2019中考数学真题分类汇编 圆的基本性质 含解析

专题11 圆1．（2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB 等于A．55°B．70°C．110°D．125°【答案】B【解析】连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB=55°，∴∠AOB=110°，∴∠APB=360°-90°-90°-110°=70°．故选B．2．（2019•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．3．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是A．2πB．4πC．12πD．24π【答案】C【解析】S=2120π6360⨯⨯=12π，故选C．4．（2019•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=A．54°B．64°C．27°D．37°【答案】C【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=12∠BOC=27°．故选C．5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B【解析】如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605=72°，∴∠CPD=12∠COD=36°，故选B．6．（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为A ．2BC ．32D【答案】D【解析】∵∠A =90°，AB =AD ，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，BD AB ，∵∠ABC =105°，∴∠CBD =60°，而CB =CD ，∴△CBD 为等边三角形，∴BC =BD AB ， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ∶CB ，∴下面圆锥的侧面积．故选D ． 7．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB =40 m ，点C 是AB 的中点，且CD =10 m ，则这段弯路所在圆的半径为A ．25 mB ．24 mC ．30 mD ．60 m【答案】A【解析】∵OC ⊥AB ，∴AD =DB =20 m ，在Rt △AOD 中，OA 2=OD 2+AD 2，设半径为r 得：r 2=（r -10）2+202，解得r =25 m ，∴这段弯路的半径为25 m ，故选A ．8．（2019•山西）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB BC =2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为A ．42π- B ．42π+C ．πD ．π2【答案】A【解析】∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB ，BC =2，∴tan A =3BC AB ==，∴∠A =30°，∴∠DOB =60°，∵OD =12AB DE =32，3222π-=-，故选A．9．（2019•黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为__________．【答案】4π【解析】扇形的弧长=120π6180⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．∴面积为：4π，故答案为：4π．10．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．【解析】如图，连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=12CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD．11．（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12 cm，底面圆半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________cm2（结果精确到个位）．【答案】113【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=12×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为：113．12．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）【答案】π-1【解析】如图，延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积=14×（S圆O-S正方形ABCD）=14×（4π-4）=π-1，故答案为：π-1．13．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥O A．若OA=则阴影部分的面积为__________．π【解析】如图，作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥O A．OA=∴∠AOD=90°，∠BOC=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD =OA ·tan30°=3=2，AD =4，AB =2AF =2×2=6，OF ，∴BD =2，∴阴影部分的面积是：S △AOD +S 扇形OBC -S △BDO π+=，π．14．（2019•重庆）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =4，AD =A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】8 【解析】如图，连接AE ，∵∠ADE =90°，AE =AB =4，AD =sin ∠AED =AD AE ==，∴∠AED =45°，∴∠EAD =45°，∠EAB =45°，∴AD =DE =∴阴影部分的面积是：2245π445π4(4(360360⨯⨯⨯⨯⨯+=8，故答案为：8．15．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB =1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．【答案】26【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．16．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=tan∠BAD的值．【解析】（1）∵AB=AC，∴AB AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ADB，∠ABC=（180°-∠BAC）=90°-∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH445 =，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．17．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E 是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FH BF =sin ∠ABD =sin45°=2，∴2FD BF =BF FD ， ∵AB =4，∴BD =4cos45°，即BF +FD +1）FD ，∴FD=4-，故答案为：4-． ②连接OH ，EH ，∵点H 是AE 的中点， ∴OH ⊥AE ， ∵∠AEB =90°， ∴BE ⊥AE ， ∴BE ∥OH ，∵四边形OBEH 为菱形，∴BE =OH =OB =12AB ， ∴sin ∠EAB =BE AB =12， ∴∠EAB =30°． 故答案为：30°．18．（2019•滨州）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；（2）求证：BC2=4CF·AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．【解析】（1）如图所示，连接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而OB=OD，∴∠ODB=∠ABC=∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C=90°，∴∠CDF+∠ODB=90°，∴∠ODF=90°，∴直线DF是⊙O的切线．（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB=AC，则DB=DC=12 BC，∵∠CDF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠CDF=∠DCA，而∠DFC=∠ADC=90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2=CF·AC，即BC2=4CF·AC．（3）连接OE，∵∠CDF=15°，∠C=75°，∴∠OAE=30°=∠OEA，∴∠AOE=120°，S△OAE=12AE·OE·sin∠OEA=12×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA=S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=120360︒︒×π×42-16π3-精品文档11。

2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质、选择题1（2019年山东省滨州市）如图，AB为O O的直径，C, D为O O上两点，若/ BCD = 40°,A . 60°【考点】圆周角定理、【解答】解：连接AD , B . 50°C. 40°D. 20°直角三角形的性质T AB为O O的直径,ADB = 90 ° .BCD = 40°,A=Z BCD = 40°ABD = 90 ° - 40°=50°.故选：B.2. （2019年山东省德州市）若/ ABC=40°,则/ ADCA. 130 如图，点O为线段的度数是（）B. 140 BC的中点, 到点O的距离相等, C. 150【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD ,作出圆O,如图所示, •四边形ABCD为圆O的内接四边形，•••/ ABC+ / ADC=180 °•/ / ABC=40 °•••/ ADC=140 :故选：B.D.1603. （2019年山东省荷泽市）如图，AB是O O的直径, C,D是O O上的两点，且BC平分/ ABD, AD分别与BC,论不一定成立的是（）A . OC// BDB . AD 丄OC C.A CEFBED D . AF = FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：I AB是O O的直径，BC平分/ ABD ,•••/ ADB = 90。

，/ OBC = Z DBC ,••• AD 丄BD,•/ OB= OC,•••/ OCB=Z OBC,•••/ DBC = Z OCB,•OC // BD，选项A成立；•AD丄OC,选项B成立；•AF = FD，选项D成立；•••△CEF和厶BED中，没有相等的边，•△ CEF与厶BED不全等，选项C不成立；故选：C.4. （2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm的圆在直线I上滚动一周，则圆所扫过的图A. 5 nB. 6 nC. 20 nD. 24 n【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积= n+2 nX 2 = 5 n,故选：A.5. （2019年广西贵港市）如图，AD是O O的直径，AB=CD,若ZAOB=40°,则圆周角ZBPC 的度数是（）A. 40B. 50C. 60D. 70【考点】圆周角定理【解答】解：：•二二：，/ AOB=40 ,•••/ COD= / AOB=40 ,•••/ AOB+ / BOC+ / COD=18° ,•••/ BOC=100 ,•••/ BPC=三/ BOC=50 ,故选：B.6. （2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD内接于O O , AE丄CB交CB的延长线于点E，若BA 平分/ DBE , AD = 5, CE = v!3，贝U AE =（）A . 3B . 3V2 C. 4v3 D . 2v3【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理【解答】解：连接AC,如图，•/ BA 平分/ DBE ,•••/ 1 = 7 2,•••/ 1 = 7 CDA, 7 2=7 3,•••7 3=7 CDA,•AC= AD = 5,••• AE丄CB,•7 AEC= 90°•AE= V AC? - CE2 = V52 -（打3）2= 2V3.【考点】垂径定理的应用【解答】解：连结OD, OA ,如图，设半径为r ,• AD=4,点O 、D 、C 三点共线,7. （2019年陕西省）如图， AB 是O O 的直径，EF 、EB 是O O 的弦，且 AB交于点C ,连接OF .若/ AOF = 40°，则/ F 的度数是（）A . 20°B . 35°C . 40°D . 55°【考点】圆内有关性质【解答】连接FB ，得到FOB = 140 ° ;•••/ FEB = 70°•/ EF = EB• / EFB = Z EBF -FO = BO ,• / OFB = Z OBF , • / EFO = Z EBO ，/ F = 35°8. （2019年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A , B, C 在O O 上，CD 垂直平分AB 于点D ,现测得AB=8dm , DC=2dm ，则圆形标志牌的半径为（）A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm故选：D . D•/ CD=2, /. OD=r-2,在 Rt A ADO 中， ••• AO 2=AD 2+OD 2 ,, 即 r 2=42+ （r-2） 2 , 解得：r=5, 故答案为：B.9. （2019年甘肃省天水市） 如图，四边形 ABCD 是菱形，O O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE •若/ D = 80°,则/ EAC 的度数为（ ）【考点】菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质 【解答】解：•••四边形 ABCD 是菱形，/ D = 80°,•••/ ACB = - / DCB = - （180 ° -Z D ）= 50 ° ,2 2•••四边形AECD 是圆内接四边形， • Z AEB =Z D = 80°, • Z EAC =Z AEB -Z ACE = 30°,故选：C .10. （2019年甘肃省）如图，AB 是O O 的直径，点 C 、D 是圆上两点，且Z AOC = 126 则Z CDB =（）B • 25°C . 30D . 35B . 64C . 27°D . 37A • 20°【考点】圆周角定理【解答】解：TZ AOC = 126° ,• Z BOC= 180°-Z AOC= 54•••/ CDB = _Z BOC= 27° 故选：C.P,下列结论错11. （2019年湖北省襄阳市）如图，AD是O O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四A . AP= 2OPB . CD = 2OP C. OB 丄ACD . AC 平分OB 【考点】圆内有关性质【解答】解：••• AD为直径，•••/ ACD = 90°,•••四边形OBCD为平行四边形，•CD // OB, CD = OB ,在Rt△ACD 中，sinA =型=丄，AD 2:丄 A= 30°在Rt△AOP中，AP= :'；OP，所以A选项的结论错误；•/ OP// CD , CD 丄AC,•OP丄AC,所以C选项的结论正确；•AP= CP,•OP为△ACD的中位线，•CD = 2OP,所以B选项的结论正确；•OB= 2OP,•AC平分OB，所以D选项的结论正确.故选：A.12. （2019年湖北省宜昌市）如图，点A, B, C均在O O上，当/ OBC = 40°时，/ A的度数是（）【考点】圆周角定理【解答】解：设圆心为 O ,连接OA 、OB ,如图, •••弦AB 的长度等于圆半径的卜迁倍, 即 AB = . _：OA , • OA 2+OB 2= AB 2,• △ OAB 为等腰直角三角形，/ AOB = 90 ° , •••/ ASB =丄/ AOB = 45°.2CA . 50°B . 55°【考点】圆周角定理【解答】解：••• OB = OC , C . 60D . 65•••/ OCB=Z OBC= 40•••/ BOC = 180°— 40°— 40°= 100°,•••/ A =二/ BOC = 50°. 2 故选：A . 13. （2019年甘肃省武威市）如图，点A,B,S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的 ：倍,则/ ASB 的度数是 A . 22.5 B . 30°C . 45D . 6014. （2019年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，/ ACB = 90° AC= BC = 2匝，以BC为直径作半圆，交AB于点D,则阴影部分的面积是（）C BA . n—1B . 4 — nC ED . 2【考点】圆周角定理【解答】解：连接CD ,•/ BC是半圆的直径，••• CD 丄AB,•••在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° AC = BC= 2血,•△ ACB是等腰直角三角形，•CD = BD,••阴影部分的面积= 丄X丄㊁*2=2,2 2故选：D.C S15. （2019年内蒙古赤峰市）如图，AB是O O的弦，OC丄AB交O O于点C,点D是O O上一点，/ ADC = 30°,则/ BOC的度数为（）DA. 30° B . 40°C. 50°D. 60【考点】圆内有关性质【解答】解：如图，•••/ ADC = 30° ,•••/ AOC= 2/ADC = 60°.•/ AB是O O的弦，OC丄AB交O O于点C,•••/ AOC=Z BOC= 60°.故选：D.16. （2019年西藏）如图，在O O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在O O上，/ E = 22.5A . 1B ..】C. 2 D. 2 . ■:【考点】勾股定理、垂径定理、圆周角定理【解答】解：•••半径OC丄弦AB于点D ,•••/ E=二/ BOC = 22.5° ,2•••/ BOD = 45°,• △ ODB是等腰直角三角形，•/ AB= 2,DB = OD= 1 ,则半径OB等于:+ ]2 =血.故选：B.17. （2019年海南省）如图，直线11// 12,点A在直线11上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线11、12于B、C两点，连结AC、BC .若/ ABC = 70°,则/ 1的大小为2. （ 2019年湖北省随州市） 则/ C 的度数为 .【考点】圆周角定理A . 20°B . 35°C . 40° 【考点】圆内有关性质 【解答】解：：•点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线D . 70°11、12 于 B 、C ,••• AC = AB , •••/ CBA =Z BCA = 70°,TH // 12,•••/ CBA+ / BCA+ / 1 =180•••/ 1 = 180° - 70°- 70°= 40故选：C .、填空题1. （2019年山东省德州市）如图， CD 为O O 的直径，弦 AB 丄CD ，垂足为E , ???????? CE=1, AB =6,则弦AF 的长度为 ________ .【考点】圆周角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理【解答】解：连接OA 、OB , OB 交AF 于G ,如图,•/ AB 丄 CD ,1• AE=BE= 2AB=3 ,设O O 的半径为r ，则OE=r-1 , OA=r , 在 Rt △OAE 中，32+ (r-1) 2=r 2,解得 r=5,T ' ■-=—,• OB 丄 AF , AG=FG , 在 Rt △ OAG 中，AG 2+OG 2=52,①在 Rt △ ABG 中，AG 2+ (5-OG ) 2=62,②解由①② 组成的方程组得到 AG=24,5• AF=2AG=警.故答案为48.5 5【解答】解：T OA=OB ,点C在优弧??上?，若/ OBA=50°,如图，点A, B, C在O O 上,C•••/ OAB= / OBA=50 ,•••/ AOB=180 -50 °-50 °80° ,•••/ C= ' / AOB=40 . 2故答案为40°3. （2019年黑龙江省伊春市） 如图，在O O 中，半径 OA 垂直于弦BC ,点D 在圆上且/•••/ AOB = 2 / ADC ,•••/ ADC = 30°,•••/ AOB = 60 ° ,故答案为60°.4. （2019年江苏省泰州市）如图， O O 的半径为5,点P 在O O 上，点A 在O O 内，且AP =3,过点A 作AP 的垂线交于O O 点B 、C •设PB=x,PC=y,则y 与x 的函数表达式为 __________ .【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质【解答】如图，连接PO 并延长交O O 于点N ，连接BN•/ PN 是直径，•/ PBN=90 .•/ AP 丄 BC,•••/ PAC =90 ,•••/ PBN= / PAC,又•••/ PNB= / PCA ,•••△ PBN PAC ,【考点】圆周角定理【解答】解：I OA 丄BC ,• PB PN "PA = PC ,.x_103 y30 …y= .x故答案为：30 y= . x三、解答题1. (2019年上海市)已知：如图，AB、AC是O O的两条弦，且AB= AC, D是AO延长线上一点，联结BD并延长交O O于点E,联结CD并延长交O O于点F .(1)求证：BD = CD ;(2)如果AB2= AO2AD，求证：四边形ABDC是菱形.【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定【解答】证明：(1)如图1，连接BC, OB , OD ,T AB、AC是O O的两条弦，且AB= AC,.A在BC的垂直平分线上，OB= OA= OD ,.O在BC的垂直平分线上，.AO垂直平分BC,.BD = CD ;(2)如图2，连接OB,•••/ BAO =Z DAB , •••△ ABO s^ ADB ,•••/ OBA =Z ADB ,•/ OA = OB ,•••/ OBA =Z OAB ,•••/ OAB =Z BDA ,• AB = BD ,•/ AB = AC , BD = CD ,AB = AC = BD = CD ,•四边形ABDC 是菱形.2. (2019年江苏省苏州市)如图， AE 为e O 的直径，D 是弧BC 的中点BC 与AD , OD 分别 交于点E , F.(1) 求证：DO// AC ;(2) 求证：DE DA DC 2;1(3 )若 tan CAD ,求 sin CDA 的值.2【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数【解答】(1)证明：T D 为弧BC 的中点，OD 为e O 的半径• OD 丄 BC???? ????=—, ???? ????B又••• AB 为e O 的直径• ACB 90• AC // OD(2)证明：T D 为弧BC 的中点••• C D ?DDCB DACDCE s DAC DEDC2DA DC DCD A 即DE (3)解：T DCE s DAC , tan CAD• CD …DA 设 CD=2a，贝U DE DC CE 1AC 2,DA 4aAEC s DEF.CE 如 3EF DE所以BC 8CE3又 AC 2CE• AB 10 CE 3即卩 sin CDA sin CBA CA AB3. (2019年河南省)如图，在35△ABC 中,BA = BC,Z ABC = 90 °以AB 为直径的半圆 O 交AC 于点D ,点E 是’上不与点 B , D 重合的任意一点，连接 AE 交BD 于点F ,连接BE 并延 长交AC 于点G .(1)求证：(2)填空:①若AB = 4，且点E 是」的中点，贝U DF 的长为②取匚上的中点H ，当/ EAB 的度数为 _____ 时，四边形OBEH 为菱形.【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值【解答】解：(1)证明：如图1,v BA = BC,/ ABC = 90°•••/ BAC= 45°•/ AB是O O的直径，•••/ ADB = / AEB = 90°•••/ DAF + / BGD = / DBG+ / BGD = 90°•••/ DAF = / DBG•// ABD+ / BAC = 90°•••/ ABD = / BAC = 45°•AD = BD•△ ADF◎△ BDG (ASA);(2)①如图2,过F作FH丄AB于H ,••点E是亍〕的中点，•••/ BAE =/ DAE•/ FD 丄AD, FH 丄AB•FH = FD•，即BF =^:7FD=sin/ ABD = sin45BF 2•/ AB= 4,•BD = 4cos45°= 2打；：|,即卩BF + FD = 2 :'：, ( . '：+ 1) FD = 2 :■:•FD = = 4 - 2 :■:V2+1故答案为■ - . ■:.②连接OE, EH，•点H是一止的中点，• OH 丄AE,•••/ AEB = 90°••• BE 丄AE••• BE// OH•••四边形OBEH为菱形,•••/ EAB = 30°.故答案为：30°4. （2019年浙江省温州市）如图，在厶ABC中，/ BAC = 90 °过A, C, E三点的O O交AB于另一点F,作直径AD ,连结CD , CF .（1）求证：四边形DCFG是平行四边形.【解答】（1）证明：连接AE, ，求O O的直径长.平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理•••/ BAC= 90 ° ,• CF是O O的直径, •/ AC=EC, ，点E在BC连结DE 并延长交AB于点G,•/ AD是O O的直径，•••/ AED = 90 ° ,即GD丄AE,•CF // DG ,•/ AD是O O的直径，•••/ ACD = 90°,•••/ ACD+ / BAC = 180° ,•AB// CD ,•四边形DCFG是平行四边形；(2)解：由CD = -AB ,8设CD = 3x, AB = 8x,•CD = FG = 3x,•••/ AOF = Z COD ,•AF = CD = 3x,•BG = 8x - 3x - 3x= 2x,•/ GE// CF,•丄+「I•/ BE= 4,•AC= CE= 6,•BC= 6+4= 10,•AB= {1 0^-6 N = 8 = 8x,•x= 1,在Rt△ ACF 中，AF = 10, AC= 6,•CF =时+醪=3妬,即O O的直径长为3 一；5. （2019年湖北省宜昌市） 已知：在矩形 ABCD 中，E , F 分别是边AB , AD 上的点，过 点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆 O .FN ，当 AE = AD 时，FN = 4, HN = 3,求 tan / AEF 的值.•••/ EAF = 90°, O 为 EF 中点,EF ,•••点A 在O O 上,当 L l= L 时，/ AEF = 45• tan / AEF = tan45°= 1,(1) 填空：点A（填“在”或“不在” ）O O 上；当U .=计时，tan /AEF 的值是; (3) (4) 如图 如图 如图 在厶EFH 当厶EFH 的顶点 点M 在线段FH FE = FH 时，求证：AD = AE+DH ; F 是边AD 的中点时，求证： EH = AE+DH ; 的延长线上，若 FM = FE ,连接EM 交DC 于点N ，连接 D ]H 【考点】圆的有关性质、 全等三角形的判定和性质、 相似三角形的判定和性质、三角函 C圍1 3图1故答案为：在，1;(2 )T EF 丄FH ,•••/ EFH = 90 ° ,在矩形ABCD 中，/ A=Z D = 90°,•••/ AEF + Z AFE = 90°,/ AFE+ / DFH = 90°,•••/ AEF = Z DFH ,又FE=FH,•△ AEF◎△ DFH (AAS),•AF = DH , AE = DF ,•AD = AF+DF = AE+DH ;(3)延长EF交HD的延长线于点G,G••• F分别是边AD上的中点，•AF = DF ,•••/ A=Z FDG = 90°,/ AFE = Z DFG ,•△AEF◎△ DGF (ASA),•AE= DG , EF = FG ,•/ EF 丄FG,•EH = GH ,•GH = DH + DG = DH+AE ,•EH = AE+DH ;(4)过点M作MQ丄AD于点Q.设 AF = x , AE = a ,•/ FM = FEEF 丄 FH ,•••△ EFM 为等腰直角三角形,•••/ FEM = Z FMN = 45°,•/ FM = FE ,/ A =Z MQF = 90°,/ AEF = Z MFQ ,• △ AEF ◎△ QFM (ASA ),• AE = EQ = a , AF = QM ,•/ AE = AD ,• AF = DQ = QM = x ,•••DC // QM ,•ID.k _，•/ DC // AB // QM ,•Z •RD •空•/ FE = FM ,•二./ FEM = Z FMN = 45° ,• △ FEN 〜△ HMN ,•竺6. （2019年内蒙古包头市）如图，在O O 中，B 是O O 上的一点，/ ABC = 120 °,弦AC =D O严——1* / Ax/f2 二弦BM平分/ ABC交AC于点D，连接MA, MC .(1 )求0 O半径的长；(2)求证：AB+BC = BM.【考点】圆内有关性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质【解答】解：(1)连接OA、OC,过O作OH丄AC于点H，如图1 , •••/ ABC= 120°,•••/ AMC = 180°-/ ABC = 60°•••/ AOC= 2/AMC = 120°AOH = —/AOC = 60°• OA =•••AH = - AC= .gin60 '故O O的半径为2.(2)证明：在BM上截取BE = BC,连接CE,如图2,2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质（包含答案）•••/ MBC = 60°BE = BC,•••△EBC是等边三角形，CE= CB= BE ,Z BCE= 60°,•••/ BCD+ / DCE = 60°•••// ACM = 60°•/ ECM + Z DCE = 60°•/ ECM = Z BCD ,•••/ ABC= 120° BM 平分/ ABC,•/ ABM = Z CBM = 60°•/ CAM = Z CBM = 60° / ACM = Z ABM = 60°,•△ ACM是等边三角形，•AC= CM,•△ACB^A MCE,•AB= ME ,•/ ME+EB = BM ,•AB+BC= BM .。

一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号9，分值3分）如图，AD是O的直径，AB CD=，若40AOB∠=︒，则圆周角BPC∠的度数是()A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒【答案】D．【解析】解：AB CD=，40AOB∠=︒，40COD AOB∴∠=∠=︒，180AOB BOC COD∠+∠+∠=︒，140BOC∴∠=︒，1702BPC BOC∴∠=∠=︒，故选：D．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系2.（2019湖北十堰，8，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2【答案】D【解析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE2．故选：D．【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质3. (2019内蒙古包头市，8题，3分)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A.π-1B.4-πC.D.2【答案】D.【解题过程】解：连接CD，∵∠ACB=900，AC=BC，∴∠ABC=∠A=450，AB==4.∵BC为直径，∴∠BDC=900，即CD⊥AB，又∵AC=BC，∴AD=BD.∴∠DCB=∠DBC=450，∴CD=BD，∴CD=BD=AD=AB=2.∵CD=BD，∴S弓形CD=S弓形BD，∴S阴影=S△ACD=AD·CD=×2×2=2.故选D.【知识点】圆的性质，勾股定理，三角形的面积.4. (2019内蒙古包头市，6题，3分)下列说法正确的是（）A.立方根等于它本身的数一定是1和0B.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形C.在函数y =kx +b （k ≠0）中，y 的值随着x 值的增大而增大D.如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等 【答案】B. 【解析】解：对于A ，立方根等于它本身的数是0和±1，该选项错误；对于B ，顺次连接任意四边形各边中点得到平行四边形，而菱形对角线互相垂直，故顺次连接菱形各边中点可以得到矩形，该选项正确；对于C ，函数y =kx +b （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，该选项错误；对于D ，两个圆周角相等，它们所对弧长相等的前提是在同圆或等圆中，没有这个前提是错误的. 故选B.【知识点】立方根，中点四边形，一次函数的图象及其性质，圆周角的性质.5. （2019北京市，5题，2分） 已知锐角∠AOB ，如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 A ．∠COM=∠COD B ．若OM=MN ，则∠AOB=20°C ．MN ∥CDD ．MN=3CD【答案】D【解析】由作图知，CM CD DN == ,OM=OC=OD=ON ； A ．在⊙中，由CM CD =得∠COM=∠COD ；故选项A 正确.B ．由OM=MN ，结合OM=ON 知△OMN 为等边三角形；得∠MON=60°.又由CM CD DN ==得∠COM=∠COD=∠DON ；∴∠AOB=20°.故选项B 正确. C ．由题意知OC=OD ，∴1802CODOCD ︒-∠∠=.设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S.易得△MOR ≌△NOS （ASA ）∴OR=OS ∴1802CODORS ︒-∠∠=∴OCD ORS ∠=∠ ∴MN ∥CD. 故选项C 正确.D ．由CM CD DN ==得CM=CD=DN=3CD ；而由两点之间线段最短得CM+CD+DN>MN ，即MN<3CD ；∴MN=3CD 是错误的；故选D.【知识点】全等三角形的性质和判定、圆的有关性质、等边三角形的性质和判定.B6.（2019年广西柳州市，6，3分）如图，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则图中与∠A 相等的角是（ ）A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D 【答案】D【解析】：∵∠A 与∠D 都是弧BC 所对的圆周角，∴∠D=∠A ．故选：D ． 【知识点】圆周角定理7. （2019贵州省安顺市，8，3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上的一点，则tan ∠OBC ＝（ ） A ．31B ．22C ．322 D ．42【答案】D【思路分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据余弦函数的定义求出cos ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC ＝∠CDO ，等量代换即可． 【解题过程】 解：作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝42，B第8题答图第8题图cos ∠CDO ＝OCOD ＝322，由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ， 则cos ∠OBC ＝322， 故选：D ．【知识点】圆周角定理、锐角三角函数的定义，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8. （2019吉林省，5，2分）如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度数为(A) 30° (B) 45° (C) 55° (D) 60° 【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因为∠AOP=55°，所以∠POB 的度数为45°，故选B【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系9.（2019·江苏镇江，15，3）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，弧DC ＝弧CB ．若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】A ．【解析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦弧关系定理、等腰三角形的性质，解题的关键是充分利用圆的性质及转化思想． 如答图，连接BD ．第15题答图第15题图∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°．∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠C ＋∠A ＝180°． ∵∠C ＝110°， ∴∠A ＝70°． ∴∠DAB ＝20°． ∵弧DC ＝弧CB ， ∴DC ＝CB ．∴∠CBD ＝∠CDB ＝1(180110)2︒-︒＝35°．∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝20°＋35°＝55°． ∴本题选A ．【知识点】圆周角定理；圆内接四边形性质定理；弦弧关系定理；等腰三角形的性质10. （2019广西梧州，11，3分）如图，O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示： 则DF CF =，132AG BG AB ===， 2EG AG AE ∴=-=，在Rt BOG ∆中，2OG =， EG OG ∴=，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，OE ==，75DEB ∠=︒， 30OEF ∴∠=︒， 12OF OE ∴==在Rt ODF ∆中，DF ==2CD DF ∴==；故选：C ．【知识点】垂径定理；勾股定理；直角三角形的性质11. （2019江苏镇江，15，3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形， 18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒， DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质12. （2019内蒙古赤峰，10，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【解析】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理二、填空题1. （2019广西北部湾，17，3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。

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2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1。

（2019年山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°,则∠ABD 的大小为( ）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°,∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选:B．2。

（2019年山东省德州市)如图，点O为线段BC的中点，点A,C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是（ ）A。

B。

C。

D.130∘140∘150∘160∘【考点】圆内接四边形的性质【解答】解:由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选:B．3. （2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点,且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD,∴∠ADB＝90°,∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立;∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立；故选：C ．4. (2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π,故选：A ．5. （2019年广西贵港市)如图，AD 是⊙O 的直径，=，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度⏜AB ⏜CD 数是（ ）A. B. C 。

圆的有关性质一.选择题1. （2019•江苏无锡•3分）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠P AO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【解答】解：连接OA，如图，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．2. （2019•浙江杭州•3分）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥P A，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝P A＝3．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB＝P A＝3，故选：B．【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．3.（2019•浙江湖州•4分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二.填空题1. （2019•铜仁•4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°2.（2019•江苏宿迁•3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2．【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）求解．【解答】解：直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）．3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝________【答案】155【解析】如图，因为弧AB为50°，则弧AB所对的圆周角为25°，∠E+∠C=180°-25°=155°.4. （2019•广西北部湾经济区•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为______寸．【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5. （2019•广西贺州•10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB，BE＝OE＝4，∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．6. （2019•广东省广州市•12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．7. （2019•贵州省安顺市•12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cosC＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，∴CH＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．8. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的长＝＝π．9. （2019•广东省广州市•3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB ＝∠2，可得出结论；（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．【解答】解：（1）证明：如图①，连接OF，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠1＝∠OFB，∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠2，∴∠1＝∠2．（2）如图②所示⊙M为所求．①①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即⊙M为所求．证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF＝MB，∴∠MBF＝∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠MFB，∴MF∥BC，∵∠C＝90°，∴FM⊥AC，∴⊙M与边AC相切．【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，2. （2019•贵阳•10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A 关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．【分析】（1）由题意可知＝，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由OA ＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝∠AOC，又∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；（2）解：连接PC，∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝PC，又∵PC＝OP＝AB，∴PD＝AB，∴AB＝4PD＝4．【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．3. （2019•天津•10分）已经PA ,PB 分别与圆O 相切于点A ，B ，∠APB =80°，C 为圆O 上一点. （I ）如图①，求∠ACB 得大小；（II ）如图②，AE 为圆O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB =AD ，求∠EAC 的大小.【解析】（I ）如图，连接OA ，OB∵PA ,PB 是圆O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB即：∠OAP =∠OBP =90°∵∠APB =80°∴在四边形OAPB 中，∠AOB =360°-∠OAP -∠OBP -∠APB =100°∵在圆O 中，∠ACB =21∠AOB ∴∠ACB =50°（II ）如图，连接CE∵AE 为圆O 的直径∴∠ACE =90°由（1）知，∠ACB =50°，∠BCE =∠ACE -∠ACB =40°∴∠BAE =∠BCE =40°∵在△ABD 中，AB =AD∴∠ADB =∠ABD =︒=∠︒70)-180(21BAE 又∠ADB 是△ADC 的一个外角，有∠EAC =∠ADB -∠ACB∴∠EAC =20°4.（2019•浙江杭州•12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA ．（1）若∠BAC ＝60°，①求证：OD ＝OA ．②当OA ＝1时，求△ABC 面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE ＝OD ，连接DE ，设∠ABC ＝m ∠OED ，∠ACB ＝n ∠OED （m ，n 是正数），若∠ABC ＜∠ACB ，求证：m ﹣n +2＝0．【分析】（1）①连接OB 、OC ，则∠BOD ＝BOC ＝∠BAC ＝60°，即可求解；②BC 长度为定值，△ABC 面积的最大值，要求BC 边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣mx ﹣nx ＝∠BOC ＝∠DOC ，而∠AOD ＝∠COD +∠AOC ＝180°﹣mx ﹣nx +2mx ＝180°+mx ﹣nx ，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．5.（2019•四川自贡•8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．6.（2019•浙江湖州•10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB，即可求解；（2）证明CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，即可求解；（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3；（2）过点作CM⊥AB，由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），则CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，故点M是圆与直线l1的切点，即：直线l1与⊙Q相切；（3）如图3，①当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），则NQ＝m+3﹣3m+3＝2，解得：m＝3﹣；②当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m＝3；故点P的坐标为（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．7. （2019•广西贺州•10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB，BE＝OE＝4，∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．8. （2019•广东省广州市•12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．9. （2019•贵州省安顺市•12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cosC＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，∴CH＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．10. （2019•广西北部湾经济区）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD=∠CBD；（2）若∠AEB=125°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB=125°，∴∠AEC=55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE=90°，∴∠CAE=35°，∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠BOD=2∠BAD=70°，∴的长==π．【解析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．11. （2019•甘肃省庆阳市•10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

、选择题1. （20佃山东滨州，6, 3分）如图，AB为O O的直径，C, D为O O上两点，若/ BCD = 40°，则/ ABDA. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【答案】B【解析】如图，连接AD , T AB为O O的直径，•••/ADB=90 . v/ A和/BCD都是弧BD所对的圆周角, •••/ A= / BCD=40 , •/ ABD=90 ° - 40° =50°.故选B.【知识点】圆周角定理及其推论2. （2019山东聊城，8,3分）如图,BC是半圆O的直径，D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果/ A = 70° ,那么/ DOE的度数为A.35 °B.38 °C.40°D.42 °第8题图【答案】C【解析】V/ A = 70°，•/ B+ / C= 110°，•/ BOE+ / COD = 220°，•/ DOE =/ BOE+ / COD —180° = 40° ,故选C.【知识点】三角形内角和定理，圆周角定理3. （20佃山东省潍坊市，11, 3分）如图，四边形ABCD内接于O O, AB为直径，AD=CD .过点D作3DE丄AB于点E.连接AC交DE于点F.若sin/ CAB=—, DF=5，则BC的长为（）4• AB=16+4=20 . 在 Rt A ABC 中,A . 8B . 10C . 【答案】C 12D . 16【思路分析】 连接BD , 3先证明/ DAC = / ACD = / ABD= / ADE ,从而可得 AF=DF=5 ,根据 sin / CAB=< , 5求得EF 和AE 的长度,3 再利用射影定理求出 BE 的长度从而得到直径 AB ,根据sin / CAB=-求得BC 的长 5•/ AD=CD ,•••/ DAC = Z ACD .••• AB 为直径，•••/ ADB = Z ACB=90 °•••/ DAB + Z ABD =90° •/DE 丄 AB ,• Z DAB + Z ADE =90°• Z ADE = Z ABD . vZABD = Z ACD ,• Z DAC = Z ADE .• AF =DF=5.在 Rt A AEF 中，EF 3 sin Z CAB= AF 5 • EF=3, AE=4 .• DE =3+5=8 .由 DE 2=AE ?EB ，得 BE = DE 2AE度.BC 3sin / CAB=—AB 5••• BC=12.【知识点】圆周角，锐角三角比4. （2019四川省凉山市，7, 4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦•其中，真命题的个数（▲）A. 1B. 2C. 3 D . 4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选 A.【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论5.（2019四川省眉山市，10,3分）如图，O O的直径AB垂直于弦CD .垂足是点E,/CAO=22.5OC=6，贝U CD的长为A. 6.2 B . 3 2 C . 6 D . 12【答案】A【思路分析】【解题过程】解：V/ A=22.5 °，•/ COE=45 °, TO O 的直径AB 垂直于弦CD ,OC=6 , CEO=90 •••/ COE=45 ° ,• CE=OE= -y OC = 3 2 , • CD=2CE= 6 2，故选：D.【知识点】三角形的外角的性质，垂径定理，锐角三角形函数6. （2019浙江省衢州市，8, 3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A , B , C在O O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm, DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm【答案】B【解析】连接OD ,OB，则O,C,D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB ,AB=8dm，所以BD=4dm,OD = （r-2）dm,由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。

2019中考数学试题及答案分类汇编：圆、选择题1. （天津3分）已知O O i 与O 。

2的半径分别为3 cm 和4 cm ，若OQ 2=7 cm ，则O O 1与O O 2的位置关系是（A ） 相交 （B ） 相离 （C ） 内切 （D ） 外切 【答案】Db【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和 3+4=7，等于两圆圆心距 OQ 2= 7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是 2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A 、相交B 、外切C 、外离D 、内含【答案】B 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两 圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半 径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

•••两圆的直径分别是 2厘米与4厘米，•••两圆的半径分别是 •••圆心距是1+2=3厘米，•这两个圆的位置关系是外切。

故选3, （内蒙古包头3分）已知AB 是OO 的直径，点P 是AB 延长线上的 动点，过P 作OO 的切线，切点为 C,Z APC 的平分线交AC 于点D, / CDP 等于A 、30°B 、60°C 、45°D 50°【答案】【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。

【分析】连接OC•/ OC=O , , PD 平分/ APC •••/ CPD M DPA / CAP d ACO •/ PC 为OO 的切线，• OCLPG•••/ CPD # DPA f CAP +/ ACO=90，•/ DPA f CAP =45，即/ CDP=45。

故选 G1厘米与2厘米。

B 。

4. （内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中, DC/ ABBC=1, AB=AC=AD=2 贝U BD 的长为A. 14B. .15C. 3 2D. 2.3【答案】Bo【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。

2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1.（2019年山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．2.（2019年山东省德州市）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（）A. B. C. D.【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．3. （2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．4. （2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．5. （2019年广西贵港市）如图，AD是⊙O的直径，=，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC 的度数是（）A. B. C. D.【考点】圆周角定理【解答】解：∵=，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴∠BPC=∠BOC=50°，故选：B．6. （2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝2．故选：D．7. （2019年陕西省）如图，AB是⊙O的直径，EF、EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF．若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】圆内有关性质【解答】连接FB，得到FOB＝140°；∴∠FEB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°8. （2019年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【考点】垂径定理的应用【解答】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，∵AB=8，CD⊥AB，∴AD=4,点O、D、C三点共线,∵CD=2，∴OD=r-2，在Rt△ADO中，∵AO2=AD2+OD2， ,即r2=42+（r-2）2，解得：r=5，故答案为：B.9. （2019年甘肃省天水市）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【考点】菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10. （2019年甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【考点】圆周角定理【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．11. （2019年湖北省襄阳市）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB【考点】圆内有关性质【解答】解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．12. （2019年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．13. （2019年甘肃省武威市）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【考点】圆周角定理【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．14. （2019年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．4﹣πC．D．2【考点】圆周角定理【解答】解：连接CD，∵BC是半圆的直径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴阴影部分的面积＝×22＝2，故选：D．15. （2019年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆内有关性质【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．16. （2019年西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于（）A．1 B．C．2 D．2【考点】勾股定理、垂径定理、圆周角定理【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴＝，∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，则半径OB等于：＝．故选：B．17. （2019年海南省）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【考点】圆内有关性质【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．二、填空题1. （2019年山东省德州市）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，=，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为______．【考点】圆周角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE=BE=AB=3，设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，在Rt△OAE中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，∵=，∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2=52，①在Rt△ABG中，AG2+（5-OG）2=62，②解由①②组成的方程组得到AG=，∴AF=2AG=．故答案为．2. （2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为______．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．3. （2019年黑龙江省伊春市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．4. （2019年江苏省泰州市）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为．【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质【解答】如图，连接PO并延长交⊙O于点N，连接BN，∵PN 是直径，∴∠P BN=90°.∵AP ⊥BC,∴∠PAC =90°，∴∠PBN=∠PAC ，又∵∠PNB=∠PCA ，∴△PBN ∽△PAC ， ∴PA PB =PCPN , ∴3x =y10 ∴y=x30. 故答案为：y=x 30. 三、解答题1.（2019年上海市）已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）如果AB 2＝AO •AD ，求证：四边形ABDC 是菱形．【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定【解答】证明：（1）如图1，连接BC ，OB ，OD ，∵AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OD，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．2. （2019年江苏省苏州市）如图，AE为O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.（1）求证：DO AC∥；（2）求证：2DE DA DC⋅=;（3）若1tan2CAD∠=,求sin CDA∠的值.【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数【解答】（1）证明：∵D 为弧BC 的中点，OD 为O 的半径∴OD BC ⊥又∵AB 为O 的直径∴90ACB ∠=︒∴AC OD ∥（2）证明：∵D 为弧BC 的中点∴CD BD =∴DCB DAC ∠=∠∴DCE DAC ∆∆∽∴DC DE DA DC= 即2DE DA DC ⋅= （3）解：∵DCE DAC ∆∆∽，1tan 2CAD ∠=∴12CD DE CE DA DC AC === 设CD =2a ，则DE =a ，4DA a =又∵AC OD ∥∴AEC DEF ∆∽ ∴3CE AE EF DE== 所以83BC CE = 又2AC CE =∴103AB CE = 即3sin sin 5CA CDA CBA AB ∠=∠== 3. （2019年河南省）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，点E 是上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点G ． （1）求证：△ADF ≌△BDG ；（2）填空：A①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为时，四边形OBEH为菱形．【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝FD∵＝sin∠ABD＝sin45°＝，∴，即BF＝FD∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，（+1）FD＝2∴FD＝＝4﹣2故答案为．②连接OE，EH，∵点H是的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB＝90°∴BE⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH为菱形，∴BE＝OH＝OB＝AB∴sin∠EAB＝＝∴∠EAB＝30°．故答案为：30°4. (2019年浙江省温州市)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．【考点】三角形的外接圆与外心、平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，∴CF＝＝3，即⊙O的直径长为3．5. （2019年湖北省宜昌市）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．【考点】圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数【解答】解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．6. （2019年内蒙古包头市）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【考点】圆内有关性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．。