最短路径问题——和最小

l A 最短路径问题一、基本模型与方法问题1：“牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？”即在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小.（1）A ，B 两点在直线异侧时，连接AB 交l 于P ，则PA+PB 和最小.（2）A ，B 两点在直线同侧时，在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小.作B 点关l 的对标点B’，连接AB’交l 于点P ，即为所要找的P 点，使PA+PB 和最小.(3)变式讨论：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小.问题2：在l 上找一点P ，使得|PA 一PB|最大（1）A ，B 两点在直线同侧时，连接AB 井延长交l 于P ，则|PA 一PB|最大（2）A ，B 两点在直线异侧时，作B 点关于l 的对称点B’，连接AB’并延长交l 于点P ，即为所要找的P 点，使|PA 一PB|最大.（3）当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最小． l A l A l l A问题3：（1）在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 周长最小做法：分别作点P 关于直线l 1、l 2的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2与l 1、l 2交点即为M ，N（2）变式：在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使四边形PMQN 周长最小.做法：分别作点P ，Q 关于直线l 1，l 2的对称点P’，Q’，连接P’，Q’ 与l 1，l 2交点即为M ，N问题4：点在锐角△AOB 内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD+CD 最小做法：做点P 关于直线OB 的对称点P’，过P’向直线OA 作垂线与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C问题5：（1）直线l 1△l 2，并且l 1与l 2之间的距离为d ，点A 和点B 分别在直线l 1、l 2的两 侧，在直线l 1、l 2上分别求一点M 、N ，使AM+MN+AB 的和最小.作法：将点A 向下平移d 个单位到A 1，连结A 1B 交l 2于点N ，过N 作MN△”1，垂足为M ，连结AM ，则线段AM+MN+NB 的和最小，点M ，N 即为所求. l ABl 22O（2）直线l 的同侧有两点A ，B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC+CD+DB 的和最小，且CD 的长为定值a ，点D 在点C 的右侧.作法：将点A 向右平移a 个单位到A 1，作点B 关于直线的对称点名B 1，连结A 1，B 1交直线l 于点D ，过点A 作AC//A 1D 交直线l 于点G ，连结BD ，则线段AC+CD+DB 的和最小. 点C 、D 即为所求二、基本题型训练(欢迎大家补充练习题并上传！)1. 如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB的最大值是多少？解答：l 21如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是PA PB-的值最大时的点，PA PB-＝A′B．∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．∵点A、A′关于CD对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．∴PA PB-的最大值为4．2.。

最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．lBA【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．lAl②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．lBAl③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．OBOB④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．BOB O⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．ll⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．1．（13）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），直接代入求出m 的值即可；（2）把m ＝2代入求出二次函数解析式，令x ＝0，求出y 的值，得出点C 的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P 、C 、D 共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC ＋PD 最短，求出CD 的直线解析式，令y ＝0，求出x 的值，即可得出P 点的坐标． 【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），∴代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，得出：m 2－1＝0，解得：m ＝±1， ∴二次函数的解析式为：y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x ；（2）∵m ＝2， ∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1得：y ＝x 2－4x ＋3＝（x －2）2－1，∴抛物线的顶点为：D （2，－1），当x ＝0时，y ＝3，∴C 点坐标为：（0，3），∴C （0，3）、D （2，－1）； （3）当P 、C 、D 共线时PC ＋PD 最短， 【方法一】∵C （0，3）、D （2，－1），设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋3，代入得：2k ＋3＝－1，∴k ＝－2，∴y ＝－2x ＋3， 当y ＝0时，－2x ＋3＝0，解得x ＝32，∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （32，0）．【方法二】过点D 作DE ⊥y 轴于点E ， ∵PO ∥DE ，∴PO DE ＝CO CE ，∴PO 2＝34，解得：PO ＝32，∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （32，0）．2．（11）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．【思路点拨】（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值． 【解题过程】解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－258）．（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．当y ＝0时，12x 2－32x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 【方法一】设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧n ＝232k ＋n ＝－258，解得：⎩⎨⎧n ＝2k ＝－4112．∴y ＝－4112x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝2441．【方法二】设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258，∴m ＝2441．3．（11）已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝33x＋3对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．【思路点拨】（1）二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一个未知参数a，令y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a ≠0），即可得到点A，B的坐标．把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，得出AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，得AC＝12AB＝2，利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）直线BK∥AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标．因为点H，B 关于直线AK对称，所以HN＝BN，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN＋MN的最小值是MB．作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，所以QM＝KM，易得BM＋MK的最小值为BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，求出QB的长即可．【解题过程】解：（1）依题意，得ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），∵直线l：y＝33x＋3，当x＝﹣3时，y＝33×(－3)＋3＝0，∴点A在直线l上．（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，∴AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC＝12AB＝2，HC＝23，∴顶点H（－1，23），代入二次函数解析式，解得a＝－32，∴二次函数解析式为y＝－32x2－3x＋332，（3）直线AH 的解析式为y ＝3x ＋33，直线BK 的解析式为y ＝3x ＋33，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，即K （3，23），则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，KD ＝KE ＝23，过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则QM ＝MK ，QE ＝EK ＝23，AE ⊥QK ， ∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值， ∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°，由勾股定理得QB ＝8， ∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8．4．（14）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已【思路点拨】（1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出；（3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN •MN －12OM •OE＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－（x －94）2＋15316∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）．（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）． 四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）； 连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得： ⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图22．（14）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可． 【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12(x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)2-1＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)． 此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．6．（14）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）因为抛物线的对称轴是y 轴，所以b ＝0，再代入点（0，﹣1），（2，0）即可求出抛物线的解析式； （2）由（1）设出P 的坐标，分别表示出PE ，PQ 的长度，即可得出结论；（3）（i ）因为BN ∥AM ，所以∠ABN ＋∠BAM ＝180°．由（2）的结论可得BO ＝BN ，AO ＝AM ，可得出∠BON ＝∠BNO ，∠AOM ＝∠AMO ，易得∠BON ＋∠AOM ＝90°再得到∠MON ＝90°即可；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论． 【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1；（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ；（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，l∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′， ∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点． ∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．【举一反三】1．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．2．（13）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝﹣12x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； （ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP ＋BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．【参考答案】1．解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝0c ＝0，解得a ＝﹣12，b ＝1，c ＝0，∴解析式为y ＝﹣12x 2＋x ． （2）由y ＝﹣12x 2＋x ＝﹣12（x ﹣1）2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ， ∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ，连接AB 交直线x ＝1于M 点，则此时OM ＋AM 最小， 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42， ∴OM ＋AM 最小值为42．2．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为（4，3），∴点B 的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A （0，－1），B （4，－1）两点，∴ ⎩⎨⎧c ＝－1－12×16＋4b ＋c ＝－1，解得：b ＝2，c ＝－1，∴抛物线的函数表达式为：y ＝－12x 2＋2x －1．（2）（i ）∵A （0，－1），C （4，3），∴直线AC 的解析式为：y ＝x －1．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为（m ，m －1）， 则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝－12（x －m ）2＋m －1．解方程组：⎩⎨⎧y ＝x －1y ＝－12(x －m )2＋(m －1)，解得⎩⎨⎧x 1＝m y 1＝m －1， ⎩⎨⎧x 2＝m －2y 2＝m －3，∴P （m ，m －1），Q （m －2，m －3）． 过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m －（m －2）＝2，QF ＝（m －1）－（m －3）＝2．∴PQ ＝22＝AP 0．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）． 由A （0，－1），B （4，－1），P 0（2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝22．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x ＋b 1，∵B （4，－1），∴－1＝4＋b 1，解得b ＝＝－5，∴直线l 1的解析式为：y ＝x －5．解方程组 ⎩⎨⎧y ＝x －5y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－7，∴M 1（4，－1），M 2（－2，－7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 2 ． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，－1）． 由A （0，－1），F （2，－1），P 0（2，1）可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为 2 ．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x ＋b 2，∵F （2，－1），∴－1＝2＋b 2，解得b 2＝－3，∴直线l 2的解析式为：y ＝x －3．解方程组⎩⎨⎧y ＝x －3y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝1＋5y 1＝－2＋5，⎩⎨⎧x 1＝1－5y 1＝－2－5， ∴M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）． 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，－1），M 2（－2，－7），M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．（ii ）PQNP ＋BQ存在最大值．理由如下：由i ）知PQ ＝22为定值，则当NP ＋BQ 取最小值时，PQNP ＋BQ有最大值． 如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ ＝B ′Q ． 连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN ＝PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP ＝FQ ． ∴NP ＋BQ ＝FQ ＋B ′Q ≥FB ′＝22＋42＝25．∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP ＋BQ 最小，最小值为25．∴PQ NP ＋BQ 的最大值为2225＝105．F3．解：（1）设抛物线的解析式：y＝ax2，∵拋物线经过点B（﹣4，4），∴4＝a•42，解得a＝14，所以抛物线的解析式为：y＝14x2；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，∴OD＝AD＋OA＝5，∴C点坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，∵点P在抛物线y＝14x2上，∴b＝14a2，∴d1＝14a2，∵AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝14a2﹣1，PF＝a，在Rt△PAF中，PA＝d2＝AF2＋PF2＝(14a2－1)2＋a2＝14a2＋1，∴d2＝d1＋1；（3）由（1）得AC＝5，∴△PAC的周长＝PC＋PA＋5＝PC＋PH＋6，要使PC＋PH最小，则C、P、H三点共线，∴此时P点的横坐标为3，把x＝3代入y＝14x2，得到y＝94，即P点坐标为（3，94），此时PC＋PH＝5，∴△PAC的周长的最小值＝5＋6＝11．。

二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。

常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】 （1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出； （3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）． （3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1； （2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ； （3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。

最短路径与最小生成树的区别
在图论中，最短路径和最小生成树是两个重要的概念。

它们都是用来解决图中节点之间的距离问题，但是它们的解决方法和目的却有所不同。

最短路径问题是指在一个有向或无向加权图中，找到从一个节点到另一个节点最短的路径。

最短路径可以使用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法来解决。

这类问题通常是求出从一个节点到其他节点的最短距离，通常用于网络路由、GPS导航等应用。

最小生成树问题是指在一个无向加权图中，找到一个生成树，使得该树中的所有边权之和最小。

最小生成树可以使用Prim算法和Kruskal算法来求解。

这类问题通常是在需要将图连接起来的场合，比如铺设电缆、通信网络等场合。

因此，最短路径问题和最小生成树问题虽然都与计算节点间距离有关，但是它们的解决方法和应用场景却有很大的差异。

在具体应用中，需要根据实际情况选择合适的算法和方法来解决问题。

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专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形PAQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。