广东省珠海市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题.doc

第 1 页 共 20 页2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞02．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14D ．√2243．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．212B ．33C ．42D ．844．△ABC 中，a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝﹣16yD ．x 2＝﹣8y6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 23p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．设a ＞0，b ＞0，则“b ＞a ”是“椭圆x 2a +y 2b =1的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．√133B ．√132C ．√153 D ．√1529．在△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD +∠C =π2，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形。

华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。

广东省珠海市2021-2022学年高二上学期期末考试数学一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线30x ++=的倾斜角是（）A. 6π B.56π C.3π D.23π 【答案】B2. 已知空间向量()0,1,4a =，()1,1,0b =-，则a b +=（）A.B. 19C. 17D.【答案】D3. 已知数列{}n a 是等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，318S =，则6S =（） A. 54 B. 71C. 81D. 80【答案】C4. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆E ：22194x y +=有相同的焦点，且一条渐近线方程为l ：20x y -=，则双曲线C 的方程为（）A. 2214y x -=B. 2214x y -=C. 2214y x -+=D.2214x y -+= 【答案】B5. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1A D 与1BD 所成角的余弦值是（）A.15B. 15-C.D. 5-【答案】C6. 已知点P 在抛物线C ：()22,0y mx m R m =∈≠上，点F 为抛物线C 的焦点，12PF =，点P 到y 轴的距离为4，则抛物线C 的方程为（） A. 264y x = B. 264y x =±C. 232y x =D. 232y x =±【答案】D7. 我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为．． “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A. 192B. 128C. 3D. 1【答案】A8. 已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆O ：()()221225x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A. 5 B. 2C. 4D. 5【答案】A9. 如图，已知多面体ABCDE ，其中ABC 是边长为4的等边三角形，四边形ACDE 是矩形，2AE =，平面ACDE ⊥平面ABC ，则点C 到平面ABD 的距离是（）A.34B. 43C. 3D.3314+ 【答案】C10. 已知数列{}n a 的通项公式是()()153nn a n =--，则1232021a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A10100 B. -10100C. 5052D. -5052【答案】D二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11. 已知圆M ：22430x y x +-+=，则下列说法正确的是（） A. 点()4,0在圆M 内 B. 圆M 关于320x y +-=对称 C. 半径为3 D. 直线30x y -=与圆M 相切【答案】BD12. 如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A. 1n n n a a +-=B. 535S =C. ()112n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1232021111120211011a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】BCD三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分.13. 已知直线210x y -++=在两坐标轴上的截距分别为a ，b ，则a b +=__________. 【答案】12-##0.5-14. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1a ，3a ，11a 成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列{}n a 的通项公式是________. 【答案】31n a n =-15. 已知四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC =，若DE OA OB OC αβγ=++，则αβγ++=________.【答案】13-16. 已知双曲线C ：22197x y -=，1F ，2F 是其左右焦点.圆E ：22430x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1PQ PF +的最小值是________.【答案】525+##255四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在①16100a a a ++=，②2132a a -=，③2357a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，满足23715a a a ++=-，________? （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 得到最小值时n 的值. 【答案】（1）选择条件见解析，317n a n =- （2）5n = 【小问1详解】解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 得153a d =--，选①161013141550a a a a d d ++=+=-+=， 得3d =， 故114a =-，∴317n a n =-.选②2111322212a a d a d a -=--=+=， 得1315914a d d =--=-，得3d =， 故114a =-， ∴317n a n =-.选③()()()22351117246a a a d a d a d a =++=+=，()()()25553d d d ---+=-+，得3d =，故114a =-， ∴317n a n =-； 【小问2详解】由（1）知317n a n =-，1140a =-<，30d =>， ∴数列{}n a 是递增等差数列. 由3170n a n =-≤，得172533n ≤=+， ∴5n ≤时，0n a <，6n ≥时，0n a >，∴5n =时，n s 得到最小值.18. 如图，矩形ABCD ，点E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，2AB =，1BC =，以EF 为轴，将正方形AEFD 翻折至与平面EBCF 垂直的位置11EFD A 处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题（1）求证：直线1ED ⊥平面1A CF ； （2）求直线EC 与平面1A CF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）12. 【解析】【分析】（1）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；（2）根据（1）中所求平面1A CF 的法向量，利用向量法，即可容易求得结果. 【小问1详解】矩形ABCD 中，点E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，∴EF FD ⊥，EF FC ⊥∴翻折后1FD EF ⊥ ∵平面11EFD A ⊥平面EBCF ，且面11EFD A EBCF EF ⋂=，1D F ⊂面11EFD A ， 故可得1D F ⊥面EBCF ，又FC ⊂面EBCF ，∴1FD FC ⊥，故1,,FE FC FD 两两垂直， ∴分别以FE ，FC ，1FD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系：∵2AB =，1BC =则()0,0,0F ，()1,0,0E ，()11,0,1A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ()11,0,1D E =-，()11,0,1FA =，()0,1,0FC =∵1111=0D E FA ⋅=-，10D E FC ⋅=，∴11D E FA ⊥，1D E FC ⊥ ∴11D E FA ⊥，1D E FC ⊥，又11,,FA FC F FA FC ⋂=⊂面1A CF ， ∴1D E ⊥平面1A CF . 【小问2详解】由（1）知，平面1A CF 的法向量为()11,0,1D E =-，又向量()1,1,0CE =-， 则向量CE 与法向量为1D E 所成角的余角即是直线EC 与平面1A CF 所成角， 设直线EC 与平面1A CF 所成角为α，向量CE 与法向量为1D E 所成角为β， 则1sin cos 2DE FE DE FEαβ⋅===⋅. 故直线EC 与平面1A CF 所成角正弦值为12. 19. 已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【答案】（1）()()226313x y -+-=；（2）2530x y -+=20. 如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，4PA =，点M 是PA 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上，且2PN NB =.（1）证明：BD 平面CMN ；（2）求平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN 的法向量，利用BD n =0证明即可；（2）由（1）知平面CMN 的法向量，再求平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】证明：三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥ ∴分别以AB ，AC ，APx ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系∵2AB AC ==，4PA =，点M 是PA 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =∴()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2M ，44,0,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0D 设平面CMN 的法向量()000,,n x y z =，()0,2,2CM =-，44,2,33CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，由00000220442033n CM y z n CN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得00012x z y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 令02z =- 得0012x y =-⎧⎨=-⎩∴()1,2,2n =---∵()()2,1,01,2,20BD n ⋅=-⋅---= ∴BD n ⊥又BD ⊄平面CMN ∴BD 平面CMN ； 【小问2详解】PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC A ⋂=∴PA ⊥平面ABC∴PA 为平面ABC 的法向量()0,0,4AP =则AP 与n 的夹角α的补角是平面ABC 与平面CMN 所成二面角的平面角θ 82cos cos 433AP nAP n θα⋅-=-=-=-=⨯⋅. ∴平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值为23.21. 已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nn b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()1n n n a T n ma m R ++>∈对*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2n n a = （2）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭22. 已知椭圆1C ：(22216x y a a +=>，1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点，1C 的，2C ，点E 在2C 上，过点E 和1F ，2F 分别作直线交椭圆1C 于F ，G 和M ，N 点，如图.（1）求1C ，2C 的方程；（2）求证：直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值；（3）求证：11FG MN +为定值.【答案】（1）1C ：221186x y +=；1C ：221x y -=（2）证明见解析（3）证明见解析【小问1详解】由题设知，椭圆1C 离心率为2663a a -=解得218a = ∴()123,0F -，()223,0F∵椭圆1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点，∴设双曲线2C ：()2221012x y n n -=>∴2C=212n =.∴1C ：221186x y +=2C ：2212x y -=；【小问2详解】证明：∵点E 在2C 上∴设()00,E x y则220012y x =-， ∴122020112EF EF y k k x ⋅==-.∴直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值1；【小问3详解】证明：设直线1EF 和2EF 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k = 设()11,F x y ，()22,G x y1EF：(1y k x =+与1C 方程联立消y 得 ()()22221113118210k x x k +++-=“*”则1x ，2x 是“*”的二根则()21122121122131182131x x k k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩ 则FG ==)2121131k k +==+同理))2222112221211111131331k kkMNk kk⎫+⎪++⎝⎭===++⋅+∴22113 FG MN+===.。

广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修3、选修2-1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．）1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+< B ．0x ∀≤，2230x x -+< C ．00x ∃>，200230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168B ．167C ．153D ．1353．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >5．方程1x -= ） A ．一个圆B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语甲组乙组听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x ，y 的值分别为（ ）90996166629x y甲组乙组A ．7，8B ．7，7C ．8，5D ．5，77．根据表格数据，得到的回归方程为ˆˆ9ybx =+，则ˆb =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．8-9．从区间[0,2]中任取一个实数x ，从区间[0,3]中任取一个实数y ，则使224x y +≤成立的概率为（ ） A ．12B ．9π C ．6π D ．3π 10．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线经过椭圆的上顶点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．2D ．211．已知椭圆22:142x y C +=，过点(1,1)M 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)其中是真命题的有（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取 名志愿者．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为 ．15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为 ．16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程为 ． 17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．18．与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为 ．20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．已知命题p ：“关于x 的方程220x x m -+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”． （1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围．22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，CF //DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．图① 图②（1）求证：CD//平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线9x =交于点P 、Q ，且P 、Q 中点为G ，求证：1||||2FG PQ =．珠海市2020～2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高二数学试题参考答案一、选择题1-5 DACDD 6-10 BDBCD 11-12 AB 二、填空题 13．【答案】3 14．【答案】1 15．【答案】31016．【答案】2219y x -= 【解】因为双曲线的渐近线方程为3y x =±，则设双曲线的方程是229y x λ-=，又它的一个焦点是，故910λλ+=，1λ∴=，2219y x -= 故答案为2219y x -=． 17．【答案】3010【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ，则||cos ||||6AM CN AM CN θ⋅===⋅．∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为10．故答案为：10．18．【答案】2212516x y += 【解】设动圆圆心为3C ，半径为r ，与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切，则131C C r =+，329C C r =-，133212106C C C C C C +=>=， 故动圆圆心3C 的轨迹满足椭圆的定义，长轴长为10，焦距为6，可得动圆圆心的轨迹方程为：2212516x y +=，故答案为：2212516x y +=． 19．【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE nd n ⋅==20．【答案】【解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=，||229CD ∴=故答案为解法二：因为二面角为直二面角，且AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC β∴⊥，BD α⊥，2226452BC ∴=+=，2225264116CD BC BD =+=+=，CD ∴==三、解答题21．【解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m ≤ 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题 即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得(,1)(2,3)t t +-即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤．t ∴的取值范围22t -≤≤22．【解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A ，2A ，3A ，第4组的2位学生为1B ，2B ，第5组的1位学生为1C ，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 23．【解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧⎪=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -= （2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩， 消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．24．【解】（1）（解法一）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM 则//AM BC =∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC ∴=四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF ∴=∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM ∴=又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADECF //∴平面ADE（解法二）四边形ABEF 为矩形BF //AE ∴又BF ⊂/平面ADE ，AE ⊂平面ADEBF //∴平面ADE又BC//AD ，同理可得：BC//平面ADE又BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面BCF∴平面BCF //平面ADE又CF ⊂平面BCFCF //∴平面ADE（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =- 设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则 00n CD n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩(2,2,1)n ∴=又AD 是平面AEFB 的一个法向量， 2cos ,3||||n ADn AD n AD ⋅∴〈〉==⋅∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．25．【解】（1）由题意得132ca ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a =，1c =，b = 所以椭圆C 的方程为22198x y +=；（2）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221198x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()228916640t y ty ++-=，则0∆>恒成立， 由韦达定理得1221689ty y t +=-+，1226489y y t =-+，设点(9,)P m ，(3,0)A ，则()()11113,2,AM x y ty y =-=-，(6,)AP m =，由AM //AP ∣得()1162y m ty =-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭， 同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y yt y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++()1221212366424y y t y y t y y =+-++因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =．。