(新课程)高中数学《2.2.1向量加法运算及其几何意义》导学案 新人教A版必修4

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计一、教材分析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在实际生活中有着广泛的应用。

向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。

通过本节课的学习，使学生认识到向量作为一种量，也同其他的量一样，有自己的运算。

学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。

二、教学目标知识目标：理解向量加法的概念，会用向量加法法则及运算律求向量的和。

能力目标：培养学生用类比的方法探索研究数学问题的素养及数学交流能力。

情感目标：增强学生学习的积极性、主动性，挖掘出学生自身智力潜能，促进学生的个性发展。

三、重难点分析教学重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构，以及利用法则作两个向量的和向量．教学难点：理解向量的加法法则及其几何意义．四、教法、学法分析1、教法分析本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。

2、学法指导引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。

五、教学过程环节一复习回顾1、复习：提问向量的定义以及有关概念。

2、强调：向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置【设计意图】复习回顾，巩固上节课知识，做好知识的衔接工作。

环节二实例引入揭示课题[实例1]外地游客到甘南旅游，玛曲到合作约2021里，合作到卓尼约100公里，那么玛曲到卓尼的路程是多少，位移是多少？[实例2]有两辆汽车牵引一辆大卡车，他们的牵引力分别是F1=3000N，F2=2021N，牵绳间的夹角θ=600。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从数学和物理学中引入的概念，具有大小和方向。

向量通常用字母表示，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 等，也可以用箭头表示。

1.2 向量的表示方法向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\)。

向量还可以用图形表示，在坐标系中表示向量的起点和终点。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义向量加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的和\(\vec{c}\) 可以表示为\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)。

2.2 向量加法的几何意义向量加法可以直观地理解为在坐标系中将两个向量的终点相连，得到一个新的向量。

几何上，向量加法表示的是两个向量的位移合成。

第三章：平行向量的加法3.1 平行向量的定义平行向量是指方向相同或相反的向量。

如果两个向量平行，它们的坐标成比例。

3.2 平行向量的加法规则平行向量相加时，可以直接将它们的大小相加，方向不变。

如果\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 是平行向量，\(\vec{a} + \vec{b} = (a + b, c)\)，其中\(a\) 和\(b\) 是向量的大小，\(c\) 是它们的方向。

第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的差\(\vec{d}\) 可以表示为\(\vec{d} = \vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\)。

4.2 向量减法的几何意义向量减法可以理解为从起点到终点的位移减去从起点到另一个终点的位移。

2.2平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．【预习案】1．(1)一条数轴不可表示一个向量；(2)一个点可表示一个向量．2．相等向量应满足大小相等，方向相同；所谓共线向量是指___________________的向量．3．实数的加法对于实数a、b、c其加法交换律为a＋b＝b＋a，其加法结合律为(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量的加法【探究案】问题探究1．三角形法则能求向量：AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→的和吗？2．对于非零向量AB→、CD→如何按平行四边形法则求其和？考点一：利用法则求作向量用有向线段表示向量，根据三角形法则作图时，使向量平移到“首尾相接”的位置，根据平行四边形法则作图时，使向量平移到“共起点”的位置，在图形中找到相应的有向线段例一如图，O为正六边形ABCDEF的中心，求作下列向量：(1)OA→＋OE→；(2)AO→＋AB→；(3)AE→＋AB→.互动探究1在本例图形中，求：(1)OE→＋AB→；(2)OE→＋DB→.考点二利用法则化简向量表达式利用向量的运算律，合理交换各向量的位置，使之符合三角形法则或平行四边形法则，从而将表达式化简例二：化简下列各式：(1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→；(2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→.考点三：利用向量证明几何问题把平面几何问题看作向量的运算，利用向量关系证明.例三：在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F、E，使BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．互动探究2在本例中证明△ADF≌△CBE.方法技巧1．化简含有向量的关系式一般有两种方法：(1)利用几何方法通过作图实现化简；(2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律求和，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．如例22．用向量证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．(3)还原成几何问题．如例3失误防范1．化简向量表达式，要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．注意区分向量与线段的写法与符号．AB→表示向量，AB表示线段，二者勿混淆．如例3。

2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【目标导学】重点：向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）【自主预习】1.若C 是线段AB 中点，则AC BC →→+=（ ） A. AB B. BA C. 0 D. 不同于以上答案2. 设→a ，→b 为非零向量，若||||||→→→→+=+b a b a ，则→a 的方向与→b 的方向必是 .3. 设→a 表示“向东走3km ”，→b 表示“向北偏东o 30走3km ”，则→→+b a 表示 __________. 【课标基础】1.在四边形ABCD 中，下列各式中正确的是( )A. →→→→+=+DC AD BC ABB. →→→+=DA CD ACC. →→=BA ABD. →→→=+DC AC AD2. 下列各向量中，不表示零向量的一个式子是( )A.→→=BA ABB. →→→++CA BC ABC. 和任意向量都平行的向量aD. b a +(其中b a 、不共线)3. 若O 是ABC ∆内一点，满足→→→→=++O OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，则_______AF BE CD ++=5. 正六边形ABCDEF 中→→=a AB ，→→=b FA ，则=→EC .（用→a 与→b 表示）6.向量a 、b 满足8||=a ，12||=b ，则||b a +的最大值和最小值分别是 __________.7. 河水中水流自西向东速度为每小时20公里，小船自南岸沿正北方向行驶速度每小时【能力拓展】8. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.9. 已知OABCDE 是正六边形，→→=a OA ，→→=b OE ，试用→a ，→b 表示→OB ，→OC ，→OD .10. 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 中点，F 为BC 中点.求证：2EF AB DC →→→=+.OE AA BC。

2.2.1《向量加法运算及其几何意义》导学案（学生版）必修四P80-83 2.2.1向量加法运算及其几何意义(例2除外）内容要求：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算(重、难点).3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)．自学--知识点1 向量的加法1．定义：求两个向量和的运算．2．运算法则：3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0＝0+a＝a．【预习评价】思考三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？自学--知识点2向量加法的运算律1．交换律：a＋b＝b＋a．2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则O，A，B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线上的向量OC→＝a＋b题型一 向量的加法法则【例1】 (1)如图①所示，求作向量和a ＋b ； (2)如图②所示，求作向量和a ＋b ＋c ．．【训练1】 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，指出与下列向量相等的向量：(1)OA →＋OC →= (2)BC →＋FE →= (3)OA →＋FE →=题型二 向量的加法及运算律【例2】 化简：(1)BC →＋AB →= (2)DB →＋CD →＋BC →=(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →=【训练2】 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________．自学达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( )A ．AB →＋BC →＝CA → B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2 23．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A ．AB → B ．BA →C ．0D ．AC → 4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →．(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，求：(1)|a ＋b |；(2)指出向量a ＋b 的方向．6．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ． 正方形C ．平行四边形D ．菱形7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →8．在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．9．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →10．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →11．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______ ．12．(思考题)如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．自学反思：课外练习： P84 1. 2. 3. 4. 课外作业： P91 1. 4.。