立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，13AB cm ==所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm 412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2）)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线. 过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆.34SF cm ==【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ， 由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180n AC BC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒， 故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=⨯︒=︒点B 到P 的最短距离为 )BP m ===【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可 试题解析：解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A则'15BA ==厘米【难度】较易三、实战演练类型一 通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理可得x 2=202+[（2+3）×3]2，解得x =25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为25dm ．【难度】较易类型二 通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB ，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m =13AB m ===【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处蚂蚁爬行的最短距离 .)cm【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π=∴)AC cm ===【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm ,绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm ；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC 的长，圆柱的高即为BC 的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高 试题解析：解：（1）如图，O 的周长为30cm ，即AC =30cm高是40cm ，则BC =40cm ，由勾股定理得50AB cm ==故爬行一周的路程是50cm（2）O 的周长为80cm ，即AC =80cm绕一圈爬行100cm ，则AB=100cm ，高BC =60cm∴树干高=60×10=600cm =6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A B C ．1 D ．2+【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M∴1224A B=+=11A M=∴BM=故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线. 试题解析：解：∵C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A∴侧面展开图BO 为扇形对称轴，连接AC 即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，作出C 关于OA 的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO 的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．【答案】(cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，在Rt △BCD 中，CD ==，∴12BE CD ==，在Rt △ACE 中，AE ==，∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，则 822180n ππ⨯⨯⨯=，解得：90n = 即'90AQA ∠=在'Rt AQA 中，根据勾股定理'AA =【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n ， 则422180n ππ⨯⨯⨯=， 解得：180n =︒ 即'180CAC ∠=︒在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =由勾股定理得，BP =点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BC cm =，4AB cm =，15AA cm =，盒子的内部顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲1C 处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假 设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从 盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共线，111538AA A D +=+= 114D C =根据勾股定理得1AC =如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B 、、三点共线 1459AB BB +=+=，113B C =根据勾股定理得1AC =如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C 、、三点共线. 437AB BC +=+=，15CC =根据勾股定理得1AC.在图四中，∵1ABE ACC ∽ ∴1BE AB CC AC= ∴457BE =，207BE =如图一，在1BB 上取一点E ，使207BE =，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径 （2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =-在Rt ACF 中，根据勾股定理得222AF AC CF =+即：()()()22236614x x =++-解得：15x =，2172x =- ∵0x ＞∴5x =所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在 长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即 为最短路线长【难度】较难11．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm【答案】B试题分析：将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可试题解析：解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=︒ ∴13010202A BC Sin cmB =÷︒=÷= 故选B ．【难度】一般12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A ．4.8B ．5 D【答案】C【解析】有两种展开方法：①长方体展开成如图所示，连接A B 、，②将长方体展开成如图所示，连接A B 、【难度】较易13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B 距离C点5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是cm．【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1（2（3所以需要爬行的最短距离是25．【难度】较难14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中6,4,8===BF BC AB ，在顶点E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E ．则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E 、O （设面BCSF 的中心为点O ）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径 试题解析：解：设面BCSF 的中心为点O ，根据题意，最短路径有下列两种情况：○1如图1，沿SF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==○2如图2，沿BF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==∵【难度】较难15．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.【答案】1.3m【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A ’B 的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC 上找一点P ，使P A+PB 最短， 过点A 作EC 的对称点A ’，连结A ’B ，则A ’B 与EF 的交点P 就是所求的点P因为两点之间，线段最短，A’B 的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离∵底面周长为1m∴'0.5A D m =， 1.2BD m =' 1.3A B m =【难度】一般类型三 通过轴对称来转化16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ,点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B 关于CD 的对称点B’，连结AB ’， 交CD 于点P ，连结PB ，则最短路线应该 是沿AP 、PB ’ 即可试题解析：解：如下图所示，作点B 关于CD 的对称点'B ，连结'AB ，交CD 于点P ，则蚂蚁的爬 行路线'A P B →→ 为最短，且'AP PB AP PB +=+在'Rt AEB 中，15AE CD ==，''=12820EB ED DB AC BD =++=+=由勾股定理知 '25AB =所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm【难度】一般。

勾股定理应用——最短路径问题
学习目标：1.认识平面图形和立体图形的关系，会图形间的互相转化。

2.能在平面图形中构建勾股定理模型解决实际问题。

一、尝试练习、联系生活
1.两点之间，最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是,它的一边长是圆柱的,
它的另一边长是圆柱的.
二、合作交流、探究新知
例1:如图所示,圆柱体的底面周长为6cm,高AC为4cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.
三、变式训练、拓展延伸
变式1：有一圆柱形油罐,油罐底面周长是12米,高AB是5米,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?
变式2：如果圆柱换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？
变式3：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
四、方法迁移、自我检测
1、如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm的金鱼缸，如果鱼缸中的A 点有一条金鱼,它想尽快吃到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A 和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？。

2019江西国考行测数量关系：立体几何最短路径问题2019国考的备考学习已经开始了，很多考生已经正式开启了备考模式，您呢?开始学习了么?学到数量关系了么?遇见立体几何的最短路径问题了么?觉得有困难么?今天就跟中公教育专家一起看看立体几何中的最短路径问题，让您轻松应对，从容解决!那么让我们先从一个立方体开始吧!一、题型预览：例1：如图，一只蚂蚁从正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。

设正方体边长为a，问蚂蚁爬过的最短路程为：二、解题方法：将立体图形上行走最短路径部分形成平面展开图，求解平面展开图上两点间最短距离。

(立体图形平面转开)示例：如图，一只蚂蚁从正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。

设正方体边长为a，问蚂蚁爬过的最短路程为：中公解析：正方体形成平面展开图含A点和C点即可，如图所示，连接AC。

两点之间直线最短，则蚂蚁爬过的最短路程为A、C两点连线，则，选择B。

中公教育专家大家相信认真学习后，数量关系中的立体图形最短路径问题真的可以很容易解决了吧，其实，这里考查的关键点还是我们在很小就知道的两点之间，线段最短的道理。

还要提醒各位同学，很多的有趣的题目好像有点儿难其实考的都是我们的基础，回归课本，回归课堂其实就会看到自己的进步，走近公职的梦想。

行测技巧：定向备考引领2019国考成功之路纵观近年国考新变化，呈现出以下几个特点：1.试题难度幅度微微提升。

随着命题人的经验越来越丰富，题库的扩充、时事与知识的积累，命题人命题形式和内容求新求异，且提问方式越来越多变，事实上等于提升了题量和难度。

2.试题的综合性知识点强化。

行测试题出题范围不断扩展，既涉及数学、天文、地理、生物、物理、化学等基础科学，又涉及哲学、历史、文化等人文知识和时事政治;申论更鲜明地体现出科学性和人文性的综合，大纲资料中涉及多学科的交叉，需要考生越来越用心地理解。

对试题和知识点多一分了解，就能多一分胜算，少走一些弯路。

行测数量关系对大多数考生而言，都是一大难点，基本上谈数量关系“色变”。

立体图形中的最短线问题立体图形中的最短线问题，大都直接来源于生活．这类问题集知识性、实践性和趣味性于一“题”，因而倍受中考命题者的青睐．在近几年考题中频频出现，现选取几例分析如下，供同学们参考．一、长方体上的最最短线问题例１：如图1是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的A （长的四等份点）处有一只壁虎，B （宽的三等份点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m ．分析与解：壁虎从A 处爬到B 处，所有可能最短路径有三种：①→③；②→③；①→④．（1）从①→③，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—①所示，由题意知AC =10m ，BC =5m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得5551022=+=AB （m ）； （2）从②→③，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—②所示，由题意知AC =11m ，BC =4m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得13741122=+=AB （m ）； （3）从①→④，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—③所示，由题意知AC =6m ，BC =9 m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得1339622=+=AB （m ）．综合上述（1）、（2）、（3）可得，壁虎爬到蚊子处的最短距离为133 m ．B图2—② A C图1—③二、正方体上的最短线问题例２：如图2，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计） 1（1）假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，如图3，在盒 子的内部我们先取棱BB 1中点E ，再连结AE 、E C 1，昆虫 乙如果沿路径A →E →C 1爬行，那么可以在最短的时间内捕 捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图3中画出另一条 路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短 AB 的时间内捕捉到昆虫甲；（2）假设昆虫甲从顶点C 1以1 cm∕s 的速度在盒子的 图2内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2 cm∕s 的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s ）解：（1）可取DD 1中点E 1，DC 中点E 2，BC 中点E 3，将这些中点与A 和C 1相连，则A →E i →C 1（i=1，2，3）均为所求的路径，见图3．（2）所有可能费时最短的路径有如图四种：可以看出，图3—①与图3—②中的路径相等，图3—③与图3—④中的路径相等． 1F F图3—① 图3—②D 1 C 1F D C F C 1D CA B B 1A B图3—③ 图3—④设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向F 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A →E 1→F 爬行捕捉到昆虫甲需x s ．如图3—①，在RtΔACF 中，22220)10()2(+-=x x ，解得x =10；设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A →E 2→F 爬行捕捉到昆虫甲需y s ．如图3—③，在RtΔABF 中，22210)20()2(+-=x y ，解得8≈y ．∴昆虫乙顶点A 爬行捕捉到昆虫甲需8 s ．四、圆柱体上的最短线问题例4：如图4，一个蚂蚁要从树干（看做圆柱）底面的A 点沿表面爬到与A 点相对的B 点，已知从A 点到B 点升高了3米，树干底面的半径为1.27米，这只蚂蚁爬行的最短路程是（精确到1米，π取3.14） （ ）A ．4米B ．5米C ．6米D ． 6.5 米A A 图4—①分析与解：圆柱的侧面展开图为矩形，如图4—①所示．连结AB ，则A 、B 两点之间的最短距离就是A B 的长．由题意知BC =3米，AC =1.27π米，由勾股定理222BC AC AB +=，得53)271(22≈+=⋅πAB 米．故选B ．五、圆锥体上的最短线问题例5：如图5，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6米．的正三角形A BC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线是 米．（结果不取近似值）APC B图5 图5—①分析与解：圆锥的侧面展开图为扇形，如图5—①所示．连结B P ，则B 、P 两点之间的最短距离就是BP 的长．由已知条件可得圆锥的侧面积为18π米2，∴2618360n π⨯=π，解得n =180º，则∠BAP =90º，又AB =6米，AP =3米，由勾股定理得53=BP 米．从以上几例可以看出，解决立体图形中的最短线问题的主要思想是：把立体图形平面化；具体方法是：把立体图形的侧面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离．。

⾏测数量关系技巧：⽴体⼏何之⽴体表⾯最短路径 在考场上⼈与⼈拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有⾯对考试题型能够有⼀个更好的解答思路，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：⽴体⼏何之⽴体表⾯最短路径”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：⽴体⼏何之⽴体表⾯最短路径 ⼏何问题在近⼏年的公职类考试中频频出现，不论是在公务员考试的⾏测中，还是事业单位联考的职业能⼒测验中，经常能看到⼏何问题的⾝影，尤其是在近⼏年的国考中，⼏何问题更是热门考点。

⼏何问题主要测查我们对于平⾯⼏何、⽴体⼏何的理解以及对相关公式的掌握，其实这些知识在⼩学和中学就已经是我们所接触学习过的了。

所以⼏何问题的备考，更多地是复习和回顾，做题过程也是公式和⽅法的应⽤过程。

今天主要来说⼀下⼏何问题中的⽴体表⾯最短路径问题。

⽴体⼏何相⽐较平⾯⼏何，不仅需要我们对计算表⾯积和体积的公式要熟悉，还需要我们有⼀定的空间想象能⼒，通过不断练习对图形的把握感要逐渐地强化。

⽴体表⾯的最短路径问题，就是需要对原来的⽴体图形作⼀定地变形，把需要空间想象的⽴体⼏何转化为更为清晰直观的平⾯⼏何。

接下来我们就通过两个例⼦看⼀下如何进⾏转化。

例如：⼀只蚂蚁在棱长为1的正⽅体的顶点A沿表⾯爬⾏到顶点B，那么爬⾏的最短距离是多少? 我们发现，要想爬⾏距离最短，尽量朝着B⾛直线，但在⼀个⽴体的表⾯，这个直线路径该怎么画出来就需要很强的空间想象能⼒了，更不要说还要计算出来结果。

但如果能够把⽴体⼏何转化为⼀个平⾯⼏何，题⽬就变得简单明了了。

我们可以把右⾯的⾯翻到与正前⽅的⾯平齐(或把上⽅的⾯翻到与正前⽅的⾯平齐)。

如下图所⽰： 通过简单的转换，就可以绕过空间想象，把⽴体图形转变为简单易解的平⾯图形，题⽬也就迎刃⽽解了。

希望通过上⾯的两个例⼦，能给同学们⼀点启发，把握好此类题⽬的解题⽅法，通过适当练习，对⽅法以及⼏何所涉及的公式都进⾏练习和掌握，攻克⼏何问题。

08-立体图形上的最短路径问题第8讲立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'A C、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，22+=AB cm51213所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm412【解析】 试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++=所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S作SE CD⊥于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.过点S作点F所在母线的垂线，得到SEFRt∆.22=+--=30(1811)34SF cm【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m（结果不取近似值）【答案】35 【解析】 试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180n ACBC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒，故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=⨯︒=︒ 点B到P的最短距离为22226335()BP AB AP m =+=+=【难度】一般类型三通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，A B、的最短距离就是线段'BA的长，根据勾股定理解答即可试题解析：解：如图所示，作A点关于杯口的对称点'A 则22BA=+=厘米'91215【难度】较易三、实战演练类型一通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理可得x2=202+[（2+3）×3]2，解得x=25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．【难度】较易类型二通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12BC m==，5AC m2222AB AC BC m=+=+=12513【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂蚁爬行的最短距离 .)21625cm π+【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π= ∴())22222451625AC AB BC cm ππ=+=+=+【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm,绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BC的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题解析：解：（1）如图，O的周长为30cm，即AC=30cm 高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得2250+=AB AC BC cm故爬行一周的路程是50cm（2）O的周长为80cm，即AC=80cm绕一圈爬行100cm，则AB=100cm，高BC=60cm∴树干高=60×10=600cm=6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A13 B17．1 D．25【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M∴1224A B=+=11A M=∴224117BM+=故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线.试题解析：解：∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．【答案】(3236cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，在Rt △BCD 中，2262CD BC BD cm +=， ∴1322BE CD cm ==，在Rt △ACE 中，2236AE AC CE cm -=，∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(3236cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】82【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，则 822180nππ⨯⨯⨯=，解得：90n =即'90AQA ∠=在'Rt AQA 中，根据勾股定理'82AA =【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】25【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n ， 则422180nππ⨯⨯⨯=， 解得：180n =︒即'180CAC ∠=︒在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =由勾股定理得，22BP=+=422025点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3=，15AB cm=，4BC cm=，盒子的内部顶点AA cmC处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一1只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点C处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子1内壁爬行到昆虫甲C处的最短路程，并画出其最1短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假 设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从 盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒 【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共线，111538AA A D +=+= 114D C =根据勾股定理得180AC如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B、、三点共线1459AB BB+=+=，113B C=根据勾股定理得190AC=如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C、、三点共线.437AB BC+=+=，15CC=根据勾股定理得174AC=74809074cm .在图四中，∵1ABE ACC ∽ ∴1BE AB CC AC = ∴457BE =，207BE =如图一，在1BB 上取一点E ，使207BE =，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径（2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =-在Rt ACF 中，根据勾股定理得222AF AC CF =+即：()()()22236614x x =++- 解得：15x =，2172x =-∵0x ＞∴5x = 所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即为最短路线长【难度】较难11．如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm【答案】B【解析】试题分析：将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可试题解析：解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=︒ ∴13010202A BC Sin cmB =÷︒=÷= 故选B ．【难度】一般12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A．4.8 B．29 C．5 D．23+2【答案】C【解析】有两种展开方法：①长方体展开成如图所示，连接A B、，根据两点之间线段最短，22AB=+=；5229②将长方体展开成如图所示，连接A B、，则22AB=+=<；34529故选C．【难度】较易13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20cm，点B距离C 点 5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是cm ．【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1）22AB BD AD =+=22152025+=（2）22AB AE BE =+221025529=+=；（3）2222=+=+=．305537AB AC BC所以需要爬行的最短距离是25．【难度】较难14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中BCAB，在顶点E处有一块爆米花残渣，=BF6=,4,8=一只蚂蚁从侧面BCSF的中心沿长方体表面爬行到点E．则此蚂蚁爬行的最短距离为．109【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E、O（设面BCSF的中心为点O）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径试题解析：解：设面BCSF的中心为点O，根据题意，最短路径有下列两种情况：○1如图1，沿SF把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离()()22=+÷+÷=8624255○2如图2，沿BF把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离()()2284262109=+÷+÷=∵55109＞109【难度】较难15．如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）.【答案】1.3m【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC上找一点P，使PA+PB最短，过点A作EC的对称点A’，连结A’B，则A’B 与EF的交点P就是所求的点P因为两点之间，线段最短，A’B的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离∵底面周长为1m∴'0.5=BD m=， 1.2A D m2222A B A D BD m++=''0.5 1.2 1.3【难度】一般类型三通过轴对称来转化16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm,点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B关于CD的对称点B’，连结AB’，交CD于点P，连结PB，则最短路线应该是沿AP、PB’即可试题解析：解：如下图所示，作点B关于CD的对称点'B，连结'AB，交CD于点P，则蚂蚁的爬行路线'→→为最短，且'A P B+=+AP PB AP PB在'EB ED DB AC BD=++=+===，''=12820 Rt AEB中，15AE CD由勾股定理知'25AB=所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm【难度】一般。

第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，13AB cm ==所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C ’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm 412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC ’（在面ADD ’A ’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA ’B ’B 与BB ’C ’C 相连，连接AC ’，使E 点在AC ’上（如图2）)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线. 过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆.34SF cm ==【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ， 由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180n AC BC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒， 故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=⨯︒=︒点B 到P 的最短距离为 )BP m ===【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可 试题解析：解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A则'15BA ==厘米【难度】较易三、实战演练类型一 通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理可得x 2=202+[（2+3）×3]2，解得x =25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为25dm ．【难度】较易类型二 通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB ，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m =13AB m ===【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处蚂蚁爬行的最短距离 .)cm【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π=∴)AC cm ===【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm ,绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm ；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC 的长，圆柱的高即为BC 的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高 试题解析：解：（1）如图，O 的周长为30cm ，即AC =30cm高是40cm ，则BC =40cm ，由勾股定理得50AB cm ==故爬行一周的路程是50cm（2）O 的周长为80cm ，即AC =80cm绕一圈爬行100cm ，则AB=100cm ，高BC =60cm∴树干高=60×10=600cm =6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A B C ．1 D ．2+【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M∴1224A B=+=11A M=∴BM=故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线. 试题解析：解：∵C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A∴侧面展开图BO 为扇形对称轴，连接AC 即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，作出C 关于OA 的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO 的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．【答案】(cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，在Rt △BCD 中，CD ==，∴12BE CD ==，在Rt △ACE 中，AE ==，∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，则 822180n ππ⨯⨯⨯=，解得：90n = 即'90AQA ∠=在'Rt AQA 中，根据勾股定理'AA =【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n ， 则422180n ππ⨯⨯⨯=， 解得：180n =︒ 即'180CAC ∠=︒在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =由勾股定理得，BP =点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BC cm =，4AB cm =，15AA cm =，盒子的内部顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲1C 处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假 设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共线，111538AA A D +=+= 114D C =根据勾股定理得1AC =如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B 、、三点共线1459AB BB +=+=，113B C =根据勾股定理得1AC =如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C 、、三点共线. 437AB BC +=+=，15CC =根据勾股定理得1AC.在图四中，∵1ABE ACC ∽ ∴1BE AB CC AC= ∴457BE =，207BE =如图一，在1BB 上取一点E ，使207BE =，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径 （2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =-在Rt ACF 中，根据勾股定理得222AF AC CF =+即：()()()22236614x x =++-解得：15x =，2172x =- ∵0x ＞∴5x =所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在 长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即 为最短路线长【难度】较难11．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm【答案】B试题分析：将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可试题解析：解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=︒ ∴13010202A BC Sin cmB =÷︒=÷= 故选B ．【难度】一般12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A ．4.8B ．5 D 【答案】C【解析】有两种展开方法：①长方体展开成如图所示，连接A B 、，②将长方体展开成如图所示，连接A B 、【难度】较易13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20cm，点B 距离C点5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是cm．【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1（2（3所以需要爬行的最短距离是25．【难度】较难14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中6,4,8===BF BC AB ，在顶点E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E ．则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E 、O （设面BCSF 的中心为点O ）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径试题解析：解：设面BCSF 的中心为点O ，根据题意，最短路径有下列两种情况：○1如图1，沿SF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==○2如图2，沿BF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==∵【难度】较难15．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.【答案】1.3m【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间线段最短可知A ’B 的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC 上找一点P ，使PA+PB 最短， 过点A 作EC 的对称点A ’，连结A ’B ，则A ’B 与EF 的交点P 就是所求的点P因为两点之间，线段最短，A ’B 的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离∵底面周长为1m∴'0.5A D m =， 1.2BD m =' 1.3A B m =【难度】一般类型三 通过轴对称来转化16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ,点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B 关于CD 的对称点B ’，连结AB ’， 交CD 于点P ，连结PB ，则最短路线应该 是沿AP 、PB ’ 即可试题解析：解：如下图所示，作点B 关于CD 的对称点'B ，连结'AB ，交CD 于点P ，则蚂蚁的爬 行路线'A P B →→ 为最短，且'AP PB AP PB +=+在'Rt AEB 中，15AE CD ==，''=12820EB ED DB AC BD =++=+=由勾股定理知 '25AB =所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm【难度】一般。