① ② ③ ④
∵以 AB 为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB， ∴x1x2＋y1y2＝0.
但 y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， 由③④，x1＋x2＝3－2aa2，x1x2＝3－－2a2， ∴(a2＋1)·3－－2a2＋a·3－2aa2＋1＝0，
解得 a＝±1 且满足②.
∴|AB|＝ 1＋a2 x1＋x22－4x1x2
由y2－mx2＝1 15x－3y＝－6
得195－mx2＋4 315x＋3＝0， 当 m＝195时，显然不满足题意，当 m≠195时，
4 15
则x2＋x2＝－195－3 m，
x1x2＝195－3 m.
又 OA⊥OB，所以 x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋y1y2＝83x1x2＋2 315(x1＋x2)＋4＝0， 4 15
∴83·195－3 m＋2 315－195－3 m＋4＝0；
∴m＝13，经验证，此时 Δ>0； ∴双曲线的方程为 y2－x32＝1.
x1＋x2＝－ 15
(2)∵x1x2＝94
，
∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋ 3152· － 152－4·94＝4.
小结 使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解 决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得 到的 k 要保证满足相交，即验证 Δ>0.
＝ 1＋a2
3－2aa22＋3－8 a2＝ 10.
探究点三 圆锥曲线中参数范围问题的求法
例 3 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(－3,0)， 一条渐近线的方程是 5x－2y＝0.
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有__两__个公共点，此时称直线与双 曲线__相__交____； Δ＝0⇒直线与双曲线有_一___个公共点，此时称直线与双 曲线__相__切____； Δ<0⇒直线与双曲线___没__有___公共点，此时称直线与双 曲线___相__离___． 2．弦长公式 斜率为 k (k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|.
又与直线 15x－3y＋6＝0 交于 A，B 两点，且 OA⊥OB(O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB|.
解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)，即是双曲线的顶点，
因此设双曲线方程为 y2－mx2＝1 (m>0)
①
又直线 15x－3y＝－6
②
A(x1，y1)、B(x2，y2)是方程①、②组成的方程组的两个解．
跟踪训练 2 已知直线 y＝ax＋1 与双曲线 3x2－y2＝1 交于 A、B 两点．若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值及弦长|AB|. 解 由y3＝x2－axy＋2＝1 1 消去 y，得
(3－a2)x2－2ax－2＝0 依题意3－a2≠0 ，即－ 6<a< 6且 a≠± 3
Δ>0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xx11＋x2＝x2＝ 3－－32－a22aa2
探究点一 直线与双曲线的位置关系 问题 1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？
答案 判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程 组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y 的一元二次方程， 再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这 时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时，就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解．这时 直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零 时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．
问题 2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定 相切吗？ 答案 不一定，平行于渐近线的直线若和双曲线相交， 只有一个公共点，而不是相切．
例 1 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何 值时，直线 l 与双曲线 C：(1)有一个公共点；(2)有两个 公共点；(3)无公共点？
(2)当 k<32且 k≠± 2时，直线 l 与双曲线有两个公共点； (3)当 k>32时，直线 l 与双曲线无公共点．
小结 在讨论直线与双曲线的位置关系时，要先讨论得到 的方程二次项系数为零的情况，再考虑 Δ 的情况，而且不 要忽略直线斜率不存在的情形．
跟踪训练 1 双曲线 C：xa22－y2＝1 (a>0)与直线 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B.求双曲线的离心率 e 的取值范
围． x＋y＝1， 解 由ax22－y2＝1 消去 y 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， 由题意知14－ a4＋a2≠ 8a02，1－a2>0， 得 a∈(0,1)∪(1， 2)．
∴e＝ac＝ a2＋a2 b2＝ 1＋a12， ∴e∈ 26， 2∪( 2，＋∞)．
探究点二 与弦长有关的问题 例 2 设双曲线的顶点是椭圆x32＋y42＝1 的焦点，该双曲线
1．直线与双曲线的位置关系
一般地，设直线 l：y＝kx＋xa22－yb22＝1 (a>0，b>0)
②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线的渐近
线平行，直线与双曲线 C__相__交__于__一__点____.
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)．
y＝kx＋1－k， 由x2－y22＝1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.
(*)
当 k2－2＝0，即 k＝± 2时，(*)式只有一解，直线 l 与双曲线相交，只有一个公共点．
当 k2－2≠0 时，Δ＝24－16k， 若 Δ＝0，即 k＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切， 只有一个公共点； 若 Δ>0，即 k<32，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两 个公共点； 若 Δ<0，即 k>32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点． 综上，(1)当 k＝± 2或 k＝32时，直线 l 与双曲线只有一个公 共点；
