数字信号处理双语-Z变换.

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数字信号处理第2章 Z变换综述

例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0

1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3

z变换信号流 -回复

z变换信号流-回复什么是z变换信号流？在数字信号处理中，z变换（Z-transform）是一种将离散时间信号转换为连续频域表示的数学工具。

z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间中的对应物。

与傅里叶变换不同，z变换允许对非周期序列进行分析。

信号流是一个由离散时间的信号序列组成的流，其中每个时间点都有一个对应的采样值。

z变换信号流是在离散时间下对信号流进行z变换的过程。

通过对信号流进行z变换，我们可以在频域中对信号进行分析和处理。

下面，我将一步一步回答关于z变换信号流的问题，以帮助您更好地理解这个概念。

第一步：理解z变换的定义和基本概念在进行z变换之前，我们需要了解一些关于z变换的基本概念。

z变换将离散时间序列映射到连续复平面上的函数。

它的定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)]其中，x(n)是离散时间信号的序列，X(z)是z变换后的函数，n是时间索引。

这个公式表示了在离散时间序列x(n)的所有时刻n上对z的幂乘法之和。

第二步：了解z域和频域之间的关系在进行z变换时，我们将信号从时间域转换为z域。

z域是一个复平面，其中z从原点出发沿着虚轴旋转。

z的位置和幅度表示了信号的频率和幅度。

根据z变换的定义，我们可以将z域中的运算转换为频域中的运算。

第三步：计算信号流的z变换对于一个信号流，我们可以通过将其每个时间点的采样值带入到z变换的定义中，来计算其z变换。

即对于信号流x(n)，计算其z变换X(z)的过程如下：1. 对于每个时间点n，将该点的采样值x(n)与z的幂乘法相乘。

2. 对所有时间点n上的乘积求和，得到z变换X(z)。

例如，对于信号流x(n) = {1, 2, 3, 4, 5}，它的z变换可以计算如下：X(z) = 1*z^(-0) + 2*z^(-1) + 3*z^(-2) + 4*z^(-3) + 5*z^(-4)第四步：应用z变换信号流z变换信号流具有广泛的应用，特别是在数字信号处理中。

数字信号处理-z变换(new1)

z n1 1 z 4)(z 4
数字信号处理－第二章z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT)
（1）
n 1 1 n 1 , X ( z ) z 在收敛域中作围线c, 当在围线内有一个一阶极点 z 1 4 n 1 z 当 n 2, X ( z ) z 围线内有一个一阶极点 4 和一个高阶极点 z 0 n 1 1 故此时改求围线外留数。 j Im z 4 n 1, x(n) Re s[ X ( z ) z n 1 ] 1 z 1 4 ( 4) 4 4 ( n 1) 4n 4 , n 1 C 15 15 n 2, x(n) Re s[ X ( z ) z n 1 ]z 4 1/4 4
零点
z 0, z
有三种收敛域：
1 左边序列 2 1 2 ( 2) z 双边序列 2 3 (1) z
3 3 2 2 1 , z 极点z j , z j , z 4 4 3 3 2
2 (3) z 3
右边序列
数字信号处理－第二章z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT)
例如：
5 2 z 1 1 n z x1 (n) u ( n 5) z 2 z 1 2z 2 n 2 n 5 1 0 z 2 n n n 5 5 2 z 1 1 n z x2 (n) u ( n 5) z 2 z 1 2z 2 n 2 n 5 1 0 z 2 n n n 5
j Im z
n 1, x(n) Re s[ X ( z ) z n 1 ]
n 1
z
1 4
Re s[ X ( z ) z n 1 ] z 4

数字信号处理Z变换中英对照翻译

��
(线性)
(5.1.3)
延迟特性表示 D 采样单元延迟信号的效果是相当于其 z 变换乘以因子 z-D，即 X(n) → X(z) ⇒ ��(�� − ��) → �� −�� (��)
��
(延迟)
(5.1.4)
(5.1.1)
或者，明确写下一些术语： X(z)= ···+ x(−2)z2 + x(−1)z + x(0)+x(1)z−1 + x(2)z−2 + ··· 存在与非零信号值 x(n)一样多的项。非零项 z-n 可以被认为是值 x(n)的占位符。如果信号 x(n)是因果关系，则只是负次幂 z-n，n≥出现在扩张中。如果 x(n)是严格反的，则为非零在 n≤-1 只有正次幂才会出现在扩张中，则 z-n =z|n|时，当 n≤1。如果 x(n)与因果和非因果部分混合，那么 Z 的负和正幂都会出现。定义(5.1.1)也可应用于脉冲响应序列 H(n)数字滤波器。H(n)的 z 变换称为滤波器的传递函数。定义如下：
∞ ∞ ∞ n −n
X(z) =
∑(0.5)n u−n (n)z=
n=−∞
∑(0.5) z
n=0
= ∑(0.5z −1 )n
n=0
由于 x（n）的因果关系，在 n≥ 0 上求和。这个无限的总和可以在无穷几何级数公式的帮助下完成：
∞
1 + x + x + x + ⋯ = ∑ xn =
n=0
2
3
1 1 1−x
��
δ(n − 2) → z−2,

数字信号处理,第二章 Z变换讲解

二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)

数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)

离散时间系统
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n

n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]

[数字信号处理]序列的z变换

[数字信号处理]序列的z 变换序列的z 变换z 变换的定义z 变换的定义如下X (z )=∞∑n =−∞x (n )z −n其中z =e j ω,是⼀个复数.在复平⾯上,z 相当于单位圆上的⼀点.典型序列的z 变换单位脉冲序列的z 变换求序列δ(n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞δ(n )z −n =δ(0)z 0=1,0<|z |<∞最后的⼀句话是收敛域阶越序列的z 变换求序列u (n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞u (n )z −n =n =∞∑n =0z −n =11−z −1,|z |>1矩形序列的z 变换求序列R 4(n )的z 变换X (n )=∞∑n =∞R 4(n )z −n =3∑n =0z −n =1+z −1+z −2+z −3=1−z −41−z −1,0<|z |<∞收敛域z 变换的性质线性设x 1(n )的z 变换是X 1(z )x 2(n )的z 变换是X 2(z )如果x 3(n )=ax 1(n )+bx 2(n )那么X 3(z )=aX 1(z )+bX 2(z )X 3(z )的收敛域为X 1(z )的收敛域和X 2(z )的收敛域的交集移位性质双边序列x (n )为双边序列时设x (n )的z 变换是X (z )则x (n +n 0)的z 变换是z n 0X (z )序列移位不会改变z 变换的收敛域右边序列右移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n −1)的z 变换是z −1X (z )+x (−1)x (n −2)的z 变换是z −2X (z )+z −1x (−1)+x (−2)如此类推右边序列左移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n +1)的z 变换是z 1X (z )−x (1)x (n +2)的z 变换是z 2X (z )−z 1x (1)−x (2)如此类推序列乘实指数序列设x (n )的z 变换是X (z )y (n )=a n x (n )的z 变换Y (z )=X (a −1z )复共轭序列的z 变换设x (n )的z 变换是X (z )则x ∗(n )的z 变换是X ∗(z ∗)初值定理设x (n )的z 变换是X (z )则x (0)=lim终值定理设x(n)的z 变换是X(z) \\则x(\infty)=\lim_{z->1}(z-1)X(z)序列类型收敛域有限长序列$0<右边序列$左边序列$双边序列$R_{x-}<Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js帕斯维尔定理(能量定理)时域总能量等于z域总能量(能量守恒)E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega。

第三章--Z变换(数字信号处理)

R
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知换x(n)。
第三章序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一旳原序列x(n)，必须先拟定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图3.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这么收敛域有三种选法，它们是
n n1
设x(n)为有界序列，因为是有限项求和，除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。假如n1<0，则收敛域不涉及∞点；如n2>0，则收敛域不涉及z=0点；假如是因果序列，收敛域涉及
z=∞点。详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章序列的Z变换
第三章序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列，设n1≤-1，其收敛域为0≤|z|＜ ∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx- <|z|<∞。假如x(n)是因果序列，收敛域定为Rx- <|z|≤∞。推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列

《数字信号处理》第六章 Z变换

第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)

x(n)zn

(1)nu(n)zn

z
n

n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)

x(n)zn
A( z )

1 za

1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)

1 a
(1
1 a
z

1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )

z
1 a

11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1

z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k

zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。

数字信号处理z变换

X (s) X ( j) x(t)e jdt
s j
拉普拉斯变换演变为傅里叶变换
– 0 ，s平面的左半面，对应 r eT 1,单位圆内
– 0 ， s平面的右半面，对应 r eT 1,单位圆外
z变换与拉氏变换的映射关系
映射
1)s平面上的虚轴 z平面上的单位圆r=1
映射
2)s平面上的左半平面 z平面上的单位圆内r<1
X (z) x(n)zn n
与z变换的定义一致
拉普拉斯复变量 s j ， 2 f 对应连续系统及连续信号的角频率，单位是弧度/秒
z esTs e( j)Ts eTs e jTs
令 r eTs Ts
则 z re j
对应离散系统和离散信号的圆周频率，单位是弧度
X (z) x(n)(re j )n x(n)rn e jn
例1 已知f (t) eatu(t),(a 0) 和F( j) 1
，求f (t )拉普拉
j a
斯变换
F(s) F( j) 1 js s a
收敛域如图a),包括虚轴
例2 求t的指数函数 f (t) eatu(t) ,(a为任意常数)的拉普拉
斯变换
F (s) eatestdt e(sa)tdt
X (z) x(n)zn n0
显然，仅当 x(n) 0, n 0 时，双边和单边z变换才相等。
X (z) 2z 11.5z1 z2 0.5z3
由拉普拉斯变换到z变换
x(nTs ) 是由连续信号x(t)经抽样得到的
x(nTs ) xa (t) (t nTs ) xa (nTs ) (t nTs )
又z esTs ,
其中Ts为序列时间间隔
2
s

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6
• The set R of values of z for which its z-transform converges is called the Region Of Convergence (ROC)收敛域.
• X(z) converges if and only if
x[k]zk M
• H(z) is called as the transfer function传递函数 of system.
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Z transform of sequence
• For a given sequence x[n], its z-transform is
defined as
X (z) Z{x[n]} x[n]zn
3.5 Summary
1
Homework
• pp. 127-131 • 3.1 b f g • 3.2 • 3.6 b c
• 3.8 • 3.19 b • 3.20 a
2
3.0 Introduction
• Advantages of Z transform – It suits for more sequence analysis than Fourier transform. For many cases, we could have Z transforms for sequences when their Fourier transfroms do not exsist. – It is more convenient than Fourier transform in many analytical problem.
frequency, that is, z e jω , then
H(z) H(e jω ) h[k ]e-jk H (e j ) e j () k -
y[n] H(z)x[n] H(e jω )e jn |H(e jω )|e j[n ()]
• Then we get Fourier transform H (e j ) of h[n]. • H (e j ) is system’s frequency response.
k
• In general, the region of convergence R of a ztransform for a sequence x[n] is an annular region环形区域 of the z-plane（z平面）. proof
R1 | z | R2, where 0 R1 R2
7
Figure of ROC R1 < |z| < R2
z=Re{z}+jIm{z} Im{z}
R2 R1
Re{z}
8
Example 3.1.1
Compute the z transform and specify
the ROC of sequence x[n] [n].
• Solution:it is a finite length sequence. its z transform is
Chapter three the Z Transform Z 变换 3.0 Introduction
3.1 the Z transform Z变换 3.2 Properies of the Region Of Convergence for the Z transform收敛域 3.3 The Inverse z-Transform Z逆变换 3.4 Properties of the z-Transform Z变换的性质
call them as Rational z-transforms. A rational z-
transform could be written as a ratio of two polynomials多项式 in z-1:
X
(z)
N(z) D(z)
n0 d0
n1z1 ... nM zM d1z1 ... dN zN
k-
k-
znz-kh[k] zn h[k]z-k x[n]H (z)
k-
k-
Where H(z) h[k]z-k.
k
We call H (z) as the Z transformfor sequenceh[n].
4
If theinput zn is a complexsinusoid with
n
Where z=Re{z}+jIm{z} is a complex variable.
• Notation:
X(z) exists only when the summation converges. So X(z) is only defined for the regions of the complex z plane in which the summation is on the right convergence.正确收敛.
3
3.1 The Z transform Z变换
Considering a LTI system,when theinput is an
exponential function, x[n] zn , then theoutput is
y[n] x[n - k]h[k] z(n-k) h[k]
10
• Alternately，it can be rewritten in factor form
Z[n] [n]zn z0 1 n and its ROC is 0 z , or we can say all z plane is its ROC. 9
Zeros and Poles of Rational z-transforms 有理Z变换的零点和极点
• In the case of LTI discrete-time system with that we are concerned in this course, all pertinent相关的 z-transforms are rational functions of z-1, we