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关节十二探究二：几何图形的不变性 和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1 如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。
一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。
（1）（2）（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，AB C GFAB CGF ED然后证明你的猜想。
人体各关节功能位与关节活动范围人体的关节是骨骼系统的重要组成部分，负责连接骨骼，使得我们的身体能够运动和承受压力。
人体有多个关节，包括滑液滑膜关节、齿状关节、骨软骨关节和纤维联接关节等。
每个关节都有特定的功能位和活动范围，下面将具体介绍。
1.肩关节：肩关节位于上肢和轴骨之间。
它的功能位是使得上肢能够围绕肩关节进行360度的旋转，灵活进行抬举、向前伸展和向后收缩等动作。
肩关节的活动范围包括：上举、内旋、外旋、前屈和后伸等动作。
2.肘关节：肘关节位于上肢的前臂部分。
它的功能位是使得前臂能够进行弯曲和伸直的动作。
肘关节的活动范围包括：屈肘、伸肘、旋前臂和旋后臂等动作。
3.腕关节：腕关节位于下臂和手部之间。
它的功能位是使得手部能够进行上下、前后和左右的运动。
腕关节的活动范围包括：屈腕、伸腕、桡侧偏移和尺侧偏移等动作。
4.髋关节：髋关节位于下肢的髋部。
它的功能位是使得下肢能够围绕髋关节进行前屈、后伸、内旋和外旋等动作。
髋关节的活动范围包括：屈髋、伸髋、外展和内收等动作。
5.膝关节：膝关节位于下肢的大腿和小腿之间。
它的功能位是使得下肢能够进行弯曲和伸直的动作。
膝关节的活动范围包括：屈膝、伸膝和旋内腿等动作。
6.踝关节：踝关节位于小腿和足部之间。
它的功能位是使得足部能够进行上下和内外倾斜的运动。
踝关节的活动范围包括：屈踝、伸踝、内展和外展等动作。
7.脊柱关节：脊柱关节位于脊柱的各个节段。
它的功能位是使得脊柱能够进行弯曲、扭转和侧弯等动作，同时还能够承受身体的重量和保护脊髓。
脊柱关节的活动范围包括：屈曲、伸直、侧屈和旋转等动作。
图谱解说：人体各关节活动度
以下几页讲述人体的主要运动方式。
几乎所有的日常手势和姿势都将涉及这些运动的组合。
如果限制住肋骨、骨盆、肩胛带及其他一些骨的活动，脊柱的旋转运动将会受到很大的制约，甚至很难完成。
颈部
脊柱和胸廓
肋骨和胸廓
肩胛骨
肘和前臂
肱尺、肱桡关节一肘关节
近、远侧桡尺关节一一前臂
腕关节
拇指
第1腕掌关节和第1掌指关节
手指
颞下颌关节
骨盆
能否想到骨盆的倾斜是如何影响放置在髋臼的股骨头位置的吗？一个关节的运动往往会影响另一个结构的位置。
臀部
膝关节
踝部和足部
.。
关节基本结构和功能
关节是人体最复杂的组织系统之一，它是体外细胞结构的支撑，同时也是机体运动的“关口”。
关节由四大部分组成，分别为关节软骨、关节囊、关节韧带和关节滑膜。
关节软骨：关节软骨是由软骨细胞和软骨纤维组成的复合物，具有松弛性和耐磨性，可以减少关节受力，有效地缓冲撞击力，提供关节活动的自由度。
关节囊：关节囊由纤维膜组成，可以使关节注入液体，如滑液，起到润滑和减震的作用。
关节韧带：关节韧带是由强而有弹力的聚乙烯纤维组成，起着固定和支撑关节的作用。
关节滑膜：关节滑膜由于润滑剂的作用，使得关节有良好的活动性，从而增强关节灵活性，减少骨骼磨擦，维持关节正常运动。
总之，关节由软骨、关节囊、关节韧带和关节滑膜四大部分组成，具有减少关节受力、提供关节活动自由度、增强关节灵活性、减少骨骼磨擦的功能，是机体运动的重要一环。
《人体各关节概述课件》xx年xx月xx日•关节概述•上肢关节•下肢关节目录•脊柱关节•各关节的生物力学特点•各关节疾病与治疗01关节概述关节的基本结构包裹关节的纤维组织囊，分泌滑液以润滑关节。
关节囊关节面关节韧带关节滑膜关节的接触面，通常由关节头和关节窝组成。
连接关节的纤维组织，提供稳定性。
覆盖关节面的一层薄膜，分泌滑液以润滑关节。
1关节的类型23如指关节，能进行屈和伸运动，但不能旋转。
屈戌关节如肩关节，能进行多方向运动，包括屈、伸、内收、外展和旋转等。
球窝关节如膝关节，能进行屈、伸和旋转运动，但不能内收和外展。
平面关节关节使骨骼能够产生运动。
提供运动传递力量适应生物力学关节能够传递来自肌肉的力量到骨骼，使身体产生动作。
关节的形状和结构适应了生物力学原理，使身体能够产生有效的运动。
03关节的功能020102上肢关节肩关节由肱骨头、肩胛骨关节盂和关节囊等结构组成。
关节结构肩关节是上肢最灵活的关节之一，可以进行屈、伸、收、展、旋转等多方向运动。
运动范围肩关节容易发生脱位、关节炎等问题，需要关注和保护。
常见问题肘关节由肱骨下端、尺骨鹰嘴窝、桡骨头及关节囊、韧带等结构组成。
关节结构肘关节可以进行屈、伸运动，以及一定范围内的旋转运动。
运动范围肘关节容易发生骨折、脱位等问题，需要注意保护。
常见问题手腕关节由桡骨和尺骨远端及腕骨组成，包括腕背伸、腕屈曲等方向运动。
手腕关节关节结构手腕关节可以进行多方向运动，如屈、伸、收、展等。
运动范围手腕关节容易发生骨折、扭伤等问题，需要特别注意。
常见问题03下肢关节下肢关节 髋关节•总结词：髋关节是人体最大的关节之一，其主要功能是连接下肢与躯干，允许大腿在髋臼内进行屈曲、伸展、内收、外展和旋转运动。
•详细描述•组成：髋关节由股骨头、髋臼和关节囊组成。
•运动：髋关节可进行屈曲、伸展、内收、外展和旋转等运动，其中屈曲和伸展运动范围较大，而内收和外展及旋转运动范围较小。
•疾病表现：髋关节骨关节炎是一种常见的髋关节疾病，表现为髋部疼痛、僵硬和活动受限。
关节五几何计算方法与作用的归纳当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。
第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。
在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法几何计算的两种主要方法是： Ⅰ、借助于解直角三角形； Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算 （1）要善于依题情恰当地构造直角三角形例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）（1`）（1）A 、αsin 1 B 、αcos 1C 、αsinD 、αcos【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD 中，α∠=∠A ，顶点A 到直线CD 和直线CB 的距离都为1，求菱形ABCD 的面积。
为此，作,CD AH ⊥交CD 的延长线于点H ，则有AH ，AD AH CD S ABCD ⋅=⋅=菱形其中ααsin 1,sin 1sin 1==∠==ABCD S ADH AH ，AD AH 菱形即AB CD Hαα例2 如图，在ABC Rt ∆中，190==︒=∠BC ，AC ACB 。
将ABC ∆绕点C 逆时针旋转30°得到111C B A ∆，1CB 与AB 相交于点D 。
求BD 的长。
【观察与思考】注意到,45︒=∠B 若作CB DG ⊥于点G ，如图（1`）则（1） 可得DBG Rt ∆中，DG=BG ，同时在︒=∠∆30DCG ，CDG Rt 中，而CB=1， 从而可构造关于BD 的方程，求得其值。
备战2012中考几何解题思路十八关节
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【导语】曾经有过一篇文章《中考数学，得几何者得天下》，文章中罗列出几何在数学中的重要位置，也强调了初三生应该如何学习几何，以及几何在中考中的出题方式。
针对几何的重要性，西安中考网特整理了中考几何解题思路和捷径、几何得高分的十八个关节要点，在此，一一罗列：中考几何解题思路和捷径、几何得高分的十八个关节关节一：数与式的三项要点关节二：充分发挥方程的工具性作用关节三：函数知识的三个支点关节四：基本图形的性质与功能的认识关节五：几何算法与作用的归纳关节六：统计问题与概率关节七：变换视角提高视图与构图的眼力关节八：审题与解法探寻的策略关节九：用代数式表示变化规律关节十：图形变换引出的
计算与证明关节十一：存在性问题和最值问题的解决方法关节十二：几何图形的不变性关节十三：图形引入动点后形成的函数问题关节十四：坐标系里的几何图形关节十五：有函数图像衍生出的问题关节十六：应用性问题解法思路关节十七：图形的分割与拼接关节十八：研究性问题的思考要点
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关节十八研究性问题的思考要点研究性问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。
从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：Ⅰ、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；Ⅱ、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。
Ⅲ、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。
一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题这类问题的思考要点在于把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。
例1 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。
在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 ︒m 和︒n ，将菱形的“接近度”定义为n m -，于是n m -越小，菱形越接近于正方形。
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ； ②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。
（2）设矩形相邻两条边长分别是a 和b （b a ≤），将矩形的“接近度”定义为b a -，于是b a -越小，矩形越接近于正方形。
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。
a b【观察与思考】对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为n m -，其中m 和n 是该菱形“相邻两内角的度数”。
对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。
中考生物知识点整理：关节?教学目标知识目标1。
说出的各结构名称及其作用。
2。
知道体育锻炼对的影响和有关脱臼及其急救的知识。
能力目标明确观察目的，有序地观察的结构，分析各部分结构的功能，培养学生观察及分析能力。
情感目标1。
通过的结构及功能的学习，使学生树立结构与功能相适应的辨证观点。
2。
在分组观察和讨论活动中，使学生学会相互协作。
教学建议本节知识结构教材分析在运动中起杠杆的作用，因此有关的内容，是本章的重点之一。
而的基本结构和功能，是本节的教学重点，的牢固性和灵活性的统一是本节的难点。
按照从感性到理性的认识规律，先让学生观察，获得结构的感性知识，在这基础上再引导学生分析的牢固性、灵活性是由哪些结构体现?来突破重点和难点。
教法建议学习骨连接的知识时，主要让学生弄清楚的结构和功能。
谈到骨连接，学生首先反应出来的就是。
可以先问问学生，人可以做各种复杂的动作，但人的一块骨能否做出动作呢?人的整体位移和局部的活动都是由不同的骨连接在一起完成的，让学生说说他们最熟悉的动作的完成需要哪些骨的参与(学生说不出具体名称不要紧，重要的是学生能知道一个动作的完成要靠不同骨的共同作用)。
告诉学生骨和骨组成了骨的连接，其中活动自如的骨连接有一个专用名称那就是。
关于的结构，有条件的学校最好分组实验，观察猪的，观察时让学生结合课本上的结构示意图，辨认各部分名称。
教师最好出示观察内容的提纲和思考讨论的问题指导学生由外到内观察：1。
用镊子拉一拉囊，体会其坚韧性，思考其作用?2。
观察相邻两块骨面的形状有何不同?哪是头?哪个是窝? 3。
观察面的颜色与其他部位的骨有何不同?软骨覆盖在面上有何作用?4。
用手摸一摸腔有什么感觉?这对运动有什么意义?这样使观察目的性强，有利于学生观察能力的培养。
同时可以启发学生针对面接触的面积是大有利还是小更有利，进而思考面为什么形成头和窝，而不是两个平面或是两个头、两个窝等问题，让学生从的功能上理解其结构组成上的特点以及结构与功能相适应的关系。
关节四基本图形性质与功能的再认识所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好：1、线段的两种变换性质；2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）例1 如图，ABC ∆是任意三角形，请画出BC A '∆和ABC ∆具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的BC A '∆看作是由ABC ∆变换而来的，那么这个变换使线段BC 变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（1）（2）解：如图（2）（其中直线1l 是BC 所在的直线，点1A 为点A 关于直线1l 的对称点；直线2l 是线段BC 的垂直平分线，点2A 为点A 关于直线2l 的对称点；点O 是线段BC 的中点，点3A 和点A 关于点O 为对称。
BC A BC A BC A 321,,∆∆∆都和ABC ∆全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
BACABC1A3AO1l2l2A若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD ，AG//DB ，知四边形AGBD 已是平行四边形，其次， 由四边形BEDF 是菱形，而点E 是AB 的中点，即ED 是ABD ∆中AB 边上的中线，且 DE=EB=AE ，立刻知道︒=∠90ADB ，即四边形AGBD 是矩形。
解：（略）【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出 从DE=EB=AE ，导出︒=∠90ADB 。
（2）构造三角形的中位线例3 如图（1），已知，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交AB 于点F 。
（1）若E 是AD 的中点，则=BFAF； （2）若AE ：ED 则，21==BF AF； （3）若AE ：ED n 1=，则=BFAF； （1）【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF ，交AB 于点M ，EF 为ADM ∆的中位线，得AF=FM ， DM 为BCF ∆的中位线，得BM=MF 。
可知AF 21=FB 。
（2）如图（3），作DM//CF ，交AB 于点M ，易知，AFE ∆∽ADM ∆,得21==ED AE FM AF 。
又DM 为BCF ∆的中位线，得DM=FM ，412==FM AF BF AF （2）（3）类比于（1）和（2），应有nBF AF 21=（其实可有与（2）类似的推演过程）【说明】本题解决的关键就在于构造出BCF ∆的中位线DM 。
（3）构造中心对称图形线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3）（特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。
CA DG BE F A BDCEFBAD CEF M BA D C EF M例4 已知，如图D 是ABC ∆的边BA 延长线上一点，有AD=BA ，E 是边AC 上一点，且DE=BC 求证：C DEA ∠=∠【观察与思考】以BD 及其中点A 为基础，构造“中心对称型”三等三角形。
解法提示：如下面图（1），（2），（3）。
（2）（3）（1）方法一：如图（1），延长CA 到F ，使FA=CA ，连结FD ，有A C B AFD ∆≅∆，DF=BC=DE ，得D E A F C ∠=∠=∠方法二：如图（2），分别作CA DN ⊥交CA 的延长线于N ，,CA BM ⊥垂足为M ，则有,BAM Rt DAN Rt ∆≅∆得，DN=BN ，进而推得CBM EDN Rt ∆≅∆，得C DEA ∠=∠方法三：如图（3）延长CA 到G ，使得AG=EA ，则,BGA DEA ∆≅∆得,G DEA ∠=∠再由BG=DE=BC ，得C G DEA ∠=∠=∠。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。
简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。
本书均按此方式来做，以后不再重申。
例5 操作： 如图，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与线段MN 相交于点O ，利用图（1）画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
（1）（2）探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AB//CD ，E 为BC 边的中点，AF EAF BAE ,∠=∠与DC 的延长线相交于点F ，试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论。
A BCE DABC ED FABCE DN M ABC EDG MNP QOABE CDF略）对于图（2），延长AE 到G ，使EG=EA ，连结CG ，如图（2`）。
由“操作”的结论可知GCE ABE ∆≅∆， 得AB=GC ，,GCB ABC ∠=∠即CG//AB ，而CF//AB ，可知点F 在GC 上，而由GAF BAG G ∠=∠=∠，得AF=GF 。
这样就有CF AF CF GF GC AB +=+==解：（略）（2`）由以上题目的解法研究看出：凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能 角平分线主要功能有：1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。
1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。
因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例1 如图，在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD 【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC 上作出AE 关于AD 的 的对称图形AF （如图（2）），进而希望有CF 和CD 也关于CE 对称，这就引导我们 获取了如下的证法。
证明：取AC 上的点F ，使AF=AE ，连结OF 。
在AOE AOF ∆∆和中，AF=AE ，AO 公用，EAO ，FAO ∠=∠（1）AOE 。
AOF AOE ，AOF ∠=∠∴∆≅∆∴又因为︒=︒-︒-︒=∠-︒-︒=∠+∠-︒=∠12060180211801802118021180）（B ）（ACB ）BAC （AOC（2）︒=∠=∠∴60AOF AOEABECG FDA BCD E O ABCDEO F在COD COF ∆∆和中CO 公用。
COD AOE AOF AOC FOC DCO FCO ∠=∠=︒=∠-∠=∠∠=∠60,CD CF COD COF =∴∆≅∆∴,。
CD AE CF AF AC +=+=∴【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例 2 如图，已知点A （0，1）是y 轴上一个定点，点B 是x 轴上一个动点，以AB 为边，在OAB ∠外部作,OAB BAE ∠=∠过点B 作,AB BC ⊥交AE 于点C ，设点C 的坐标为（y x ,），当点B 在x 轴上运动时，求y 关于x 的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看y x ,，为此作x CD ⊥轴 于点D （如图（2）），当点B 在x 的正半轴上时，,,CD y OD x ==现 考虑CD 与OD 之间的函数关系式。
再由AB 为OAE ∠的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB 的延长线交y 轴于'C ，由,AB CB ⊥可知B C '和CB 关于AB 对称，即B 为C C '的中点，再结合x CD ⊥轴，x O C ⊥'轴，则OB C CDB ’∆∆和关于点B 为中心对称，得y CD OC ==‘，x OD OB 2121==。
再由AOB BOC ∆∆和'的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作x CD ⊥轴于点D ，延长CB ，交y 轴于点'C ，则x OD y CD ==,OAE AB ∠是 的平分线，且''ABC ABC Rt AB ，CC ∆≅∆∴⊥，得'BC BC =。
（2）在OB C CDB ‘∆∆和中，）AC CD B （OC DCB BO ，C CBD ’//‘’ ∠=∠∠=∠ B C CB ’=x OD DB OB y CD O C OB ，C CDB 2121,’‘=====∴∆≅∆∴。
在BAO BO C ，AOB Rt BOC Rt ∠=∠∆∆‘'中和（同为ABO ∠的余角）。
'BOC Rt ∆∴∽Rt ,AOB ∆ 得x yxOB OA OC OB 21121,'==即， 21x y =∴xyOABECxyOAB EC 'C D容易知道，这个关系在0=x 和x 取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形我们知道，若OP 是AOB ∠的平分线，则与OA 平行，与OB 平行，与OP 平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即情形一，与OA 平行的直线MN 和OB ，OP 所在的直线相交如图（1）和（2）：（1）MN 和OB ，OP 交出等腰三角形COD ，（2）MN 和OP ，OB 的反向延长线交出等腰三角形COD ， 其中CO=CD 。
（213∠=∠=∠ ） 其中CO=CD 。
（4123∠=∠=∠=∠ ）情形二，与OP 平行的直线MN 和OA ，OB 所在的直线相交如图（3）和（4）（3）MN 和OB 的反向延长线及OA 交出等腰三角形 （4）MN 和OA 的反向延长线及OB 交出等腰三角形 DCO ，其中OC=OD ，（4213∠=∠=∠=∠ ） OCD ，其中OC=OD 。
（4213∠=∠=∠=∠ ）情形三，与OB 平行的直线MN 和OA ，OP 所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。
