1号卷·A10联盟2021届高三上学期11月段考数学理科 含答案

2021年高三数学上学期11月联考试题理试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2．下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．74．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C． D.5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A． B． C．D．6. 在数列中，若对任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和( )A．132 B．299 C．68 D．997. 若函数的图象如图所示，则等于（ ） A ． B. C ． D ．8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( ) A ． B ． C ． D ．9．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 已知点F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11. 设f(x)＝lg2＋x2－x，则的定义域为__________________. 12. 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|kx －y －2≤0}，其中x 、y∈R.若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________． 13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________. 14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______. （二）选考题 15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且∥．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，则线段的长为________。

1号卷·A10联盟2021届高三上学期11月段考语文试题巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵璧中学宿城一中本试卷满分150分，考试时间150分钟。

请在答题卡上作答。

一、现代文阅读（36分）。

（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

个人修养的全面性对于书法家来讲，首先就是各种书体都得写。

听起来这好像很简单，但人的精力是很有限的，一辈子能把一件事情做好就已经很不简单了如果要想做到五体都写，而且都写得很好，绝非那么简单。

不过，字与字之间是有关联的，整个文字的发展是伴随着艺术的发展，如果把这个脉络理清楚了，它就不难。

如果把各种书体之间的关联按照书法史的脉终理顺清楚，然后做一点点功课，即便是不擅长，但书法的评判标准也是知道的，字的好坏还是能看出来的。

对于书法家而言，哲学和美学也非常重要，这里着重说的是我们东方的哲学和美学。

我们不提倡用西方哲学、美学来研究中国问题、中国艺术，因为那些内容与我们东方的艺术关联不大。

我们可以了解一点西方的东西，但是未必要拿它作为理论支持。

中国有中国传统的哲学，也有我们传统的、最朴素的美学思想。

比如老庄思想就是中国美学思想的根本，我们经常说艺术里面讲计白当黑，黑白关系就是最朴素的东方的、中国的美学精神，用那些理论解释我们的书法是最有道理、最能讲清楚的。

特别是其中关于宇宙观、宏观与微观等核心问题，对我们搞艺术具有重要意义。

至于后来我们所接触到的一些书法理论以及其他的艺术理论，都是从老庄思想生发而来的，它们本身就是一脉相承的。

文学是一切艺术的源泉，是一个大的资源池，艺术如果脱离文学就没有品格了，所有的艺术都跟文学相关联。

文学对于书法家来说是必不可少的。

我们历史上重要的书法家所创作的经典的书法作品，有些是很好的文学作品。

比如《兰亭序》就是历史上一篇重要的美文，《古文观止》也将其收录其中。

安徽省A10联盟2025届高三上学期11月段考数学试卷一、单选题1．已知集合2{|0}3x A x x +=<-，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A ．()1,2B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．若()2i 75i z ⋅+=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知空间向量(),1,3a m =- ，31,,2b n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若//a b ，则m n +=（）A ．32-B ．52-C ．32D ．524．若()1tan π2α-=，则cos 2sin 3cos ααα=-（）A ．14-B ．1C ．12-D ．14-或12-5．“2λ≤”是“数列{}2n n λ-为递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点即为费马点，在ABC V 中，若4BC =，且sin :sin :sin A B C =2:1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）A ．B ．C ．4D ．4+7．已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩若方程()()()220f x af x -+=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．11,3⎛-- ⎝B ．(6,--C ．11,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()11,3⎛---+∞⎝8．已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中2π3,6,3BD AD ABC ==∠=，若此圆台的上、下底面圆周都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．36πB ．54πC ．64πD ．68π二、多选题9．已知m n l ，，为三条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A ．若////，，αα⊄m n n m ，则//m αB ．若////，，，αα⊥⊥m n m l n l ，则m α⊥C ．若////，，，αβαβ⊥⊂m n l n ，则m l ⊥D ．若//，，αβαβ⊥⊥m n ，则//m n 10．已知平面向量m n，均为单位向量，且2-= m n ，则（）A ．12m n ⋅=-B．2m n +=C．cos 214，-+=-m n m n D ．2m n + 在m n - 上的投影向量为()12m n --11．已知函数()()()()1e e R e ex xx f x m m --=+∈+有2个零点()1212,x x x x <，则（）A ．0m <B ．0m >C ．22212ex x +>D ．21ln 1x x +<三、填空题12．已知正数,x y 满足252x y +=，则52x y+的最小值为.13．已知数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2025S =.14．已知曲线π()sin()2f x x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在点()()0,0f处的切线方程为12y =+，且函数()()g x f ax =()0a >在区间()π,2π上没有零点，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知0a >，函数()1ln 13ax f x x+=-是奇函数，()342x x g x +=-.(1)求实数a 的值；(2)若[]1210,1,36x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，，使得()()12f x g x λ≥+，求实数λ的取值范围.16．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且1133sin sin tan tan A C A C+=+.(1)求证：3a c b +=；(2)若4b =，且D 是边AC 的中点，求BD 的最小值.17．已知四棱锥S ABCD -中，290BAD ADC SAD SDA ∠=∠=∠=∠=°，平面SAD ⊥平面ABCD ，22CD AD AB ===.点,M N 分别在线段,SC SD 上，且,,,A B M N 四点共面，BM SC ⊥.(1)求证：AN SD ⊥；(2)求平面BCN 与平面SCD 所成角的余弦值.18．已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，其中(){}22,21,n n n a S a n b ==+为等比数列，且3614,126T T ==.(1)求数列{}n n a b 的前n 项和n Q ；(2)在（1）的条件下，比较11ni iQ =∑与0.7的大小关系，并说明理由.19．定义：记函数()f x 的导函数为′，若′在区间I 上单调递增，则称()f x 为区间I 上的凹函数；若′在区间I 上单调递减，则称()f x 为区间I 上的凸函数.已知函数()()()()e 0,x f x f x x a x g x x=->=.(1)求证：()f x 为区间()0,∞+上的凹函数；(2)若()g x 为区间[]1,2的凸函数，求实数a 的取值范围；(3)求证：当e 1e a +<时，()ln g x a a x +>.。

高三学年上学期阶段质量检测数学试题（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A. )}1,1(),1,1{(- B. }1{ C. ]1,0[ D. ]2,0[2．已知i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，则 | z | +1z＝( )A.iB.1i -C.1i +D.i -3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为 ( )A.112 B . 14 C. 13 D. 7124．已知(1,2),(2,3)a b =--=-，当ka b +与2a b +平行时，k 的值为( )A. 14 B ．－14 C ．－12 D.125.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A. ①④②③ B ．①④③② C ．④①②③D ．③④②①6．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 （ ） A.6πB.56πC.76πD.116π7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ） A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A.16π B.4π C.8πD.2π9．数列{}n a 满足221221,1,(1sin )4cos 22n n n n a a a a ππ+===++，则910,a a 的大小关系为（ ）A.910a a >B.910a a =C.910a a <D.大小关系不确定10．已知函数()f x 在R 上满足2(1)2(1)31,f x f x x x +=--++则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程是（ ）A.320x y --=B.320x y +-=C.10x y -+=D.20x y --=11．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且1202,2x x <<>，则1ba -的取值范围是 ( ) A.)31,1(-- B .]31,3(-- C.)21,3(-- D.]21,3(--.12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f （e 是自然对数的底数）的大小关系是（ ） A. 122)(+--m m em m f >)1(f B.122)(+--m m em m f <)1(f C.122)(+--m m em m f ≥)1(f D. 不确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为________。

2021年高三数学上学期第一次考试（11月）试题理新人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，的充要条件是 ( )A. B. C. D.2.设是公差为的无穷等差数列的前项的和，则下列命题错误的是 ( )A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意,均有D.若对任意,均有，则数列是递增数列3.下列四个命题其中的真命题是 ( )A.，B.,C.,D.,4.将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A. B. C. D.5.若正数满足则的最小值是（）A. B. C. D.6.满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数的值为 ( )A.或B.或C.或D.或7.已知函数则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为8.已知函数是奇函数,当时,，且，则的值为 ( )A. B. C. D.9.中，,设点满足若,则（）A. B. C. D.10.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是( )A.个B.个C.个D.个第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11.对于，不等式的解集为________.12.设（其中为自然对数的底数），则=_____.13.已知，则 .14.若等比数列的各项均为正数，且，.15.已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.17.（本小题满分12分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放且个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.（Ⅰ）若投放个单位的洗衣液，分钟时水中洗衣液的浓度为（克/升），求的值；（Ⅱ）若投放个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18（本小题满分12分）已知3(3sin(),cos),(sin(),cos)02a x xb x xπωωπωωω=+=-->， .设的最小正周期为.（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）求满足且的角的值．19.(本小题满分12分)已知函数满足，对任意，都有,且．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ)若，使方程成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分13分）等差数列的前项和为，已知为整数，且在前项和中最大.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设.（1）求证：；（2）求数列的前项和.21.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．理科数学参考答案 xx.11一、二、11.12. 13. 14. 15.三、 16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在中，由，及，可得，…2分又由，有 ……4分所以，222cos 2b c a A bc +-=== ……6分 （Ⅱ）在中，由，可得， ……7分21cos 22cos 1,sin 22sin cos 4A A A A A ∴=-=-== ……9分所以，cos 2cos 2cos sin 2sin 333A A A πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭ ……12分17解：（Ⅰ）由题意知，，解得；……………3分（Ⅱ）当，所以……………5分当时，由解得，所以. ……………8分 当时，由2224(11)4,225,151545x x x -≥∴≤∴-≤≤ 所以 ……………11分综上，满足条件的的取值范围为，故若投放个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟. ……………12分18.解：（Ⅰ）23())sin()cos 2f x x x x πωπωω=+--……1分的最小正周期为 ，，即：……2分由，得所以的单调递增区间为 ……4分（Ⅱ）……6分……8分（Ⅲ），，，， (10)分……12分19解：（Ⅰ），， ……1分又对任意，图像的对称轴为直线，则， ……2分又对任意都有，即对任意都成立，， ……4分故， ……6分（Ⅱ)由得，由题意知方程在有解.令， min max 11()(),()(2)624g x g g x g ∴=-=-== ……8分，226232314m m m m m R m m ⎧-≤-≤≤⎧⎪∴⇒⇒-≤≤⎨⎨∈-≥-⎩⎪⎩， ……11分 所以满足题意的实数取值范围. ……12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由为整数知，等差数列的公差为整数，………1分又，故，即，…………………3分解得…………………4分因此 …………………5分数列的通项公式为.…………………………………6分（Ⅱ）（1）由题意知，………………………8分数列是单调递减数列，的最大项为，所以.…………9分（2），两式相减得…………………11分…………………13分21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，，∴．∵的定义域为，∴由得由得．.2分∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴． .............4分（Ⅱ）．①当，即时，在单调递减；.......5分②当时，在单调递增； .........6分P22869 5955 奕• Y@25463 6377 捷27334 6AC6 櫆 H38773 9775 靵%38412 960C 阌I。

2021年高三上学期11月半月考数学（理）试题（A 部） 含答案一、选择题（12×5）1．已知集合A= {x |x<-3或x>4}，B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4}，则实数m 的的取值 范围是（ ） A ．（-4,3) B ．[-3,4] C ．(-3,4) D ．(一∞，4]2．设 ，则“ ”是“ ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知,则的大小为 ( ) A. B. C. D.4．已知2cos()3(0),cos()(12cos)022m m πθπθθ-=<+-<且，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5、已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A ． B ． C ． D ． 6．已知函数f (x) =2sinxsin(x++)是奇函数，其中∈(0，)，则函数g (x) =cos(2x-) 的图象( ) A ．关于点（，0）对称B 可由函数f (x)的图象向右平移个单位得到C 可由函数f (x)的图象向左平移个单位得到D ．可由函数f (x)的图象向左平移个单位得到 7．已知函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是( ) A ．, B ．,C ．,D ．, 8.若33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα，则 ( ) A ． B ． C ． D ．9．已知,则 ( )A ．B ．C ．D ．10．已知，，则( )或 11．若把函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．12．若函数f (x) =ln x+（x 一b)2(b ∈R)在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( ) A （一∞，） B （一∞，） C （一∞，3） D ．（一∞，） 二、填空题（4×5）13、若命题“存在，使"是假命题，则实数的取值范围 为 。

，号及• A10联盟2021届高三开年考理科数学巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵璧中学宿城一中本试卷分第I卷（选择题）和第口卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）已知集合2 = ｛x|—2WXV2｝, 8 = ｛AQB的真子集个数为（）6.已知工=3方，y = O.50'3, z = log02 0.5 ,则（）A. y<z<xB.x<z<y1.XG N|x2 +2X-8^O J ,贝!J2. 3.A. 3 B. 4 C. 7 D. 8若纯虚数z满足z・（2-3i） = 5 +沥，则实数次的值为（）A15 n 15 八10 n 10A. ----B. —C. ----D.—2 23 3“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如下所示，下列关于该组数据的说法错误的是（）C. y<x<zD.z<y<x7.已知抛物线x2= 8*的焦点为F,准线为I,过抛物线上一点P作PQ丄Z,垂足为。

，若|以| = 4,则/尸方=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°8.2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部（3男4女）到三个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（）A. 72 种B. 108 种C. 144 种D. 210 种9.已知正方体豳8-4华1。

1的棱长为2,点尸在棱上，过点尸作该正方体的截面，当截面平行于平面碎qc且面积为右时，线段ZP的长为（）A. 72B. 1C. V3D.巫B.D.众数为34 平均数为324.5 . A.极差为36C.中位数为27F V 4”是“函数f（x） = 2x2-mx+lnx在（0, +"）上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充钏不必要条件若sina（2-cos2a） = 2cosa（sin2a+l）,则tan^-2a^j =（）10.已知定义域为R的函数/（x）满足：①图象关于原点对称；②= ；③当时，•/（x） = log2（x + l） +皿若/（2020）= log23,则秫=（）11.A. -7B. 7A. -1B. 1C. -2D. 2将函数/'（X）= 2sin（必+仞）p > 0加| v §的图象向左平移亨个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：①/（0） = 1；②y = /（x）-V3在［0,兀］上有两个零点；③/\x），号卷• A10联盟2021届高三开年考•理科数学第1页共4页2兀8TI的图象关于直线x =-四对称;④/'（X）在区间刍竽上单调6 \_ 3 3递减，其中所有正确结论的个数为（）A. 1 C. 3 D. 4B. 22 212.设双曲线c_%_ = 1（口>00> 0）的左、右焦点分别为a b鸟,％ ,过点鸟的直线I与C的两支分别交于点力,8,若点M 满足而才=面，|硒| = ：pS| = 2。

2021年高三上学期11月月考数学试卷（理科）含解析一.选择题（每题5分）1．已知集合M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，若M∩N=∅，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≤﹣2 D．a＜﹣22．下列函数中，在定义域内是减函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）= C．f（x）=2﹣x D．f（x）=tanx3．已知点P是函数f（x）=sin（ωx+）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最小值为，则f（x）的最小正周期是（）A．2π B．πC．D．4．已知向量=（3，1），=（﹣2，），则下列向量可以与垂直的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（4，2）D．（﹣4，2）5．“t＞1”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知数列{an }的通项公式为an=2n（3n﹣13），则数列{an}的前n项和Sn的最小值是（）A．S3B．S4C．S5D．S67．若a＞0，b＞0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．a2+b2≥88．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值二.填空题（每题5分）9．sin585°的值为．10．在△ABC中，a=1，b=，且B=2A，则c=．11．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，若=1，则AB的长为．12．若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=．13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第号区域的总产量最大，该区域种植密度为株/m2．14．对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）﹣cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是．三.解答题15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．16．在△ABC中，D是AB的中点，AB=2，CD=．（Ⅰ）若BC=，求AC的值；（Ⅱ）若∠A=，求△ABC的面积．17．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R），且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对n∈N*，试比较与的大小．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．19．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）…（1+）＜e．20．已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，令集合．（I）若a4是数列{a n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：{1，2，3}⊆A；（III）当a≤xx时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．xx学年北京市广渠门中学高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分）1．已知集合M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，若M∩N=∅，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≤﹣2 D．a＜﹣2【考点】交集及其运算．【分析】直接由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，由M∩N=∅，得a≤﹣2．故选：C．2．下列函数中，在定义域内是减函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）= C．f（x）=2﹣x D．f（x）=tanx【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】分别对A，B，C，D各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：对于A：f（x）=﹣在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递增，对于B：f（x）=在[0，+∞）递增，对于C：f（x）=2﹣x在（﹣∞，﹣∞）递减，对于D：f（x）=tanx在（kπ﹣，kπ+）递增，故选：C．3．已知点P是函数f（x）=sin（ωx+）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最小值为，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC． D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】首先根据函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，从而确定周期．【解答】解：已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，∴由正弦函数的图象和性质可知：=∴解得：T=π，故选：B．4．已知向量=（3，1），=（﹣2，），则下列向量可以与垂直的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（4，2）D．（﹣4，2）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由=（3，1）+（﹣4，1）=（﹣1，2），得向量（4，2）可以与垂直．【解答】解：∵向量=（3，1），=（﹣2，），∴=（3，1）+（﹣4，1）=（﹣1，2），∵（﹣1，2）•（﹣1，2）=1+4=5，（﹣1，2）•（2，﹣1）=﹣2﹣2=﹣4，（﹣1，2）•（4，2）=﹣4+4=0，（﹣1，2）•（﹣4，2）=4+4=8，∴向量（4，2）可以与垂直．故选：C．5．“t＞1”是“”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式的解集，结合集合的包含关系判断其充分性和必要性即可．【解答】解：∵，∴t﹣＞0，t＞0时：t2﹣1＞0，解得：t＞1，t＜0时：t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0，∴“t＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．6．已知数列{a n}的通项公式为a n=2n（3n﹣13），则数列{a n}的前n项和S n的最小值是（）A．S3B．S4C．S5D．S6【考点】数列的求和．【分析】解a n≥0，即可得出此数列{a n}从第几项开始大于0，进而得到数列的前几项和S n 的最小值．【解答】解：令，解得=，取n=5．也就是说：数列{a n}的前4项皆小于0，从第5项开始大于0．因此数列的前n项和S n的最小值是S4．故选B．7．若a＞0，b＞0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．a2+b2≥8【考点】基本不等式．【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可判断出答案．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴，∴，即ab≤4．A．∵ab≤4，∴，故A不恒成立；B．∵ab≤4=a+b，∴，故B不恒成立；C．∵，∴C不恒成立；D．∵=8．∴D恒成立．故选D．8．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．【解答】解：当k=1时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）+（e x﹣1）=（xe x﹣1），f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．二.填空题（每题5分）9．sin585°的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】将所求式子中的角585°变形为720°﹣135°，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：sin585°=sin=﹣sin135°=﹣．故答案为：﹣10．在△ABC中，a=1，b=，且B=2A，则c=2．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得sinA=2sinAcosA，结合A的范围有sinA≠0，可得cosA=，解得A，B，C的值，利用正弦定理即可解得c的值．【解答】解：∵a=1，b=，且B=2A，∴由正弦定理，可得：=，整理可得：sinA=2sinAcosA，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴可得：cosA=，∴解得：A=，B=2A=，C=π﹣A﹣B=，∴c===2．故答案为：2．11．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，若=1，则AB的长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题设条件知，=，由此根据已知条件，利用向量的数量积运算法则能求出AB的长．【解答】解：∵，=，∴=（）•（﹣）=﹣+||2+•=1，∴||2==||•||•cos∴||=•||=．故答案为：．12．若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=﹣1或0．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先画出满足约束条件的可行域，结合kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）和已知可得：直线kx﹣y+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，进而求出满足条件的k值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1综上k=﹣1或0故答案为：﹣1或013．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第5号区域的总产量最大，该区域种植密度为 3.6株/m2．【考点】根据实际问题选择函数类型；收集数据的方法．【分析】根据图象求出种植密度函数以及单株产量函数即可得到结论．【解答】解：种植密度函数对应的直线经过点（1，2.4），（8，4.5），则对应直线的斜率k=，则直线方程为y﹣2.4=0.3（x﹣1），即y=0.3x+2.1，单株产量函数对应的直线经过点（1，1.28），（8，0.72），则对应直线的斜率k=，则直线方程为y﹣1.28=﹣0.08（x﹣1），即y=﹣0.08x+1.36，即总产量m（x）=（0.3x+2.1）（﹣0.08x+1.36）=﹣0.024（x+7）（x﹣17）=﹣0.024（x2﹣10x ﹣119），∴当x=5时，函数m（x）有最大值，即5号区域的总产量最大，此时当x=5代入y=0.3x+2.1得y=0.3×5+2.1=3.6，故答案为：5，3.6．14．对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）﹣cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是①②．【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数的零点．【分析】分别分析①②③中三个函数的性质，求出它们的单调区间，以及他们在区间（0，+∞）上零点的个数，和题目中的两个条件进行比照，即可得到答案．【解答】解：当函数，在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，故命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数为真命题；当x=时函数取极小值﹣1＜0，故命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2=＜1．故①满足条件；当在区间（1，2）上函数的解析式可化为，根据“增﹣减=增”，可得f（x）在区间（1，2）上是增函数；由函数y=|log2x|与函数y=的图象可得在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1，故②满足条件；由余弦函数的周期性，查得函数f（x）=cos（x+2）﹣cosx，在区间（0，+∞）上有无限多个零点，故③不满足条件故答案为：①②三.解答题15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．16．在△ABC中，D是AB的中点，AB=2，CD=．（Ⅰ）若BC=，求AC的值；（Ⅱ）若∠A=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△BCD中，利用余弦定理求得cosB，然后在△ABC中，利用余弦定理来求AC的长度；（Ⅱ）在△ACD中，利用正弦定理求得，所以由同角三角函数关系得到，结合余弦定理求得AC的长度；最后由三角形面积公式进行解答．【解答】解：因为在△ABC中，D是AB的中点，AB=2，所以AD=BD=1．（Ⅰ）在△BCD中，由余弦定理知，cosB===﹣．所以在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=4+5﹣2×2×（﹣）=11，解得：AC=；（Ⅱ）在△ACD中，∠A=，AD=1，CD=，由正弦定理得到：=，即=，所以，因为，所以，所以sin∠ADC=sin（∠ACD+∠A）=sin∠ACD•cosA+cos∠ACD•sinA=×+×=，即∠，所以=，即=，解得AC=3=AC•AB•sinA=×3×2×=，即．所以，S△ABC17．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R），且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对n∈N*，试比较与的大小．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意可知：，即，整理得：，即可d=a1=a，数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由a=2n•a，，当a＞0时，；当．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意可知，即，∴，∵d≠0，∴d=a1=a．∴通项公式a n=na．…（Ⅱ）记∴，从而，当a＞0时，；当．…18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接BD与AC相交于点O，连接EO．可得EO是△PBD的中位线，所以PB∥EO，结合线面平行的判定定理，即可证出PB∥平面EAC；（Ⅱ）由PA⊥平面PDC，得到PA⊥CD，结合正方形中AD⊥CD，证出CD⊥平面PAD．根据平面ABCD经过平面PAD的垂线，即可得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN．根据（II）证出的位置关系，可得MP、MA、MN两两垂直，因此分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系．设AB=4，可得A、B、C、D、P、E各点的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，列方程组解出平面EAC的法向量为=（1，1，3）．再根据平面ABCD的法向量为=（0，0，1），利用向量的夹角公式算出与夹角余弦之值，即可得到二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD与AC相交于点O，连接EO．∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD中点．∵E为棱PD中点．∴EO是△PBD的中位线，可得PB∥EO．…∵PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴直线PB∥平面EAC．…（Ⅱ）∵PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC∴PA⊥CD．…∵正方形ABCD中，AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线∴CD⊥平面PAD．…∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．…（Ⅲ）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN．∵正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴MN∥CD．由（Ⅱ）可得MN⊥平面PAD．∵PA=PD，M是AD中点，∴PM⊥AD．因此，MP、MA、MN两两垂直，分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系…设AB=4，则可得A（2，0，0），B（2，4，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，2），E（﹣1，0，1）．所以=（3，0，﹣1），=（﹣4，4，0）．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则有，可得取x=1，得y=1，z=3，所以=（1，1，3）．…由题意，易得平面ABCD的法向量为=（0，0，1）．…∴cos＜，＞==．…结合图形，可得二面角E﹣AC﹣B的平面角是钝角，因此，二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣．…19．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）…（1+）＜e．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数判定函数的单调性，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，故f（x）＜f（0）=0；（Ⅱ）f′（x）=﹣a=，分a≥0和a＜0，讨论可得函数的单调区间；（Ⅲ）要证：（1+）（1+）…（1+）＜e，两边取以e为底的对数，即只需证明ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1，由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分别取x=，，…，，即可得出结论成立．【解答】（Ⅰ）证明：∵a=1，∴f（x）=ln（x+1）﹣x，∴f′（x）=﹣1=，∴当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0．（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）﹣ax，∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞），∴f′（x）=﹣a=，∴①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）单调递增；②当a ＞0时，x ∈（﹣1，﹣1+）上，f ′（x ）＞0，x ∈（﹣1+，+∞），f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，（Ⅲ）证明：要证：（1+）（1+）…（1+）＜e ，两边取以e 为底的对数，即只需证明 ln （1+）+ln （1+）+…+ln （1+）＜1，由（Ⅰ）可知，ln （x +1）＜x （x ＞0），分别取x=，，…，，得到ln （1+），ln （1+）＜，…，ln （1+）＜，将上述n 个不等式相加，得ln （1+）+ln （1+）+…+ln （1+）＜+…+=1﹣＜1．从而结论成立．20．已知数列{a n }的首项a 1=a ，其中a ∈N *，令集合．（I ）若a 4是数列{a n }中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II ）求证：{1，2，3}⊆A ；（III ）当a ≤xx 时，求集合A 中元素个数Card （A ）的最大值．【考点】数列递推式；集合的包含关系判断及应用；集合中元素个数的最值．【分析】（I ）由a 4=1，，求出a 3；再求a 2，a 1；（II ）讨论a k 被3除余1，余2，余0的情况，确定a k 与a k +3的大小，从而推导1、2、3是数列{a n }中的项；（III ）由已知递推关系得{a n }满足：当a m ∈{1，2，3}时，总有a n =a n +3成立，当a 1≤xx 时，数列{a n }中大于3的各项，按逆序排列各项，构成的数列记为{b n }，由（I ）得b 1的取值，由（II ）知数列{b n }的项满足：b n +3＞b n ，且当b n 是3的倍数时，满足b n +3﹣b n 最小的数列{b n }，得出{b 3k ﹣1}的通项公式，由36＜xx ＜37，得出当a ≤xx 时，k 的最大值，从而得出A 中元素个数的最大值．【解答】解：（I ）∵a 4是数列{a n }中首次为1的项，又，∴a 3=3a 4=3；∴a 2=3a 3或a 3﹣1，即a 2=9或2；同理a 1=3a 2或a 2﹣1，当a 2=9时，即a 1=27或8，当a 2=2时，a 1=6或1（不合题意，舍去）；所以，满足条件的数列的前三项为：27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．（II ）若a k 被3除余1，则由已知可得a k +1=a k +1，a k +2=a k +2，a k +3=（a k +2）；若a k 被3除余2，则由已知可得a k +1=a k +1，a k +2=（a k +1），a k +3≤（a k +1）+1；若a k 被3除余0，则由已知可得a k +1=a k ，a k +3≤a k +2；所以a k +3≤a k +2；所以a k ﹣a k +3≥a k ﹣（a k +2）=（a k ﹣3）；所以，对于数列{a n }中的任意一项a k ，“若a k ＞3，则a k ＞a k +3”．因为a k ∈N *，所以a k ﹣a k +3≥1．所以数列{a n }中必存在某一项a m ≤3（否则会与上述结论矛盾！）若a m =3，则a m +1=1，a m +2=2；若a m =2，则a m +1=3，a m +2=1，若a m =1，则a m +1=2，a m +2=3，由递推关系得{1，2，3}⊆A ．（III ）集合A 中元素个数Card （A ）的最大值为21．由已知递推关系可推得数列{a n }满足：当a m ∈{1，2，3}时，总有a n =a n +3成立，其中n=m ，m +1，m +2，…．下面考虑当a 1=a ≤xx 时，数列{a n }中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{b n }，由（I ）可得b 1=6或9，由（II ）的证明过程可知数列{b n }的项满足：b n +3＞b n ，且当b n 是3的倍数时，若使b n +3﹣b n 最小，需使b n +2=b n +1﹣1=b n ﹣2，所以，满足b n +3﹣b n 最小的数列{b n }中，b 3=4或7，且b 3k =3b 3k +3﹣2， 所以b 3k ﹣1=3（b 3（k +1）﹣1），所以数列{b 3k ﹣1}是首项为4﹣1或7﹣1的公比为3的等比数列，所以b 3k ﹣1=（4﹣1）×3k ﹣1或b 3k ﹣1=（7﹣1）×3k ﹣1，即b 3k =3k +1或b 3k =2×3k +1， 因为36＜xx ＜37，所以，当a ≤xx 时，k 的最大值是6，所以a 1=b 18，所以集合A 中元素个数Card （A ）的最大值为21．xx年12月6日33624 8358 荘22993 59D1 姑22015 55FF 嗿32816 8030 耰32369 7E71 繱re30499 7723 眣36665 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2021年高三上学期11月月考数学理试题 Word版含答案高三数学（理科） xx．11一.选择题（每题5分）1.已知集合，，若，则的取值范围为A. B. C. D.2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A．B．C．D．3.已知点P是函数的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴距离的最小值为，则的最小正周期是A．2π B. π C. D.4．已知向量则下列向量可以与垂直的是A. B. C. D.5．“”是“”成立的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. 已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是A. B. C. D.7.若，则下列不等式恒成立的是A．B．C．D．8.已知为自然对数的底数，设函数，则A．当时，在处取得极小值B．当时，在处取得极大值C．当时，在处取得极小值D．当时，在处取得极大值二.填空题（每题5分）9.的值为．10.在中，，且，则．11.在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为.12.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则.13. 13.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：单株产量（千克）2m种植密度（株数/）根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/.5，3.6 14.已知函数：①，②，③.对如下两个命题：命题甲：在区间上是增函数；命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使甲、乙两个命题均为真的函数的序号是____________.○1○2 答题纸 一、选择题：（每小题5分，共40分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9． 10．11． 12．或-1 13． 5, 3.6 14． ①② 三、解答题：（共80分）15. 已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R .（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，，求的值. 解：（Ⅰ）由得2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2).6f x x x x x x x π=+-=+=+所以函数的最小正周期为.因为在上为增函数，在上为减函数， 又所以函数在上的最大值为2，最小值为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知. 又因为，所以 由得从而04cos(2).65x π+==-16.在中，是的中点，，. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的面积. 解：17.已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）对，试比较与的大小．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意可知 即，从而 因为故通项公式 ……………5分（Ⅱ）记所以211(1())111111122()[1()]1222212n n n n T a a a -=+++=⋅=--从而，当时，；当 ………13分A D BC18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面， 为棱的中点．（Ⅰ）求证：// 平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值．（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．因为四边形为正方形，所以为中点． 因为 为棱中点． 所以 ． ………………3分 因为 平面，平面，所以直线//平面． ………………4分（Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………5分因为四边形为正方形，所以，所以平面． ………………7分 所以平面平面． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． …………9分 设，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 ，． 设平面的法向量为，则有所以 取，得． ………………11分易知平面的法向量为． ………………12分 所以 ． ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为． ………………14分 解法二：取中点，中点，连结，． 因为为正方形，所以．由（Ⅱ）可得平面． 因为，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………………9分设，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 ，． 设平面的法向量为，则有所以 取，得． ………………11分易知平面的法向量为． ………………12分 所以． ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为． ………………14分19. 已知函数.（Ⅰ）若，求证：当时，； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）求证：. （Ⅰ）易证（Ⅱ）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 （Ⅲ）要证，两边取以为底的对数，即只需证明由（Ⅰ）可知，，分别取，得到111111ln(1),ln(1),,ln(1)224422n n+<+<+<将上述个不等式相加，得n n 214121)211ln()411ln()211ln(+++<+++++.从而结论成立.20. 已知数列的首项其中，令集合.（Ⅰ）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）当时，求集合中元素个数的最大值. 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. （II ）若被3除余1，则由已知可得,；若被3除余2,则由已知可得,,； 若被3除余0，则由已知可得,； 所以，所以所以，对于数列中的任意一项，“若，则”. 因为，所以.所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！） 若,则；若,则,若,则,由递推关系易得. （III ）集合中元素个数的最大值为21.由已知递推关系可推得数列满足： 当时，总有成立，其中.下面考虑当时，数列中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，由（II）的证明过程可知数列的项满足：，且当是3的倍数时，若使最小，需使，所以，满足最小的数列中，或7，且，所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，所以或，即或，因为，所以，当时，的最大值是6，所以，所以集合重元素个数的最大值为21.K38110 94DE 铞R 24269 5ECD 廍22036 5614 嘔22844 593C 夼28818 7092 炒q26863 68EF 棯28734 703E 瀾25970 6572 敲Z;40173 9CED 鳭。

2021年高三上学期11月半月考数学（理）试题（B部）含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A．B．C．D．2．设，则（）A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c3．若，则k=（）A．0 B．1 C．0或1 D．以上均不对4、设（）A．B．10 C．20 D．1005．设，在下列区间中，使函数有零点的区间是（）A．[0,1] B．[1,2] C．[2,1] D．[1,0]6．已知111111 ln,ln,ln201020102011201120122012a b c=-=-=-，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 7．若，则y的最大值是( )A．1 B．2 C．D．08．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．9．ΔABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=（）A、B、C、D、10．已知向量＝(m，n)，＝(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R，若||＝4||，则当·<λ2恒成立时，实数λ的取值范围是()A．λ>2或λ<－ 2 B．λ>2或λ<－2C．－2<λ< 2 D．－2<λ<211．已知为的外心，，若,则的值为( )A. B. C. D.12．设是定义在上的偶函数，且时，，若在区间内关于的方程，有个不同的根，则的范围是（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．定积分=14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且＋＋－＝0， 则的值为_____________。