全国通用版2019年中考数学复习第六单元圆第22讲圆的基本性质练习

第六单元 圆第22讲 圆的基本性质1．(2016·黄石)如图所示、⊙O 的半径为13、弦AB 的长度是24、ON ⊥AB 、垂足为N 、则ON 的长为( A ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．112．(2016·岑溪模拟)如图、已知⊙O 的半径OB 为3、且C D⊥AB、∠D ＝15°.则OE 的长为( A ) A.32 3 B ．3 3 C.32D ．33．(2016·乐山)如图、C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点、若CA ＝CD 、且∠ACD＝40°、则∠CAB＝( B ) A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°4．(2016·毕节)如图、点A 、B 、C 在⊙O 上、∠A ＝36°、∠C ＝28°、则∠B＝( C ) A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°5．(2016·陕西)如图、⊙O 的半径为4、△ABC 是⊙O 的内接三角形、连接OB 、OC 、若∠BAC 和∠BOC 互补、则弦BC 的长度为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 36．(2016·杭州)如图、已知AC 是⊙O 的直径、点B 在圆周上(不与A 、C 重合)、点D 在AC 的延长线上、连接BD 交⊙O 于点E 、若∠AOB＝3∠ADB、则( D )A ．DE ＝EB B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB7．(2016·岳阳)如图、四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形、已知∠BCD＝110°、则∠BAD＝70度．8．(2016·白银)如图、在⊙O 中、弦AC ＝23、点B 是圆上一点、且∠ABC＝45°、则⊙O 的半径R9．(2016·枣庄)如图、在半径为3的⊙O 中、直径AB 与弦CD 相交于点E 、连接AC 、BD 、若AC ＝2、则tan ∠D ＝10．(2015·滨州)如图、⊙O 的直径AB 的长为10、弦AC 的长为5、∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. (1)求∠BAC 的度数； (2)求弦BD 的长．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径、 ∴∠ACB ＝∠ADB＝90°. 在Rt △ABC 中、∵cos ∠BAC ＝AC AB ＝510＝12、∴∠BAC ＝60°.(2)∵CD 平分∠ACB、∴∠ACD ＝∠DCB＝∠DAB ＝∠DBA＝12∠ACB＝45°.∴AD ＝BD.∵AD 2＋BD 2＝AB 2、AB ＝10、∴2BD 2＝102. ∴BD ＝5 2.11．(2016·宁夏)已知在△ABC、以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D 、BC 于E 、连接ED 、若ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AB ＝4、BC ＝23、求CD 的长．解：(1)证明：∵ED＝EC 、 ∴∠EDC ＝∠C. ∵∠EDC ＝∠B、∴∠B ＝∠C.∴AB＝AC. (2)连接AE.∵AB 为直径、∴AE ⊥BC. 由(1)知AB ＝AC 、 ∴BE ＝CE ＝12BC ＝ 3.∵∠B ＝∠EDC、∠C ＝∠C、 ∴△ABC ∽△EDC.∴AC EC ＝BCDC .∴CE ·CB ＝CD·CA.∵AC＝AB ＝4、 ∴3·23＝4CD.∴CD＝32.12．(2016·泰安)如图、△ABC 内接于⊙O、AB 是⊙O 的直径、∠B ＝30°、CE 平分∠ACB 交⊙O 于E 、交AB 于点D 、连接AE 、则S △ADE ∶S △CDB 的值等于( D )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．2∶313．(2016·聊城)如图、四边形ABCD 内接于⊙O、F 是CD ︵上一点、且DF ︵＝BC ︵、连接CF 并延长交AD 的延长线于点E 、连接AC.若∠ABC＝105°、∠BAC ＝25°、则∠E 的度数为( B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°14．如图、AB 是半圆直径、半径OC⊥AB 于点O 、AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D 、连接CD 、OD 、给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE ＝OE ；③△ODE∽△ADO；④2CD 2＝CE·AB.其中正确结论的序号是( D )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④15．(2016·聊城)如图、以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O、交斜边AC 于点D 、点E 为OB 的中点上、连接CE 并延长交⊙O 于点F 、点F 恰好落在AB ︵的中点上、连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G 、连接OF. (1)求证：OF ＝12BG ；(2)若AB ＝4、求DC 的长．解：(1)证明：∵以Rt △ABC 的直角边A B 为直径作⊙O、点F 恰好落在AB ︵的中点上、 ∴AF ︵＝BF ︵.∴∠AOF ＝∠BOF＝90°.∵∠ABC ＝∠ABG ＝90°、∴∠AOF ＝∠ABG. ∴FO ∥BG.∵AO ＝BO 、∴FO 是△ABG 的中位线．∴OF＝12BG.(2)在△FOE 和△CBE 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠FOE＝∠CBE，EO ＝EB ，∠OEF＝∠BEC，∴△FOE ≌△CBE(ASA)．由(1)知∠AOF＝90°、又OA ＝OF 、 ∴∠BGA ＝∠OFA＝45°.∴AB＝BG. ∴BC ＝FO ＝12AB ＝2.∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2 5.连接DB.∵AB 为⊙O 直径、∴∠ADB ＝90°. ∴∠ADB ＝∠ABC.∵∠BCD＝∠ACB、 ∴△BCD ∽△ACB.∴BC AC ＝CDCB .∴225＝DC 2、解得DC ＝255.16．(2016·烟台改编)如图、Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合、B点与0刻度线的一端重合、∠ABC＝40°、射线CD绕点C转动、与量角器外沿交于点D.若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形、则点D在量角器上对应的度数是80°或140°．。

课时22 圆的有关概念与性质(时间：30分钟 分值：40分)评分标准：选择填空每题3分．基础过关1．如图1，在⊙O 中AC ︵ ＝BD ︵，∠AOB ＝40°，则∠COD 的度数为( )图1A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为( )图2A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°3．(2017宜昌)如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( )图3A ．AB ＝AD B ．BC ＝CD C ．AB ︵ ＝AD ︵D ．∠BCA ＝∠DCA4．(2017泰安)如图4，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝α，则∠OBC 等于( )图4A ．180°－2αB ．2αC ．90°＋αD ．90°－α5．如图5所示，网格由边长为1的小正方形构成，⊙O 的半径为1，且圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )图5A ．55B ．255C ．2D ．126．(2017白银)如图6，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝__________°.图67．如图7，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为__________．图78．如图8，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB 恰好经过圆心O ，P 是优弧AB 上一点，则 ∠APB 的度数为__________．图89．(7分)如图9，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E .(1)求证：∠BCO ＝∠D ；(2)若CD ＝8，AE ＝3，求⊙O 的半径．拓展提升1．(2017黄石)如图10，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径长为( )图10A ．322B ．62C ．32D ．2332．如图11，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC 于点E ，交BC ︵于点D ，连接CD ，OD ，有以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的比例中项．其中所有正确结论的序号是( )图11A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．如图12，点P 是四边形ABCD 外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD 是⊙O 的直径，AB ＝BC ＝CD ．连接PA ，PB ，PC ，若PA ＝a ，则点A 到PB 和PC 的距离之和AE ＋AF ＝__________.课时22 圆的有关概念与性质基础过关 1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.58 7.13 8.60° 9．(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠BCO ＝∠B . ∵∠B ＝∠D ，∴∠BCO ＝∠D . (2)解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE ＝DE ＝12CD ＝12×8＝4.∵∠B ＝∠D ，∠BEC ＝∠DEA ，∴△BCE ∽△DAE . ∴AE ∶CE ＝DE ∶BE .∴3∶4＝4∶BE ，解得BE ＝163.∴AB ＝AE ＋BE ＝3＋163＝253.∴⊙O 的半径为256.拓展提升 1.D 2.B 3.1＋32a。

【2019最新】春中考数学总复习第六单元圆第22讲圆的基本性质试题第22讲 圆的基本性质1．(2016·茂名)如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠B ＝75°，则∠AOC 的度数是( A ) A ．150° B ．140° C ．130° D ．120°2．(2016·娄底)如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为( C ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°3．(2015·玉林)如图，在⊙O 中，直径CD⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( B )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD4．(2016·毕节)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B＝( C ) A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°5．(2016·陕西)如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 36．(2016·杭州)如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A 、C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB，则( D )A ．DE ＝EB B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB7．(2015·黑龙江)如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( C )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°8．(2016·岳阳)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70度．9．(2016·长沙)如图，在⊙O 中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙O10．(2016·长春)如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC 为30度．11．(2016·枣庄)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD12．(2016·宁夏)如图，已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)证明：∵ED＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C. ∵∠EDC ＝∠B，∴∠B ＝∠C.∴AB＝AC. (2)连接AE.∵AB 为直径，∴AE ⊥BC. 由(1)知AB ＝AC ， ∴BE ＝CE ＝12BC ＝ 3.又由(1)知∠EDC＝∠B，∠C ＝∠C， ∴△EDC ∽△ABC.∴CE CA ＝CDCB .∴CE ·CB ＝CD·CA. ∵AC ＝AB ＝4，∴3×23＝4CD.∴CD＝32.13．(2016·聊城)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°14．(2016·泰安)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，交AB 于点D ，连接AE ，则S △ADE ∶S △CDB 的值等于( D )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．2∶315．(2016·滨州)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF＝DF ；⑤BD＝2OF ；⑥△CEF ≌△BED ，其中一定成立的是( D )A ．②④⑤⑥B ．①③⑤⑥C ．②③④⑥D ．①③④⑤16．(2016·广东)如图，点P 是四边形ABCD 外接圆⊙O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD 是⊙O 的直径，AB ＝BC ＝CD ，连接PA ，PC ，若PA ＝a ，则点A 到PB 和PC 的距离之和AE ＋AF 2a ．17．(2016·聊城)如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O，交斜边AC 于点D ，点E 为OB 的中点，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，点F 恰好落在AB ︵的中点，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G ，连接OF. (1)求证：OF ＝12BG ；(2)若AB ＝4，求DC 的长．解：(1)证明：∵点F 是AB ︵的中点， ∴AF ︵＝BF ︵.∴∠AOF ＝∠BOF＝90°.∵∠ABC ＝∠ABG＝90°，∴∠AOF ＝∠ABG. ∴FO ∥BG. ∵AO ＝BO ，∴FO 是△ABG 的中位线． ∴OF ＝12BG.(2)在△FOE 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FOE＝∠CBE，EO ＝EB ，∠OEF ＝∠BEC，∴△FOE ≌△CBE(ASA)．由(1)知∠AOF＝90°，又OA ＝OF ， ∴∠BGA ＝∠OFA＝45°. ∴AB ＝BG. ∴BC ＝FO ＝12AB ＝2.∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2 5.连接DB.∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°. ∴∠ADB ＝∠ABC.∵∠BCD ＝∠ACB， ∴△BCD ∽△ACB.∴BC AC ＝CDCB .∴225＝DC 2.解得DC ＝255.18．(2016·烟台)如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC ＝40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是( D )A ．40°B ．70°C ．70°或80°D ．80°或140°。

（分类）第22讲 圆的基本性质知识点1 圆的有关概念及性质 知识点2 垂径定理及其推论 知识点3 圆心角、弧、弦之间的关系知识点4 圆周角定理及推论 知识点5 圆内接四边形的性质知识点1 圆的有关概念及性质 知识点2 垂径定理及其推论（xx 襄阳）如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ， ∠CDA =30°，则弦BC 的长为( D )A ．4B ．22C ．3D ．23（xx 枣庄）8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，6,2==BP AP ，030=∠APC ，则CD 的长为（ C ）A ．15B ．52C ．152D ．8（xx 衢州）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8cm ，AE=2cm ，则OF 的长度是（ D ）A ．3cmB ．6cmC ．2.5cmD ．5cm（xx 广州）7.如图4，AB 是圆O 的弦，OC ⊥AB,交圆O 于点C ，连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°，则∠AOB 的度数是（D ）A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°（xx威海）10.如图，O☉的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若30ABC∠°，则弦AB的长为( D )A.12B.5C.532D.53（xx•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ D ）A．B．C．D．（xx武汉）10．如图，在⊙O中，点C在优弧AB⌒上，将弧BC⌒沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则BC的长是（ D ）A．32B．23C．235D．265.（xx 安顺）9.已知O 的直径10CD cm =，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为（ C ）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cmD ．23cm 或43cm（xx 遂宁）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若，则BE 的长是（B ）A 、5B 、6C 、7D 、8（xx 张家界）6.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,cm CD cm OC 8,5==,则=AE ( A ) A cm 8 B cm 5 C cm 3 D cm 2（xx 毕节）19.如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 为半圆的三等分点,CE ⊥AB 于点E,∠ACE 的度数为__30°____.（xx 龙东地区）答案5（xx 玉林）（xx 嘉兴）14.如图,量角器的O 度刻度线为AB .将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点C ,直尺另一边交量角器于点D A ,，量得cm AD 10=,点D 在量角器上的读数为︒60.则该直尺的宽度为335cm（xx 绍兴、义乌）13.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB =∠°，从A 到B 只有路AB ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB .通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了_______15_____步(假设1步为0.5米，结果保留整数).(参考数据：3 1.732≈，π取3.142)（xx 宜宾）15.如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ,DB 交AC 于点G ，若EF AE =34, 则CGGB = 5FG DCB（xx 孝感）答案：2或14（xx ·金华/丽水）.如图1是小明制作的一副弓箭, 点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC =60cm.沿AD 方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1=30cm, ∠B 1D 1C 1=120°.（1）图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为 303 cm.（2）如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为 10-510 cm.【解答】（1）如图2，连结B 1C 1 ， B 1C 1与AD 1相交于点E ，∵D 1是弓弦B 1C 1的中点， ∴AD 1=B 1D 1=C 1D 1=30cm ，由三点确定一个圆可知，D 1是弓臂B 1AC 1的圆心， ∵点A 是弓臂B 1AC 1的中点， ∴∠B 1D 1D=，B 1E=C 1E ，AD 1⊥B 1C 1 ，在Rt△B 1D 1E 中，B 1E=cm ，则 B 1C 1=2B 1E=30 cm 。

第22讲 圆的基本性质重难点 垂径定理及圆周角定理(含推论)如图，△ABC 内接于⊙O，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论：①AB⊥DE；②AE＝BE ；③OD＝DE ；④∠AOE＝∠C；⑤AE ︵＝12AEB ︵.正确结论的个数是(C )A ．2B ．3C ．4D ．5【拓展提问1】 若AB ＝12，DE ＝4，则⊙O 的半径为6.5．【拓展提问2】 若∠C＝60°，AB ＝12，则DE 的长度是【拓展提问3】 若⊙O 的半径为8，将AEB ︵沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为方法指导(1)对于一圆和一条直线来说，下列五个条件：①垂直于弦；②过圆心；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果具备其中两个，就能推出其他三个，简称为“知二得三”．如例题考查由②过圆心、③平分弦(不是直径)这两个条件推出其他三个结论．(2)运用垂径定理及其推论求线段长的关键是构造直角三角形．最常用的方法是连接圆心和圆中弦的一个端点，若弦长为l ，圆心到弦的距离为d ，半径为r ，根据勾股定理有如下公式：12l ＝r 2－d 2. 或在直角三角形中，已知一直角边与斜边的关系，得到角度关系，再利用三角函数求解．⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 上的一个动点．(1)当BC 是⊙O 的直径时，如图1，连接AP ，BP.若∠BAP＝30°，BP ＝3，求⊙O 的半径； (2)当∠APC＝∠CPB＝60°时，如图2，连接AP ，BP ，PC. ①判断△ABC 的形状：等边三角形；②试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2【思路点拨】 (1)连接PC ，则可得∠BAP＝∠BCP＝30°，在Rt △BCP 中求出BC ，继而可得⊙O 的半径．(2)①利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC 的形状；②在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP ＝CD ，即可证得．【自主解答】 解：(1)连接PC. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BPC ＝90°.∵∠BAP＝∠BCP＝30°，BP ＝3， ∴BC＝6.∴⊙O 的半径为3.(2)②证明：在PC 上截取PD ＝AP. 又∵∠APC＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD＝AP ＝PD ，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°. 又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC(AAS )．∴BP＝CD. 又∵PD＝AP ，∴CP＝CD ＋PD ＝BP ＋AP. 例题剖析1．本题源于人教版教材九上P 90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论． 2．在本题的解答过程中，有两点必须注意：①由BC 是直径，可连接PC 构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；②证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等．例题剖析1．本题源于人教版教材九上P 90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论． 2．在本题的解答过程中，有两点必须注意：①由BC 是直径，可连接PC 构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；②证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等．【拓展提问】 ③若⊙O 的半径为1，当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？并求出最大面积．【自主解答】 解：当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：图3如图3，过点P 作PE⊥AB，垂足为E. 过点C 作CF⊥AB，垂足为F. ∵S △APB ＝12AB ·PE，S △ABC ＝12AB·CF，∴S 四边形APBC ＝12AB·(PE＋CF)．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， ∴此时四边形APBC 的面积最大． 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3.∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝ 3.考点1 圆的有关概念1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40°．考点2 垂径定理及其推论2．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于(D )A ．8B ．2C ．10D ．53．(2018·张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥A B 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 等于(A )A ．8 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm4．(2018·绍兴)如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB＝120°，从A 到B 只有路AB ︵，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了15步．(假设1步为0.5米，结果保留整数)(参考数据：3≈1.732，π取3.142)考点3 圆心角、弧、弦之间的关系5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是(A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°6．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为(D )①∠DOE＝∠AOB；②AB ︵＝DE ︵；③OF＝OC ；④AC＝EF.A ．1B ．2C ．3D ．4考点4 圆周角定理及其推论7．(2018·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C 的度数为(D )A ．84°B ．60°C ．36°D ．24°8．(2018·赤峰)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点(A ，B 除外)，∠AOD＝130°，则∠C 的度数是(C )A ．50°B ．60°C ．25°D ．30°9．(2018·广州)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC.若∠ABC＝20°，则∠AOB 的度数是(D )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°10．(2018·毕节)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE⊥AB 于点E ，∠ACE 的度数为30°．11．(2017·十堰)如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为8．12．(2018·巴中)如图所示，⊙O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．考点5 圆内接四边形的性质13．(2018·苏州)如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC ︵上的点．若∠BOC＝40°，则∠D 的度数为(B )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°14．(2018·曲靖)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 为BC 延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝n°．15．(分类讨论)(2018·安顺)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm16．(2017·潍坊)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO⊥CD，垂足为E ，连接BD ，∠GBC＝50°，则∠DBC 的度数为(C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°17．(2017·广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB＝45，BD ＝5，则OH 的长度为(D )A .23B .56C ．1D .7618．(2018·宜宾)如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC ︵的中点，DE⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G.若EF AE ＝34，则CG GB ＝519．(2018·南京)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE.过点A 作AF⊥DE，垂足为F.⊙O 经过点C ，D ，F ，与AD 相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD 的边长为4，AE ＝1，求⊙O 的半径．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，∠ADC＝90°， ∴∠CDF＋∠ADF＝90°. ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°.∴∠GAF＋∠ADF＝90°. ∴∠GAF＝∠CDF.∵四边形GFCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠FCD＋∠DGF＝180°. 又∵∠FGA＋∠DGF＝180°， ∴∠FGA＝∠FCD. ∴△AFG∽△DFC. (2)连接CG.∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠A DF ， ∴△EDA∽△ADF. ∴EA AF ＝DA DF ，即EA DA ＝AF DF . ∵△AFG∽△DFC， ∴AG DC ＝AF DF . ∴AG DC ＝EA DA. ∵在正方形ABCD 中，DA ＝DC ，∴AG＝EA ＝1，DG ＝DA －AG ＝4－1＝3. ∴CG＝DG 2＋DC 2＝32＋42＝5. ∵∠CDG＝90°，C ，G 在⊙O 上， ∴CG 是⊙O 的直径． ∴⊙O 的半径为52.20．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．”则直径CD ＝26寸．。