高等代数北大版课程教案-第3章线性方程组

第三章 线性方程组§1消元法一 授课内容：§1消元法二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.三 教学重难点：用消元法解线性方程组.四 教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项.所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数 组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ） ，当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置.定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛr r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c （5） 显然（5）与（1）是同解的.考察（5）的解的情况.如（5）中的方程10+=r d ，而01≠+r d 这时不管 n x x x ,,,21Λ取什么值都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解.当 01=+r d ，或（5）中根本没有“00=”的方程时，分两种情况：1）n r =，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c ΛΛΛΛΛΛ2222211212111 有唯一解.例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-622452413231321321x x x x x x x x .解 上述方程有唯一的解 )6,1,9(--.2）n r <，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=+++++++n n nn r r r r rr n n r r n n r r d x c x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11,222222********* 其中0≠ii c ，s i ,,2,1Λ= ，把它改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+---=++---=+++++++++++n nn r r r n r r r r rr n n r r r r n n r r r r x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11,11,211,222222111,111212111 （7） 由（7）我们可以把 r x x x ,,,21Λ 通过 n r x x ,,1Λ+ 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 n r x x ,,1Λ+ 称为一组自由未知量.例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+-1424524132321321321x x x x x x x x x .解 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2)7(21321x x x . 定理1 在齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，如果n s <，那么它必有非零解.把矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211称为线性方程组（1）的增广矩阵，显然，用初等变换花线性方程组（1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0424524132321321321x x x x x x x x x .解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0412********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110021001312→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100021001312从最后一行可以看出原方程组无解.§2 n 维向量空间一 授课内容：§2 n 维向量空间二 教学目的：理解和掌握n 维向量空间的概念，掌握n 维向量空间的两种运算及八条运算律三 教学重难点： n 维向量空间的概念.四 教学过程：定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组),,,(21n a a a Λ （1） i a 称为向量（1）的分量.定义 3 如果n 维向量 =α),,,(21n a a a Λ，=β),,,(21n b b b Λ的对应分量都相等，即i a i b = n i ,,2,1Λ=.就称这两个向量是相等的，记作=αβ定义4 向量=γ),,,(2211n n b a b a b a +++Λ称为向量=α),,,(21n a a a Λ，=β),,,(21n b b b Λ的和，记为βαγ+=.由定义立即推出（1）交换律：βα+αβ+=.（2）结合律：)(γβα++γβα++=)(.定义 5 分量全为零的向量)0,,0,0(Λ称为零向量，记为0，向量),,,(21n a a a ---Λ 称为向量=α),,,(21n a a a Λ的负向量，记为α-.显然对于所有的α，都有αα=+0,0)(=-+αα.定义6 )(βαβα-+=-.定义7 设k 为数域P 中的数，向量),,,(21n ka ka ka Λ称为向量=α),,,(21n a a a Λ与数k 的数量乘积，记为αk .由定义立即推出βαβαk k k +=+)(αααl k l k +=+)(ααkl l k =)(αα=1定义8 以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n 维向量空间.向量通常是写成一行 =α),,,(21n a a a Λ有时候也可以写成一列 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a M 21α 前者称为行向量，后者称为列向量.§3线性相关性一 授课内容：§3 线性相关性二 教学目的： 理解和掌握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩.三 教学重难点：线性相关与线性无关的概念.四 教学过程：定义9 向量α称为向量组s βββ,,,21Λ的一个线性组合，如果有数域P 中的数s k k k ,,,21Λ，使α=s s k k k βββ+++Λ2211.任何一个n 维向量α都是向量组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==)1,,0,0()0,,1,0()0,,0,1(21ΛΛΛΛΛΛn εεε 的一个线性组合，因为n n a a a εεεα+++=Λ2211向量n εεε,,,21Λ称为n 维单位向量.当向量α是向量组的一个线性组合时，我们也说α可以线性表出. 定义10 如果向量组 t ααα,,,21Λ中的每一个向量i α(t i ,,2,1Λ=)都可以由向量组s βββ,,,21Λ线性表出，那么向量组t ααα,,,21Λ就称为可以由向量组s βββ,,,21Λ 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义知，向量组之间的等价有以下性质1．反身性 每一个向量组与它自身等价.2．对称性 如果向量组t ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ等价，那么向量组s βββ,,,21Λ也与t ααα,,,21Λ等价.3．传递性 如果向量组t ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ等价，向量组s βββ,,,21Λ与t γγγ,,,21Λ等价，那么向量组t ααα,,,21Λ与t γγγ,,,21Λ等价.定义11 如果向量组s ααα,,,21Λ（2≥s ）中有有一向量可以经其余的向量线性表出，那么向量组s ααα,,,21Λ称为线性相关的.显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出，那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关.定义11' 向量组s ααα,,,21Λ（1≥s ）称为线性相关，如果数域P 中不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使02211=+++s s k k k αααΛ定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使02211=+++s s k k k αααΛ就称为线性无关，或者说，一向量组s ααα,,,21Λ称为线性无关，如果由02211=+++s s k k k αααΛ可以推出021====s k k k Λ.由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.显然，由n 维单位向量 n εεε,,,21Λ组成的向量组是线性无关的. 定理2 设 r ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ是两个向量组，如果1)向量组r ααα,,,21Λ可以经s βββ,,,21Λ线性表出.2)s r >.那么向量组r ααα,,,21Λ必线性相关.推论1 如果向量组可以经s βββ,,,21Λ线性表出，且r ααα,,,21Λ线性无关，那么s r ≤.推论2 任意1+n 个n 维向量必线性相关.推论3 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量.定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.显然，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，向量组的两个极大线性无关组是等价的.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.由定义立即得出，一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.显然，等价的向量组有相同的秩.§4矩阵的秩一 授课内容： §4矩阵的秩二 教学目的： 理解和掌握行秩、列秩、矩阵的秩，掌握矩阵的秩与k 级子式的关系，会求矩阵的秩.三 教学重难点：定理4的证明.四 教学过程：如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的，同样的，如果我们把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的.定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行秩n s <，那么它有非零解.定理4 矩阵的行秩与列秩相等.因为矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩.定理5 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .推论 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式等于零.定义16 在一个n s ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 级子式.定理 6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一r 级子式不为零，同时所有的1+r 级子式全为零.怎样计算矩阵的秩，可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵，其中非零行的数目就是原矩阵的秩.§5线性方程组有解的判定定理一 授课内容： §5线性方程组有解的判定定理二 教学目的： 理解和掌握线性方程组有解判定定理，利用克兰姆法则写出一般解三 教学重难点：判定定理的证明.四 教学过程：线性方程组有解的判定定理 线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sn s s n n b b b a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 有相同的秩.§6线性方程组解的结构一 授课内容： §6线性方程组解的结构二 教学目的： 理解和掌握基础解系的概念，掌握方程组解的性质，掌握一般线性方程组解的结构.三 教学重难点：基础解系，解的结构.四 教学过程：对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1．两个解的和还是方程组的解.2．一个解的倍数还是方程组的解.综上，解的线性组合还是方程组的解.定义17 齐次线性方程组（1）的一组解t ηηη,,,21Λ称为（1）的一个基础解系，如果1）（1）的任何一个解都可以表示为t ηηη,,,21Λ的线性组合. 2）t ηηη,,,21Λ线性无关.定义7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且它所含解的个数就等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩.（以下将看到，r n -也是自由未知量的个数）由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.对于一般的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （9） 如果把常数项换成零，就得到齐次线性方程组（1），方程组（1）称为方程组（9）的.方程组（9）的解与它的导出组（1）的解有密切的关系：1．方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解.2．方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.由这两点容易证明定理8 如果0γ是方程组（9）的一个特解，那么方程组（9）的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0 （10）中η是导出组（1）的一个解.因此，对于方程组（9）的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，（10）就给出（9）的全部解.推论 在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（1）只有零解.例 用消元法解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++=-++-=+----=--++=-++6223432212231453543215432154321543215321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .例 把向量组β表示为向量组4321,,,αααα的线性组合：)1,1,2,1(=β，)1,1,1,1(1=α，)1,1,1,1(2--=α,)1,1,1,1(3--=α,)1,1,1,1(4--=α.例 证明 如果向量组r ααα,,,21Λ线性无关，而r ααα,,,21Λ，β线性相关，则向量β可以由r ααα,,,21Λ线性表出.例 设r t t t ,,,21Λ是互不相同的数，n r ≤，证明：),,,1(1-=n i i i t t Λα r i ,,2,1Λ=是线性无关的.例 证明 如果向量组)1(可以由向量组（2）线性表出，那么（1）的秩不超过（2）的秩.例 设r ααα,,,21Λ是一组n 维向量，证明：r ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可以被它们线性表出.例 证明⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 对任何的n b b b ,,,21Λ都有解的充分必要条件是系数行列式0≠ij a .例 计算矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----63789770057878421110的秩.。