蚂蚁爬行的最短路径之巴公井开创作时间：二O 二一年七月二十九日1．一只蚂蚁从原点0动身来回爬行,爬行的各段路程依次为：+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10．回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到动身点0； （2）在爬行过程中,如果每爬一个单元长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共获得几多粒芝麻．解：（1）否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从极点A 动身沿着正方体的外概况爬到极点B 的最短距离是.解：如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB 即为最短路线．AB = 51222=+．3．（2006•茂名）如图,点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两正面的中心,一蚂蚁从点A 沿其概况爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得,从点A 沿其概况爬到点B 的最短路程是两个棱长的第6题长,即2+2=4．4．如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着概况爬行到点上面的B 点处,它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒BB ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ．故选A ．5．如图,点A 的正方体左正面的中心,点B 是正方体的一个极点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A 沿其概况爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图,AB =()1012122=++．故选C ．6．正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面,∵BC 的中点为M , 所以MC =21BC =1,在直角三角形中AM ==．7．如图,点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子概况由A 处向B 处爬行,所走最短路程是cm .解：将盒子展开,如图所示：AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ．故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为.解：将正方体展开,连接M 、D 1, 根据两点之间线段最短,MD =MC +CD =1+2=3, MD 1=132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿概况爬行至正面的B 点,最少要用秒钟．解：因为爬行路径不惟一,故分情况分别计算,进行年夜、小比力,再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB = =cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB = =5cm ；所以最短路径长为5cm ,用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的概况从点A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是. 解：将长方体展开,连接A 、B ,第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124根据两点之间线段最短,AB = =25．11. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的极点A 动身,沿长方体的概况爬到对角极点C 1处（三条棱长如图所示）,问怎样走路线最短？最短路线长为.解：正面和上面沿A 1B 1展开如图,连接AC 1,△ABC 1是直角三角形,∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB12．如图所示：有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A 点爬到B 点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米. 解：由题意得, 路径一：AB ==； 路径二：AB = =5； 路径三：AB == ； ∵＞5,∴5米为最短路径．13．如图,直四棱柱侧棱长为4cm ,底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从极点A 动身沿棱柱的概况爬到极点B ．求： （1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 解：（1）AB的长就为最短路线．然后根据 若蚂蚁沿正面爬行,则经过的路程为 （cm ）；若蚂蚁沿正面和底面爬行,则经过的路程为（cm）, 或（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm．（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm, 最长路程是30cm．14．如图,在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的极点A处有一只蚂蚁,它要爬到极点B处去觅食,最短的路程是几多？解：图1中, cm．图2中, cm．图3中, cm．∴采纳图3的爬法路程最短,为cm15．如图,长方体的长、宽、高分别为6cm,8cm,4cm．一只蚂蚁沿着长方体的概况从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是.解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm, 则所走的最短线段是=6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm, 所以走的最短线段是= cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm, 所以走的最短线段是=2 cm；三种情况比力而言,第二种情况最短．16．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形,长为20cm,宽为（2+3）×3cm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm, 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252, 解得x=25．故谜底为25．17．如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别即是5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点动身,沿着台阶面爬到B点,最短线路是cm.解：将台阶展开,如下图,因为AC=3×3+1×3=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13（cm）,所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．18．（2011•荆州）如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个正面爬行一圈达到Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为cm．解：∵PA=2×（4+2）=12,QA=5 ∴PQ=13．故谜底为：13．19．如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距空中的高BD=8cm,空中上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是几多？解：如图1,在砖的正面展开图2上,连接AB, 则AB的长即为A处到B处的最短路程．解：在Rt△ABD中, 因为AD=AN+ND=5+10=15,BD=8, 所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．所以AB=17cm．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．20．（2009•佛山）如图,一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和空中均没有缝隙）,有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜概况爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B1到最短路径的距离．解：（1）如图, 木柜的概况展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．故蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1．（2分）（2）蚂蚁沿着木柜概况经线段A1B1到C1,爬过的路径的长是．（3分）蚂蚁沿着木柜概况经线段BB 1到C 1,爬过的路径的长是．（4分） l 1＞l 2,故最短路径的长是．（5分）（3）作B 1E ⊥AC 1于E ,则••为所求．（8分）21．有一圆柱体如图,高4cm ,底面半径5cm ,A 处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C 处,求蚂蚁爬行的最短距离.解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ,D 分别是BE ,AF 的中点．AF =2π•5=10π．AD =5π． AC =22CD AD +≈16cm ．故谜底为：16cm ．22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ,高为6m ,一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为.解：AB =1312522=+m23．如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 达到A 1,若圆柱底面半径为π6,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为．第2题第3题6=12,高为5, 解：因为圆柱底面圆的周长为2π×所以将正面展开为一长为12,宽为5的矩形, 根据勾股定理,对角线长为=13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．24．如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的正面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm,1=12cm．则AD=24×2又因为CD=AB=9cm, 所以AC= =15cm．故蚂蚁从点A动身沿着圆柱体的概况爬行到点C的最短路程是15cm．故谜底为：15．25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1,BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm,蜘蛛沿圆柱体正面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子暗示）解：QA=3,PB1=2, 即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中, 根据勾股定理得：QP=26．同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从A处爬行到对面的中点B处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图．问题：某正方体盒子,如图左边下方A处有一只蚂蚁,从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图．解：如图,将圆柱的正面展开成一个长方形,如图示,则A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图．如图,将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形,如图示,则A、M分别位于如图所示的位置,连接AM,即是这条最短路线图．27．如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的概况爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是.解：∵圆锥的底面周长是4π,则4π=1804⨯πn ,∴n=180°即圆锥正面展开图的圆心角是180°,∴在圆锥正面展开图中AP=2,AB=4,∠BAP=90°,∴在圆锥正面展开图中BP =5220=,∴这只蚂蚁爬行的最短距离是52cm ．故谜底是：52cm．28．如图,圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm,AB为底面直径,C为底面圆周上一点,∠COB=150°,D为VB上一点,VD= ．现有一只蚂蚁,沿圆锥概况从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）解：= = , ∴设弧BC所对的圆心角的度数为n, ∴ =解得n=90, ∴∠CVD=90°,∴CD= =4 ,第5题29．已知圆锥的母线长为5cm ,圆锥的正面展开图如图所示,且∠AOA 1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 动身,沿圆锥正面爬行一周回到点A ．则蚂蚁爬行的最短路程长为. 解：连接AA ′,作OC ⊥AA ′于C , ∵圆锥的母线长为5cm ,∠AOA 1=120°, ∴AA ′=2AC =53．30．如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A 点动身,绕正面一周又回到A 点,它爬行的最短路线长是.解：由题意知,底面圆的直径为2, 故底面周长即是2π．设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n °, 根据底面周长即是展开后扇形的弧长得,18042nππ=, 解得n =90°,所以展开图中圆心角为90°,根据勾股定理求获得点A 的最短的路线长是：24321616==+． 31．（2006•南充）如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A 点动身,绕正面一周又回到A 点,它爬行的最短路线长是. 解：由题意知底面圆的直径=2, 故底面周长即是2π．第4题设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长即是展开后扇形的弧长得2π=1804πn, 解得n=90°,所以展开图中的圆心角为90°,根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为24．32．（2009•乐山）如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆锥的正面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为.解：由题意知,底面圆的直径AB=4, 故底面周长即是4π．设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长即是展开后扇形的弧长得4π=36062⨯πn, 解得n=120°,所以展开图中∠APD=120°÷2=60°,根据勾股定理求得AD=33, 所以蚂蚁爬行的最短距离为33．33．如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点动身沿圆锥面爬行一周后又回到原动身点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径．解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形, 则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．由此知：OA =OA ′=3r , 的长为2πr ． ∴2πr =1803r n ⨯π,n =120°,即∠AOA ′=120°,∠OAC =30°．∴OC =21OA =r 23 ∴AC =r OC OA 32322=- ∴AA ′=2AC =33r ,即蚂蚁运动的最短路程是33r ．34．如图①,一只蚂蚁从圆锥底面的A 点动身,沿正面绕行一周后达到母线SA 的中点M ．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究． （1）善于暗示的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r =10cm ,母线SA 长为40cm ,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程；（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角即是60°（如图②）,请问：蚂蚁如何行走最合算？ （3）通过（1）、（2）的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法,可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周,①请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周？②结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法．解：（1）2π•10=nπ•40÷180°n=90°,AM= =20 ．（2）∵锥角为60°,∴底面半径的长和母线的长相等, 但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据分歧理,因为慧慧缺少条件．②（1）展成平面图形．（2）知道母线的长,知道扇形的圆心角度数,以及M 是SA的中点,根据三角函数或者构造直角三角形来求解时间：二O二一年七月二十九日。
