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09刚体力学基础习题课

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《刚体力学基础习题》课件

《刚体力学基础习题》课件


03 刚体的转动惯量
CHAPTER
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，其大小与刚体的质量分布和转轴的 位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以通过积分计算其转动惯量，对于规则刚体，也可以通过公 式直接计算。
刚体的动量矩
动量矩的定义
动量矩是描述刚体转动动量的物理量 ，其大小等于刚体的动量与转动轴到 质心距离的乘积。
转动惯量与动量矩习题解析
转动惯量
01
描述物体转动惯性大小的物理量，与物体的质量分布和旋转轴
的位置有关。
动量矩
02
描述物体转动动量大小的物理量，等于物体质量与速度矢量的
乘积。
动量矩守恒
03
在没有外力矩作用的情况下，物体的动量矩保持不变。
谢谢
THANKS
04 刚体的动力学应用
CHAPTER
刚体的平动与转动
刚体的平动
刚体在空间中沿某一确定直线作等距离的移动，这种运动称为刚体的平动。
刚体的转动
刚体绕某一定点转动，这种运动称为刚体的转动。
刚体的定点运动
01
刚体的定点运动是指刚体绕通过 某一定点的转轴转动，其上任意 一点都绕该转轴作圆周运动。
02
刚体的定点运动可以分为定轴转 动、定平面转动和定点转动三种 类型。
转动动力学方程
T=Iβ（其中T为扭矩，I为转动惯量，β为角加速度）
复合运动动力学方程
需要将平动和转动动力学方程联立求解。
02 刚体转动的基本定理
CHAPTER
角动量定理
总结词
描述刚体转动时，力矩与角动量变化 量之间的关系。
详细描述
第五章 刚体力学基础习题课(第三讲)13

第五章 刚体力学基础习题课(第三讲)13


8l
即：d 9g cos d
8l
d 9g cos d
0
0 8l
O
解得： 9g sin
4l 利用机械能守恒定律求解：
mg mg
mgl sin l mg sin 1 J 2 0 J 1 ml 2 ml 2
2
2
3
24
例题5、如图,一矩形匀质薄板ABCD,长为l、宽为 d、质量为m。板绕竖直轴AB以初角速度 转0 动， 阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比， 比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度减 为初角速度的一半？
解得 :
1 2
MR2
mrv r
0
mr 2 1 MR2
2
v r v
20
m rvr
m r2 1 MR2 2
由于: d
dt
初始: t 0,0 0
t
dt
0
t
0
mr
mrv r 21
dt MR
2
2
mr
2
mr 1
MR 2
t
0
v dt r
2
2mr 2
mr 2 1 MR2 2
.
rR
v r v
式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反. 21
例4：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑 的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定 一质量也是m的小球，且小球半径R<<l。设杆由水平 位置自由释放。 求：杆下摆至任意角度时的角速度和角 加速度
O
mg mg
22
解：细杆在下摆过程中， 重力矩作用杆的质心处，
解:受力分析如图:
T2
N
T 1
刚体力学基础习题课

刚体力学基础习题课

动量矩与转动惯量的关系
刚体的动量矩
刚体的进动和章动
第五章
进动的定义和计算
进动是指刚体绕自身某定点作角速度矢量沿着垂直于该定点轴的平面内的圆周运动。
进动的角速度矢量可以表示为$omega = omega_0 + alpha times omega_0$，其中$omega_0$是初始角速度矢量，$alpha$是进动角速度矢量。
平动刚体的动能和动量分别为 (E = frac{1}{2}mv^2) 和 (p = mv)，其中 m 为刚体的质量，v 为刚体的速度。
平动刚体的特征
平动刚体的运动规律
平动刚体的动能和动量
刚体的转动
转动刚体上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，但可以形成不同的角度。转动刚体的角速度和角加速度是矢量。
进动的角速度矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|omega| = |omega_0| sqrt{1 + alpha^2}$，$tan theta = frac{alpha}{1 + alpha^2}$，其中$theta$是进动角。
章动的定义和计算
章动的角位移矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|theta| = |theta_0| + frac{1}{2} |beta| t^2$，$tan varphi = frac{beta t}{2 |theta_0|}$，其中$varphi$是章动角。
01
静态平衡是稳定的，只要刚体受到微小的扰动，它就会恢复到原来的平衡状态。
刚体的平衡稳定性
03
刚体在静态平衡状态下，其重心位置保持不变，且各方向上的力矩平衡。
刚体的平衡状态
02
刚体的动态平衡
力学习题课_刚体

力学习题课_刚体


Fx ma x 直角坐标系 Fy ma y Fz ma z
第三定律： F 12 F 21 作用在不同物体上两力的性质完全相同
8
力学中常见的力
m1m2 Mm 1、万有引力：F G 2 er 重力： W G 2 mg r R
2、弹性力：发生形变的物体，由于力图恢复原状， 对与它接触的物体产生的作用力。 如压力、张力、拉力、支持力、弹簧的弹力。 弹簧的弹性力：f =﹣k x 3、摩擦力：物体运动（或有运动趋势）时，由于接 触面粗糙而受到的阻碍运动的力。 滑动摩擦力 f k k N 最大静摩擦力 f s max s N 4. 黏滞阻力（与相对运动方向相反） 1 2 f C A v 相对速率较小时 f d k v 相对速率较大时 d
r
v
24
（二）转动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量
单个质点的转动惯量：I = m r2
2 I ( m r 质点系的转动惯量： ii) i 1 n
质量连续分布的刚体的转动惯量： I r 2 dm
m
质量为线分布 dm = λdl
质量为面分布 dm = σdS 质量为体分布 dm = ρdV
其中、、 分别为质量的
v x dv dv ( 2) v k v vdv kdx v0 0 dt dx 2 2 x (v03/2 v 3/2 ) x(v = 0 ) v03/2 3k 3k
17
4. 一小球放在光滑的碗内以角速度 ω 绕 y 轴转动， 在任一点上都能保持平衡，试证明碗的内表面是旋转 抛物面。
1 1 ( A) R ( N 3mg ) ( B ) R (3mg N ) 2 2 1 1 (C ) R ( N mg ) ( D ) R ( N 2mg ) 2 2
大学物理刚体力学习题课ppt课件

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0 3g/ L
(2)弹性碰撞过程，角动量守恒 m
J0 JmvL
机械能守恒
12J02
1J21mv2
22
.
v 1 3gL 2
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
2 23 2 3g
l
.
6. 如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没
有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩，求
滑轮两边绳子的张力。已知m1=20 kg， m2=10 kg。
滑轮质量为m3=5 kg。滑轮半径为r=0.2 m。滑轮可视
为均匀圆盘，阻力矩Mf=6.6 Nm，圆盘对过其中心且
与盘面垂直的轴的转动惯量为
解：由于摩擦力矩恒定，因此轮子做匀角加速转动， 轮子上的各点做匀变速圆周运动
0t
t1, 0.80
0.20
t2,00.40
当轮子静止时 = 0
2022
2 0
2
02 0.40
2.50
.N 2 .5 0/2 5 0/4
4. 在恒力矩M=12 Nm作用下，转动惯量为4 kgm2 的圆盘从静止开始转动。当转过一周时，圆盘的转 动角速度为 2 3 rad/s。
与O点的距离为3l/4，求：(1)棒开始运动时的角速度；
(2)棒的最大偏转角。
o
解：对题中非弹性碰撞，角动量守恒，
mv 3 l J
4
J
m(3l)2 4
1 3Ml2
36ml
(27m16M)l
3
l 4
l
A
上摆过程， 机械能守恒
1J 2M l(1 g c o) sm3lg (1 c o)s
2
刚体习题课 [修复的]

刚体习题课 [修复的]


以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时，
则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为：
（A）
mR 2 J
(VR )
，顺时针；
（B）
mR 2 J
(VR ) ，逆时针；
（C） （D）
J
mR 2 mR 2
(VR
)
，顺时针；
J
mR 2 mR 2
(VR )
，逆时针。
[A ]
mR 2 (V )
为分（ （ （ （速析ABCD度）：）））rω单=位6093，3r4122eiˆ.则2v2.554/iˆ..m该11kˆki4iiˆˆˆ时n1=ˆ2j刻1151r.88Pe6v..点58ˆ8∴j/sk的ˆ=ˆ选jjˆ21速π5（r7度a.B0d为k）/ˆs ：∴P点在转动平面内对圆心
该时刻P点的速度为:
21
A
1 2
J
2
11
1 2
J
2
2 2
1 2
0.8 (2
37.5 60
)
2 (2
15 60
)2
3.70(J)
2022/1/25
22
5.19 如图所示，均匀杆长 L= 0.40m ，质量M
=1.0kg ，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静
•
止。今有一质量为 m = 8.0g 的子弹以速度υ=
200m/s 水平射入杆中而不复出，射入点在轴下 d = 3L/4 处。
g
2022/1/25
18
5.13 一根均匀米尺，在60cm刻度处钉到墙上，且可以
在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后
释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)


解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量

ddt
d dt

d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g

t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
大学物理学第二章刚体力学基础自学练习题

大学物理学第二章刚体力学基础自学练习题

第二章 刚体力学基础 自学练习题、选择题4-1．有两个力作用在有固定转轴的刚体上：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零； 对上述说法，下述判断正确的是： （ ）（A ）只有（ 1）是正确的； （ B ）（ 1）、（2）正确，（ 3）、（ 4）错误；（C ）（1）、（ 2）、（3）都正确，（4）错误； （D ）（1）、（ 2）、（3）、（4）都正确。

【提示：（1）如门的重力不能使门转动，平行于轴的力不能提供力矩；（2）垂直于轴的力提供力矩，当两个力提供的力矩大小相等，方向相反时，合力矩就为零】4-2．关于力矩有以下几种说法：（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；（3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定 相同。

对上述说法，下述判断正确的是： （ ）B ）（1）、（2）是正确的；D ）（1）、（2）、（3）都是正确的。

提示：（1）刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力，作用点相同，则对同一轴的力矩和为 零，因而不影响刚体的角加速度和角动量； （2）见上提示； （3）刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状 有关，因而在相同力矩的作用下，它们的运动状态可能不同】3．一个力 F v （3i v 5 vj ）N 作用于某点上，其作用点的矢径为4-3．均匀细棒 OA 可绕通过其一端 O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，如图所示。

今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆 到竖直位置的过程中，下述说法正确的是： （ ） （A ）角速度从小到大，角加速度不变； （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大；A ）只有（ 2）是正确的；C ）（2）、（ 3）是正r (4i 3 j ) m ，则该力对 坐标原点的力矩为 vv（A ） 3kN m ； （B ） 29kN m ；C ）29k v N m ； vD ) 3kN m 。

刚体力学习题课

刚体力学习题课


角动量定理 的微分形式
M = dL dt
角动量定理
t2
t1
Mdt
=
Jw2
Jw1
角动量守恒定律 M=0时，Jw=恒量
刚体力学两个主要公式
• 转动定律
Mz
=
J
dw
dt
=
J
• 角动量守恒定律
Lz = Jw = 恒量
• 机械能守恒定律：
• 当除重力矩以外旳其他合外力矩不作功或 作功为零时，则刚体机械能守恒。
T2 = T2'
对质点： mg T1 = ma1
对刚体： T2 mg = ma2
T12r T2r = J
a1 = 2r a2 = r
联立以上几式解得： 2g
19r
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r旳两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，能够绕
经过盘心且垂直盘面旳水平光滑固定轴转动，对转轴旳转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边沿都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m旳重物，求盘旳角加速度旳大小．
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r旳两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，能够绕
经过盘心且垂直盘面旳水平光滑固定轴转动，对转轴旳转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边沿都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m旳重物，求盘旳角加速度旳大小．
为)，圆盘可绕经过其中心O旳竖直固定光滑轴转动．开始时，
圆盘静止，一质量为m旳子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入 圆盘边沿并嵌在盘边上。求：(1) 子弹击中圆盘后竖直轴旳转动惯量为 ，忽视子弹重力造成旳摩擦阻力矩)
v0
刚体力学基本习题课

刚体力学基本习题课


特点
碰撞前后，系统的总动量守恒， 但总机械能减少，减少的机械能 转化为内能等其他形式的能量。
典型例子
两个质量不等的小球以不同的速 度正碰，碰撞后它们以不同的速 度继续运动，且系统的总动能减
少。
06
刚体力学中的守恒定律
动量守恒定律
定律内容
一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持 不变。
度和角加速度。
02
刚体绕定轴转动的动力学描述
刚体绕定轴转动时，受到的外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速
度的乘积。
03
刚体绕定轴转动的微分方程
根据动力学描述，可以建立刚体绕定轴转动的微分方程，进而求解刚体
的角速度、角加速度等转动参数。
04
刚体的平衡
刚体平衡的条件
合外力为零
刚体所受的所有外力的矢量和必 须为零，即刚体处于静态平衡。
均匀性假设
刚体内各点的密度相同。
各向同性假设
刚体在各个方向上的物理性质 相同。
小变形假设
在外力作用下，刚体只发生微 小的弹性变形，且变形量与外
力成正比。
02
刚体的运动学
刚体的平动
描述刚体平动的物理量
01
位置矢量、位移、速度、加速度。
刚体平动的运动学方程
02
根据初始条件和运动规律建立。
刚体平动的特点
质点系动量矩定理的表述
质点系对某点的动量矩的变化率等于作用在质点 系上所有外力对该点的力矩的矢量和。
3
质点系动量矩定理的应用
通过分析质点系的受力情况和转动情况，可以求 解质点系的角速度、角加速度等转动参数。
刚体绕定轴的转动微分方程
01
刚体绕定轴转动的运动学描述
大学物理刚体力学习题课

大学物理刚体力学习题课


l 1 1 2 mg sin mgl sin ( ml ml 2 ) 2 2 2 3 9g 3 2 sin g sin / l 4l 2

m m
9 g cos 16l
角加速度对应于该位置的力矩
l 1 2 mg cos mgl cos ( ml ml 2 ) 2 3
12. 一长为l ，质量为 M的均匀木棒，可绕水平轴O在 竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直下垂，今有 一质量m、速率为v的子弹从A点射入棒中，假定A点 与O点的距离为3l/4，求：(1)棒开始运动时的角速度； (2)棒的最大偏转角。
解：对题中非弹性碰撞，角动量守恒，
3 3 2 1 mv l J J m( l ) Ml2 4 4 3 36ml (27m 16 M )l
mg T ma
O
Tr J
J m( g a)r 2 / 2
2 gt J mr 2 ( 1) 2s
a r
由已知条件v0 = 0, 得
1 2 s at a 2 s / t 2 2
m
9. 如图所示，滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质 量为m轮，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转。 忽略桌面与物体间的摩擦。设m1=50 kg, m2=200 kg, m轮=15 kg, r=0.1 m，计算该系统中物体m1和m1的加 速度。
解：细杆由初始位置竖直位置，机械能守恒
1 1 L 2 2 J 0 J1 mg (1 cos ) 2 2 2
0
60
v0
碰撞前后角动量守恒， 取为角 动量正向 mv0 L J1 (J mL2 )2 系统竖直位置由初始位置
1 L 1 2 ( J mL2 )2 Mg (1 cos ) mgL(1 cos ) ( J mL2 ) 2 2 2 2

刚体力学第3讲刚体力学小结与习题课


(2)
3
完全1m弹m性x碰2撞m1前x21后m动l能213相m等2l 2：
??? (3)
2
23
(2)+(3) 解出 x 3 l / 3
或小球自下落至碰撞完毕，整个过程中小球、杆、
地球系统旳机械能守恒：
mgx(1 cos )
1
(1
ml 2 )
2
(3´)
(1)+(2)+(3´)一样可解出 2 3
例7：空心圆环可绕竖直轴 AC 自由转动，其转动惯量
mv
mv 0
质点系t 动量定理
t0
其中
Fdt
P
P P0
mv
动量守恒定律 当合外力为 0时
P0 P
转动
冲量矩 角动量
t
t0
刚体 质点
M dt
L Lr
J
P
角动量定t 理
Mdt t0
L
L0
角动量守恒定律 当合外力矩 为0时
L0 L
二 经典例题分析
处理力学问题旳措施
1.拟定研究对象； 2.受力分析； 3.建立坐标系或要求正向，或选择0势点； 4.拟定始末两态旳状态量； 5.应用定理、定律列方程求解； 6.有必要时进行讨论。
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R
2
mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 2 0 / 40
R /2
Ro
v

刚体力学基础习题解答

衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题命题教师：郑永春 试题审核人：张郡亮一、填空题（每空1分）1、三个质量均为m 的质点，位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。

此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _，对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__12ma 2_，对通过三角形中心和一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__21ma 2。

2、两个质量分布均匀的圆盘A 和B 的密度分别为ρA 和ρB (ρA >ρB )，且两圆盘的总质量和厚度均相同。

设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则有J A < J B 。

3、 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J ＝ kg ·m 2，角速度?0＝ rad/s ．现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m ，当物体的角速度减慢到?＝ rad/s 时，物体已转过了角度???＝4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s ?1 _；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率? ＝__13 m·s ?1_。

5、有一质量均匀的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。

如将此棒放在水平位置，然后任其下落，则在下落过程中的角速度大小将 变大 ，角加速度大小将 变小 。

二、单项选择题（每小题2分）（ A ）1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确的是：A.这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；B.这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；C.当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；D.当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。

《刚体力学习题》PPT课件

速中和度AJ、B相=B12同轮m，B绕rB2相）O轴应转的动拉时力的fA、转f动B之惯比量应分为别多为少B J？A =r（B12 m其ArA2
A
rA
2021/4/24
fB fA
5-23 图
16
【解】据转动定律有：
f ArA = J A A
fBrB = J BrB
要使A、B 轮边缘处的切向加速度相同，应有：
【解】：受力分析如图
T1 = T1'
T2 = T2'
对质点： mg T1 = ma1
对刚体： T2 mg = ma2
T12r T2r = J
a1 = 2r a2 = r
联立以上几式解得： 2g
19r
2021/4/24
6
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕
2021/4/24
2S
T
r
a T mg
5
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕
通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m的重物，求盘的角加速度的大小．
相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则
子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度
(A) 增大． (B) 不变．
． (C) 减小． (D) 不能确定
把三者看作同一系统时,系统所受合外 m
m
力矩为零,系统角动量守恒。
O
M
Jw0 L L = (J J子弹 )w

刚体习题课

je?2cmghc??21?质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比一?角加速度角加速度?加速度加速度?角速度?速度?刚体的定轴转动?质点的运动??tvtrvdd?d?tdd?tdd???a??a????转动动能?动能?力矩的功?力的功?转动惯量j力矩m?质量m力fd221mvek?221?jek????bar?fa?d???bama???d质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比二?角动量原理
3、刚体定轴转动角动量原理与角动量守恒定律：
注意区分： 角动量守恒与动量守恒的条件。 1）光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加 一对大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中， 细杆的动量是否守恒，对杆中心点O的角动量是否守恒？ 动能是否守恒？ F
o
F
合外力为零，则系统的动量守恒。
机械能守恒：
Ek E p const .
Ek E pC const .
三、基本计算：
1、转动惯量的计算： 若质量离散分布： （质点，质点系） 若质量连续分布： 平行轴定理： 正交轴定律：
2 J＝ m r ii i
J r2 d m
J D J c md
一、基本概念：
刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。
刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点 的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。
J mi ri
刚体定轴转动角动量：
2
Lz J
刚体的转动动能： Ek转 1 J 2 2 力矩的功： 刚体的重力势能:
A
Md
E p mghc
2、基本原理：
1）刚体角动量原理：
M外
dL dt
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水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击
中过程中，木球、子弹、细棒系统的
•
对 o 轴的角动量 守恒，原因是
对该轴的合外力矩为零 , 在木球
被击中和球升高的过程中，对木
球、子弹、细棒、机地球系统的
械能 守恒。
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12.（习题集P13.73）
在一光滑的水平面上，有一轻弹簧，一端固定 ，一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示。
J M 20 25(kgm2) β 0.8
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5. (P8 47) 一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置，如图， 梯子下端连一倔强系数为k 的弹簧。当梯子靠墙竖直放置
时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。当梯子
依墙而与地面成θ角且处于平衡状态时，
(1)地面对梯子的作用力的大小为 W 。
(2)墙对梯子的作用力的大小为 kl cosθ 。
(3)W、k、l、θ应满足的关系式为
。
NB B
解：刚体平衡的条件： W2klsinθ
Fi 0
i
Mi 0
NA W
NB f klcosθNAA
l θW
f
i
W 1 2 l c o s θ f l s i n θ N A l c o s θ 0
2.转动惯量的计算
zω
v
P
解法（：1）定义法：J Δmiri2
Or
i
J r2dm r2ρdV
定轴
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（2）平行轴定理 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体
对其转动惯量为J，则有 J＝JC＋m d 2。
3.定轴转动的动力学问题
解法：利用定轴转动中的转动定律 M J
步骤： （1）审题，确定研究对象； （2）建立坐标系； （3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注： 受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将
F=ma与M=J 联系起来；
（4）计算对轴的转动惯量； （2501）9/9/2解0 方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。7
∴角动量守恒: mv0l0mvlsinθ (选⊙为正)
对（滑块+弹簧+地球）系统，
由A外A非 保 内0知 机 械 能 守 恒
选弹簧原长时为弹性势能零点，光滑水平面
为重力势能零点，则
1 2m v0 21 2m v21 2k(ll0)2
两式联立，可解出结果。
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13.（习题集P15.81）
t ( ) ＝
2J
k ω ω0
kω 0
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7. (P9 49) .长为l的杆如图悬挂，O为水平光滑 固定转轴，平衡时杆铅直下垂，一子弹水平
•
地射入杆中，则在此过程中， 杆和子弹系统 对转轴O的 角动量 守恒。
M
8. (P9 50) . 地球的自转角速度可以认为是恒定
m
的，地球对于自转轴的转动惯量
转动惯量为 J 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然
以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时，
则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
（A） ω mR2 ，(V顺) 时针； JR
mR2 V （B） ω ，( 逆) 时针；
JR
（C） mR2 ，(顺V时) 针；
J mR2 R
分析：
仍成立。 2019/9/20
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三、习题基本类型
1.定轴转动的运动学问题
解法：利用定轴转动的运动学描述关系
d dt


d
dt

d2
dt 2
0 t
vr
at r
an r2
2 0 0 2 02 t(12t20)vωr
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚 体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获 得的角加速度的乘积。
M外JJddt
2.刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等
于刚体的转动动能的增量。
A1 2J221 2J12E k2E k1
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f klcosθ W2klsinθ
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6. (P848) 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0 。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速 度ω的平方成正比，比例系数为k（ k为大于0的常数）。
当ω= ω0/3 时，飞轮的角加速度β=________。从开始制 动到ω= ω0/3 所经过的时间 t =_________。
4
3. 刚体的角动量定理
微分形式： M 外

dL dt
积分形式：
t2 t1
M dtL2L1L
4. 角动量守恒定律
如果刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩为零，
则它对于这一固定轴的角动量保持不变。
M外 z 0，则 Jzωcon. st
5. 机械能守恒
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律
[ 22 1 019M /9/20 2 1 M R (R 2 0 ) 2 ]0 2 1 M 2 1 M R (R 2 0 ) 2 20(2 )
（1）（2）两式联立可得
ω

ω0

2v 21R
（2）欲使盘对地静止，须
2v ω ω0 21R 0
v 21Rω0 2
“－”号表示人走动方向与上一问中人走动 方向相反，即与盘初始转动方向一致。
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14.（习题集P16.83）
有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止放在滑动 摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过端点O且 与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动 的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另
弹簧自然长度l0=0.2m，倔强系数k=100N.m-1，设 t=0时。弹簧长度为l0，滑块速度v0=5m.s-1，方向
与弹簧垂直。在某一时刻，弹簧位于与初始位置
垂直的位置，长度l=0.5m。求该时刻滑块速度的
大小和方向。
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解： 以θ表末速度与弹簧长 度方向的夹角。
对（滑块+弹簧）系统， M外0
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4. (P8 46) 一可绕定轴转动的飞轮，在20N·m的总力矩作 用下，在10s内转速由零均匀地增加到8 rad/s，飞轮的
转动惯量J＝
。
解：初角速度为: ω0=0
末角速度为: ω=8(rad/s)
角加速度为：β ω ω0 800.8(rad/s2)
t
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利用定轴转动中的转动定律 M Jβ
解：刚体的角速度
v 3v
m
●
o
2m ●
ω

(
2 3
l)
2l
l l /3
J oJ i m (2 3 l) 2 2 m (3 1 l) 2
LJ 2ml23v mvl
2 3
ml
2
3
2l
或 Lmv1r1mv2r2mv2 3l2m(v 2)1 3lmvl
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J=9.8×1037kg·m2。地球对自转轴的角动量L
＝ 7 1130(3kgm 2s1) 。
解：刚体的角动量大小： L Jω
1(re/v日) 2 (ra/ds)
24 60 60
L 9 1 8 3 0 7 2 7 1 1 3 ( 0 k 3m g 2 s 1) 2 6 4 6 00
动，在4s内，被动轮的角速度达到8πrads-1，则主动轮在
这段时间内转过了_____圈。
解：t = 4s 时，101t11t1则 1 两轮边缘上点的线速度大小相等： 1r1 2r2
t
1 1
主动轮在4s内的角位移
n1 1 2 0t11 1 241 1t1 rr21 2 1 2 2t1 1t1 4 2 1 125 2rr81242t12(0re)v
刚体的定轴转动
一、基本概念 1.刚体及其平动、转动、定轴转动
理想化的力学模型 特性：特殊的质点系(牛顿力学)
2.转动惯量
刚体对定轴的转动惯量等于刚体中每个质点的质量
与这一质点到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和。
J miri2 J r 2dm
i
m
3.转动动能 (刚体中各质元的总动能)
r3iˆ4ˆj5kˆ
∴P点在转动平面内对圆心 o′的矢径为: R3iˆ4ˆj
该时刻P点的速度为: vωR2πk(3iˆ4ˆj)
6πˆj 8πiˆ 25.1iˆ18.8ˆj
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2.(P4 18) .质量为m的小孩站在半径为R 的水平平台边缘 上，平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，
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9. (P9 51) .质量分别为m 和2m 的两物体（都可视为质 点），用一长为 l 的轻质刚性细杆相连，系统绕通过杆
且与杆垂直的竖直固定轴o转动，已知o轴离质量为2m
的质点的距离为，质量为m的质点的线速度为v且与杆垂
直，则该系统对转轴的角动量(动量矩)大) 动量矩定转理动的物内体容所受的合外力矩的冲量矩等 是于在合外力矩作用时间内转动物体动量矩的增量
，其数学表达式可写
成 是
物0 tM 体d 所t 受J 合2ω 外2力矩J1为ω 1 零。， 动量矩守恒的条件
11. (P953) .如图所示，一匀质木球固结在一细棒下 端，且可绕水平光滑固定轴 o 转动，今有一子弹沿着与