数字信号处理z变换PPT课件

数字信号处理2 Z变换
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国

n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域

4)
z1
4n
4
15 2021/3/17
数字信号处理
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
当n 1时 F (z)在围线c内有一阶极点z 1 和-(n 1)阶极点z 0
4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上
x(n) Re s[F (z)]z4
1
)
4 z4
4 z1
4
1 (4n 4n2 ) 15
x(n) 1 (4n 4n2 15 2021/3/17
)u(n)
数字信号处理
思考：n=0,1时，F(z) 在围线c外也无极点， 为何 x(n) 0
例3：X (z)
(1
1 a2 az)(1
az
1
)
，a
1，求z反变换
解：x(n) 1
Rx
z
R x
,
（R x
0,
R x
）内是解析的，则
在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
而
X (z) Cn zn Rx z Rx
n
Cn
1
2
j
X (z)zn1dz
c
j Im[z]
C
n 0,1,2,
其中围线c是在X(z)的环状
Rx
0
Rx
Re[z]
收敛域内环绕原点的一条
反时针方向的闭合单围线。
2021/3/17
a)
(a2 1)zn a(z a1)(z
a)
za
( z
a 1 )
(a2 1)zn a(z a1)(z
a
)
z
a 1

数字信号处理
Digital Signal Processing
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
离散信号的复频域分析

为什么引入双边z变换 双边z变换及其收敛域 双边z变换的主要性质 双边z反变换的计算
为什么引入双边z变换
单边z变换
X ( z ) = ∑ x[k ]z − k
k =0
∞
存在局限：※只能描述因果系统 ※只能分析单边序列
试求指数序列的双边z变换及其收敛域a为半径的圆外区域rocrezimz双边z变换及其收敛域0时右边序列z变换的收敛域是rezimz双边z变换及其收敛域imzrez双边z变换及其收敛域0时左边序列z变换的收敛域为imzrez双边z变换及其收敛域azbz双边z变换收敛域是圆环区域双边z变换及其收敛域4双边序列双边序列z变换的收敛双边z变换及其收敛域roc本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累来源于多种媒体及同事和同行的交流难以一一注明出处特此说明并表示感谢
Rx+
Re(z)
∑
−1
x[ k ] z − k + x[0] + x[1] z −1 + + x[ N 2 ] z − N 2
|z| ≠0 ，故左边序列z变换的收敛域为 0 < |z| < Rx+
双边z变换及其收敛域
（4）双边序列
X ( z) =
k = −∞
∑
∞
x[ k ] z − k
Im (z) ROC
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -20
h[k]
x [k]
3 2 1 2 k
-15
-10
-5
0
5
10

1
收敛域的大小与稳定性有密切
关系
信号的频域特性
2
如果系统的输入信号Z变换的收敛域包含 了稳定域，则系统是稳定的
不同的收敛域代表着信号在频域上的不
同特性，因此收敛域在信号分析中具有
重要的地位
3
滤波器设计
不同的收敛域决定了数字滤波器的性质， 因此我们可以根据需要指定收敛域来设 计所需的数字滤波器
收敛域的边界有哪些？如何确定边界？
常见的收敛域有哪些？
1 收敛于整个平面
对于某些信号，Z变换在整个平面都收敛，这在实际应用中较为少见
2 收敛于单位圆内部
当信号的绝对值随着时间的增加而指数衰减，Z变换收敛于单位圆内部
3 收敛于单位圆外部的环状区域
如果信号的绝对值并不随着时间的增加而衰减，而是不断循环波动，Z变换就会在圆环上 收敛
动态系统中收敛域的重要性是什么？
控制系统稳定性分析
Z变换和收敛域在控制系统的分 析和设计中具有广泛应用。我们 可以利用收敛域来预测系统的稳 定性，并设计控制器来改善系统 的性能
语音信号处理
语音信号的处理和分析需要考虑 其时间和频率特性。Z变换和收 敛域是分析语音信号频率特性的 有力工具之一
Z变换与收敛域在实际应用中的局限性 与挑战
边界线的特点不同
收敛域和发散域之间的边界线有很大不同。收敛域 的边界线通常是连续的，而发散域的边界线则断断 续续
收敛定理是什么？有哪些类型？
1
极限定理
如果序列的极限存在，则它的Z变换必收
稳定定理
2
敛于某个区域内
一个因果稳定的离散系统的Z变换必定在
单位圆内收敛
3
因果性定理
如果离散系统是因果的，那么它的Z变换

Re[z]
b
21
第2章 Z变换及其在离散域中的应用
[例] 求序列
x(n) = δ (n) 的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1 = n2 = 0 时的有限长序列，
Z[δ (n)] =
n=−∞
∑δ (n)Z
∞
−n
= Z =1
0
其收敛域应包括 z = 0, z = ∞, 即 0 ≤ z ≤ ∞, 充满整个Z平面。
18
第2章 Z变换及其在离散域中的应用
[例] 求序列
x(n) = a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
n=−∞
解： X (z) =
∑a u(n)z
n −1∞Fra bibliotek−n= ∑a z
n=0
∞
n −n
= ∑(az )
n=0 −1 n
∞
−1 n
= 1+ az + (az ) +L+ (az ) L
当
ROC
−1 2
d Z[nx(n)] = −z X (z), Rx− < z < Rx+ dz
证明： (z) = X
n=−∞
x(n)z−n , 对 两 求 得 其 端 导 ∑
∞
∞ ∞ dX (z) d d −n = [ ∑ x(n)z ] = ∑x(n) (z−n ) dz dz n=−∞ dz n=−∞
=
n=−∞
∞
−1
∞
= − b−1z + (b−1z)2 +L+ (b−1z)n +L
[
n=−∞
]
n=1
同样当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。

R
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列

(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za

a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z

a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
n0
(3.2)
第三章 序列的Z变换
这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因 果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分 析和变换。
(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要 求级数绝对可和， 即

x(n)zn
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：

X (z)
n

anu(n)zn
n0
anzn

1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
nn1
nn1
nn1
第三章 序列的Z变换

1

x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1

(4 z)(z 1/ 4)
解：x(n) 1
2 j
z2
z n 1dz
c (4 z)(z 1/ 4)
c (Rx , Rx )
其中：F(z)
z2
zn1
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
(4 z)(z 1/ 4)
当n 1时
F (z)在围线c内只有一阶极点z 1
4
x(n)
Re
s[F
(
z
即X(z)在z=处收敛
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n) 0
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
z
4
4
z
z n 1
z
1/
4
z
4
4n2
15
x(n) 4n u(n 1) 4n2 u(n 2)
15
15
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
例2：X (z)
z2
，z 4，求其z反变换
(4 z)(z 1/ 4)
j Im[z]
解： 收敛域是圆的外部
C
x(n)是右边序列
1/ 4
又lim X (z) 1， z
第二章 z变换和DTFT
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述

数字信号处理2 Z变换
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
40、学而
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳