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高等代数线性方程组解剖

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高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1

高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1

例 解下列方程组

5 x1 2 x1

x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0

2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0



2 5
1 1
4 2
2 1
1 7

1 3 6 5 0 1 3 6 5 0


0 0
7 14
16 32
12 24
1 7



0 0
7 0
16 0
12 0
1 5

从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2

a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。

高等代数课件北大版第三章线性方程组

高等代数课件北大版第三章线性方程组

定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。

线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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高等代数3.6 线性方程组解的结构

高等代数3.6 线性方程组解的结构
j 1
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.

x3 x3

4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.

高等代数课件北大版第三章线性方程组.ppt

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§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
所以方程组 x11 x22 xrr 0 只有零解.
即 a11 x1 a21 x 2
a12
x1
a22 x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0 ar2 xr 0 arn xr 0
（2）
只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
注 ① 若 A 0 ，则 R( A) 0.
②
设 A
aij
，则 R( A) min(s,n).
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
证： " " R( A) n, A 的 n 个行向量线性相关. 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出，从而在行列式 A 中，用这一行
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22
x2
ar1 x1 ar 2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 arn xn 0
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩

高等代数04线性方程组

高等代数04线性方程组

最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x26x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C, x 1= 1 7C , 即原方程组解为 x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
定义1 定义1 由st个数cij 排成的一个 行t列的表 个数 排成的一个s行 列的表
c11 c12 L c21 c22 L L L cs1 cs 2 L c1t c2t L cst
叫作一个s行 列矩阵 c 列矩阵。 叫作一个 行t列矩阵。 ij 叫作这个矩阵的元素
注意： 注意：矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。 一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。
例2
解
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 求下列线性方程组的解： 1 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
1 1 1 1 1 5 0 2 7 4 3 → 0 → 0 0 2 7 4 1 7 0 4 14 8 0
并且用B表示 B 的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.1得： 秩A=秩B= r，秩A =秩B 现在设线性方程组（1）有解。那么或者r = m，或者r < m，而
dr+1 =L= dm = 0，这两种情形都有秩B=0，于是由（4）得，
B 反过来，设秩 A =秩B 。那么由（4）得， 的秩也是 r。由此得，或 者r = m，或者r < m 而 dr+1 =L= dm = 0 ，因而方程组（1）有解。

高等代数--第二章 线性方程组

高等代数--第二章 线性方程组

• 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯 形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵 化简.
x1 2 x2 x3 2 x4 1 • 例 2 2 x1 4 x2 x3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
答案：当 1 时，方程组无解 当 1 时，方程组有解
§2 n维向量空间 R

n
消元法是解方程组的一个行之有效的算 法。但有时需要直接从原方程来判是否 有解？并且，消元法化为阶梯形方程组 的过程中，最后剩下来的方程个数是否 是唯一的？这些问题都需要用向量的知 识来解决。
n维向量及其线性运算
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
方程组的解为（9，-1，-6）。
其中用到
1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)； 3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换). 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换.
答案
例5
x1 2 x2 x3 x4 x5 1 2 x x 3x 2 x x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 2 x3 2 x4 3x5 2 3x1 11x2 2 x3 2 x4 x5 2
（7）
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把
x1, x2 ,, xr 通过 xr 1,, xn 表示出来，这样一
组表达式称为方程组（1）的一般解， 而
xr 1,, xn 称为一组自由未知量。
• r>n，是不可能的 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若

高等代数课件--第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构


证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系
a11 a12? …a1r
若R(A) =r<n，不妨设
a21 a22? …a2r ………………
0,
则(1)可写成
ar1 ar2? …arr
a11x1 a12x2 a1r xr a1,r1xr1 a1nxn
a21x1 a22x2 a2r xr a2,r1xr1 a2nxn
来代替自由未知量(xr+1,…,xn), 就得到(2)的
解，也就是(1)的nr个解:
1 (c11, c12 , , c1r ,1，0， ，0）
2 (c21, c22, , c2r，0，1， ，0）
(3)
nr (cnr,1, cnr,2 , , cnr,r，0，0， ，1）
要证明(3)是(1)的基础解系，需证
2 ．基础解系
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r，若满足 1) 1,2,…,r线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可
由1,2,…,r线性表出； 则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一
个基础解系；
4 ．基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。
1,2,…,nr
2）求出(4)的一个特解0；
3）写出(4)的一般解为
= 0+k11 + k22 +…+knrn r
① 1,2,…,n-r线性无关 令k11+ k22+…+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +…+kn-rn-r=(*,…,*,k1, k2,…,kn-r)=0，从而 k1=k2=…=kn-r=0, 所以1,2,…,n-r线性无

高等代数 线性方程组

增广矩阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0

4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1

1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵

高等代数3.5 线性方程组有解判别定理


1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r , 的一个级大线 性无关组，因此向量 可以经 1 , 2 , …, r 线性 表出，它当然可以经1 , 2 , …, n 线性表出.
因此，方程组 (1) 有解.
证毕
这个判别条件与消元法的关系
三、一般线性方程组的解法
同解.
当 r = n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一
解，也就是方程组 (1) 有唯一解.
当 r < n 时，将方程组 (4) 改写为
a11x1 a1r xr b1 a1,r1xr1 a1nxn ,
a21x1 a2r xr
b2 a x 2,r1 r1 a2nxn ,
程组的增广矩阵化为行阶梯形
1 1 1 1 1 0
A

2

3 1
2 3 1
1 0 2
0 1 1 初等行变换
1 1
2 0
1 1

1 1 1 1 1 0 0 0 3 2 1 1

0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
00
因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方
a11 a12 a1n
A


a21 as1
a22 as2

a2n
asn

与增广矩阵
a11 a12 a1n b1
A


a21 as1
a22 as2

a2n asn
b2
bs

有相同的秩.
证明 先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解,
就是说， 可以经向量组 1 , 2 , …, n 线性表出. 由此立即推出，向量组1 , 2 , …, n 与1 , 2 , …, n , 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别

高等代数第2讲——n元线性方程组解的情况

⾼等代数第2讲——n 元线性⽅程组解的情况 在有理数(或实数，或复数)集内(这⼀前提还是很重要的)，n 元线性⽅程组解的情况有且只有三种情况：(1)⽆解；(2)唯⼀解；(3)⽆穷解。

可以通过两条直线(“直线”对应代数中的“线性”)的关系加以理解：两条直线要么平⾏(对应⽆解)，要么相交(对应唯⼀解)，要么重合(对应⽆穷解)。

可以通过对线性⽅程组的增⼴矩阵进⾏初等⾏变换，得到最简⾏阶梯矩阵，据此可以判断线性⽅程组解的情况。

何谓初等⾏变换呢？1. 把⼀⾏的倍数加到另⼀⾏2. 现⾏互换3. ⼀⾏乘以⼀个⾮0常数 何谓最简⾏阶梯矩阵？它的特点是：1. 它是阶梯形矩阵2. 每个⾮零⾏的主元都是13. 每个主元所在列的其余元素都是0与之对应的⽅程组为 上⾯的最简⾏阶梯矩阵中，红框中的元即为主元，或称主变量。

⽅程组可写为： 这个表达式称为原线性⽅程线的⼀般解，其中以主元为系数的未知量 x 1 ， x 3 称为主变量，⽽其余未⽮量 x 2称为⾃由未知量。

⼀般解就是⽤含⾃由未知量的式⼦来表⽰主变量。

定理1 n 元线性⽅程组的解的情况只有三种可能：⽆解，有唯⼀解，有⽆穷多个解。

把n 元线性⽅程组的增⼴矩阵经过初等⾏变换化成阶梯矩阵，如果相应的阶梯形⽅程出现"0=d(其中d 是⾮零数"这样的⽅程，则原⽅程组⽆解；否则，有解。

当有解时，如果阶梯形矩阵的⾮零⾏数⽬r 等于未知量数⽬n ，则原⽅程组有唯⼀解；如果⾮零⾏数⽬r<n ，则原⽅程组有⽆穷个解。

如果⼀个线性⽅程组有解，则称它是相容的；否则，称它是不相容的。

下述线性⽅程组有什么特点？它是否⼀定有解？ 上⾯的线性⽅程组的每个⽅程的常数项都为0。

常数项全为0的线性⽅程组称为齐次线性⽅程组。

显然(0,0,0,0)是齐次线性⽅程组的⼀个解，这个解称为零解。

任何⼀个齐次线性⽅程组都有零解。

如果⼀个齐次线性⽅程组除了零解外，还有其它的解，则称其它解为⾮零解。

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(3) kO O
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。 当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
§1 消元法
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn
d2
(cii 0)
cnn xn dn
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1
d2 c2,r1xr1 c2n xn (cii 0)
crr xr dr c x r,r1 r1 crn xn
方程组有无穷多解。
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
5x1 x2 2x3 x4 7 2x1 x2 4x3 2x4 1 x1 3x2 6x3 5x4 0
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； ➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11
A
a21
a12
a22
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn
d2
(cii 0)
crr xr c x r,r1 r1 crn xn dr
可改写为
自由未知量
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn
c22 x2 c2r xr
的对应分量都相等，即
ai bi , (i 1, 2, , n)
就称这两个向量相等，记作
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 减法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 数乘： k (ka1, ka2 ,, kan ), k P
bs
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
§1 消元法
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2
a2n xn
0
as1x1 as2 x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx22
2x3 x4 4x3 2x4
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2nபைடு நூலகம்xn d2
crr xr crn xn 0
dr d r 1
(cii 0)
0 0
0 0
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0 时，该线性方程组无解。 当 dr1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
0 0
x1 3x2 6x3 5x4 0
§1 消元法
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1, a2 ,, an ) 称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ), (b1,b2 ,,bn )
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O 有负元： ( ) O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
有单位元： 1 结合律： k(l ) (kl)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
Ax b
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
as1 as2 asn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k( ) k k
分配律： (k l) k l
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0 O (2) (1)
as1 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n
b2
A
b
asn bs
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。