高等代数线性方程组解剖
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⾼等代数第2讲——n 元线性⽅程组解的情况 在有理数(或实数,或复数)集内(这⼀前提还是很重要的),n 元线性⽅程组解的情况有且只有三种情况:(1)⽆解;(2)唯⼀解;(3)⽆穷解。
可以通过两条直线(“直线”对应代数中的“线性”)的关系加以理解:两条直线要么平⾏(对应⽆解),要么相交(对应唯⼀解),要么重合(对应⽆穷解)。
可以通过对线性⽅程组的增⼴矩阵进⾏初等⾏变换,得到最简⾏阶梯矩阵,据此可以判断线性⽅程组解的情况。
何谓初等⾏变换呢?1. 把⼀⾏的倍数加到另⼀⾏2. 现⾏互换3. ⼀⾏乘以⼀个⾮0常数 何谓最简⾏阶梯矩阵?它的特点是:1. 它是阶梯形矩阵2. 每个⾮零⾏的主元都是13. 每个主元所在列的其余元素都是0与之对应的⽅程组为 上⾯的最简⾏阶梯矩阵中,红框中的元即为主元,或称主变量。
⽅程组可写为: 这个表达式称为原线性⽅程线的⼀般解,其中以主元为系数的未知量 x 1 , x 3 称为主变量,⽽其余未⽮量 x 2称为⾃由未知量。
⼀般解就是⽤含⾃由未知量的式⼦来表⽰主变量。
定理1 n 元线性⽅程组的解的情况只有三种可能:⽆解,有唯⼀解,有⽆穷多个解。
把n 元线性⽅程组的增⼴矩阵经过初等⾏变换化成阶梯矩阵,如果相应的阶梯形⽅程出现"0=d(其中d 是⾮零数"这样的⽅程,则原⽅程组⽆解;否则,有解。
当有解时,如果阶梯形矩阵的⾮零⾏数⽬r 等于未知量数⽬n ,则原⽅程组有唯⼀解;如果⾮零⾏数⽬r<n ,则原⽅程组有⽆穷个解。
如果⼀个线性⽅程组有解,则称它是相容的;否则,称它是不相容的。
下述线性⽅程组有什么特点?它是否⼀定有解? 上⾯的线性⽅程组的每个⽅程的常数项都为0。
常数项全为0的线性⽅程组称为齐次线性⽅程组。
显然(0,0,0,0)是齐次线性⽅程组的⼀个解,这个解称为零解。
任何⼀个齐次线性⽅程组都有零解。
如果⼀个齐次线性⽅程组除了零解外,还有其它的解,则称其它解为⾮零解。