分式的混合运算和整数指数幂讲解

初二数学整数指数幂和分式的加减法湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：整数指数幂和分式的加减法教学目标：1. 知识与技能（1）知道零指数幂和负整数指数幂的意义，会用它们的运算性质进行计算，能用科学记数法表示绝对值小于1的数。

（2）能进行分式的加减运算，会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

2. 过程与方法（1）运用从特殊到一般的认识规律发现零指数幂和负整数指数幂的性质。

（2）类比分数的加减法，探索出分式加减运算的方法。

3. 情感、态度与价值观（1）在学习中感受转化的思想，体验发现规律的乐趣。

（2）在共同探究中养成周密的思维，体会数学的价值。

二. 重点、难点重点：（1）同底数幂的除法及其运算。

（2）分式的加减运算及其混合运算。

难点：（1）对整数指数幂运算法则的理解。

（2）确定各分式的最简公分母。

知识要点归纳：1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a aa a m n m n mn m n =≠>-()其中，、为正整数，0 2. 零次幂和负整数指数幂（1）如果a ≠0，则a 0＝1即：任何不等于零的数的零次幂都等于1。

（）（，为正整数）2110a a aa n n n n -==≠() 即：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

特别地：a aa -=≠110() （3）强调：到现在为止，我们学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，所以幂的运算已经扩充到全体整数。

3. 整数指数幂的运算法则（1）同底数幂相乘：a a a a m n m n m n ⋅=≠+()0，、为整数（2）幂的乘方：()()a a a m n m n mn =≠0，、都为整数（3）积的乘方：()()ab a b a b n n n n =≠≠00，，为整数（4）同底数幂相除：a a a a m n m n m n ÷=≠-()0，、为整数（5）商的乘方：()()a b a bb a n n nn =≠≠00，，为整数 4. 科学记数法（1）用科学记数可以把绝对值较小的数表示成：a ×10-n （1≤|a|<10，n 为正整数）的形式。

分式的乘除法回顾上学期学的因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法常用公式：222222222()2()()()a ab b a b a ab b a b a b a b a b ++=+-+=--=+-在学习分式之前呢，我们回忆一下小学时我们怎么做分数的乘法的：分子乘分子，分母乘分母，能约分的先约分，同样的我们的分式就相当于我们小时候学的分数一样，同样是分子乘分子分母乘分母，能约分先约分。

下面我们先来做几道例题，看看你们在学校掌握的怎么样226.45 x xy y 22238.49x y a b ab xy注意：在做这个题时候应该注意 这道题呢我们就要把系数和字母分开来算了24x y 乘的位置，我们类比一下 而且呢相同的字母和相同的字母乘或者约分小学我们学的132⨯，所以24x y 应该是乘在分子上269.(3)26x x x x -++- 22222.a ab a abb a b +--学完了上面2个大家呢来做一下这个题，大家有没有发现 这题是不是得先因式分解之后 才能进行运算，因此的在做分式 这类题的时候能因式分解的先 因式分解，然后进行约分22624.443x x x x x ---+- ]234.(69).263x x x x x x ⎡-+⎣--对于这类有括号的怎么办呢，同样的跟我们以前 所学的运算法则一样先算括号里面再算括号外面分式的乘法学完了那大家猜想一下分式的除法的运算法则是怎样的呢？我们曾经学过一句话除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此呢在做分式的除法时，我首先将除法化成乘法再根据乘法运算法则进行计算即可分式的加减一、同分母分式加减法同分母分式加减，分母不变，把分子相加减：a b a bc c c±±=典型例题（两种类型：一是分母完全相同，二、是分母互为相反数） 1）a a a 5123-+ 2)yx y y x x +++ 3)2222223223y x yx y x y x y x y x --+-+--+4）ab b b a a －+-对应练习：计算下列各式： 1、m m 155- 2、yx a y x a ---3、x x x -++-2224 4、22322232ab c b b a c a --+-- 5、m n m n m n m n n m ---+-+22 16、22222222yx xx y y y x y x ---+-+分式的通分(重难)定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程依据：分式的基本性质关键：确定几个分式的公分母．求最简公分母的步骤为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）把相同的字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

分式章
分式的混合运算和整数指数幂
知识要点：
一、分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算， 也是先算乘、除，算加、减；遇到括号，先算括号内的；按先小括号，再 中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的 要约分，保证结果是最简分式或整式.
二、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即0a =1(a ≠0).
同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.
即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m 、n 为整数）
当m=n 时，得到0a =1(a ≠0).
三、负整数指数幂
任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，
等于这个数的n 次幂的倒数，即 （a ≠0，n 是正整数）. 引进 了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前 所学的幂的运算性质仍然成立.
四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成a ×10n
的形式，其中n 是正整数， 0≤|a|<10
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a ×10n -的形式， 其中n 是正整数，0≤|a|<10，用以上两种形式表示数的方法，叫做科学 记数法.
例题分析：
一、
例1. 计算：
2.先化简再求值：
（1）其中x满足x2+2x-1=0 （2）（选择一个恰当的x值代入并求值）
3.已知
求A、B的值
4.已知：求的值５.已知ａｂ＝１，求的值。

二、
1、计算：。

八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂说课稿（新版）新人教版一. 教材分析新人教版八年级数学上册第15章“分式的运算”中的第15.2.3节“整数指数幂”是本节课的主要内容。

这部分内容是在学习了分式的概念、分式的乘除法、分式的加减法等基础知识后进行的，是分式运算的一个重要组成部分。

本节课主要让学生掌握整数指数幂的运算方法，理解整数指数幂与分数指数幂之间的关系，以及能够运用整数指数幂解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和运算规则有一定的了解。

但是，学生在学习过程中，可能会对整数指数幂的运算规则理解不深，难以将整数指数幂与分数指数幂之间的关系运用到实际问题中。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解整数指数幂的运算规则，并通过实际例子让学生体会整数指数幂的应用价值。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整数指数幂的运算方法，理解整数指数幂与分数指数幂之间的关系，能够运用整数指数幂解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：整数指数幂的运算方法，整数指数幂与分数指数幂之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生理解整数指数幂的运算规则，并将整数指数幂应用于实际问题中。

五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流、讲解演示等教学方法。

利用多媒体课件辅助教学，通过生动的动画和实例，帮助学生理解整数指数幂的运算规则，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何运用整数指数幂解决问题，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主探究整数指数幂的运算方法，总结运算规则。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，互相解答疑惑。

分式的运算及整数指数幂一、知识点1、分式的乘法法则：2、分式的除法法则：3、分式的乘方法则：4、分式的加减法则：1、先约分、再计算：例1.计算：444242222++-+++x x x x x x x变式训练：2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分：例2.计算：4214121111x x x x ++++++-变式训练：1684211618141211x x x x x --+++++++.3、整体通分法：例3.计算：242++-a a变式训练：4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法：例4. 计算：()()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x变式训练：()()()()()()()()()11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律：例5.计算：1x 11x x 1x x 22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--变式训练：① x2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--- ②6、“因式分解”法：例6.计算：()()()()11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a变式训练：2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-7、乘方法、倒数法：例7.已知51=+x x ，求①、221xx +；②、44-+x x ；③、1242++x x x .例8. 先化简，再求值：，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入.变式练习 1．先化简，再求值： 32221121x x x x x x x --⋅++-+，其中x 2+x-2017＝0.2．先化简，再求值： ．其中m 为一元二次方程 的根．3．已知0142=+-x x ，求xx x x 64)1(2+---的值.4．已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求2221321·1169a a a a a a a +-+-+-++的值．5．先将21112x x x x-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值．6．先化筒，再求值： 222a 3a a 3a 1·a a a 1a 1--+÷+--，其中a=2017.7．先化简，再求值： 2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中4a =．8．已知a 2－6a ＋9与(b －1)2互为相反数，则式子a b b a ⎛⎫-⎪⎝⎭÷(a ＋b )的值是多少？9．先化简，再求值：（31a +﹣a +1）÷2441a a a -+++42a -﹣a ，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．。

八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。

哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。

八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

第15章 分式㊁整数指数幂㊁分式方程-@>% )一分式及其基本性质1.从分数到分式分式:一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B叫作分式.其中,A 叫作分子,B 叫作分母.(1)分式的分子中可以含有字母,也可以不含字母,但分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别.(2)分式有无意义的条件:若B ʂ0,则分式A B有意义;若B =0,则分式A B无意义.(3)分式的值为0的条件:若A =0,B ʂ0,{则分式A B 的值为0,反之也成立.(4)整式和分式统称为有理式.2.分式的基本性质(1)分式的基本性质:分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,即A B =A ㊃C B ㊃C ,A B=A ːC B ːC (C ʂ0),其中A ㊁B ㊁C 是整式.(2)通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘以适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫作分式的通分.(3)约分:利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫作分式的约分.(4)最简公分母:为了通分要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.(5)最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫作最简分式.二分式的运算1.分式的乘除及乘方法则(1)乘法法则:分式与分式相乘,用分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母,即a b ㊃c d =a ㊃c b ㊃d.(2)除法法则:分式除以分式,把除式中的分子㊁分母颠倒位置后,与被除式相乘,再运用分式的乘法法则运算,即a b ːc d =a b ㊃d c =a d b c .(3)乘方法则:一般地,当n 是正整数时,分式乘方要把分子㊁分母分别乘方,即a b ()n =a n b n .2.分式的加减法则(1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减.即a c ʃb c =a ʃb c.(2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减,即a b ʃc d =a d b d ʃb c b d =a d ʃb c b d.三整数指数幂正整数指数幂的运算性质如下:(1)a m ㊃a n =a m +n (m ,n 是正整数).(2)(a m )n =a m n (m ,n 是正整数).(3)(a b )n =a n b n (n 是正整数).(4)a m ːa n =a m -n (a ʂ0,m ,n 是正整数,m >n ).(5)a 0=1(a ʂ0).1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.解分式方程的思路将分式方程化为整式方程,具体做法是 去分母 ,即方程两边同乘以最简公分母.3.验根将去分母后所得的整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.4.解分式方程的一般步骤(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把解得的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.(4)解分式方程,不要漏掉 验根 这一步.5.利用分式方程解决实际问题的步骤(1)审清题意;(2)设出未知数;(3)找出等量关系;(4)列出分式方程;(5)解这个分式方程;(6)检验,看方程的解是否满足方程和符合题意;(7)写出实际问题的答案.。