(*)
只有零解;向量1,2,…,s组线性相关的充 要条件是齐次线性方程组(*)有非零解.
在向量个数为n时,根据Cramer法 则,前一结论可改写 已知i=(ai1, ai2,…, ain), i=1,2,…,n, 则
1,2,…,s线性无关|aij|0
1,2,…,s线性相关|aij|=0
任意添加一个向量(如果还有的话),所得
的部分向量组都线性相关,则此部分组称
为一个极大线性无关组。
等价定义:
设1, 2,…,s为Pn中的一个向量组,它 的一个部分组i1, i2,…,ir若满足
i) i1, i2,…,ir线性无关
ii) 对任意的j (1 j s), j可经i1, i2,…, ir 线性表出 则称i1, i2,…,ir为向量组1, 2,…,s的一个
§3.3 线性相关性
一个十分重要的概念
一、线性组合
定义: 对于向量,1, 2, …,s ,如果存 在P上的数k1,k2,…,ks使
= k11+ k22+ …+kss
则称向量为向量组1, 2, …,s的一个 线性组合.另一种称呼是,可以由向 量组1, 2, …,s线性表出。
极大线性无关组(简称极大无关组)
性质:
1) 通常一个向量组的极大无关组不唯 一。. 2) 一个线性无关的向量组的极大无关组就 是其自身.
3)一个向量组的任意两个极大无关组都等 价. 4) 一个向量组的任意两个极大无关组都含 有相同个数的向量.
2. 向量组的秩
定义 向量组的极大无关组所含向量
个数称为这个向量组的秩.
性质
1) 单独一个向量线性相关当且仅当它是零 向量;单独一个向量线性无关当且仅当它 是非零向量. 2) 一向量组线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余向量线性表出.