高等代数线性方程组42页PPT

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。

线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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方程组 AX 0 的两个基础解系， 则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数

→
2 4 2

3
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
线 性 方 程 组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
→
2 0 0
1 4 1
3 1 1
1 2 5
课件
4
高 等 代 数
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x 2 x3 5
→
2 0 0 2 0 0
—（1）
3
线 性 方 程 组
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
课件 3
高 等 代 数
性 方 程 组
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 用一个非零数乘矩阵的某一行；
课件 6
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对 由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行 相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩 阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 mn 个元素排成形如下数表 a1n a11 a12 a a a 22 2n 21 3 称为数域 F 上的m行n列 amn a m1 a m 2 线 矩阵，简称 mn阶矩阵，记为 A 或 a ij m n 。 a i j 称为矩阵的 mn 性 元素，i称为元素 a i j 所在行的行下标，j称为元素 a i j 所在列的 方 n n 矩阵亦称为方阵。 列下标。 当m=n时，

对一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
（*）
分别称
a11 a A 21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a a2 n , A 21 a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 bm
例2
解线性方程组
x3 x3 x3 x3 2 x4 4 x4 x4 3 x5 4 x5 5 x5 8 x5 1 2 3 2
x1 x2 2 x 2 x 1 2 3 x1 3 x2 x1 x2
。
§1.2 线性方程组解的情况及判别
情形一：
d r 1 0 0 d r 1
此时阶梯形方程组中出现了
这种矛盾方程，因此阶梯形方程组无解。
情形二：
d r 1 0
子情形一：
r n
则上述阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n
定理 方程组的初等变换把一个线性方程组变成 另一个同解的线性方程组。
定理 任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为 阶梯形矩阵。
给定线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm

增广矩阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0

4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1

1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵

1 1 0 2 ((11))rr32 0 1 1 0
0 0 1 3
阶梯形矩阵所对应的线性方程组为
x1 x2 2
x2
x3
0
x3 3
第三步 运用逐步回代求出阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解
x1 1
x2
3
x3 3
上述解即为原方程组的解. 由于此方程组中未知数的个数n和方程m的个 数相同，故方程组的解是惟一的.
rr1223rr33 0 1 0 20 5 0 r1(3)r2 0 1 0 20 5 0
0 0 1 7 2 0
0 0 1 7 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
第三步 增广矩阵的秩 R(AB) 3，基本未知量的个数是3，未知量的个数是5， 所以自由未知量个数为2个.
第四步 写出行最简形阶梯矩阵所对应的线性方程组
x1 x3,
x2
x3
1,
x4
x3
1.
（3.1.4）
表示式（3.1.4）也是方程组（3.1.1）的一般解. 虽然两个一般解的 表达形式上不一样，但它们本质上是一样的，都表示了方程组（3.1.1） 的所有解.式(3.1.4)的矩阵形式为：
x1 1 0
x2
k
1
1.
x3 x4
3 7 1 1 3 0
1
4
5
1
0
0
第二步用初等行变换将( A B)化为行最简形阶梯矩阵
(3.1.9)
1 3 2 2 1 0
1 3 2 2 1 0
( A B) 2 5 1 5 3 0 rrr342(2r1r13)r10 1 3 1 1 0
3 7 1 1 3 0
0 2 5 5 0 0

VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词

a(k ik
1)
) /a a(k)
ij
(k) kk
(i lik
k a(k)
kj
(i
1,...,n) k 1,...,n;
j
k
1,...,n, n
1)
该Gauss消去法为顺序高斯消去法
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Gauss
for k 1, 2, , n 1
for i k 1, k 2, , n
Cramer法则:
xi
Di D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
直接法
在没有舍入误差的情况下，经过有限次 运算可以得到方程组的精确解的方法。
第2页/共87页
§3.1 Gauss消去与矩阵LU分解
属于解方程的直接法
一 Gauss消去 1 直接法的关键思想
ln,k
1
第26页/共87页
A L1L2 Ln2 Ln1U LU L为单位下三角
1
l21 1 l31 l32 1
L l41 l42 l43 1
u11 u12 ... u1n
U
u22 ... u2n ...
1 ln1 ln2 ln3 lnk lnn1
unn
A LU 矩阵分解为单位下三角 和上三角矩阵的乘积
aii
第13页/共87页
例：在8位制计算机上解方程组
109
x1
x2
1
x1 x2 2
要求用Gauss消去法计算。
解：l21 a21 / a11 109 8个
x1 x2 1
a22 1 l21 1 0.0 ...01109 109 109

c12 1
c1r c2r 1
dr1 0且rn时，唯一解；
dr1 0且rn时，无穷多解。
c1n d1 c2n d2
crn 0
ddrr1
x1x23x4x5 2 例、求解方程组4x1x1x22x22x36x3x43x144x5 7
2x14x22x34x47x5 1
x1 c12x2

x2

c1nxn d1 c2nxn d2

xr crnxn dr 0dr1
(r n)
（其中r为阶梯形方程组中方程式的个数。）
5
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
由阶梯形方程组知原方程组（*）的解有以下三种情况：
（ 1 ） d r 1 0 ， 则 方 程 组 无 解 ；
（2）dr1 0且rn，则方程组（*）可化为如下
x1 c12x2 ...c1nxn d1
阶梯形方程组...... x2 ...c2nxn d2

xn dn
1 c12 由于系数行列式D 1
c1n c2n 10，
1
由Cramer法则，方程组（*）解唯一。
6
线性代数

6 x2 9 x2
3x3 5 10 x3 2
x1 3x2 2 x3 6
（3） 2x1x1 3x62x2 5x33x351 x1 3x2 5x3 4
第1节 Gauss消元法
4
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
用Gauss消元法可以解一般的线性方程组（*），消元的结 果得到一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或 出现矛盾式，可得如下一般形式：