １，２｝ ，
ң 利用集合的包含关系得出结论
㊀２
㊀ ㊀
５ 年高考 ３ 年模拟㊀ Ｂ 版（ 教师用书）
答案㊀ ４
知识拓展㊀ 设有限集合 Ａ，ｃａｒｄ（ Ａ） ＝ ｎ（ ｎɪＮ ∗ ） ，则①Ａ 的 子集个数是 ２ ｎ ；②Ａ 的真子集个数是 ２ ｎ － １； ③ Ａ 的非空子集个数 是 ２ －１；④Ａ 的非空真子集个数是 ２ －２．
������������������������������������������������������������������������������
ң
ห้องสมุดไป่ตู้
列举出满足 条件的集合 Ｂ
（ ２） 对 ａ 分类讨论
则满足 Ａ ⊆ Ｂ 的 Ｂ 为 ｛ １，２｝ ，｛ １，２，３｝ ，｛ １，２，４｝ ，｛ １，２，３，４｝ ． 故 选 Ｃ． （２） 当 ａ ＝ ０ 时，Ａ ＝ ｛０｝ ，满足题意； 当 ａ ＜０ 时，集合 Ａ ＝ ⌀，满足题意； 当 ａ ＞０ 时，Ａ ＝ ［ － ａ ， ａ ］ ， 答案㊀ （１） Ｃ㊀ （２） Ｂ 若 Ａ⊆Ｂ，则 ａ ＜２，ʑ ０＜ ａ ＜４． 综上，ａɪ（ － ɕ ，４） ，故选 Ｂ．