2017年全国高考理科数学试题及答案全国1卷

201712
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴 趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是(440 ) 解析：数列可分为
第1组1个数：1，其和为121-
第2组2个数：01
2,2，其和为221-
第3组3个数：0122,2,2，其和为321- …
第n 组n 个数：01212,2,2,,2n -⋅⋅⋅，其和为21n
- 于是，前n 组共()12
n n +个数，其和为122n n +--， 设第n+1组有k 个数，其和为21k -，()12n n N k +=
+ 由()11002
n n +>得n>13，从而221k n +=-，2316k n =+>， 所以k 最小取5，这时n=32-3=29，N 最小为
293054402N ⨯=+=。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋29.(5分)已知曲线C1：y＝cosx,C2：y＝sin(2x＋),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x＝3y＝5z,则( )A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为. 16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4,g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0},∴A∩B＝{x|x＜0},故A正确,D错误；A∪B＝{x|x＜1},故B和C都错误.故选：A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解：根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S＝,则对应概率P＝＝,故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解：若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题；p 2：复数z＝i满足z2＝－1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i,z2＝2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R,则＝z∈R,故命题p4为真命题.故选：B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4＋a5＝24,S6＝48,∴,解得a1＝－2,d＝4,∴{an}的公差为4.故选：C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式－1≤f(x－2)≤1化为－1≤x－2≤1,解得答案.【解答】解：∵函数f(x)为奇函数.若f(1)＝－1,则f(－1)＝1,又∵函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,－1≤f(x－2)≤1,∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1),∴－1≤x－2≤1,解得：x∈[1,3],故选：D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解：(1＋)(1＋x)6展开式中：若(1＋)＝(1＋x－2)提供常数项1,则(1＋x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数：若(1＋)提供x－2项,则(1＋x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数：由(1＋x)6通项公式可得.可知r＝2时,可得展开式中x2的系数为.可知r＝4时,可得展开式中x2的系数为.(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为：15＋15＝30.故选：C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,＝×2×(2＋4)＝6,S梯形∴这些梯形的面积之和为6×2＝12,故选：B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”,进而通过偶数的特征确定n＝n＋2.【解答】解：因为要求A＞1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A＞1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选：D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C 1：y ＝cosx,C 2：y ＝sin(2x ＋),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y ＝cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y ＝cos2(x ＋)＝cos(2x ＋)＝sin(2x＋)的图象,即曲线C 2, 故选：D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|＋|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解：如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|＋|DE|最小,则A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0),则直线l 2的方程为y ＝x －1,联立方程组,则y 2－4y －4＝0,∴y 1＋y 2＝4,y 1y 2＝－4, ∴|DE|＝•|y 1－y 2|＝×＝8,∴|AB|＋|DE|的最小值为2|DE|＝16,方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝,∵0＜sin 22θ≤1,∴当θ＝45°时,|AB|＋|DE|的最小,最小为16, 故选：A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题.11.(5分)设x 、y 、z 为正数,且2x ＝3y ＝5z ,则( )A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.可得3y ＝,2x ＝,5z ＝.根据＝＝,＞＝.即可得出大小关系.另解：x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.＝＝＞1,可得2x＞3y,同理可得5z＞2x.【解答】解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴3y＝,2x＝,5z＝.∵＝＝,＞＝.∴＞lg＞＞0.∴3y＜2x＜5z.另解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴＝＝＞1,可得2x＞3y,＝＝＞1.可得5z＞2x.综上可得：5z＞2x＞3y.解法三：对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选：D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【分析】方法一：由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn＝2n＋1－2－n,及项数,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解：设该数列为{an },设bn＝＋…＋＝2n＋1－1,(n∈N＋),则＝ai ,由题意可设数列{an }的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n＋1－1＝2n＋1－n－2,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,A项,由＝435,440＝435＋5,可知S440＝T29＋b5＝230－29－2＋25－1＝230,故A项符合题意.B项,仿上可知＝325,可知S330＝T25＋b5＝226－25－2＋25－1＝226＋4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知＝210,可知S220＝T20＋b10＝221－20－2＋210－1＝221＋210－23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知＝105,可知S110＝T14＋b5＝215－14－2＋25－1＝215＋15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二：由题意可知：,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：21－1,22－1,23－1,…,2n－1,每项含有的项数为：1,2,3,…,n,总共的项数为N＝1＋2＋3＋…＋n＝,所有项数的和为Sn：21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,则①1＋2＋(－2－n)＝0,解得：n＝1,总共有＋2＝3,不满足N＞100,②1＋2＋4＋(－2－n)＝0,解得：n＝5,总共有＋3＝18,不满足N＞100,③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0,解得：n＝13,总共有＋4＝95,不满足N＞100,④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0,解得：n＝29,总共有＋5＝440,满足N＞100, ∴该款软件的激活码440.故选：A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝2.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解：【解法一】向量,的夹角为60°,且||＝2,||＝1,∴＝＋4•＋4＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12,∴|＋2|＝2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示；结合图形＝＋＝＋2；在△OAC中,由余弦定理得||＝＝2,即|＋2|＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为－5 .【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(－1,1).∴z＝3x－2y的最小值为－3×1－2×1＝－5.故答案为：－5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝,可得：＝,即,可得离心率为：e＝.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为4cm3.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝3,V＝＝,令＝5－x,三棱锥的高h＝,求出S△ABCf(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,f(x)≤f(2)＝80,由此能求出体积最大值.【解答】解：由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝5－x,三棱锥的高h＝＝＝,＝3,则V＝＝＝,令f(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,令f′(x)≥0,即x4－2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)＝80,∴V≤＝4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为：4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA＝,即可求出A＝,再根据正弦定理可得bc＝8,根据余弦定理即可求出b＋c,问题得以解决.＝acsinB＝,【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA＝2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC＝；(2)∵6cosBcosC＝1,∴cosBcosC＝,∴cosBcosC－sinBsinC＝－＝－,∴cos(B＋C)＝－,∴cosA＝,∵0＜A＜π,∴A＝,∵＝＝＝2R＝＝2,∴sinBsinC＝•＝＝＝,∴bc＝8,∵a2＝b2＋c2－2bccosA,∴b2＋c2－bc＝9,∴(b＋c)2＝9＋3cb＝9＋24＝33,∴b＋c＝∴周长a＋b＋c＝3＋.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD；(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PB－C的余弦值.【解答】(1)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD＝P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD；(2)解：∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA＝PD,∠APD＝90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则：D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y＝1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB＝A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos＜＞＝＝.由图可知,二面角A－PB－C为钝角,∴二面角A－PB－C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中x为i抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【分析】(1)通过P(X＝0)可求出P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(－3＋3)＝(9.334,10.606),进而需剔除(－3＋3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率为1－0.9974＝0.0026,因为P(X＝0)＝×(1－0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,又因为X～B(16,0.0026),所以E(X)＝16×0.0026＝0.0416；(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(－3＋3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(－3＋3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由＝9.97,s≈0.212,得μ的估计值为＝9.97,σ的估计值为＝0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(－3＋3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02,因此μ的估计值为10.02.2＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134,剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P 2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,求出a2＝4,b2＝1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足；当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),联立,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,－1).【解答】解：(1)根据椭圆的对称性,P3(－1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,得：,解得a2＝4,b2＝1, ∴椭圆C的方程为＝1.证明：(2)①当斜率不存在时,设l：x＝m,A(m,yA ),B(m,－yA),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,∴＝＝＝－1,解得m＝2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,,x1x2＝,则＝＝＝＝＝－1,又t≠1,∴t＝－2k－1,此时△＝－64k,存在k,使得△＞0成立,∴直线l的方程为y＝kx－2k－1,当x＝2时,y＝－1,∴l过定点(2,－1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；＜(2)由(1)可知：当a＞0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min＝g(e－2)＝e－2lne－2＋e－2－1＝－－1,g(1)＝0, 0,g(a)＝alna＋a－1,a＞0,求导,由g(a)min即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝ln,当f′(x)＞0,解得：x＞ln,当f′(x)＜0,解得：x＜ln,∴x∈(－∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,当a＞0时,f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,当x→－∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→－∞时,f(x)→＋∞,当x→∞,e2x→＋∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→＋∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数,∴f(x)＝f(ln)＝a×()＋(a－2)×－ln＜0,min∴1－－ln＜0,即ln＋－1＞0,设t＝,则g(t)＝lnt＋t－1,(t＞0),求导g′(t)＝＋1,由g(1)＝0,∴t＝＞1,解得：0＜a＜1,∴a的取值范围(0,1).方法二：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝－lna,当f′(x)＞0,解得：x＞－lna,当f′(x)＜0,解得：x＜－lna,∴x∈(－∞,－lna)时,f(x)单调递减,x∈(－lna,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,－lna)是减函数,在(－lna,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,＝f(－lna)＝1－－ln, ②当a＞0时,由(1)可知：当x＝－lna时,f(x)取得最小值,f(x)min当a＝1,时,f(－lna)＝0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,＋∞)时,由1－－ln＞0,即f(－lna)＞0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1－－ln＜0,f(－lna)＜0,由f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0, 故f(x)在(－∞,－lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n＞ln(－1),则f(n)＝(a＋a－2)－n＞－n＞－n＞0,由ln(－1)＞－lna,因此在(－lna,＋∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【分析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标；(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.【解答】解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是：＋y2＝1；a＝－1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x＋4y－3＝0；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(－,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是：x＋4y－a－4＝0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为：。

2017高考全国Ⅰ卷数学文数 1-10
理数 11-16
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则
A ．A
B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅
C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
D ．A
B=R 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．14
B ．π8
C ．12
D ．π 4 5．已知F 是双曲线C ：x 2-2
3
y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为
A ．13
B ．1 2
C ．2 3
D ．3 2
6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是。

高考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线C 的渐近线方程为230x y ±=，且C 经过点(6,22-，则C 的标准方程为（ ） A. 221188x y -= B. 22194x y -= C. 221818y x -= D. 22149y x -=2.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 2023年杭州亚y 会期间，甲、乙、丙3名运动员与4名志y 者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的p 法种数有（ ）A.720B.960C.1120D.14404.已知sin 2sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.34- B. 34 C.45- D.455. 根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资b 投入和技术水平的影响，用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投人，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q AK L αβ=，其中0A >,0K >, 0L >,01α<<,01β<<.当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是（ ）A.存在12α<和12β<,使得Q 不变B. 存在12α>和12β>,使得Q 变为原来的2倍C.若14αβ=,则Q 最多可变为原来的2倍D. 若2212αβ+=,则Q 最多可变为原来的2倍 6.已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,37.某学校支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）A ．120B ．35C ．310D ．9108.函数2x y +=的定义域为( ) A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞二、填空题1定义25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（ ）。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1)【2017年浙江，1，4分】已知{|11}P x x =-<<，{20}Q x =-<<,则P Q =（ )（A ）(2,1)- （B)(1,0)- (C ）(0,1) （D ）(2,1)-- 【答案】A【解析】取,P Q 所有元素，得P Q =(2,1)-，故选A ．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法,考查计算能力．(2）【2017年浙江，2，4分】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）（A ）133 （B ）53 （C ）23 （D ）59【答案】B【解析】94533e -==，故选B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．（3)【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位:cm 3）是( )（A ）12π+ （B ）32π+(C)312π+ （D)332π+【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目．（4）【2017年浙江,4,4分】若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）(A)[]0,6 （B ）[]0,4(C)[]6,+∞ （D ）[]4,+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点()2,1时取最小值4，无最大值，故选D ．【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．（5）【2017年浙江,5,4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则–M m （ ） （A ）与a 有关，且与b 有关 (B ）与a 有关,但与b 无关(C ）与a 无关,且与b 无关 (D ）与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】解法一：因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关,故选B ．解法二：函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线,①当12a->或02a-<，即2a <-,或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调,此时()()10M m f f a -=-=，故M m -的值与a 有关,与b 无关；②当1122a ≤-≤，即21a -≤≤-时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减,在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关；③当1022a ≤-<，即10a -<≤时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f <，此时()2024a a M m f f a ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关,与b 无关．综上可得:M m -的值与a 有关,与b 无关，故选B ．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． （6）【2017年浙江，6,4分】已知等差数列[]n a 的公差为d ,前n 项和为n S ，则“0d >"是“4652S S S +>"的（ ）（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 （C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>,反之，若4652S S S +>,则0d >,所以“0d >”是“4652S S S +>"的充要条件，故选C ．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（7)【2017年浙江,7,4分】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是( ）（A)（B)(C ）（D ） 【答案】D 【解析】解法一：由当()0f x '<时，函数f x （）单调递减，当()0f x '>时,函数f x （）单调递增，则由导函数()y f x =' 的图象可知：()f x 先单调递减,再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x 轴上的右侧，排除B ，，故选D ．解法二：原函数先减再增，再减再增,且0x =位于增区间内，故选D ．【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想,属于基础题．(8）【2017年浙江,8，4分】已知随机变量1ξ满足()11i P p ξ==，()101i P p ξ==-，1,2i =．若12102p p <<<，则（ ）（A ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ<(B)12E()E()ξξ<,12D()D()ξξ>（C)12E()E()ξξ>,12D()D()ξξ< (D)12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< 【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，121212()()()(1)0D D p p p p ξξ∴-=---<,故选A ．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（9）【2017年浙江，9,4分】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,PQR分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面较为α，β，γ,则( )（A ）γαβ<< （B ）αγβ<< (C ）αβγ<< (D ）βγα<< 【答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则()0,0,0O ，()0,3,0P -，()0,6,0C -，()0,0,62D ，()3,2,0Q ，()23,0,0R -，()23,3,0PR =-，()0,3,62PD =，()3,5,0PQ =，()33,2,0QR =--,()3,2,62QD =--．设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =，则0n PR n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得 23303620x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得()6,22,1n =-，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =． 则1cos ,15m n m n m n⋅==-，取1arccos 15α=．同理可得:3arccos 681β=． 2arccos95γ=．∵1231595681>>．∴αγβ<<．解法二:如图所示,连接OD OQ OR ，，，过点O 发布作垂线：OE DR ⊥,OF DQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E F G ，，,连接PE PF PG ，，．设OP h =．则cos ODR PDR S OES PE α∆∆==22OE OE h =+．同理可得：22cos OF OF PF OF h β==+c,22cos OG OG PG OG hγ==+．由已知可得：OE OG OF >>．∴cos cos cos αγβ>>，αβγ，，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（10)【2017年浙江，10，4分】如图,已知平面四边形ABCD ,AB BC ⊥,2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝,则（ ) （A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）223I I I <<【答案】C【解析】∵AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，∴22AC =，∴90AOB COD ∠=∠>︒,由图象知OA OC <，OB OD <，∴0OA OB OC OD >⋅>⋅，0OB OC ⋅>,即312I I I <<，故选C ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（11）【2017年浙江,11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S =内 ． 【答案】332【解析】如图所示，单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF 中，AOB ∆是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF 的面积为133=611sin 6022S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭内． 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题．(12）【2017年浙江，12，6分】已知ab ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5；2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩,则225,2a b ab +==．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（13）【2017年浙江，13，6分】已知多项式()()12543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a = ，5a = ．【答案】16；4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m mC x C x ,分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =⨯=．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．（14）【2017年浙江，14，6分】已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是 ；cos BDC ∠= ．【答案】152；104【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1115cos ,sin 14164DBC DBC ∴∠=-∠=-=,BC 115sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△．又2110cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，10cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=,综上可得，BCD ∆面积为152，10cos 4BDC ∠=．【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题． (15）【2017年浙江,15，6分】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是 __;最大值是 __． 【答案】4；25【解析】解法一:设向量a 和b 的夹角为θ，由余弦定理有2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-, ()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+，则54cos 54cos a b a b θθ++-=++-, 令54cos 54cos y θθ=++-,则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈,据此可得:()maxa b a b ++-2025==,()min164a b a b++-==,即a b a b ++-的最小值为4,最大值为25．解法二记AOB α∠=,则0απ≤≤，如图，由余弦定理可得：54cos a b θ-=-，54cos a b θ+=+,令54cos x θ=-，54cos y θ=+，则()2210,1x y x y +=≥， 其图象为一段圆弧MN ,如图,令z x y =+，则y x z =-+，则直线y x z =-+过M 、N 时z 最小为13314min z =+=+=，当直线y x z =-+与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几 何知识易知max z 即为原点到切线的距离的2倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的2倍， 所以21025max z =⨯=．综上所述，a b a b ++-的最小值为4，最大值为25．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．(16)【2017年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人,普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【解析】解法一:由题意可得:“从8名学生中选出队长1人，副队长1人,普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为:411843C C C ⨯⨯种方法,其中“服务队中没有女生"的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．解法二：第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯=种,第二类,先选2女2男，有226215C C =种,这4人选2人作为队长和副队有2412A =种， 故有1512180⨯=种,根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为:660．【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题．（17）【2017年浙江，17，4分】已知α∈R ,函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则a 的取值 范围是 ．【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时,()442f x a x a a x x x =--+=--,函数的最大值245a -=，92a ∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立;③当45a <<时，(){}maxmax 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦,则:4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数,考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 三、解答题:本大题共5题,共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2017年浙江,18，14分】已知函数()22sin cos 23sin cos fx x x x x x =--∈R （）． (1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：(1）()22πsin cos 23sin cos cos 23sin 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪⎝⎭，4ππsin 232236f π⎛⎫+=⎪⎝⎛⎫=- ⎪⎭⎭⎝． （2)由()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为π．令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈，得ππππ36k x k -≤≤+，k Z ∈,函数()f x 的单调递增区间为ππππ.36k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性,三角函数的单调区间，难度中档． （19）【2017年浙江,19，15分】如图,已知四棱锥–P ABCD ,PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ,CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点． （1）证明://CE 平面PAB ；（2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：解法一:（1）取AD 的中点F ，连接EF ,CF ,∵E 为PD 的重点,∴//EF PA ，在四边形ABCD 中，//BC AD ,22AD DC CB ==,F 为中点易得//CF AB ，∴平面//EFC 平面ABP ， EC ⊂平面EFC ，//EC ∴平面PAB ．（2)连结BF ，过F 作FM PB ⊥与M ，连结PF ，因为PA PD =,所以PF AD ⊥,易知四边形BCDF 为矩形，所以BF AD ⊥,所以AD ⊥平面PBF ，又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBF ，所以BC PB ⊥，设1DC CB ==,则2AD PC ==，所以2PB =，1BF PF ==，所以12MF =，又BC ⊥平面PBF ，所以BC MF ⊥,所以MF ⊥平面PBC ,即点F 到平面PBC 的距离为12,也即点D 到平面PBC 的距离为12,因为E 为PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离为14，在PCD ∆中,2PC =，1CD =，2PD =，由余弦定理可得2CE =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则124sin =8CE θ=．解法二：(1）略;构造平行四边形．（2）过P 作PH CD ⊥,交CD 的延长线于点H 在Rt PDH 中,设DH x =，则易知2222(2)(1)2x x -++=（Rt PCH )，解得12DH =,过H 作BC 的平行线，取 1DH BC ==,由题易得3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 113,,424E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则513(,,)424CE =-- ，33(,0,)22PB =-,(0,1,0)BC =, 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则330220n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ,令1x =,则3t =，故(1,0,3)n =, 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则531|3|2442sin =|cos <,n|=8251322216416CE θθ-+⨯==++⨯ 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28． 【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（20）【2017年浙江，20，15分】已知函数()()1212x f x x x e x -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭．(1）求()f x 的导函数；（2)求()f x 在区间1[+)2∞，上的取值范围．解:（1)()()()11212112111212121x xx x f x e x x e x x e x e x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=----=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）令()21g x x x =--，则()1121g x x '=--，当112x ≤<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则()g x在1x =处取得最小值,既最小值为0,又0x e ->，则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为0．当x 变化时,()f x ，()f x '的变化如下表：x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 52 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' — 0 + 0 — ()f x↘↗↘又121122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =,525122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为1212e -．综上，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．（21）【2017年浙江，21,15分】如图,已知抛物线2x y =，点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39,24B ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上的点()1124P x y x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，．过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q ．(1）求直线AP 斜率的取值范围;(2）求AP PQ ⋅的最大值．解：（1）由题易得()2,P x x ，1322x -<<，故()21141,1122AP x K x x -==-∈-+，故直线AP 斜率的取值范围为()1,1-． （2）由（1)知()2,P x x ，1322x -<<，所以211,24PA x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，设直线AP 的斜率为k ，则11:24AP y kx k =++， 139:24BP y x k k =-++,联立直线AP 、BP 方程可知222234981,2244k k k k Q k k ⎛⎫+-++ ⎪++⎝⎭， 故23432221,11k k k k k k k PQ k k ⎛⎫+----++= ⎪++⎝⎭,又因为()21,PA k k k =----， 故()()()()()()33232211111111k k k k k PA PQ PA PQ k k kk+-+--⋅=⋅=+=+-++，所以()()311PA PQ k k ⋅=+-,令()()()311f x x x =+-，11x -<<，则()()()()()221242121f x x x x x '=+-=-+-，由于当112x -<<-时()0f x '>,当112x <<时()0f x '<，故()max 127216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即PA PQ ⋅的最大值为2716． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题． （22）【2017年浙江，22，15分】已知数列{}n x 满足:11x =，()()11ln 1*n n n x x x n N ++=++∈．证明:当*n N ∈时，(1）10n n x x +＜＜;(2）1122n n n n x x x x++-≤;(3）121122n n n x ++≤≤．解:（1)令函数()ln(1)f x x x =++，则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数．又1()n n x f x +=，若0n x >⇒1()(0)0n f x f +>=恒成立10n x +⇒>，又由11ln(1)n n n x x x ++=++可知0n x >,由111111ln(1)ln(1)0n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-=++-=+>⇒>．所以10n n x x +<<．（2）令()()()()22ln 1ln 1ln 1222x x x g x x x x x x x +=++--+=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,0x >，则()()()()()()()121111ln 11ln 1ln 12212212212x x g x x x x x x x x x x +'=+++-=+-+=+++-+++， 令()()()111ln 12212h x x x x =+++-+，则()()()()2221125210212121x x h x x x x ++'=-+=>+++， 所以()h x 单调递增．所以()()00h x h >=，即()0g x '>,()g x 单调递增．所以()()00g x g >=⇒()()ln 1ln 12xx x x x ++>-+⎡⎤⎣⎦， 所以()()11111112ln 1ln 122n n n n n n n n n x x x x x x x x x +++++++⎡⎤-=-+≤++=⎣⎦，1122n n n n x xx x ++-≤． （3)11112111212222n n n n n n n n x x x x x x x x ++++-≤⇒-≤⇒≥-，即121111222n n n n n x x +++≥-⇒递推得 12+11111(1)11111182122224212n n nk n k n x x -+=-≥-=-=+⇒-∑2211(2)1222n n n x n --≤≤≥+． 由11x =知21(N*)2n n x n -≤∈，又由()ln(1)0h x x x =-+>可知112()()0n n n x x h x h x ++-=>=．即11111112(N*)222n n n n n n n n x x x x x x n ++-->⇒>⇒≥=∈．综上可知,121122n n n x --≤≤． 【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系,不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力,放缩能力,运算能力,属于难题．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了―解数学题获取软件激活码‖的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 C-35.5 K-39 Ti-48 Fe-56 I-127一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．细胞间信息交流的方式有多种。

在哺乳动物卵巢细胞分泌的雌激素作用于乳腺细胞的过程中，以及精子进入卵细胞的过程中，细胞间信息交流的实现分别依赖于A．血液运输，突触传递B．淋巴运输，突触传递C．淋巴运输，胞间连丝传递D．血液运输，细胞间直接接触2．下列关于细胞结构与成分的叙述，错误的是A．细胞膜的完整性可用台盼蓝染色法进行检测B．检测氨基酸的含量可用双缩脲试剂进行显色C．若要观察处于细胞分裂中期的染色体可用醋酸洋红液染色D．斐林试剂是含有Cu2+的碱性溶液，可被葡萄糖还原成砖红色3．通常，叶片中叶绿素含量下降可作为其衰老的检测指标。

为研究激素对叶片衰老的影响，将某植物离体叶片分组，并分别置于蒸馏水、细胞分裂素（CTK）、脱落酸（ABA）、CTK+ABA溶液中，再将各组置于光下。

一段时间内叶片中叶绿素含量变化趋势如图所示，据图判断，下列叙述错误的是A．细胞分裂素能延缓该植物离体叶片的衰老B．本实验中CTK对该植物离体叶片的作用可被ABA削弱C．可推测ABA组叶绿体中NADPH合成速率大于CTK组D．可推测施用ABA能加速秋天银杏树的叶由绿变黄的过程4．某同学将一定量的某种动物的提取液（A）注射到实验小鼠体内，注射后若干天，未见小鼠出现明显的异常表现。

将小鼠分成两组，一组注射少量的A，小鼠很快发生了呼吸困难等症状；另一组注射生理盐水，未见小鼠有异常表现。

对实验小鼠在第二次注射A后的表现，下列解释合理的是A．提取液中含有胰岛素，导致小鼠血糖浓度降低B．提取液中含有乙酰胆碱，使小鼠骨骼肌活动减弱C．提取液中含有过敏原，引起小鼠发生了过敏反应D．提取液中含有呼吸抑制剂，可快速作用于小鼠呼吸系统5．假设某草原上散养的某种家畜种群呈S型增长，该种群的增长率随种群数量的变化趋势如图所示。

学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国I 卷（全卷共10页）(适用地区：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前注意事项：2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Cl35.5 K39 Ti 48 Fe 56I 127一、选择题：本题共13 个小题，每小题6 分，共78 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.细胞间信息交流的方式有多种。

在哺乳动物卵巢细胞分泌的雌激素作用于乳腺细胞的过程中，以及精子进入卵细胞的过程中，细胞间信息交流的实现分别依赖于A．血液运输，突触传递B．淋巴运输，突触传递C．淋巴运输，胞间连丝传递D．血液运输，细胞间直接接触2.下列关于细胞结构与成分的叙述，错误的是A．细胞膜的完整性可用台盼蓝染色法进行检测B．检测氨基酸的含量可用双缩脲试剂进行显色C．若要观察处于细胞分裂中期的染色体可用醋酸洋红液染色D．斐林试剂是含有Cu2+的碱性溶液，可被葡萄糖还原成砖红色3.通常，叶片中叶绿素含量下降可作为其衰老的检测指标。

为研究激素对叶片衰老的影响，将某植物离体叶片分组，并分别置于蒸馏水、细胞分裂素（CTK）、脱落酸（ABA）、CTK+ABA溶液中，再将各组置于光下。

一段时间内叶片中叶绿素含量变化趋势如图所示，据图判断，下列叙述错误的是A.细胞分裂素能延缓该植物离体叶片的衰老B．本实验中CTK 对该植物离体叶片的作用可被ABA 削弱C．可推测ABA 组叶绿体中NADPH 合成速率大于CTK 组D．可推测施用ABA 能加速秋天银杏树的叶由绿变黄的过程4.某同学将一定量的某种动物的提取液（A）注射到实验小鼠体内，注射后若干天，未见小鼠出现明显的异常表现。

2017年高考全国1卷及答案1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1—3题。

气候正义是环境主义在气候变化领域的具体发展和体现。

2000年前后，一些非政府组织承袭环境正义运动的精神。

开始对气候变化的影响进行伦理审视，气候正义便应运而生。

气候正义关注的核心主要是在气候容量有限的前提下，如何界定各方的权利和义务，主要表现为一种社会正义或法律正义。

从空间维度来看，气候正义涉及不同国家和地区之间公平享有气候容量的问题，也涉及一国内部不同区域之间公平享有气候容量的问题，因而存在气候变化的国际公平和国内公平问题，公平原则应以满足人的基本需求作为首要目标，每个人都有义务将自己的“碳足迹”控制在合理范围之内。

比如说，鉴于全球排放空间有限，而发达国家已实现工业化，在分配排放空间时，就应首先满足发展中国家在衣食住行和公共基础设施建设等方面的基本发展需求，同时遇到在满足基本需求之上的奢侈排放。

从时间维度上来看，气候正义涉及当代人与后代之间公平享有气候容量的问题，因而存在代际权利义务关系问题。

这一权利义务关系，从消极方面看，体现为当代人如何约束自己的行为来保护地球气候系统，以将同等质量的气候系统交给后代；从积极方面看，体现为当代人为自己及后代设定义务，就代际公平而言，地球上的自然资源在代际分配问题上应实现代际共享，避免“生态赤字”。

因为，地球这个行星上的自然资源包括气候资源，是人类所有成员，包括上一代、这一代和下一代，共同享有和掌管的。

我们这一代既是受益人，有权使用并受益于地球，又是受托人，为下一代掌管地球。

2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A 【解析】试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B.秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】试题分析：因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ，所以|2|1223+==a b . 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析：如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ， 点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =， 所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析：如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-， 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-， 令()0n x '=，即43403x x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2(,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2(,1,0)2B ，2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ，(2,0,0)CB = ，22(,0,)22PA =- ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈，0.0080.09≈．【解析】试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则. 20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，242t --）.则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 21．（12分）已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时，d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出不等式的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而得11a -≤≤.试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}AB x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =∅2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14 B. π8 C. 12 D. π43.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.168.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 11.设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。